इंस्टेंटॉन

The dx¹⊗σ₃ coefficient of a BPST instanton on the (x¹,x²)-slice of R⁴ where σ₃ is the third Pauli matrix (top left). The dx²⊗σ₃ coefficient (top right). These coefficients determine the restriction of the BPST instanton A with g=2,ρ=1,z=0 to this slice. The corresponding field strength centered around z=0 (bottom left). A visual representation of the field strength of a BPST instanton with center z on the compactification S⁴ of R⁴ (bottom right). The BPST instanton is a classical instanton solution to the Yang–Mills equations on R⁴.

इंस्टेंटॉन (या प्यूडोपार्टिकल) एक ऐसी धारणा है, जो भौतिकीय और गणितीय भौतिकी में प्रकट होती है। एक इंस्टेंटॉन क्वांटम यांत्रिकी या क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत में एक वर्तमान समाधान है, जो एक अंतिम, गैर-शून्य क्रिया के साथ समीक्षा जाने वाले समीकरणों के लिए होता है। अधिक ठीक तौर पर, यह यूक्लिडीन समय-स्थान पर पारम्परिक क्षेत्र सिद्धांत के समीकरणों का एक समाधान है।

इस तरह के क्वांटम सिद्धांतों में, चलती वेग में समानता के मानकों के लिए समीकरणों के हल को सोचा जा सकता है। महत्वपूर्ण बिंदु ऐक्शन के अधीन होते हैं और इन्हें स्थानीय अधिकतम, स्थानीय न्यूनतम या सैडल बिंदु कहा जा सकता है। इंस्टेंटों क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में महत्वपूर्ण होते हैं, क्योंकि:

• वे एक प्रणाली के शास्त्रीय व्यवहार के लिए अग्रणी क्वांटम सुधार के रूप में कार्यात्मक एकीकरण में दिखाई देते हैं, और
• उनका उपयोग यांग-मिल्स सिद्धांत जैसे विभिन्न प्रणालियों में टनलिंग व्यवहार का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

गतिविज्ञान से संबंधित, तत्वों के परिवारों में इंस्टैंटन का प्रयोग इंस्टैंटन को, अर्थात गति के समीकरण के विभिन्न महत्वपूर्ण स्थानों को एक दूसरे से संबंधित करने की अनुमति देता है। भौतिक विज्ञान में इंस्टैंटन विशेष रूप से महत्वपूर्ण होते हैं क्योंकि इंस्टैंटनों के जमावट (और ध्वनि उत्पन्न विरोधाभासी इंस्टैंटन) का विवरण ध्वनि-उत्पन्न अस्थिर चरण के रूप में जाना जाता है, जिसे स्वयं-संगठित गंभीर चरण के नाम से जाना जाता है।

गणित

गणितीय रूप से, एक यांग-मिल्स इंस्टेंटन एक चार-आयामी रीमैनियन कई गुना पर एक प्रमुख बंडल में एक आत्म-दोहरी या विरोधी-आत्म-दोहरी कनेक्शन (गणित) है जो गैर-अबेलियन समूह में भौतिक स्थान-समय की भूमिका निभाता है। गैर- एबेलियन गेज सिद्धांत। इंस्टेंटन यांग-मिल्स समीकरणों के स्थलीय रूप से गैर-तुच्छ समाधान हैं जो उनके सामयिक प्रकार के भीतर कार्यात्मक ऊर्जा को बिल्कुल कम करते हैं। इस तरह के पहले समाधान चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले में खोजे गए थे जो कि अति क्षेत्र | चार-आयामी क्षेत्र के लिए संकुचित हो गए थे, और अंतरिक्ष-समय में स्थानीयकृत हो गए थे, जिससे स्यूडोपार्टिकल और इंस्टेंटन नाम दिए गए थे।

