छद्म अंतर ऑपरेटर

गणितीय विश्लेषण में छद्म-विभेदक संकारक अवकल संकारक की अवधारणा का विस्तार है। आंशिक अंतर समीकरणों और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के सिद्धांत में छद्म-विभेदक संचालकों का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, उदा। गणितीय मॉडल में जिसमें एक गैर-आर्किमिडीयन अंतरिक्ष में अल्ट्रामेट्रिक छद्म-विभेदक समीकरण शामिल हैं।

इतिहास

स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर्स का अध्ययन 1960 के दशक के मध्य में जोसेफ जे. कोह्न, लुइस निरेनबर्ग, लार्स हॉर्मेंडर | होर्मेंडर, अनटर्बर्जर और बोकोब्जा के काम के साथ शुरू हुआ। उन्होंने के-सिद्धांत के माध्यम से अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय के दूसरे प्रमाण में एक प्रभावशाली भूमिका निभाई। अतियाह और सिंगर ने स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटरों के सिद्धांत को समझने में सहायता के लिए लार्स होर्मेंडर|होर्मेंडर को धन्यवाद दिया।

प्रेरणा

स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर ऑपरेटर

निरंतर गुणांक वाले रैखिक अंतर ऑपरेटर पर विचार करें,

$P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }$

जो सुचारू कार्यों पर कार्य करता है $u$ आर में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ^एन. इस ऑपरेटर को फूरियर रूपांतरण की रचना के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि एक सरल गुणन है बहुपद फलन (जिसे 'फूरियर गुणक' कहा जाता है)

$P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },$

और एक उलटा फूरियर रूपांतरण, रूप में:

$\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)\,dy\,d\xi$

(1)

यहाँ, $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ एक बहु-सूचकांक है, $a_{\alpha }$ जटिल संख्याएं हैं, और

$D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}$

एक पुनरावृत्त आंशिक व्युत्पन्न है, जहां ∂_j का अर्थ है j-वें चर के संबंध में विभेदीकरण। हम स्थिरांक का परिचय देते हैं $-i$ फूरियर रूपांतरण की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए।

सूत्र की व्युत्पत्ति (1) एक चिकनी समारोह यू के फूरियर रूपांतरण, 'आर' में कॉम्पैक्ट समर्थन^एन, है

${\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)\,dy$

और फूरियर का व्युत्क्रम सूत्र देता है

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }u(y)\,dy\,d\xi$

यू के इस प्रतिनिधित्व के लिए पी (डी) लगाने और उपयोग करने से

$P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )$

एक सूत्र प्राप्त करता है (1).

आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान का प्रतिनिधित्व

आंशिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए

$P(D)\,u=f$

हम (औपचारिक रूप से) फूरियर रूपांतरण को दोनों पक्षों पर लागू करते हैं और बीजगणितीय समीकरण प्राप्त करते हैं

$P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).$

यदि ξ ∈ 'R' होने पर प्रतीक P(ξ) कभी भी शून्य नहीं होता हैⁿ, तो इसे P(ξ) से विभाजित करना संभव है:

${\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )$

फूरियर के व्युत्क्रम सूत्र द्वारा, एक समाधान है

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .$

यहाँ यह माना जाता है कि:

1. पी (डी) निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक अंतर ऑपरेटर है,
2. इसका प्रतीक P(ξ) कभी शून्य नहीं होता,
3. यू और ƒ दोनों में एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर रूपांतरण है।

वितरण के सिद्धांत (गणित) का उपयोग करके अंतिम धारणा को कमजोर किया जा सकता है। पहली दो मान्यताओं को निम्नानुसार कमजोर किया जा सकता है।

अंतिम सूत्र में, प्राप्त करने के लिए ƒ का फूरियर रूपांतरण लिखें

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi .$

यह सूत्र के समान है (1), सिवाय इसके कि 1/P(ξ) एक बहुपद फलन नहीं है, बल्कि एक अधिक सामान्य प्रकार का फलन है।

स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर्स की परिभाषा

यहाँ हम स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर्स को डिफरेंशियल ऑपरेटर्स के सामान्यीकरण के रूप में देखते हैं। हम सूत्र (1) का विस्तार इस प्रकार करते हैं। एक सूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर P(x,D) ऑन Rⁿ एक संकारक है जिसका फलन u(x) पर मान x का फलन है:

$\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }P(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi$

(2)

कहाँ ${\hat {u}}(\xi )$ यू का फूरियर रूपांतरण है और इंटीग्रैंड में प्रतीक पी (एक्स, ξ) एक निश्चित प्रतीक वर्ग से संबंधित है। उदाहरण के लिए, यदि P(x,ξ) 'R' पर एक अपरिमित रूप से अवकलनीय फलन हैⁿ × 'आर'ⁿ संपत्ति के साथ

