वर्ण सिद्धांत: Difference between revisions

Revision as of 10:57, 1 May 2023

गणित में, अधिक विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, समूह प्रतिनिधित्व का वर्ण समूह (गणित) पर फलन (गणित) है जो प्रत्येक समूह तत्व को संबंधित आव्यूह (गणित) के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) से जोड़ता है। वर्ण अधिक संक्षिप्त रूप में प्रतिनिधित्व के बारे में आवश्यक जानकारी रखता है। जॉर्ज फ्रोबेनियस ने शुरू में परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को विकसित किया, जो पूरी तरह से पात्रों पर आधारित था, और स्वयं प्रतिनिधित्व के किसी भी स्पष्ट आव्यूह अहसास के बिना। यह संभव है क्योंकि परिमित समूह का सम्मिश्र संख्या निरूपण उसके वर्ण द्वारा निर्धारित (समरूपता तक) होता है। सकारात्मक विशेषता (बीजगणित), तथाकथित मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व के क्षेत्र (गणित) पर प्रतिनिधित्व के साथ स्थिति अधिक नाजुक है, लेकिन रिचर्ड ब्राउर ने इस मामले में भी वर्णों का शक्तिशाली सिद्धांत विकसित किया है। परिमित समूहों की संरचना पर कई गहरे प्रमेय मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के पात्रों का उपयोग करते हैं।

अनुप्रयोग

अलघुकरणीय अभ्यावेदन के वर्ण समूह के कई महत्वपूर्ण गुणों को कूटबद्ध करते हैं और इस प्रकार इसका उपयोग इसकी संरचना का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में वर्ण सिद्धांत आवश्यक उपकरण है। फ़ीट-थॉम्पसन प्रमेय के गणितीय प्रमाण के आधे के करीब वर्ण मानों के साथ जटिल गणना सम्मिलित है। आसान, लेकिन फिर भी आवश्यक, परिणाम जो वर्ण सिद्धांत का उपयोग करते हैं उनमें बर्नसाइड के प्रमेय सम्मिलित हैं (बर्नसाइड के प्रमेय का विशुद्ध रूप से समूह-सैद्धांतिक प्रमाण तब से पाया गया है, लेकिन वह प्रमाण बर्नसाइड के मूल प्रमाण के आधी सदी बाद आया), और रिचर्ड ब्राउर का प्रमेय और मिचियो सुज़ुकी (गणितज्ञ) ने कहा कि परिमित सरल समूह में अपने सिलो प्रमेय के रूप में सामान्यीकृत चतुष्कोणीय समूह नहीं हो सकता है|साइलो $2$ -उपसमूह।

परिभाषाएँ

होने देना $V$ आयाम (सदिश स्थल) हो | क्षेत्र पर परिमित-आयामी वेक्टर स्थान (गणित) $F$ और जाने $ρ : G \to GL(V)$ किसी समूह का समूह प्रतिनिधित्व हो $G$ पर $V$ . का वर्ण $ρ$ कार्य है $χ ρ : G \to F$ द्वारा दिए गए

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

कहाँ $Tr$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है।

वर्ण $χ ρ$ को इर्रिड्यूसिबल या सिंपल अगर कहा जाता है $ρ$ अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है। वर्ण की डिग्री $χ$ के प्रतिनिधित्व का आयाम है $ρ$ ; विशेषता शून्य में यह मान के बराबर है $χ (1)$ . डिग्री 1 के वर्ण को रैखिक कहा जाता है। कब $G$ परिमित है और $F$ में विशेषता शून्य है, वर्ण का कर्नेल $χ ρ$ सामान्य उपसमूह है:

\ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,

जो वास्तव में प्रतिनिधित्व का मूल है $ρ$ . हालाँकि, वर्ण सामान्य रूप से समूह समरूपता नहीं है।

गुण

वर्ण वर्ग कार्य हैं, अर्थात, वे प्रत्येक दिए गए संयुग्मन वर्ग पर स्थिर मान लेते हैं। अधिक सटीक रूप से, किसी दिए गए समूह के अलघुकरणीय वर्णों का समुच्चय $G$ क्षेत्र में $K$ का आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं $K$ - सभी वर्ग कार्यों का वेक्टर स्थान $G \to K$ .
प्रतिनिधित्व_सिद्धांत#Equivariant_maps_and_isomorphisms निरूपण में समान वर्ण होते हैं। विशेषता के क्षेत्र में (बीजगणित) $0$ , दो अभ्यावेदन आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके समान वर्ण हैं।^[1]
यदि कोई निरूपण उप-निरूपणों के निरूपण का प्रत्यक्ष योग है, तो संबंधित वर्ण उन उप-निरूपणों के वर्णों का योग है।
यदि परिमित समूह का कोई पात्र $G$ उपसमूह तक सीमित है $H$ , तो परिणाम भी का वर्ण है $H$ .
प्रत्येक वर्ण मान $χ (g)$ का योग है $n$ $m$ -एकता की जड़, जहाँ $n$ वर्ण के साथ निरूपण की डिग्री (अर्थात संबंधित सदिश स्थान का आयाम) है $χ$ और $m$ का क्रम (समूह सिद्धांत) है $g$ . विशेष रूप से, कब $F = C$ , ऐसा प्रत्येक वर्ण मान बीजगणितीय पूर्णांक है।
अगर $F = C$ और $χ$ तब अलघुकरणीय है $[G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}$ सभी के लिए बीजगणितीय पूर्णांक है $x$ में $G$ .
अगर $F$ बीजगणितीय रूप से बंद है और $char (F)$ के समूह के क्रम को विभाजित नहीं करता है $G$ , फिर अलघुकरणीय वर्णों की संख्या $G$ की संयुग्मन कक्षाओं की संख्या के बराबर है $G$ . इसके अलावा, इस मामले में, अलघुकरणीय पात्रों की डिग्री क्रम के विभाजक हैं $G$ (और वे विभाजित भी करते हैं $[G : Z (G)]$ अगर $F = C$ ).

अंकगणितीय गुण

चलो ρ और σ का प्रतिनिधित्व करते हैं $G$ . फिर निम्नलिखित पहचान धारण करते हैं:

$\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$
$\chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }$
$\chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}$
$\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]$
$\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]$

कहाँ $ρ \oplus σ$ अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है, $ρ \otimes σ$ टेंसर उत्पाद है, $ρ *$ के संयुग्मी स्थानांतरण को दर्शाता है $ρ$ , और $Alt 2$ बाहरी बीजगणित है $Alt 2 ρ = ρ \land ρ$ और $Sym 2$ सममित वर्ग है, जिसके द्वारा निर्धारित किया जाता है

\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .

कैरेक्टर टेबल्स

परिमित समूह के अलघुकरणीय जटिल संख्या वर्ण वर्ण तालिका बनाते हैं जो समूह के बारे में बहुत उपयोगी जानकारी को कूटबद्ध करता है $G$ कॉम्पैक्ट रूप में। प्रत्येक पंक्ति को अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व द्वारा लेबल किया जाता है और पंक्ति में प्रविष्टियाँ संबंधित संयुग्मी वर्ग पर प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं $G$ . स्तंभों को (के प्रतिनिधियों) के संयुग्मन वर्गों द्वारा लेबल किया जाता है $G$ . यह पहली पंक्ति को तुच्छ प्रतिनिधित्व के वर्ण द्वारा लेबल करने के लिए प्रथागत है, जो कि तुच्छ क्रिया है $G$ द्वारा 1-आयामी सदिश स्थान पर $\rho (g)=1$ सभी के लिए $g\in G$ . पहली पंक्ति में प्रत्येक प्रविष्टि इसलिए 1 है। इसी तरह, पहले कॉलम को पहचान द्वारा लेबल करने की प्रथा है। इसलिए, पहले कॉलम में प्रत्येक अलघुकरणीय वर्ण की डिग्री होती है।

यहाँ की वर्ण तालिका है

C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,

तीन तत्वों और जनरेटर यू के साथ चक्रीय समूह:

	$(1)$	$(u)$	$(u 2)$
$1$	$1$	$1$	$1$
$χ 1$	$1$	$ω$	$ω 2$
$χ 2$	$1$	$ω 2$	$ω$

कहाँ $ω$ एकता की आदिम जड़ है, एकता की तीसरी जड़ है।

वर्ण तालिका हमेशा वर्गाकार होती है, क्योंकि अलघुकरणीय अभ्यावेदन की संख्या संयुग्मन वर्गों की संख्या के बराबर होती है।^[2]