कई मामलों में यांग-मिल्स इंस्टेंटन स्पष्ट रूप से ट्विस्टर सिद्धांत के माध्यम से निर्मित किए गए हैं, जो उन्हें बीजगणितीय सतहों पर बीजगणितीय वेक्टर बंडलों से संबंधित करता है, और एडीएचएम निर्माण, या हाइपरकेहलर कमी (हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड देखें), एक परिष्कृत रैखिक बीजगणित प्रक्रिया के माध्यम से। साइमन डोनाल्डसन का अभूतपूर्व कार्य, जिसके लिए उन्हें बाद में फील्ड मेडल से सम्मानित किया गया था, ने यांग-मिल्स समीकरणों का उपयोग किया # यांग-मिल्स कनेक्शनों के मोडुली स्पेस को दिए गए चार-आयामी अलग-अलग मैनिफोल्ड पर मैनिफोल्ड के एक नए आविष्कार के रूप में जो इसके आधार पर निर्भर करता है अलग-अलग संरचना और इसे होमियोमोर्फिज्म के निर्माण के लिए लागू किया गया था, लेकिन डिफियोमोर्फिज्म चार-कई गुना नहीं। इंस्टेंटन के अध्ययन में विकसित कई विधियों को 'टी हूफ्ट-पोल्याकोव मोनोपोल' पर भी लागू किया गया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यांग-मिल्स समीकरणों की एक आयामी कमी के समाधान के रूप में चुंबकीय मोनोपोल उत्पन्न होते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी

एक संभावित बाधा के माध्यम से एक क्वांटम मैकेनिकल कण टनलिंग के लिए संक्रमण की संभावना की गणना करने के लिए एक इंस्टेंटन का उपयोग किया जा सकता है। तत्काल प्रभाव वाली प्रणाली का एक उदाहरण डबल-वेल क्षमता में एक कण है। शास्त्रीय कण के विपरीत, एक गैर-लुप्त होने की संभावना है कि यह अपनी ऊर्जा से अधिक संभावित ऊर्जा के क्षेत्र को पार करता है।

तत्काल विचार करने की प्रेरणा

डबल-वेल पोटेंशियल के अंदर एकल कण गति के क्वांटम यांत्रिकी पर विचार करें $V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.$ स्थितिज ऊर्जा का न्यूनतम मान होता है $x=\pm 1$, और इन्हें शास्त्रीय मिनिमा कहा जाता है क्योंकि शास्त्रीय यांत्रिकी में कण उनमें से एक में झूठ बोलते हैं। शास्त्रीय यांत्रिकी में दो निम्नतम ऊर्जा अवस्थाएँ हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, हम श्रोडिंगर समीकरण को हल करते हैं

$-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi +V(x)\psi (x)=E\psi (x),$

ऊर्जा eigenstates की पहचान करने के लिए। यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें दो अवस्थाओं के अतिरिक्त केवल अद्वितीय न्यूनतम-ऊर्जा अवस्था मिलेगी। ग्राउंड-स्टेट तरंग फलन दोनों पारम्परिक मिनीमा पर स्थानीयकृत होता है $x=\pm 1$ क्वांटम हस्तक्षेप या क्वांटम टनलिंग के कारण उनमें से केवल एक के अतिरिक्त।

इंस्टेंटन यह समझने के लिए उपकरण हैं कि यूक्लिडियन समय में पथ-अभिन्न सूत्रीकरण के अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन के भीतर ऐसा क्यों होता है। हम इसे पहले WKB सन्निकटन का उपयोग करके देखेंगे जो तरंग फलन की लगभग गणना करता है, और पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करके इंस्टेंटॉन को प्रस्तुत करने के लिए आगे बढ़ेगा।

WKB सन्निकटन

इस संभावना की गणना करने का एक तरीका अर्ध-शास्त्रीय WKB सन्निकटन के माध्यम से है, जिसके लिए मूल्य की आवश्यकता होती है $\hbar$ छोटा होना। श्रोडिंगर समीकरण#समय-स्वतंत्र समीकरण|कण के लिए समय स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पढ़ता है

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .$

यदि क्षमता स्थिर होती, तो समाधान आनुपातिकता कारक तक एक समतल तरंग होता,

$\psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,$

साथ

$k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}{\hbar }}.$

इसका तात्पर्य यह है कि यदि कण की ऊर्जा संभावित ऊर्जा से कम है, तो एक घातीय रूप से घटते कार्य को प्राप्त करता है। संबंधित टनलिंग आयाम आनुपातिक है

$e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},$

जहां ए और बी टनलिंग प्रक्षेपवक्र की शुरुआत और अंत बिंदु हैं।

तत्काल के माध्यम से पथ अभिन्न व्याख्या

वैकल्पिक रूप से, पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग तत्काल व्याख्या की अनुमति देता है और इस दृष्टिकोण के साथ एक ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है। पथ अभिन्न सूत्रीकरण में, संक्रमण आयाम को व्यक्त किया जा सकता है

$K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.$

यूक्लिडियन स्पेसटाइम के लिए बाती का घूमना (विश्लेषणात्मक निरंतरता) की प्रक्रिया के बाद ($it\rightarrow \tau$), मिलता है

