छद्म अंतर ऑपरेटर

गणितीय विश्लेषण में छद्म-विभेदक प्रचालक अवकल संचालक की अवधारणा का विस्तार है। आंशिक अवकल समीकरण और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में छद्म-विभेदक संचालकों का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, उदाहरण के रूप में जैसे कि गणितीय मॉडल में जिसमें एक गैर-आर्किमिडीयन समतल में अल्ट्रामेट्रिक छद्म-विभेदक समीकरण सम्मिलित हैं।

इतिहास

स्यूडो-अवकल प्रचालक का अध्ययन 1960 के दशक के मध्य में जोसेफ जे. कोह्न, लुइस निरेनबर्ग, लार्स होर्मेंडर, अनटर्बर्जर और बोकोब्जा के प्रयोग द्वारा प्रारम्भ हुआ।

उन्होंने K-सिद्धांत के माध्यम से अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय के दूसरे प्रमाण में एक प्रभावशाली भूमिका निभाई। अतियाह और सिंगर ने स्यूडो-अवकल प्रचालकों के सिद्धांत को समझने में सहायता के लिए लार्स होर्मेंडर को धन्यवाद दिया।

प्रेरणा

स्थिर गुणांक वाले रैखिक अवकल प्रचालक

निरंतर गुणांक वाले रैखिक अवकल प्रचालक पर विचार करें,

$P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }$

जो सुचारू फलनों $u$ पर Rⁿ में संक्षिप्त प्रोत्साहन के साथ कार्य करता है, इस प्रचालक को फूरियर रूपांतरण की रचना के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि एक सरल गुणन के द्वारा बहुपद फलन है (जिसे 'फूरियर गुणक' कहा जाता है)।

$P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },$

और एक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण रूप में:

$\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)\,dy\,d\xi$

(1)

यहाँ, $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ एक बहु-सूचकांक है, $a_{\alpha }$ जटिल संख्याएं हैं,

$D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}$

उपर्युक्त फलन एक पुनरावृत्त आंशिक व्युत्पन्न है, जहां ∂_j का अर्थ j-वें चर के संबंध में विभेदीकरण है। हम स्थिरांक $-i$ का परिचय फूरियर रूपांतरण की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए देते हैं।

सूत्र की व्युत्पत्ति (1) किसी एक समतल फलन u के फूरियर रूपांतरण, 'Rⁿ में संक्षिप्त प्रोत्साहन है,

${\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)\,dy$

यह फूरियर का व्युत्क्रम सूत्र देता है

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }u(y)\,dy\,d\xi$

u के इस प्रतिनिधित्व के लिए P(D) लगाने और उपयोग करने से

$P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )$

एक सूत्र (1) प्राप्त करता है।

आंशिक अवकल समीकरणों के समाधान का प्रतिनिधित्व

आंशिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए

$P(D)\,u=f$

हम (औपचारिक रूप से) फूरियर रूपांतरण को दोनों पक्षों पर लागू करते हैं और बीजगणितीय समीकरण प्राप्त करते हैं

$P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).$

यदि ξ ∈ 'Rⁿ' होने पर प्रतीक P(ξ) कभी भी शून्य नहीं होता है, तो इसे P(ξ) से विभाजित करना संभव है:

${\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )$

फूरियर के व्युत्क्रम सूत्र द्वारा, एक निम्नलिखित समाधान है

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .$

यहाँ यह माना जाता है कि:

1. P(D) निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक अवकल प्रचालक है,
2. इसका प्रतीक P(ξ) कभी शून्य नहीं होता,
3. u और ƒ दोनों में एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर रूपांतरण है।

वितरण के सिद्धांत (गणित) का उपयोग करके अंतिम धारणा को कमजोर किया जा सकता है। पहली दो मान्यताओं को निम्नानुसार कमजोर किया जा सकता है। हम स्थिरांक $-i$ का परिचय फूरियर रूपांतरण की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए देते हैं।

अंतिम सूत्र में, प्राप्त करने के लिए ƒ का फूरियर रूपांतरण लिखें

$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi .$

यह सूत्र (1) के समान है, सिवाय इसके कि 1/P(ξ) एक बहुपद फलन नहीं है, बल्कि एक अधिक सामान्य फूरियर प्रकार का फलन है। u और ƒ दोनों में एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर रूपांतरण है।

स्यूडो-अवकल प्रचालक की परिभाषा

यहाँ हम स्यूडो-अवकल प्रचालक को अवकल प्रचालक के सामान्यीकरण के रूप में देखते हैं। हम सूत्र (1) का विस्तार इस प्रकार करते हैं कि एक सूडो-अवकल प्रचालक P(x,D) पर Rⁿ एक प्रचालक है जिसका फलन u(x) पर मान x का फलन है:

$\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }P(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi$

(2)

जहाँ ${\hat {u}}(\xi )$, u का फूरियर रूपांतरण है और समाकलित में प्रतीक P(x,ξ) एक निश्चित प्रतीक वर्ग से संबंधित है। उदाहरण के लिए, यदि P(x,ξ) 'Rⁿ × 'Rⁿ' पर अपने गुणधर्मों के साथ एक अपरिमित रूप से अवकलनीय फलन है।