ऑर्थोगोनैलिटी संबंध

परिमित समूह के जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों का स्थान $G$ का प्राकृतिक आंतरिक उत्पाद है:

\left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}

कहाँ $β (g)$ का जटिल संयुग्म है $β (g)$ . इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में, अप्रासंगिक वर्ण वर्ग-कार्यों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं, और यह वर्ण तालिका की पंक्तियों के लिए ऑर्थोगोनलिटी संबंध उत्पन्न करता है:

\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}

के लिए $g, h$ में $G$ , उसी आंतरिक उत्पाद को वर्ण तालिका के स्तंभों पर लागू करने से प्राप्त होता है:

\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}

जहां योग सभी अप्रासंगिक वर्णों से अधिक है $χ i$ का $G$ और प्रतीक $| C G (g)|$ के केंद्रक के आदेश को दर्शाता है $g$ . ध्यान दें कि जब से $g$ और $h$ संयुग्मित हैं यदि वे वर्ण तालिका के ही स्तंभ में हैं, इसका तात्पर्य है कि वर्ण तालिका के स्तंभ ओर्थोगोनल हैं।

ऑर्थोगोनलिटी संबंध कई संगणनाओं में सहायता कर सकते हैं जिनमें सम्मिलित हैं:

अलघुकरणीय वर्णों के रेखीय संयोजन के रूप में अज्ञात वर्ण को विघटित करना।
पूर्ण वर्ण तालिका का निर्माण जब केवल कुछ अलघुकरणीय वर्णों को जाना जाता है।
समूह के संयुग्मन वर्गों के प्रतिनिधियों के केंद्रीकरणकर्ताओं के आदेशों का पता लगाना।
समूह के क्रम का पता लगाना।

वर्ण तालिका गुण

समूह के कुछ गुण $G$ इसकी वर्ण तालिका से निकाला जा सकता है:

के लिए $G$ पहले कॉलम की प्रविष्टियों के वर्गों के योग द्वारा दिया जाता है (irreducible वर्णों की डिग्री)। (देखें परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत#शूर के लेम्मा को लागू करना।) अधिक सामान्यतः, किसी भी कॉलम में प्रविष्टियों के निरपेक्ष मूल्यों के वर्गों का योग संगत संयुग्मन वर्ग के तत्व के केंद्रक का क्रम देता है।
के सभी सामान्य उपसमूह $G$ (और इस प्रकार चाहे या नहीं $G$ सरल है) इसकी वर्ण तालिका से पहचाना जा सकता है। वर्ण का कर्नेल (समूह सिद्धांत)। $χ$ तत्वों का समूह है $g$ में $G$ जिसके लिए $χ (g) = χ (1)$ ; यह का सामान्य उपसमूह है $G$ . का प्रत्येक सामान्य उपसमूह $G$ के कुछ अप्रासंगिक वर्णों की गुठली का प्रतिच्छेदन है $G$ .
का कम्यूटेटर उपसमूह $G$ के रैखिक वर्णों की गुठली का प्रतिच्छेदन है $G$ .
अगर $G$ परिमित है, तब चूँकि वर्ण तालिका वर्गाकार है और इसमें संयुग्मन वर्गों के रूप में कई पंक्तियाँ हैं, यह इस प्रकार है $G$ एबेलियन समूह है यदि प्रत्येक संयुग्मन वर्ग सिंगलटन है यदि वर्ण तालिका $G$ है $|G|\!\times \!|G|$ iff प्रत्येक अलघुकरणीय वर्ण रैखिक है।
यह निम्नानुसार है, मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत से रिचर्ड ब्राउर के कुछ परिणामों का उपयोग करते हुए, कि परिमित समूह के प्रत्येक संयुग्मी वर्ग के तत्वों के आदेशों के प्रमुख विभाजक को इसकी वर्ण तालिका (ग्राहम हिगमैन का अवलोकन) से घटाया जा सकता है।

वर्ण तालिका सामान्य रूप से समूह समरूपता तक समूह को निर्धारित नहीं करती है: उदाहरण के लिए, चतुर्धातुक समूह $Q$ और का डायहेड्रल समूह $8$ तत्व, $D 4$ , समान वर्ण तालिका है। ब्राउर ने पूछा कि क्या वर्ण तालिका, इसके संयुग्मन वर्गों के तत्वों की शक्तियों को कैसे वितरित किया जाता है, इसके ज्ञान के साथ, समरूपता तक परिमित समूह निर्धारित करता है। 1964 में, इसका उत्तर ई.सी. डेड ने नकारात्मक में दिया।

का रैखिक प्रतिनिधित्व $G$ स्वयं टेंसर उत्पाद के तहत समूह हैं, क्योंकि 1-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद फिर से 1-आयामी है। यानी अगर $\rho _{1}:G\to V_{1}$ और $\rho _{2}:G\to V_{2}$ रैखिक प्रतिनिधित्व हैं, फिर $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))$ नया रैखिक प्रतिनिधित्व परिभाषित करता है। यह ऑपरेशन के तहत वर्ण समूह नामक रैखिक वर्णों के समूह को जन्म देता है $[\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)$ . यह समूह डिरिचलेट पात्रों और फूरियर विश्लेषण से जुड़ा है।

प्रेरित पात्र और फ्रोबेनियस पारस्परिकता

इस खंड में चर्चा किए गए पात्रों को जटिल-मूल्यवान माना जाता है। होने देना $H$ परिमित समूह का उपसमूह हो $G$ . पात्र दिया $χ$ का $G$ , होने देना $χ H$ इसके प्रतिबंध को निरूपित करें $H$ . होने देना $θ$ का पात्र हो $H$ . फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस ने दिखाया कि वर्ण का निर्माण कैसे किया जाता है $G$ से $θ$ , जिसे अब फ्रोबेनियस पारस्परिकता के रूप में जाना जाता है। के अलघुकरणीय पात्रों के बाद से $G$ के जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं $G$ , अद्वितीय वर्ग कार्य है $θ G$ का $G$ उस संपत्ति के साथ

\langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}

प्रत्येक अपूरणीय वर्ण के लिए $χ$ का $G$ (बाएं सबसे आंतरिक उत्पाद के वर्ग कार्यों के लिए है $G$ और सबसे दाहिने आंतरिक उत्पाद के वर्ग कार्यों के लिए है $H$ ). के वर्ण के प्रतिबंध के बाद से $G$ उपसमूह के लिए $H$ फिर से वर्ण है $H$ , यह परिभाषा यह स्पष्ट करती है कि $θ G$ के अलघुकरणीय वर्णों का गैर-ऋणात्मक पूर्णांक संयोजन है $G$ , तो वास्तव में का वर्ण है $G$ . के वर्ण के रूप में जाना जाता है $G$ से प्रेरित $θ$ . फ्रोबेनियस पारस्परिकता के परिभाषित सूत्र को सामान्य जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है।

आव्यूह प्रतिनिधित्व दिया $ρ$ का $H$ , फ्रोबेनियस ने बाद में आव्यूह प्रतिनिधित्व के निर्माण के लिए स्पष्ट तरीका दिया $G$ , प्रतिनिधित्व प्रेरित प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है $ρ$ , और समान रूप से लिखा गया है $ρ G$ . इससे प्रेरित वर्ण का वैकल्पिक वर्णन हुआ $θ G$ . यह प्रेरित वर्ण के सभी तत्वों पर गायब हो जाता है $G$ जो किसी भी तत्व के संयुग्मी नहीं हैं $H$ . चूंकि प्रेरित वर्ण का वर्ग कार्य है $G$ , के तत्वों पर इसके मूल्यों का वर्णन करना अब केवल आवश्यक है $H$ . अगर कोई लिखता है $G$ के सही सहसमूहों के असंयुक्त संघ के रूप में $H$ , कहना

G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},

फिर, तत्व दिया $h$ का $H$ , अपने पास:

\theta ^{G}(h)=\sum _{i\ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).