$K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},$

यूक्लिडियन कार्रवाई के साथ

$S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .$

संभावित ऊर्जा परिवर्तन संकेत $V(x)\rightarrow -V(x)$ विक रोटेशन के तहत और मिनिमा मैक्सिमा में बदल जाती है, जिससे $V(x)$ अधिकतम ऊर्जा की दो पहाड़ियों को प्रदर्शित करता है।

आइए अब हम यूक्लिडियन क्रिया के स्थानीय न्यूनतम पर विचार करें $S_{E}$ डबल-वेल क्षमता के साथ $V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}$, और हम सेट करते हैं $m=1$ सिर्फ गणना की सादगी के लिए। चूँकि हम जानना चाहते हैं कि कैसे दो शास्त्रीय रूप से निम्नतम ऊर्जा अवस्थाएँ हैं $x=\pm 1$ जुड़े हुए हैं, आइए सेट करें $a=-1$ और $b=1$. के लिए $a=-1$ और $b=1$, हम यूक्लिडियन क्रिया को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं

$S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}$

$\quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).$

$\quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.$

उपरोक्त असमानता के समाधान से संतृप्त है ${dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}$ शर्त के साथ $x(\tau _{a})=-1$ और $x(\tau _{b})=1$. ऐसे समाधान मौजूद हैं, और जब समाधान सरल रूप लेता है $\tau _{a}=-\infty$ और $\tau _{b}=\infty$. तत्काल समाधान के लिए स्पष्ट सूत्र द्वारा दिया गया है

$x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).$

यहाँ $\tau _{0}$ एक मनमाना स्थिरांक है। चूंकि यह समाधान एक पारम्परिक वैक्यूम से कूदता है $x=-1$ दूसरे शास्त्रीय निर्वात के लिए $x=1$ तुरंत चारों ओर $\tau =\tau _{0}$, इसे इंस्टेंटन कहा जाता है।

=== डबल-वेल पोटेंशियल === के लिए स्पष्ट सूत्र

मुलर-कर्स्टन द्वारा डबल-वेल पोटेंशियल के साथ श्रोडिंगर समीकरण की ईजेनर्जीज़ के लिए स्पष्ट सूत्र दिया गया है। श्रोडिंगर समीकरण पर लागू गड़बड़ी विधि (साथ ही सीमा की स्थिति) दोनों द्वारा व्युत्पत्ति के साथ, और पथ अभिन्न (और WKB) से स्पष्ट व्युत्पत्ति। परिणाम निम्न है। श्रोडिंगर समीकरण के मापदंडों को परिभाषित करना और समीकरणों द्वारा क्षमता

${\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,$

और

$V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,$

के लिए eigenvalues $q_{0}=1,3,5,...$ पाए जाते हैं:

$E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})$

$\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.$

स्पष्ट रूप से ये eigenvalues ​​asymptotically हैं ($h^{2}\rightarrow \infty$) क्षमता के हार्मोनिक भाग के परिणामस्वरूप अपेक्षित गिरावट।

परिणाम

गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित यूक्लिडियन रेखा अभिन्न से प्राप्त परिणाम विक-रोटेट बैक हो सकते हैं और वही भौतिक परिणाम दे सकते हैं जो (संभावित रूप से भिन्न) मिंकोव्स्की पथ इंटीग्रल के उचित उपचार से प्राप्त होंगे। जैसा कि इस उदाहरण से देखा जा सकता है, शास्त्रीय रूप से निषिद्ध क्षेत्र के माध्यम से कण के सुरंग के लिए संक्रमण की संभावना की गणना ($V(x)$) Minkowskian पथ अभिन्न के साथ यूक्लिडियन पथ अभिन्न में शास्त्रीय रूप से अनुमत क्षेत्र (संभावित -V (X) के साथ) के माध्यम से सुरंग के लिए संक्रमण की संभावना की गणना के अनुरूप है (सचित्र रूप से बोलना - यूक्लिडियन चित्र में - यह संक्रमण एक कण से रोलिंग से मेल खाता है) एक डबल-वेल पोटेंशियल की एक पहाड़ी दूसरी पहाड़ी के सिर पर खड़ी है)। गति के यूक्लिडियन समीकरणों के इस शास्त्रीय समाधान को अक्सर किंक सॉल्यूशन कहा जाता है और यह एक इंस्टेंटन का उदाहरण है। इस उदाहरण में, डबल-वेल पोटेंशियल के दो वेकुआ (यानी ग्राउंड स्टेट्स) समस्या के यूक्लिडियन संस्करण में पहाड़ियों में बदल जाते हैं।