$|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}$

सबके लिए x,ξ ∈'Rⁿ', सभी बहुसूचकांक α,β, कुछ स्थिरांक C_{α, β} और कुछ वास्तविक संख्या m, जो P प्रतीक वर्ग $\scriptstyle {S_{1,0}^{m}}$ से संबंधित है। हॉर्मेंडर का संगत प्रचालक P(x,D) को 'm' का 'छद्म अवकल संचालिका' कहा जाता है और यह वर्ग $\Psi _{1,0}^{m}.$ से संबंधित है।

गुण

क्रमिक परिबद्ध गुणांक वाले क्रम m के रेखीय अवकल संचालक छद्म-अवकल हैं। अनुक्रम के संचालक m द्वारा दो सूडो-अवकल प्रचालक P, Q का संयोजन PQ, फिर से एक स्यूडो-अवकल प्रचालक के रूप में विश्लेषित होता है और PQ के प्रतीक की गणना P और Q के प्रतीकों का उपयोग करके की जा सकती है। एक स्यूडो-अवकल प्रचालक का आसन्न और स्थानान्तरण एक स्यूडो-अवकल प्रचालक के रूप में होता है। यहाँ हम स्यूडो-अवकल प्रचालक को अवकल प्रचालक के सामान्यीकरण के रूप में देखते हैं।

यदि अनुक्रम m का एक अवकल प्रचालक परवलयाकार अवकल प्रचालक है और समान रूप से अनुक्रम m का व्युत्क्रमणीय है, तो इसका व्युत्क्रम m का छद्म-विभेदक प्रचालक है, और इसके माध्यम से इसके प्रतीक की गणना की जा सकती है। इसका मतलब यह है कि कोई रैखिक दीर्घवृत्तीय अवकल समीकरणों को अधिक या कम स्पष्ट रूप से सूडो-अवकल प्रचालक के सिद्धांत का उपयोग करके हल कर सकता है।

अवकल प्रचालक इस अर्थ में स्थानीय हैं कि प्रचालक के प्रभाव को निर्धारित करने के लिए केवल एक बिंदु के सन्निकट में फलन के मान की आवश्यकता होती है। छद्म-विभेदक प्रचालक छद्म-स्थानीय हैं, जिसका अर्थ है कि अनौपचारिक रूप से जब इसे श्वार्ट्ज वितरण पर लागू किया जाता है तो वे उन बिंदुओं पर एक विलक्षणता निर्मित नहीं करते हैं जहां वितरण पहले से ही क्रमिक था। जिस प्रकार एक अवकल प्रचालक को D= −id/dx के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$p(x,D)\,$

D में एक बहुपद p के लिए (जिसे प्रतीक कहा जाता है), एक छद्म अवकल प्रचालक के कार्यों के अधिक सामान्य वर्ग में प्रतीक होता है। प्राय: छद्म-विभेदक संचालकों के विश्लेषण में समस्या को उनके प्रतीकों से संबंधित बीजगणितीय समस्याओं के अनुक्रम में कम व्यवस्थित किया जा सकता है, और यह माइक्रोलोकल विश्लेषण का सारांश है।

स्यूडो-अवकल प्रचालक का कर्नेल

छद्म अवकल प्रचालकों को अभिन्न परिवर्तन द्वारा दर्शाया जा सकता है। विकर्ण पर कर्नेल की विलक्षणता संबंधित प्रचालक की डिग्री पर निर्भर करती है। वास्तव में, यदि प्रतीक उपरोक्त अवकल असमानताओं को m ≤ 0 के साथ संतुष्ट करता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि कर्नेल एक विलक्षण अभिन्न मात्र है।

यह भी देखें

• विभेदक बीजगणित और अवकल रिंग्स के संदर्भ में स्यूडो-अवकल प्रचालक की परिभाषा के लिए अवकल बीजगणित
• फूरियर रूपांतरण
• फूरियर इंटीग्रल प्रचालक
• ऑसिलेटरी इंटीग्रल प्रचालक
• सातो का मौलिक प्रमेय
• परिचालन गणना

संदर्भ

• Stein, Elias (1993), Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press.
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1968), "The Index of Elliptic Operators I", Annals of Mathematics, 87 (3): 484–530, doi:10.2307/1970715, JSTOR 1970715

अग्रिम पठन

• Nicolas Lerner, Metrics on the phase space and non-selfadjoint pseudo-differential operators. Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications, 3. Birkhäuser Verlag, Basel, 2010.
• Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981. ISBN 0-691-08282-0
• M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag 2001. ISBN 3-540-41195-X
• Francois Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, (University Series in Mathematics), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4
• F. G. Friedlander and M. Joshi, Introduction to the Theory of Distributions, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4
• Hörmander, Lars (1987). The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators. Springer. ISBN 3-540-49937-7.
• André Unterberger, Pseudo-differential operators and applications: an introduction. Lecture Notes Series, 46. Aarhus Universitet, Matematisk Institut, Aarhus, 1976.

बाहरी संबंध

• स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर्स पर व्याख्यान by मार्क एस. जोशी on arxiv.org.
• "छद्म-विभेदक ऑपरेटर", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]