क्योंकि $θ$ का क्लास फंक्शन है $H$ , यह मान कोसेट प्रतिनिधियों की विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

प्रेरित वर्ण का यह वैकल्पिक विवरण कभी-कभी एम्बेडिंग के बारे में अपेक्षाकृत कम जानकारी से स्पष्ट गणना की अनुमति देता है $H$ में $G$ , और विशेष वर्ण तालिकाओं की गणना के लिए प्रायः उपयोगी होता है। कब $θ$ का तुच्छ वर्ण है $H$ , प्राप्त प्रेरित वर्ण को क्रमचय वर्ण के रूप में जाना जाता है $G$ (कोसेट्स पर $H$ ).

कैरेक्टर इंडक्शन की सामान्य तकनीक और बाद में परिशोधन ने एमिल आर्टिन, रिचर्ड ब्राउर, वाल्टर फीट और मिचियो सुजुकी (गणितज्ञ) जैसे गणितज्ञों के साथ-साथ खुद फ्रोबेनियस के हाथों में Group_theory#Finite_group_theory और गणित में कहीं और कई अनुप्रयोगों को पाया।

मैकी अपघटन

मैकी अपघटन को लाइ समूहों के संदर्भ में जी मैके द्वारा परिभाषित और खोजा गया था, लेकिन वर्ण सिद्धांत और परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में शक्तिशाली उपकरण है। इसका मूल रूप उपसमूह से प्रेरित वर्ण (या मॉड्यूल) के तरीके से संबंधित है $H$ परिमित समूह का $G$ (संभावित रूप से अलग) उपसमूह पर प्रतिबंध पर व्यवहार करता है $K$ का $G$ , और के अपघटन का उपयोग करता है $G$ में $(H, K)$ -डबल कोसेट।

अगर ${\textstyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}$ अलग संघ है, और $θ$ का जटिल वर्ग कार्य है $H$ , तब मैके का सूत्र बताता है कि

\left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},

कहाँ $θ t$ का वर्ग कार्य है $t -1 Ht$ द्वारा परिभाषित $θ t (t -1 ht) = θ (h)$ सभी के लिए $h$ में $H$ . उपसमूह के लिए प्रेरित मॉड्यूल के प्रतिबंध के लिए समान सूत्र है, जो किसी भी रिंग (गणित) पर प्रतिनिधित्व के लिए है, और बीजगणितीय और टोपोलॉजी संदर्भों की विस्तृत विविधता में अनुप्रयोग हैं।

मैके अपघटन, फ्रोबेनियस पारस्परिकता के संयोजन के साथ, दो वर्ग कार्यों के आंतरिक उत्पाद के लिए प्रसिद्ध और उपयोगी सूत्र उत्पन्न करता है $θ$ और $ψ$ संबंधित उपसमूहों से प्रेरित $H$ और $K$ , जिसकी उपयोगिता इस तथ्य में निहित है कि यह केवल इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस प्रकार संयुग्मित होता है $H$ और $K$ दूसरे को काटते हैं। सूत्र (इसकी व्युत्पत्ति के साथ) है:

{\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}

(कहाँ $T$ का पूरा सेट है $(H, K)$ -डबल कोसेट प्रतिनिधि, पहले की तरह)। यह सूत्र प्रायः तब प्रयोग किया जाता है जब $θ$ और $ψ$ रेखीय वर्ण हैं, जिस स्थिति में दाहिने हाथ में दिखाई देने वाले सभी आंतरिक गुणनफल या तो होते हैं $1$ या $0$ , रैखिक वर्ण हैं या नहीं, इस पर निर्भर करता है $θ t$ और $ψ$ पर समान प्रतिबंध है $t -1 Ht \cap K$ . अगर $θ$ और $ψ$ दोनों तुच्छ पात्र हैं, तो आंतरिक उत्पाद सरल हो जाता है $| T |$ .

मुड़ा हुआ आयाम

कोई प्रतिनिधित्व के वर्ण को मुड़ आयाम (वेक्टर स्पेस) के रूप में व्याख्या कर सकता है।^[3] वर्ण को समूह के तत्वों के कार्य के रूप में मानना $χ (g)$ , पहचान तत्व पर इसका मान अंतरिक्ष का आयाम है, क्योंकि $χ (1) = Tr(ρ (1)) = Tr(I V) = dim(V)$ . तदनुसार, वर्ण के अन्य मूल्यों को मुड़ आयामों के रूप में देखा जा सकता है।^{[clarification needed]}

पात्रों या अभ्यावेदन के बारे में बयानों के आयाम के बारे में बयानों के अनुरूप या सामान्यीकरण पा सकते हैं। इसका परिष्कृत उदाहरण राक्षसी चन्द्रमा के सिद्धांत में पाया जाता है: जे-इनवेरिएंट | $j$ -इनवेरिएंट राक्षस समूह के अनंत-आयामी वर्गीकृत प्रतिनिधित्व का वर्गीकृत आयाम है, और वर्ण के साथ आयाम को बदलकर राक्षस समूह के प्रत्येक तत्व के लिए मैके-थॉम्पसन श्रृंखला देता है।^[3]

झूठ समूहों और झूठ बीजगणित के वर्ण

अगर $G$ झूठ समूह है और $\rho$ का परिमित आयामी प्रतिनिधित्व $G$ , वर्ण $\chi _{\rho }$ का $\rho$ किसी भी समूह के लिए सटीक रूप से परिभाषित किया गया है

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

.

इस बीच अगर ${\mathfrak {g}}$ झूठ बीजगणित है और $\rho$ का परिमित आयामी प्रतिनिधित्व ${\mathfrak {g}}$ , हम वर्ण को परिभाषित कर सकते हैं $\chi _{\rho }$ द्वारा

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

.

वर्ण से संतोष होगा $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ सभी के लिए $g$ संबद्ध झूठ समूह में $G$ और सभी $X\in {\mathfrak {g}}$ . यदि हमारे पास लाई समूह प्रतिनिधित्व और संबद्ध लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व है, तो वर्ण $\chi _{\rho }$ झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व का वर्ण से संबंधित है $\mathrm {X} _{\rho }$ सूत्र द्वारा समूह प्रतिनिधित्व का

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

.

मान लीजिए कि अब ${\mathfrak {g}}$ कार्टन सबलजेब्रा के साथ जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित है ${\mathfrak {h}}$ . वर्ण का मूल्य $\chi _{\rho }$ अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की $\rho$ का ${\mathfrak {g}}$ पर इसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है ${\mathfrak {h}}$ . वर्ण का प्रतिबंध ${\mathfrak {h}}$ वज़न स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) के संदर्भ में आसानी से गणना की जा सकती है, इस प्रकार है:

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

,

जहां योग सभी वजन से अधिक है (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) $\lambda$ का $\rho$ और कहाँ $m_{\lambda }$ की बहुलता है $\lambda$ .^[4] (प्रतिबंध ${\mathfrak {h}}$ of) वर्ण की गणना वेइल वर्ण सूत्र द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से की जा सकती है।

यह भी देखें

अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व § सैद्धांतिक भौतिकी और रसायन विज्ञान में अनुप्रयोग
संघ योजनाएँ, समूह-वर्ण सिद्धांत का संयुक्त सामान्यीकरण।
क्लिफर्ड सिद्धांत, 1937 में ए. एच. क्लिफर्ड द्वारा पेश किया गया, परिमित समूह के जटिल इरेड्यूसिबल वर्ण के प्रतिबंध के बारे में जानकारी देता है $G$ सामान्य उपसमूह के लिए $N$ .
फ्रोबेनियस सूत्र
वास्तविक तत्व, समूह तत्व g जैसे कि χ(g) सभी वर्णों χ के लिए वास्तविक संख्या है

संदर्भ

↑ Nicolas Bourbaki, Algèbre, Springer-Verlag, 2012, Chap. 8, p392
↑ Serre, §2.5
↑ ^3.0 ^3.1 (Gannon 2006)
↑ Hall 2015 Proposition 10.12

Lecture 2 of Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103. online
Gannon, Terry (2006). Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics. ISBN 978-0-521-83531-2.
Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Isaacs, I.M. (1994). Character Theory of Finite Groups (Corrected reprint of the 1976 original, published by Academic Press. ed.). Dover. ISBN 978-0-486-68014-9.
James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00392-6.
Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 42. Translated from the second French edition by Leonard L. Scott. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9458-7. ISBN 978-0-387-90190-9. MR 0450380.

बाहरी संबंध

Character at PlanetMath.