इस प्रकार, (यूक्लिडियन, यानी, काल्पनिक समय के साथ) (1 + 1)-आयामी क्षेत्र सिद्धांत का तात्कालिक क्षेत्र समाधान - पहला परिमाणित क्वांटम यांत्रिक विवरण - दो वैकुआ (जमीनी राज्यों - उच्च) के बीच एक टनलिंग प्रभाव के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता है राज्यों को भौतिक (1-आयामी स्थान + वास्तविक समय) मिन्कोस्कीयन प्रणाली के आवधिक इंस्टेंटन्स की आवश्यकता होती है। मामले में डबल वेल पोटेंशियल लिखा है

$V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}$

तत्काल, यानी का समाधान

${\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),$

(यानी ऊर्जा के साथ $E_{cl}=0$), है

$\phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],$

जहाँ$\tau =it$ यूक्लिडियन समय है।

ध्यान दें कि केवल उन दो वैकुआ में से एक (मिन्कोव्स्की विवरण के) के आसपास एक भोली गड़बड़ी सिद्धांत इस गैर-परेशान टनलिंग प्रभाव को कभी नहीं दिखाएगा, नाटकीय रूप से इस क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की वैक्यूम संरचना की तस्वीर को बदल देगा। वास्तव में भोले-भाले सिद्धांत को सीमा स्थितियों द्वारा पूरक किया जाना है, और ये गैर-प्रतिकूल प्रभाव की आपूर्ति करते हैं, जैसा कि उपरोक्त स्पष्ट सूत्र और अन्य संभावितों के लिए समान गणनाओं से स्पष्ट है, जैसे कि कोसाइन क्षमता (cf. मैथ्यू समारोह) या अन्य आवधिक क्षमता (cf. उदाहरण के लिए लैम फलन और गोलाकार तरंग फलन) और इस बात पर ध्यान दिए बिना कि कोई श्रोडिंगर समीकरण या कार्यात्मक एकीकरण का उपयोग करता है या नहीं। इसलिए, परेशान करने वाला दृष्टिकोण भौतिक प्रणाली की वैक्यूम संरचना का पूरी तरह से वर्णन नहीं कर सकता है। इसके महत्वपूर्ण परिणाम हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, अक्षतंतु के सिद्धांत में| ऐसे अक्ष जहां गैर-तुच्छ QCD वैक्यूम प्रभाव (इंस्टेंटन की तरह) Peccei-Quinn सिद्धांत | Peccei-Quinn समरूपता को स्पष्ट रूप से खराब कर देते हैं और बड़े पैमाने पर नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन को बड़े पैमाने पर चिरल समरूपता में बदल देते हैं। छद्म-नंबू-गोल्डस्टोन वाले।

आवधिक तत्काल

एक आयामी क्षेत्र सिद्धांत या क्वांटम यांत्रिकी में तत्काल एक क्षेत्र विन्यास के रूप में परिभाषित किया जाता है जो यूक्लिडियन समय और परिमित यूक्लिडियन क्रिया के साथ शास्त्रीय (न्यूटन-जैसे) गति के समीकरण का एक समाधान है। सॉलिटॉन सिद्धांत के संदर्भ में संबंधित समाधान को साइन-गॉर्डन समीकरण#सॉलिटन समाधान के रूप में जाना जाता है। शास्त्रीय कणों के व्यवहार के साथ उनके समानता को ध्यान में रखते हुए ऐसे विन्यास या समाधान, साथ ही अन्य, सामूहिक रूप से छद्मकण या स्यूडोपारम्परिक कॉन्फ़िगरेशन के रूप में जाने जाते हैं। इंस्टेंटॉन (किंक) समाधान के साथ एक अन्य समाधान होता है जिसे एंटी-इंस्टेंटन (एंटी-किंक) के रूप में जाना जाता है, और इंस्टेंटन और एंटी-इंस्टेंटन को क्रमशः टोपोलॉजिकल चार्ज +1 और -1 द्वारा अलग किया जाता है, लेकिन समान यूक्लिडियन क्रिया होती है।

आवधिक इंस्टेंटन इंस्टेंटन का एक सामान्यीकरण है। स्पष्ट रूप में वे जेकोबियन अण्डाकार कार्यों के संदर्भ में अभिव्यक्त होते हैं जो आवधिक कार्य हैं (त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रभावी रूप से सामान्यीकरण)। अनंत अवधि की सीमा में ये आवधिक इंस्टेंटॉन - जिन्हें अक्सर बाउंस, बबल या इसी तरह के रूप में जाना जाता है - इंस्टेंटॉन में कम हो जाते हैं।