$|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}$

सबके लिए x,ξ ∈'R'ⁿ, सभी बहुसूचकांक α,β, कुछ स्थिरांक C_{α, β} और कुछ वास्तविक संख्या m, तो P प्रतीक वर्ग से संबंधित है $\scriptstyle {S_{1,0}^{m}}$ हॉर्मेंडर का। संगत संकारक P(x,D) को 'क्रम m' का 'छद्म अंतर संचालिका' कहा जाता है और यह वर्ग से संबंधित है $\Psi _{1,0}^{m}.$

गुण

सुचारू परिबद्ध गुणांक वाले क्रम m के रेखीय अंतर संचालक छद्म-अंतर हैं आदेश के संचालक एम। दो सूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर्स P, Q की रचना PQ फिर से एक स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर है और PQ के प्रतीक की गणना P और Q के प्रतीकों का उपयोग करके की जा सकती है। एक स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर का आसन्न और स्थानान्तरण एक स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर है। अंतर ऑपरेटर।

यदि ऑर्डर एम का एक अंतर ऑपरेटर अण्डाकार अंतर ऑपरेटर है | (समान रूप से) अंडाकार (ऑर्डर एम का) और व्युत्क्रमणीय है, तो इसका व्युत्क्रम क्रम −m का छद्म-विभेदक संकारक है, और इसके प्रतीक की गणना की जा सकती है। इसका मतलब यह है कि कोई रैखिक दीर्घवृत्तीय अंतर समीकरणों को अधिक या कम स्पष्ट रूप से हल कर सकता है सूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर्स के सिद्धांत का उपयोग करके।

डिफरेंशियल ऑपरेटर इस अर्थ में स्थानीय हैं कि ऑपरेटर के प्रभाव को निर्धारित करने के लिए केवल एक बिंदु के पड़ोस में फ़ंक्शन के मान की आवश्यकता होती है। छद्म-विभेदक ऑपरेटर छद्म-स्थानीय हैं, जिसका अर्थ है अनौपचारिक रूप से जब श्वार्ट्ज वितरण पर लागू किया जाता है तो वे उन बिंदुओं पर एक विलक्षणता नहीं बनाते हैं जहां वितरण पहले से ही सुचारू था।

जिस प्रकार एक अवकल संकारक को D= −id/dx के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$p(x,D)\,$

डी में एक बहुपद पी के लिए (जिसे प्रतीक कहा जाता है), एक छद्म अंतर ऑपरेटर के कार्यों के अधिक सामान्य वर्ग में प्रतीक होता है। प्राय: छद्म-विभेदक संचालकों के विश्लेषण में समस्या को उनके प्रतीकों से संबंधित बीजगणितीय समस्याओं के अनुक्रम में कम किया जा सकता है, और यह माइक्रोलोकल विश्लेषण का सार है।

स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर का कर्नेल

छद्म अंतर ऑपरेटरों को अभिन्न परिवर्तन द्वारा दर्शाया जा सकता है। विकर्ण पर कर्नेल की विलक्षणता संबंधित ऑपरेटर की डिग्री पर निर्भर करती है। वास्तव में, यदि प्रतीक उपरोक्त अंतर असमानताओं को m ≤ 0 के साथ संतुष्ट करता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि कर्नेल एक विलक्षण अभिन्न है।

यह भी देखें

• विभेदक बीजगणित और डिफरेंशियल रिंग्स के संदर्भ में स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर्स की परिभाषा के लिए डिफरेंशियल बीजगणित।
• फूरियर रूपांतरण
• फूरियर इंटीग्रल ऑपरेटर
• ऑसिलेटरी इंटीग्रल ऑपरेटर
• सातो का मौलिक प्रमेय
• परिचालन गणना

संदर्भ

• Stein, Elias (1993), Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press.
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1968), "The Index of Elliptic Operators I", Annals of Mathematics, 87 (3): 484–530, doi:10.2307/1970715, JSTOR 1970715

अग्रिम पठन

• Nicolas Lerner, Metrics on the phase space and non-selfadjoint pseudo-differential operators. Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications, 3. Birkhäuser Verlag, Basel, 2010.
• Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981. ISBN 0-691-08282-0
• M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag 2001. ISBN 3-540-41195-X
• Francois Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, (University Series in Mathematics), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4
• F. G. Friedlander and M. Joshi, Introduction to the Theory of Distributions, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4
• Hörmander, Lars (1987). The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators. Springer. ISBN 3-540-49937-7.
• André Unterberger, Pseudo-differential operators and applications: an introduction. Lecture Notes Series, 46. Aarhus Universitet, Matematisk Institut, Aarhus, 1976.

बाहरी संबंध

• Lectures on Pseudo-differential Operators by Mark S. Joshi on arxiv.org.
• "Pseudo-differential operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]