[1] Nicolas Bourbaki, Algèbre, Springer-Verlag, 2012, Chap. 8, p392

[2] Serre, §2.5

[Gannon-3] 3.0 ^3.1 (Gannon 2006)

[4] Hall 2015 Proposition 10.12

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{About|गणित में वर्ण सिद्धांत शब्द का उपयोग|
 शब्द वर्ण के संबंधित भाव|वर्ण (गणित)}}
-गणित में, अधिक विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, [[समूह प्रतिनिधित्व]] का चरित्र [[समूह (गणित)]] पर फ़ंक्शन (गणित) है जो प्रत्येक समूह तत्व को संबंधित [[मैट्रिक्स (गणित)]] के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] से जोड़ता है। चरित्र अधिक संक्षिप्त रूप में प्रतिनिधित्व के बारे में आवश्यक जानकारी रखता है। [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] ने शुरू में [[परिमित समूह]]ों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को विकसित किया, जो पूरी तरह से पात्रों पर आधारित था, और स्वयं प्रतिनिधित्व के किसी भी स्पष्ट मैट्रिक्स अहसास के बिना। यह संभव है क्योंकि परिमित समूह का सम्मिश्र संख्या निरूपण उसके चरित्र द्वारा निर्धारित (समरूपता तक) होता है। सकारात्मक [[विशेषता (बीजगणित)]], तथाकथित मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व के [[क्षेत्र (गणित)]] पर प्रतिनिधित्व के साथ स्थिति अधिक नाजुक है, लेकिन [[रिचर्ड ब्राउर]] ने इस मामले में भी वर्णों का शक्तिशाली सिद्धांत विकसित किया है। परिमित समूहों की संरचना पर कई गहरे प्रमेय [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] के पात्रों का उपयोग करते हैं।
+गणित में, अधिक विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, [[समूह प्रतिनिधित्व]] का [[समूह (गणित)|वर्ण समूह (गणित)]] पर फलन (गणित) है जो प्रत्येक समूह तत्व को संबंधित [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह  (गणित)]] के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] से जोड़ता है। वर्ण अधिक संक्षिप्त रूप में प्रतिनिधित्व के बारे में आवश्यक जानकारी रखता है। [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] ने शुरू में [[परिमित समूह]]ों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को विकसित किया, जो पूरी तरह से पात्रों पर आधारित था, और स्वयं प्रतिनिधित्व के किसी भी स्पष्ट आव्यूह  अहसास के बिना। यह संभव है क्योंकि परिमित समूह का सम्मिश्र संख्या निरूपण उसके वर्ण द्वारा निर्धारित (समरूपता तक) होता है। सकारात्मक [[विशेषता (बीजगणित)]], तथाकथित मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व के [[क्षेत्र (गणित)]] पर प्रतिनिधित्व के साथ स्थिति अधिक नाजुक है, लेकिन [[रिचर्ड ब्राउर]] ने इस मामले में भी वर्णों का शक्तिशाली सिद्धांत विकसित किया है। परिमित समूहों की संरचना पर कई गहरे प्रमेय [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] के पात्रों का उपयोग करते हैं।
 == अनुप्रयोग ==
-अलघुकरणीय अभ्यावेदन के वर्ण समूह के कई महत्वपूर्ण गुणों को कूटबद्ध करते हैं और इस प्रकार इसका उपयोग इसकी संरचना का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में चरित्र सिद्धांत आवश्यक उपकरण है। फ़ीट-थॉम्पसन प्रमेय के [[गणितीय प्रमाण]] के आधे के करीब वर्ण मानों के साथ जटिल गणना शामिल है। आसान, लेकिन फिर भी आवश्यक, परिणाम जो चरित्र सिद्धांत का उपयोग करते हैं उनमें बर्नसाइड के प्रमेय शामिल हैं (बर्नसाइड के प्रमेय का विशुद्ध रूप से समूह-सैद्धांतिक प्रमाण तब से पाया गया है, लेकिन वह प्रमाण बर्नसाइड के मूल प्रमाण के आधी सदी बाद आया), और रिचर्ड ब्राउर का प्रमेय और मिचियो सुज़ुकी (गणितज्ञ) ने कहा कि परिमित सरल समूह में अपने सिलो प्रमेय के रूप में सामान्यीकृत चतुष्कोणीय समूह नहीं हो सकता है|साइलो {{math|2}}-उपसमूह।
+अलघुकरणीय अभ्यावेदन के वर्ण समूह के कई महत्वपूर्ण गुणों को कूटबद्ध करते हैं और इस प्रकार इसका उपयोग इसकी संरचना का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में वर्ण सिद्धांत आवश्यक उपकरण है। फ़ीट-थॉम्पसन प्रमेय के [[गणितीय प्रमाण]] के आधे के करीब वर्ण मानों के साथ जटिल गणना सम्मिलित है। आसान, लेकिन फिर भी आवश्यक, परिणाम जो वर्ण सिद्धांत का उपयोग करते हैं उनमें बर्नसाइड के प्रमेय सम्मिलित हैं (बर्नसाइड के प्रमेय का विशुद्ध रूप से समूह-सैद्धांतिक प्रमाण तब से पाया गया है, लेकिन वह प्रमाण बर्नसाइड के मूल प्रमाण के आधी सदी बाद आया), और रिचर्ड ब्राउर का प्रमेय और मिचियो सुज़ुकी (गणितज्ञ) ने कहा कि परिमित सरल समूह में अपने सिलो प्रमेय के रूप में सामान्यीकृत चतुष्कोणीय समूह नहीं हो सकता है|साइलो {{math|2}}-उपसमूह।
 == परिभाषाएँ ==
-होने देना {{mvar|V}} आयाम ([[सदिश स्थल]]) हो | क्षेत्र पर परिमित-आयामी वेक्टर स्थान (गणित) {{mvar|F}} और जाने {{math|''ρ'' : ''G'' → GL(''V'')}} किसी समूह का समूह प्रतिनिधित्व हो {{mvar|G}} पर {{mvar|V}}. का चरित्र {{mvar|ρ}} कार्य है {{math|''χ<sub>ρ</sub>'' : ''G'' → ''F''}} द्वारा दिए गए
+होने देना {{mvar|V}} आयाम ([[सदिश स्थल]]) हो | क्षेत्र पर परिमित-आयामी वेक्टर स्थान (गणित) {{mvar|F}} और जाने {{math|''ρ'' : ''G'' → GL(''V'')}} किसी समूह का समूह प्रतिनिधित्व हो {{mvar|G}} पर {{mvar|V}}. का वर्ण {{mvar|ρ}} कार्य है {{math|''χ<sub>ρ</sub>'' : ''G'' → ''F''}} द्वारा दिए गए
 :<math>\chi_{\rho}(g) = \operatorname{Tr}(\rho(g))</math>
 कहाँ {{math|Tr}} ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है।
-चरित्र {{math|''χ<sub>ρ</sub>''}} को इर्रिड्यूसिबल या सिंपल अगर कहा जाता है {{mvar|ρ}} अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है। चरित्र की डिग्री {{mvar|χ}} के प्रतिनिधित्व का आयाम है {{mvar|ρ}}; विशेषता शून्य में यह मान के बराबर है {{math|''χ''(1)}}. डिग्री 1 के वर्ण को रैखिक कहा जाता है। कब {{mvar|G}} परिमित है और {{mvar|F}} में विशेषता शून्य है, चरित्र का कर्नेल {{math|''χ<sub>ρ</sub>''}} [[सामान्य उपसमूह]] है:
+वर्ण {{math|''χ<sub>ρ</sub>''}} को इर्रिड्यूसिबल या सिंपल अगर कहा जाता है {{mvar|ρ}} अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है। वर्ण की डिग्री {{mvar|χ}} के प्रतिनिधित्व का आयाम है {{mvar|ρ}}; विशेषता शून्य में यह मान के बराबर है {{math|''χ''(1)}}. डिग्री 1 के वर्ण को रैखिक कहा जाता है। कब {{mvar|G}} परिमित है और {{mvar|F}} में विशेषता शून्य है, वर्ण का कर्नेल {{math|''χ<sub>ρ</sub>''}} [[सामान्य उपसमूह]] है:
 :<math>\ker \chi_\rho := \left \lbrace g \in G \mid \chi_{\rho}(g) = \chi_{\rho}(1) \right \rbrace, </math>
-जो वास्तव में प्रतिनिधित्व का मूल है {{mvar|ρ}}. हालाँकि, चरित्र सामान्य रूप से समूह समरूपता नहीं है।
+जो वास्तव में प्रतिनिधित्व का मूल है {{mvar|ρ}}. हालाँकि, वर्ण सामान्य रूप से समूह समरूपता नहीं है।
 == गुण ==
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 == कैरेक्टर टेबल्स ==
 {{Further|वर्ण तालिका}}
-परिमित समूह के अलघुकरणीय जटिल संख्या वर्ण वर्ण तालिका बनाते हैं जो समूह के बारे में बहुत उपयोगी जानकारी को कूटबद्ध करता है {{mvar|G}} कॉम्पैक्ट रूप में। प्रत्येक पंक्ति को अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व द्वारा लेबल किया जाता है और पंक्ति में प्रविष्टियाँ संबंधित संयुग्मी वर्ग पर प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं {{mvar|G}}. स्तंभों को (के प्रतिनिधियों) के संयुग्मन वर्गों द्वारा लेबल किया जाता है {{mvar|G}}. यह पहली पंक्ति को [[तुच्छ प्रतिनिधित्व]] के चरित्र द्वारा लेबल करने के लिए प्रथागत है, जो कि तुच्छ क्रिया है {{mvar|G}} द्वारा 1-आयामी सदिश स्थान पर <math> \rho(g)=1</math> सभी के लिए <math> g\in G </math>. पहली पंक्ति में प्रत्येक प्रविष्टि इसलिए 1 है। इसी तरह, पहले कॉलम को पहचान द्वारा लेबल करने की प्रथा है। इसलिए, पहले कॉलम में प्रत्येक अलघुकरणीय चरित्र की डिग्री होती है।
+परिमित समूह के अलघुकरणीय जटिल संख्या वर्ण वर्ण तालिका बनाते हैं जो समूह के बारे में बहुत उपयोगी जानकारी को कूटबद्ध करता है {{mvar|G}} कॉम्पैक्ट रूप में। प्रत्येक पंक्ति को अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व द्वारा लेबल किया जाता है और पंक्ति में प्रविष्टियाँ संबंधित संयुग्मी वर्ग पर प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं {{mvar|G}}. स्तंभों को (के प्रतिनिधियों) के संयुग्मन वर्गों द्वारा लेबल किया जाता है {{mvar|G}}. यह पहली पंक्ति को [[तुच्छ प्रतिनिधित्व]] के वर्ण द्वारा लेबल करने के लिए प्रथागत है, जो कि तुच्छ क्रिया है {{mvar|G}} द्वारा 1-आयामी सदिश स्थान पर <math> \rho(g)=1</math> सभी के लिए <math> g\in G </math>. पहली पंक्ति में प्रत्येक प्रविष्टि इसलिए 1 है। इसी तरह, पहले कॉलम को पहचान द्वारा लेबल करने की प्रथा है। इसलिए, पहले कॉलम में प्रत्येक अलघुकरणीय वर्ण की डिग्री होती है।
 यहाँ की वर्ण तालिका है
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 कहाँ {{mvar|ω}} [[एकता की आदिम जड़]] है, एकता की तीसरी जड़ है।
-चरित्र तालिका हमेशा वर्गाकार होती है, क्योंकि अलघुकरणीय अभ्यावेदन की संख्या संयुग्मन वर्गों की संख्या के बराबर होती है।<ref>Serre, §2.5</ref>
+वर्ण तालिका हमेशा वर्गाकार होती है, क्योंकि अलघुकरणीय अभ्यावेदन की संख्या संयुग्मन वर्गों की संख्या के बराबर होती है।<ref>Serre, §2.5</ref>
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 :<math>\left \langle \alpha, \beta\right \rangle := \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)}</math>
-कहाँ {{math|{{overline|''β''(''g'')}}}} का जटिल संयुग्म है {{math|''β''(''g'')}}. इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में, अप्रासंगिक वर्ण वर्ग-कार्यों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं, और यह चरित्र तालिका की पंक्तियों के लिए ऑर्थोगोनलिटी संबंध उत्पन्न करता है:
+कहाँ {{math|{{overline|''β''(''g'')}}}} का जटिल संयुग्म है {{math|''β''(''g'')}}. इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में, अप्रासंगिक वर्ण वर्ग-कार्यों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं, और यह वर्ण तालिका की पंक्तियों के लिए ऑर्थोगोनलिटी संबंध उत्पन्न करता है:
 :<math>\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle  = \begin{cases} 0 & \mbox{ if } i \ne j, \\ 1 & \mbox{ if } i = j. \end{cases}</math>
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 जहां योग सभी अप्रासंगिक वर्णों से अधिक है {{math|''χ<sub>i</sub>''}} का {{mvar|G}} और प्रतीक {{math|{{pipe}}''C<sub>G</sub>''(''g''){{pipe}}}} के [[केंद्रक]] के आदेश को दर्शाता है {{mvar|g}}. ध्यान दें कि जब से {{mvar|g}} और {{mvar|h}} संयुग्मित हैं यदि वे वर्ण तालिका के ही स्तंभ में हैं, इसका तात्पर्य है कि वर्ण तालिका के स्तंभ ओर्थोगोनल हैं।
-ऑर्थोगोनलिटी संबंध कई संगणनाओं में सहायता कर सकते हैं जिनमें शामिल हैं:
+ऑर्थोगोनलिटी संबंध कई संगणनाओं में सहायता कर सकते हैं जिनमें सम्मिलित हैं:
-* अलघुकरणीय वर्णों के रेखीय संयोजन के रूप में अज्ञात चरित्र को विघटित करना।
+* अलघुकरणीय वर्णों के रेखीय संयोजन के रूप में अज्ञात वर्ण को विघटित करना।
 * पूर्ण वर्ण तालिका का निर्माण जब केवल कुछ अलघुकरणीय वर्णों को जाना जाता है।
 * समूह के संयुग्मन वर्गों के प्रतिनिधियों के केंद्रीकरणकर्ताओं के आदेशों का पता लगाना।
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 समूह के कुछ गुण {{mvar|G}} इसकी वर्ण तालिका से निकाला जा सकता है:
-* के लिए {{mvar|G}} पहले कॉलम की प्रविष्टियों के वर्गों के योग द्वारा दिया जाता है (irreducible वर्णों की डिग्री)। (देखें परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत#शूर के लेम्मा को लागू करना।) अधिक आम तौर पर, किसी भी कॉलम में प्रविष्टियों के [[निरपेक्ष मूल्य]]ों के वर्गों का योग संगत संयुग्मन वर्ग के तत्व के केंद्रक का क्रम देता है।
+* के लिए {{mvar|G}} पहले कॉलम की प्रविष्टियों के वर्गों के योग द्वारा दिया जाता है (irreducible वर्णों की डिग्री)। (देखें परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत#शूर के लेम्मा को लागू करना।) अधिक सामान्यतः, किसी भी कॉलम में प्रविष्टियों के [[निरपेक्ष मूल्य]]ों के वर्गों का योग संगत संयुग्मन वर्ग के तत्व के केंद्रक का क्रम देता है।
-* के सभी सामान्य उपसमूह {{mvar|G}} (और इस प्रकार चाहे या नहीं {{mvar|G}} सरल है) इसकी वर्ण तालिका से पहचाना जा सकता है। चरित्र का [[कर्नेल (समूह सिद्धांत)]]। {{mvar|χ}} तत्वों का समूह है {{mvar|g}} में {{mvar|G}} जिसके लिए {{math|''χ''(''g'') {{=}} ''χ''(1)}}; यह का सामान्य उपसमूह है {{mvar|G}}. का प्रत्येक सामान्य उपसमूह {{mvar|G}} के कुछ अप्रासंगिक वर्णों की गुठली का प्रतिच्छेदन है {{mvar|G}}.