इन स्यूडोपारम्परिक कॉन्फ़िगरेशन की स्थिरता की जांच स्यूडोपार्टिकल कॉन्फ़िगरेशन के आसपास के सिद्धांत को परिभाषित करने वाले लैग्रैंगियन का विस्तार करके और उसके आसपास छोटे उतार-चढ़ाव के समीकरण की जांच करके की जा सकती है। क्वार्टिक पोटेंशिअल (डबल-वेल, इनवर्टेड डबल-वेल) और पीरियोडिक (मैथ्यू) पोटेंशिअल के सभी संस्करणों के लिए इन समीकरणों को लैम समीकरण के रूप में खोजा गया था, लेमे फलन देखें। इन समीकरणों के eigenvalues ​​ज्ञात हैं और अस्थिरता के मामले में पथ अभिन्न के मूल्यांकन द्वारा क्षय दरों की गणना की अनुमति देते हैं।

प्रतिक्रिया दर सिद्धांत में इंस्टेंटन

प्रतिक्रिया दर सिद्धांत के संदर्भ में रासायनिक प्रतिक्रियाओं में परमाणुओं के टनलिंग की दर की गणना करने के लिए आवधिक इंस्टेंटॉन का उपयोग किया जाता है। एक रासायनिक प्रतिक्रिया की प्रगति को उच्च आयामी संभावित ऊर्जा सतह (पीईएस) पर स्यूडोपार्टिकल के आंदोलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। थर्मल दर स्थिर $k$ फिर मुक्त ऊर्जा के काल्पनिक भाग से संबंधित हो सकता है $F$ द्वारा

$k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}$ जिसके तहत $Z_{k}$विहित विभाजन कार्य है जिसकी गणना स्थिति प्रतिनिधित्व में बोल्ट्जमैन ऑपरेटर का पता लगाकर की जाती है।

$Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle$ विक रोटेशन का उपयोग करना और यूक्लिडियन समय की पहचान करना $\hbar \beta =1/(k_{b}T)$ one द्रव्यमान भारित निर्देशांक में विभाजन फलन के लिए पथ अभिन्न प्रतिनिधित्व प्राप्त करता है

$Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau$

पथ इंटीग्रल को तब सबसे तेज डिसेंट इंटीग्रेशन के माध्यम से अनुमानित किया जाता है जो केवल शास्त्रीय समाधानों और उनके चारों ओर द्विघात उतार-चढ़ाव के योगदान को ध्यान में रखता है। यह बड़े पैमाने पर भारित निर्देशांक में दर स्थिर अभिव्यक्ति के लिए उपज देता है

$k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}$ जहाँ$\mathbf {x} _{\text{Inst}}$एक आवधिक तत्काल है और $\mathbf {x} _{\text{RS}}$स्यूडोपार्टिकल का तुच्छ समाधान बाकी है जो प्रतिक्रियाशील राज्य विन्यास का प्रतिनिधित्व करता है।

उलटा डबल-वेल फॉर्मूला

डबल-वेल पोटेंशियल के लिए उल्टे डबल-वेल पोटेंशियल के लिए आइगेनवैल्यू प्राप्त कर सकते हैं। इस मामले में, हालांकि, eigenvalues ​​​​जटिल हैं। समीकरणों द्वारा पैरामीटर परिभाषित करना

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},$

मुलर-कर्स्टन द्वारा दिए गए eigenvalues ​​​​के लिए हैं $q_{0}=1,3,5,...,$

$E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.$

इस अभिव्यक्ति का काल्पनिक हिस्सा बेंडर और वू के प्रसिद्ध परिणाम से सहमत है। उनके अंकन में $\hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .$

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

Hypersphere $S^{3}$
हाइपरस्फेयर स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन समानताएं (लाल), मेरिडियन (नीला) और हाइपरमेरिडियन (हरा)

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) का अध्ययन करने में, सिद्धांत की निर्वात संरचना तत्कालों पर ध्यान आकर्षित कर सकती है। जैसा कि एक डबल-वेल क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम दिखाता है, एक सहज वैक्यूम एक क्षेत्र सिद्धांत का सही निर्वात नहीं हो सकता है। इसके अलावा, एक क्षेत्र सिद्धांत का सच्चा निर्वात कई स्थैतिक रूप से असमान क्षेत्रों का एक ओवरलैप हो सकता है, जिसे संस्थानिक खाली कहा जाता है।

एक इंस्टेंटन और इसकी व्याख्या का एक अच्छी तरह से समझा और व्याख्यात्मक उदाहरण एक गैर-अबेलियन समूह के साथ एक क्यूएफटी के संदर्भ में पाया जा सकता है। गैर-अबेलियन गेज समूह, यांग-मिल्स सिद्धांत। यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए इन असमान क्षेत्रों को एसयू (2) के तीसरे होमोटोपी समूह (जिसका समूह कई गुना 3-क्षेत्र है) द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है (एक उपयुक्त गेज में) $S^{3}$). एक निश्चित टोपोलॉजिकल वैक्यूम (ट्रू वैक्यूम का एक सेक्टर) को एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट, पोंट्रीगिन इंडेक्स द्वारा लेबल किया जाता है। के तीसरे होमोटॉपी समूह के रूप में $S^{3}$ पूर्णांकों का समुच्चय पाया गया है,

होमोटॉपी समूह |$\pi _{3}$3-गोला|$(S^{3})=$पूर्णांक |$\mathbb {Z} \,$ब्रा-केट नोटेशन द्वारा निरूपित असीम रूप से कई स्थलीय रूप से असमान वैकुआ हैं$|N\rangle$, जहाँ$N$ उनका संबंधित पोंट्रीगिन इंडेक्स है। एक इंस्टेंटन यूक्लिडियन स्पेसटाइम में गति के शास्त्रीय समीकरणों को पूरा करने वाला एक फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन है, जिसे इन विभिन्न टोपोलॉजिकल वैकुआ के बीच एक टनलिंग प्रभाव के रूप में व्याख्या किया गया है। इसे फिर से एक पूर्णांक संख्या, इसकी पोंट्रीगिन इंडेक्स द्वारा लेबल किया गया है, $Q$. इंडेक्स के साथ एक इंस्टेंटन की कल्पना कर सकते हैं $Q$ टोपोलॉजिकल वैकुआ के बीच टनलिंग की मात्रा निर्धारित करना $|N\rangle$ और $|N+Q\rangle$. यदि Q = 1 है, तो इसके खोजकर्ताओं अलेक्जेंडर बेलाविन, अलेक्जेंडर मार्कोविच पॉलाकोव, अल्बर्ट एस। श्वार्ज़ और यू के नाम पर कॉन्फ़िगरेशन का नाम BPST इंस्टेंटन है। एस टायपकिन। सिद्धांत के सच्चे निर्वात को कोण थीटा द्वारा लेबल किया गया है और यह टोपोलॉजिकल क्षेत्रों का ओवरलैप है:

$|\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .$

जेरार्डस 'टी हूफ्ट|जेरार्ड'टी हूफ्ट ने पहली बार [1] में फ़र्मियन से जुड़े एक सिद्धांत में BPST इंस्टेंटन के प्रभावों की क्षेत्र सैद्धांतिक गणना की। उन्होंने दिखाया कि तत्काल पृष्ठभूमि में डायराक समीकरण के शून्य मोड कम ऊर्जा प्रभावी क्रिया में एक गैर-परेशान बहु-फर्मियन इंटरैक्शन की ओर ले जाते हैं।

यांग-मिल्स सिद्धांत

संरचना समूह जी, बेस एम, कनेक्शन (गणित) ए, और वक्रता (यांग-मिल्स फील्ड टेन्सर) एफ के साथ एक प्रमुख बंडल पर शास्त्रीय यांग-मिल्स की कार्रवाई है

$S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},$

जहाँ$d\mathrm {vol} _{M}$ वॉल्यूम फॉर्म चालू है $M$. यदि आंतरिक उत्पाद चालू है ${\mathfrak {g}}$, का झूठ बीजगणित $G$ जिसमें $F$ मान लेता है, मारक रूप द्वारा दिया जाता है ${\mathfrak {g}}$, तो इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है $\int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)$, तब से

$F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.$

उदाहरण के लिए, गेज समूह U(1) के मामले में, F विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेन्सर होगा। क्रिया (भौतिकी) से, यांग-मिल्स समीकरण अनुसरण करते हैं। वे हैं