+* के सभी सामान्य उपसमूह {{mvar|G}} (और इस प्रकार चाहे या नहीं {{mvar|G}} सरल है) इसकी वर्ण तालिका से पहचाना जा सकता है। वर्ण का [[कर्नेल (समूह सिद्धांत)]]। {{mvar|χ}} तत्वों का समूह है {{mvar|g}} में {{mvar|G}} जिसके लिए {{math|''χ''(''g'') {{=}} ''χ''(1)}}; यह का सामान्य उपसमूह है {{mvar|G}}. का प्रत्येक सामान्य उपसमूह {{mvar|G}} के कुछ अप्रासंगिक वर्णों की गुठली का प्रतिच्छेदन है {{mvar|G}}.
 * का [[कम्यूटेटर उपसमूह]] {{mvar|G}} के रैखिक वर्णों की गुठली का प्रतिच्छेदन है {{mvar|G}}.
-*अगर {{mvar|G}} परिमित है, तब चूँकि वर्ण तालिका वर्गाकार है और इसमें संयुग्मन वर्गों के रूप में कई पंक्तियाँ हैं, यह इस प्रकार है {{mvar|G}} [[एबेलियन समूह]] है यदि प्रत्येक संयुग्मन वर्ग सिंगलटन है यदि वर्ण तालिका {{mvar|G}} है <math>|G| \!\times\! |G|</math> iff प्रत्येक अलघुकरणीय चरित्र रैखिक है।
+*अगर {{mvar|G}} परिमित है, तब चूँकि वर्ण तालिका वर्गाकार है और इसमें संयुग्मन वर्गों के रूप में कई पंक्तियाँ हैं, यह इस प्रकार है {{mvar|G}} [[एबेलियन समूह]] है यदि प्रत्येक संयुग्मन वर्ग सिंगलटन है यदि वर्ण तालिका {{mvar|G}} है <math>|G| \!\times\! |G|</math> iff प्रत्येक अलघुकरणीय वर्ण रैखिक है।
 * यह निम्नानुसार है, मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत से रिचर्ड ब्राउर के कुछ परिणामों का उपयोग करते हुए, कि परिमित समूह के प्रत्येक संयुग्मी वर्ग के तत्वों के आदेशों के प्रमुख विभाजक को इसकी वर्ण तालिका ([[ग्राहम हिगमैन]] का अवलोकन) से घटाया जा सकता है।
-चरित्र तालिका सामान्य रूप से [[समूह समरूपता]] [[तक]] समूह को निर्धारित नहीं करती है: उदाहरण के लिए, [[चतुर्धातुक समूह]] {{mvar|Q}} और का [[डायहेड्रल समूह]] {{math|8}} तत्व, {{math|''D''<sub>4</sub>}}, समान वर्ण तालिका है। ब्राउर ने पूछा कि क्या चरित्र तालिका, इसके संयुग्मन वर्गों के तत्वों की शक्तियों को कैसे वितरित किया जाता है, इसके ज्ञान के साथ, समरूपता तक परिमित समूह निर्धारित करता है। 1964 में, इसका उत्तर ई.सी. डेड ने नकारात्मक में दिया।
+वर्ण तालिका सामान्य रूप से [[समूह समरूपता]] [[तक]] समूह को निर्धारित नहीं करती है: उदाहरण के लिए, [[चतुर्धातुक समूह]] {{mvar|Q}} और का [[डायहेड्रल समूह]] {{math|8}} तत्व, {{math|''D''<sub>4</sub>}}, समान वर्ण तालिका है। ब्राउर ने पूछा कि क्या वर्ण तालिका, इसके संयुग्मन वर्गों के तत्वों की शक्तियों को कैसे वितरित किया जाता है, इसके ज्ञान के साथ, समरूपता तक परिमित समूह निर्धारित करता है। 1964 में, इसका उत्तर ई.सी. डेड ने नकारात्मक में दिया।
 का रैखिक प्रतिनिधित्व {{mvar|G}} स्वयं टेंसर उत्पाद के तहत समूह हैं, क्योंकि 1-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद फिर से 1-आयामी है। यानी अगर <math>\rho_1:G\to V_1</math> और <math> \rho_2:G\to V_2</math> रैखिक प्रतिनिधित्व हैं, फिर <math> \rho_1\otimes\rho_2 (g)=(\rho_1(g)\otimes\rho_2(g))</math> नया रैखिक प्रतिनिधित्व परिभाषित करता है। यह ऑपरेशन के तहत वर्ण समूह नामक रैखिक वर्णों के समूह को जन्म देता है <math> [\chi_1*\chi_2](g)=\chi_1(g)\chi_2(g)</math>. यह समूह डिरिचलेट पात्रों और [[फूरियर विश्लेषण]] से जुड़ा है।
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 == प्रेरित पात्र और फ्रोबेनियस पारस्परिकता ==
 {{main|प्रेरित वर्ण|फ्रोबेनियस पारस्परिकता}}
-इस खंड में चर्चा किए गए पात्रों को जटिल-मूल्यवान माना जाता है। होने देना {{mvar|H}} परिमित समूह का उपसमूह हो {{mvar|G}}. पात्र दिया {{mvar|χ}} का {{mvar|G}}, होने देना {{math|''χ<sub>H</sub>''}} इसके प्रतिबंध को निरूपित करें {{mvar|H}}. होने देना {{mvar|θ}} का पात्र हो {{mvar|H}}. [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] ने दिखाया कि चरित्र का निर्माण कैसे किया जाता है {{mvar|G}} से {{mvar|θ}}, जिसे अब [[फ्रोबेनियस पारस्परिकता]] के रूप में जाना जाता है। के अलघुकरणीय पात्रों के बाद से {{mvar|G}} के जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं {{mvar|G}}, अद्वितीय वर्ग कार्य है {{math|''θ<sup>G</sup>''}} का {{mvar|G}} उस संपत्ति के साथ
+इस खंड में चर्चा किए गए पात्रों को जटिल-मूल्यवान माना जाता है। होने देना {{mvar|H}} परिमित समूह का उपसमूह हो {{mvar|G}}. पात्र दिया {{mvar|χ}} का {{mvar|G}}, होने देना {{math|''χ<sub>H</sub>''}} इसके प्रतिबंध को निरूपित करें {{mvar|H}}. होने देना {{mvar|θ}} का पात्र हो {{mvar|H}}. [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] ने दिखाया कि वर्ण का निर्माण कैसे किया जाता है {{mvar|G}} से {{mvar|θ}}, जिसे अब [[फ्रोबेनियस पारस्परिकता]] के रूप में जाना जाता है। के अलघुकरणीय पात्रों के बाद से {{mvar|G}} के जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं {{mvar|G}}, अद्वितीय वर्ग कार्य है {{math|''θ<sup>G</sup>''}} का {{mvar|G}} उस संपत्ति के साथ
 :<math> \langle \theta^{G}, \chi \rangle_G = \langle \theta,\chi_H \rangle_H </math>
-प्रत्येक अपूरणीय चरित्र के लिए {{mvar|χ}} का {{mvar|G}} (बाएं सबसे आंतरिक उत्पाद के वर्ग कार्यों के लिए है {{mvar|G}} और सबसे दाहिने आंतरिक उत्पाद के वर्ग कार्यों के लिए है {{mvar|H}}). के चरित्र के प्रतिबंध के बाद से {{mvar|G}} उपसमूह के लिए {{mvar|H}} फिर से चरित्र है {{mvar|H}}, यह परिभाषा यह स्पष्ट करती है कि {{math|''θ<sup>G</sup>''}} के अलघुकरणीय वर्णों का गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] संयोजन है {{mvar|G}}, तो वास्तव में का चरित्र है {{mvar|G}}. के चरित्र के रूप में जाना जाता है {{mvar|G}} से प्रेरित {{mvar|θ}}. फ्रोबेनियस पारस्परिकता के परिभाषित सूत्र को सामान्य जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है।
+प्रत्येक अपूरणीय वर्ण के लिए {{mvar|χ}} का {{mvar|G}} (बाएं सबसे आंतरिक उत्पाद के वर्ग कार्यों के लिए है {{mvar|G}} और सबसे दाहिने आंतरिक उत्पाद के वर्ग कार्यों के लिए है {{mvar|H}}). के वर्ण के प्रतिबंध के बाद से {{mvar|G}} उपसमूह के लिए {{mvar|H}} फिर से वर्ण है {{mvar|H}}, यह परिभाषा यह स्पष्ट करती है कि {{math|''θ<sup>G</sup>''}} के अलघुकरणीय वर्णों का गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] संयोजन है {{mvar|G}}, तो वास्तव में का वर्ण है {{mvar|G}}. के वर्ण के रूप में जाना जाता है {{mvar|G}} से प्रेरित {{mvar|θ}}. फ्रोबेनियस पारस्परिकता के परिभाषित सूत्र को सामान्य जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है।
-मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व दिया {{mvar|ρ}} का {{mvar|H}}, फ्रोबेनियस ने बाद में मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के निर्माण के लिए स्पष्ट तरीका दिया {{mvar|G}}, प्रतिनिधित्व [[प्रेरित प्रतिनिधित्व]] के रूप में जाना जाता है {{mvar|ρ}}, और समान रूप से लिखा गया है {{math|''ρ<sup>G</sup>''}}. इससे प्रेरित चरित्र का वैकल्पिक वर्णन हुआ {{math|''θ<sup>G</sup>''}}. यह प्रेरित चरित्र के सभी तत्वों पर गायब हो जाता है {{mvar|G}} जो किसी भी तत्व के संयुग्मी नहीं हैं {{mvar|H}}. चूंकि प्रेरित चरित्र का वर्ग कार्य है {{mvar|G}}, के तत्वों पर इसके मूल्यों का वर्णन करना अब केवल आवश्यक है {{mvar|H}}. अगर कोई लिखता है {{mvar|G}} के सही सहसमूहों के असंयुक्त संघ के रूप में {{mvar|H}}, कहना
+आव्यूह  प्रतिनिधित्व दिया {{mvar|ρ}} का {{mvar|H}}, फ्रोबेनियस ने बाद में आव्यूह  प्रतिनिधित्व के निर्माण के लिए स्पष्ट तरीका दिया {{mvar|G}}, प्रतिनिधित्व [[प्रेरित प्रतिनिधित्व]] के रूप में जाना जाता है {{mvar|ρ}}, और समान रूप से लिखा गया है {{math|''ρ<sup>G</sup>''}}. इससे प्रेरित वर्ण का वैकल्पिक वर्णन हुआ {{math|''θ<sup>G</sup>''}}. यह प्रेरित वर्ण के सभी तत्वों पर गायब हो जाता है {{mvar|G}} जो किसी भी तत्व के संयुग्मी नहीं हैं {{mvar|H}}. चूंकि प्रेरित वर्ण का वर्ग कार्य है {{mvar|G}}, के तत्वों पर इसके मूल्यों का वर्णन करना अब केवल आवश्यक है {{mvar|H}}. अगर कोई लिखता है {{mvar|G}} के सही सहसमूहों के असंयुक्त संघ के रूप में {{mvar|H}}, कहना
 :<math>G = Ht_1 \cup \ldots \cup Ht_n,</math>
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 क्योंकि {{mvar|θ}} का क्लास फंक्शन है {{mvar|H}}, यह मान कोसेट प्रतिनिधियों की विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करता है।
-प्रेरित चरित्र का यह वैकल्पिक विवरण कभी-कभी एम्बेडिंग के बारे में अपेक्षाकृत कम जानकारी से स्पष्ट गणना की अनुमति देता है {{mvar|H}} में {{mvar|G}}, और विशेष वर्ण तालिकाओं की गणना के लिए अक्सर उपयोगी होता है। कब {{mvar|θ}} का तुच्छ चरित्र है {{mvar|H}}, प्राप्त प्रेरित चरित्र को क्रमचय चरित्र के रूप में जाना जाता है {{mvar|G}} (कोसेट्स पर {{mvar|H}}).
+प्रेरित वर्ण का यह वैकल्पिक विवरण कभी-कभी एम्बेडिंग के बारे में अपेक्षाकृत कम जानकारी से स्पष्ट गणना की अनुमति देता है {{mvar|H}} में {{mvar|G}}, और विशेष वर्ण तालिकाओं की गणना के लिए प्रायः उपयोगी होता है। कब {{mvar|θ}} का तुच्छ वर्ण है {{mvar|H}}, प्राप्त प्रेरित वर्ण को क्रमचय वर्ण के रूप में जाना जाता है {{mvar|G}} (कोसेट्स पर {{mvar|H}}).
 कैरेक्टर इंडक्शन की सामान्य तकनीक और बाद में परिशोधन ने [[एमिल आर्टिन]], रिचर्ड ब्राउर, [[वाल्टर फीट]] और मिचियो सुजुकी (गणितज्ञ) जैसे गणितज्ञों के साथ-साथ खुद फ्रोबेनियस के हाथों में Group_theory#Finite_group_theory और गणित में कहीं और कई अनुप्रयोगों को पाया।
 == मैकी अपघटन ==
-मैकी अपघटन को लाइ समूहों के संदर्भ में जी मैके द्वारा परिभाषित और खोजा गया था, लेकिन चरित्र सिद्धांत और परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में शक्तिशाली उपकरण है। इसका मूल रूप उपसमूह से प्रेरित चरित्र (या मॉड्यूल) के तरीके से संबंधित है {{mvar|H}} परिमित समूह का {{mvar|G}} (संभावित रूप से अलग) उपसमूह पर प्रतिबंध पर व्यवहार करता है {{mvar|K}} का {{mvar|G}}, और के अपघटन का उपयोग करता है {{mvar|G}} में {{math|(''H'', ''K'')}}-डबल कोसेट।
+मैकी अपघटन को लाइ समूहों के संदर्भ में जी मैके द्वारा परिभाषित और खोजा गया था, लेकिन वर्ण सिद्धांत और परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में शक्तिशाली उपकरण है। इसका मूल रूप उपसमूह से प्रेरित वर्ण (या मॉड्यूल) के तरीके से संबंधित है {{mvar|H}} परिमित समूह का {{mvar|G}} (संभावित रूप से अलग) उपसमूह पर प्रतिबंध पर व्यवहार करता है {{mvar|K}} का {{mvar|G}}, और के अपघटन का उपयोग करता है {{mvar|G}} में {{math|(''H'', ''K'')}}-डबल कोसेट।
 अगर <math display="inline"> G = \bigcup_{t \in T} HtK </math> अलग संघ है, और {{mvar|θ}} का जटिल वर्ग कार्य है {{mvar|H}}, तब मैके का सूत्र बताता है कि
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 &= \sum_{t \in T} \left \langle \left(\theta^{t} \right)_{t^{-1}Ht \cap K},\psi_{t^{-1}Ht \cap K} \right \rangle,
 \end{align}</math>
-(कहाँ {{mvar|T}} का पूरा सेट है {{math|(''H'', ''K'')}}-डबल कोसेट प्रतिनिधि, पहले की तरह)। यह सूत्र अक्सर तब प्रयोग किया जाता है जब {{mvar|θ}} और {{mvar|ψ}} रेखीय वर्ण हैं, जिस स्थिति में दाहिने हाथ में दिखाई देने वाले सभी आंतरिक गुणनफल या तो होते हैं {{math|1}} या {{math|0}}, रैखिक वर्ण हैं या नहीं, इस पर निर्भर करता है {{math|''θ<sup>t</sup>''}} और {{mvar|ψ}} पर समान प्रतिबंध है {{math|''t''<sup>−1</sup>''Ht'' ∩ ''K''}}. अगर {{mvar|θ}} और {{mvar|ψ}} दोनों तुच्छ पात्र हैं, तो आंतरिक उत्पाद सरल हो जाता है {{math|{{pipe}}''T''{{pipe}}}}.
+(कहाँ {{mvar|T}} का पूरा सेट है {{math|(''H'', ''K'')}}-डबल कोसेट प्रतिनिधि, पहले की तरह)। यह सूत्र प्रायः तब प्रयोग किया जाता है जब {{mvar|θ}} और {{mvar|ψ}} रेखीय वर्ण हैं, जिस स्थिति में दाहिने हाथ में दिखाई देने वाले सभी आंतरिक गुणनफल या तो होते हैं {{math|1}} या {{math|0}}, रैखिक वर्ण हैं या नहीं, इस पर निर्भर करता है {{math|''θ<sup>t</sup>''}} और {{mvar|ψ}} पर समान प्रतिबंध है {{math|''t''<sup>−1</sup>''Ht'' ∩ ''K''}}. अगर {{mvar|θ}} और {{mvar|ψ}} दोनों तुच्छ पात्र हैं, तो आंतरिक उत्पाद सरल हो जाता है {{math|{{pipe}}''T''{{pipe}}}}.
 == मुड़ा हुआ आयाम ==
-कोई प्रतिनिधित्व के चरित्र को मुड़ आयाम (वेक्टर स्पेस) के रूप में व्याख्या कर सकता है।<ref name="Gannon">{{Harv|Gannon|2006}}</ref> चरित्र को समूह के तत्वों के कार्य के रूप में मानना {{math|''χ''(''g'')}}, [[पहचान तत्व]] पर इसका मान अंतरिक्ष का आयाम है, क्योंकि {{math|''χ''(1) {{=}} Tr(''ρ''(1)) {{=}} Tr(''I<sub>V</sub>'') {{=}} dim(''V'')}}. तदनुसार, चरित्र के अन्य मूल्यों को मुड़ आयामों के रूप में देखा जा सकता है।{{clarify|date=June 2011|reason=recursive definition}}