$\mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.$

इनमें से पहला सर्वसमिका है, क्योंकि dF = d²A = 0, लेकिन कनेक्शन A के लिए दूसरा एक दूसरे क्रम का आंशिक अंतर समीकरण है, और यदि Minkowski वर्तमान वेक्टर गायब नहीं होता है, तो rhs पर शून्य। दूसरे समीकरण के द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $\mathbf {J}$. लेकिन ध्यान दें कि ये समीकरण कितने समान हैं; वे एक हॉज स्टार से भिन्न होते हैं। इस प्रकार सरल प्रथम कोटि (गैर-रैखिक) समीकरण का हल

${*F}=\pm F\,$

स्वचालित रूप से यांग-मिल्स समीकरण का भी समाधान है। यह सरलीकरण 4 कई गुना पर होता है:$s=1$ ताकि $*^{2}=+1$ 2-रूपों पर। इस तरह के समाधान आमतौर पर मौजूद होते हैं, हालांकि उनका सटीक चरित्र बेस स्पेस एम, प्रिंसिपल बंडल पी और गेज ग्रुप जी के आयाम और टोपोलॉजी पर निर्भर करता है।

नाबेलियन यांग-मिल्स सिद्धांतों में, $DF=0$ और $D*F=0$ जहां D बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न है। इसके अलावा, Bianchi पहचान

$DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0$

संतुष्ट है।

क्वांटम फील्ड थ्योरी में, एक इंस्टेंटन चार-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में एक टोपोलॉजी नॉनट्रिविअल फील्ड कॉन्फ़िगरेशन है (मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम के विक रोटेशन के रूप में माना जाता है)। विशेष रूप से, यह यांग-मिल्स गेज क्षेत्र ए को संदर्भित करता है जो अनंत पर बिंदु पर शुद्ध गेज तक पहुंचता है। इसका तात्पर्य फील्ड स्ट्रेंथ है

$\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

अनंत में मिट जाता है। इंस्टेंटन नाम इस तथ्य से निकला है कि ये क्षेत्र अंतरिक्ष और (यूक्लिडियन) समय में स्थानीयकृत हैं - दूसरे शब्दों में, एक विशिष्ट पल में।

द्वि-आयामी अंतरिक्ष पर इंस्टेंटन का मामला कल्पना करना आसान हो सकता है क्योंकि यह गेज समूह (गणित) के सबसे सरल मामले को स्वीकार करता है, अर्थात् यू (1), जो एक एबेलियन समूह है। इस मामले में फ़ील्ड ए को केवल वेक्टर क्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है। एक इंस्टेंटन एक कॉन्फ़िगरेशन है, उदाहरण के लिए, तीर एक केंद्रीय बिंदु (यानी, हेजहोग राज्य) से दूर इंगित करता है। यूक्लिडियन चार आयामी अंतरिक्ष में, $\mathbb {R} ^{4}$, एबेलियन इंस्टेंटन असंभव हैं।

एक पल का क्षेत्र विन्यास निर्वात अवस्था से बहुत भिन्न होता है। इस वजह से फेनमैन आरेखों का उपयोग करके इंस्टेंटॉन का अध्ययन नहीं किया जा सकता है, जिसमें केवल क्षोभ सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) प्रभाव शामिल हैं। इंस्टेंटन मूल रूप से गैर-परेशान करने वाले हैं।

यांग-मिल्स ऊर्जा किसके द्वारा दी जाती है

${\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]$

जहां ∗ हॉज द्वैत है। अगर हम जोर देते हैं कि यांग-मिल्स समीकरणों के समाधान में परिमित ऊर्जा है, तो अनंत पर समाधान की वक्रता (एक सीमा (गणित) के रूप में ली गई) शून्य होनी चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि चेर्न-साइमन्स इनवेरिएंट को 3-स्पेस सीमा पर परिभाषित किया जा सकता है। यह स्टोक्स के प्रमेय के माध्यम से अभिन्न लेने के बराबर है

$\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].$

यह एक होमोटॉपी इनवेरिएंट है और यह हमें बताता है कि इंस्टेंटॉन किस होमोटॉपी वर्ग का है।

चूँकि एक अऋणात्मक समाकलन का समाकल सदैव अऋणात्मक होता है,

$0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]$

सभी वास्तविक θ के लिए। तो, इसका तात्पर्य है

${\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.$

यदि यह बाउंड संतृप्त है, तो समाधान एक बोगोमोल्नी प्रसाद सोमरफील्ड बाउंड स्टेट है। ऐसे राज्यों के लिए, या तो ∗F = F या ∗F = - F होमोटॉपी अपरिवर्तनीय के चिह्न पर निर्भर करता है।