+कोई प्रतिनिधित्व के वर्ण को मुड़ आयाम (वेक्टर स्पेस) के रूप में व्याख्या कर सकता है।<ref name="Gannon">{{Harv|Gannon|2006}}</ref> वर्ण को समूह के तत्वों के कार्य के रूप में मानना {{math|''χ''(''g'')}}, [[पहचान तत्व]] पर इसका मान अंतरिक्ष का आयाम है, क्योंकि {{math|''χ''(1) {{=}} Tr(''ρ''(1)) {{=}} Tr(''I<sub>V</sub>'') {{=}} dim(''V'')}}. तदनुसार, वर्ण के अन्य मूल्यों को मुड़ आयामों के रूप में देखा जा सकता है।{{clarify|date=June 2011|reason=recursive definition}}
-पात्रों या अभ्यावेदन के बारे में बयानों के आयाम के बारे में बयानों के अनुरूप या सामान्यीकरण पा सकते हैं। इसका परिष्कृत उदाहरण [[राक्षसी चन्द्रमा]] के सिद्धांत में पाया जाता है: जे-इनवेरिएंट |{{mvar|j}}-इनवेरिएंट [[राक्षस समूह]] के अनंत-आयामी वर्गीकृत प्रतिनिधित्व का [[वर्गीकृत आयाम]] है, और चरित्र के साथ आयाम को बदलकर राक्षस समूह के प्रत्येक तत्व के लिए मैके-थॉम्पसन श्रृंखला देता है।<ref name="Gannon" />
+पात्रों या अभ्यावेदन के बारे में बयानों के आयाम के बारे में बयानों के अनुरूप या सामान्यीकरण पा सकते हैं। इसका परिष्कृत उदाहरण [[राक्षसी चन्द्रमा]] के सिद्धांत में पाया जाता है: जे-इनवेरिएंट |{{mvar|j}}-इनवेरिएंट [[राक्षस समूह]] के अनंत-आयामी वर्गीकृत प्रतिनिधित्व का [[वर्गीकृत आयाम]] है, और वर्ण के साथ आयाम को बदलकर राक्षस समूह के प्रत्येक तत्व के लिए मैके-थॉम्पसन श्रृंखला देता है।<ref name="Gannon" />
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 {{See also|वेइल वर्ण सूत्र|बीजगणितीय वर्ण}}
-अगर <math>G</math> झूठ समूह है और <math>\rho</math> का परिमित आयामी प्रतिनिधित्व <math>G</math>, चरित्र <math>\chi_\rho</math> का <math>\rho</math> किसी भी समूह के लिए सटीक रूप से परिभाषित किया गया है
+अगर <math>G</math> झूठ समूह है और <math>\rho</math> का परिमित आयामी प्रतिनिधित्व <math>G</math>, वर्ण <math>\chi_\rho</math> का <math>\rho</math> किसी भी समूह के लिए सटीक रूप से परिभाषित किया गया है
 :<math>\chi_\rho(g)=\operatorname{Tr}(\rho(g))</math>.
-इस बीच अगर <math>\mathfrak g</math> [[झूठ बीजगणित]] है और <math>\rho</math> का परिमित आयामी प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak g</math>, हम चरित्र को परिभाषित कर सकते हैं <math>\chi_\rho</math> द्वारा
+इस बीच अगर <math>\mathfrak g</math> [[झूठ बीजगणित]] है और <math>\rho</math> का परिमित आयामी प्रतिनिधित्व <math>\mathfrak g</math>, हम वर्ण को परिभाषित कर सकते हैं <math>\chi_\rho</math> द्वारा
 :<math>\chi_\rho(X)=\operatorname{Tr}(e^{\rho(X)})</math>.
-चरित्र से संतोष होगा <math>\chi_\rho(\operatorname{Ad}_g(X))=\chi_\rho(X)</math> सभी के लिए <math>g</math> संबद्ध झूठ समूह में <math> G</math> और सभी <math>X\in\mathfrak g</math>. यदि हमारे पास लाई समूह प्रतिनिधित्व और संबद्ध लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व है, तो चरित्र <math>\chi_\rho</math> झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व का चरित्र से संबंधित है <math>\Chi_\rho</math> सूत्र द्वारा समूह प्रतिनिधित्व का
+वर्ण से संतोष होगा <math>\chi_\rho(\operatorname{Ad}_g(X))=\chi_\rho(X)</math> सभी के लिए <math>g</math> संबद्ध झूठ समूह में <math> G</math> और सभी <math>X\in\mathfrak g</math>. यदि हमारे पास लाई समूह प्रतिनिधित्व और संबद्ध लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व है, तो वर्ण <math>\chi_\rho</math> झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व का वर्ण से संबंधित है <math>\Chi_\rho</math> सूत्र द्वारा समूह प्रतिनिधित्व का
 :<math>\chi_\rho(X)=\Chi_\rho(e^X)</math>.
-मान लीजिए कि अब <math>\mathfrak g</math> कार्टन सबलजेब्रा के साथ जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित है <math>\mathfrak h</math>. चरित्र का मूल्य <math>\chi_\rho</math> अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की <math>\rho</math> का <math>\mathfrak g</math> पर इसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>\mathfrak h</math>. चरित्र का प्रतिबंध <math>\mathfrak h</math> वज़न स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) के संदर्भ में आसानी से गणना की जा सकती है, इस प्रकार है:
+मान लीजिए कि अब <math>\mathfrak g</math> कार्टन सबलजेब्रा के साथ जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित है <math>\mathfrak h</math>. वर्ण का मूल्य <math>\chi_\rho</math> अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की <math>\rho</math> का <math>\mathfrak g</math> पर इसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>\mathfrak h</math>. वर्ण का प्रतिबंध <math>\mathfrak h</math> वज़न स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) के संदर्भ में आसानी से गणना की जा सकती है, इस प्रकार है:
 :<math>\chi_\rho(H) = \sum_\lambda m_\lambda e^{\lambda(H)},\quad H\in\mathfrak h</math>,
 जहां योग सभी वजन से अधिक है (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) <math>\lambda</math> का <math>\rho</math> और कहाँ <math>m_\lambda</math> की बहुलता है <math>\lambda</math>.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Proposition 10.12</ref>
-(प्रतिबंध <math>\mathfrak h</math> of) चरित्र की गणना वेइल वर्ण सूत्र द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से की जा सकती है।
+(प्रतिबंध <math>\mathfrak h</math> of) वर्ण की गणना वेइल वर्ण सूत्र द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से की जा सकती है।
 == यह भी देखें ==
 *{{slink|अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व|सैद्धांतिक भौतिकी और रसायन विज्ञान में अनुप्रयोग}}
-* [[संघ योजना]]एँ, समूह-चरित्र सिद्धांत का संयुक्त सामान्यीकरण।
+* [[संघ योजना]]एँ, समूह-वर्ण सिद्धांत का संयुक्त सामान्यीकरण।
-* [[क्लिफर्ड सिद्धांत]], 1937 में ए. एच. क्लिफर्ड द्वारा पेश किया गया, परिमित समूह के जटिल इरेड्यूसिबल चरित्र के प्रतिबंध के बारे में जानकारी देता है {{mvar|G}} सामान्य उपसमूह के लिए {{mvar|N}}.
+* [[क्लिफर्ड सिद्धांत]], 1937 में ए. एच. क्लिफर्ड द्वारा पेश किया गया, परिमित समूह के जटिल इरेड्यूसिबल वर्ण के प्रतिबंध के बारे में जानकारी देता है {{mvar|G}} सामान्य उपसमूह के लिए {{mvar|N}}.
 * [[फ्रोबेनियस सूत्र]]
 * [[वास्तविक तत्व]], समूह तत्व g जैसे कि χ(g) सभी वर्णों χ के लिए वास्तविक संख्या है

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