मानक मॉडल में इंस्टेंटन के इलेक्ट्रोवीक इंटरैक्शन और क्रोमोडायनामिक क्षेत्र दोनों में मौजूद होने की उम्मीद है, हालांकि, उनके अस्तित्व की अभी तक प्रायोगिक तौर पर पुष्टि नहीं हुई है। क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (QCD) के निर्वात में संघनन के गठन को समझने और तथाकथित 'एटा-प्राइम पार्टिकल', एक गोल्डस्टोन बोसोन | गोल्डस्टोन-बोसोन के द्रव्यमान को समझाने में इंस्टेंटन प्रभाव महत्वपूर्ण हैं। जिसने QCD के चिराल विसंगति के माध्यम से द्रव्यमान प्राप्त किया है। ध्यान दें कि कभी-कभी एक सिद्धांत में एक अतिरिक्त अंतरिक्ष आयाम के साथ एक संगत सॉलिटॉन भी होता है। इंस्टेंटन पर हालिया शोध उन्हें डी-ब्रेन्स और ब्लैक होल्स जैसे विषयों और निश्चित रूप से क्यूसीडी की वैक्यूम संरचना से जोड़ता है। उदाहरण के लिए, ओरिएंटेड स्ट्रिंग सिद्धांत में, एक डीपी ब्रैन एक गेज थ्योरी है जो विश्व वॉल्यूम (पी + 5) -डायमेंशनल यू (एन) गेज थ्योरी में एन के ढेर पर है। डी(पी + 4)-ब्रेन।

आयामों की विभिन्न संख्या

इंस्टेंटन गेज सिद्धांतों के गैर-प्रतिस्पर्धी गतिशीलता में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। भौतिक उत्तेजन का प्रकार जो एक पल पैदा करता है, स्पेसटाइम के आयामों की संख्या पर निर्भर करता है, लेकिन, आश्चर्यजनक रूप से, इन तात्कालिकों से निपटने के लिए औपचारिकता अपेक्षाकृत आयाम-स्वतंत्र है।

4-आयामी गेज सिद्धांतों में, जैसा कि पिछले खंड में वर्णित है, इंस्टेंटन गेज बंडल हैं जो एक नॉनट्रिविअल विभेदक रूप | फोर-फॉर्म विशेषता वर्ग के साथ हैं। यदि गेज समरूपता एक एकात्मक समूह या विशेष एकात्मक समूह है तो यह विशेषता वर्ग दूसरा चेर्न वर्ग है, जो गेज समूह यू (1) के मामले में गायब हो जाता है। यदि गेज समरूपता एक ओर्थोगोनल समूह है तो यह वर्ग पहला पोंट्रेजगिन वर्ग है।

हिग्स फील्ड के साथ 3-आयामी गेज सिद्धांतों में, 'टी हूफ्ट-पोल्याकोव मोनोपोल्स इंस्टेंटन की भूमिका निभाते हैं। 1977 के अपने पेपर क्वार्क कन्फाइनमेंट एंड टोपोलॉजी ऑफ गेज ग्रुप्स में, अलेक्जेंडर मार्कोविच पोलाकोव ने प्रदर्शित किया कि 3-आयामी क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में तत्काल प्रभाव एक स्केलर क्षेत्र से मिलकर फोटॉन के लिए द्रव्यमान का कारण बनता है। .

2-आयामी एबेलियन गेज सिद्धांतों में वर्ल्डशीट इंस्टेंटन चुंबकीय भंवर हैं। वे स्ट्रिंग थ्योरी में कई गैर-प्रतिस्पर्धी प्रभावों के लिए जिम्मेदार हैं, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग थ्योरी) में एक केंद्रीय भूमिका निभा रहे हैं।

1-आयामी क्वांटम यांत्रिकी में, इंस्टेंटन्स क्वांटम टनलिंग का वर्णन करते हैं, जो गड़बड़ी सिद्धांत में अदृश्य है।

4डी सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांत

सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांत सामान्यतः सुपरसिमेट्री नॉनरेनॉर्मलाइजेशन प्रमेय का पालन करते हैं, जो क्वांटम सुधारों के प्रकारों को प्रतिबंधित करते हैं, जो स्वरूपों के क्वांटम सुधारों को प्रतिबंधित करती हैं,एवं जो अनुमोदन विज्ञान में होते हैं। इन सद्धांतो में से कई केवल क्षोभ सिद्धांत में गणनीय सुधारों पर ही लागू होती हैं, इसलिए इनस्टैंटन, जो क्षोभ सिद्धांत में नहीं देखे जाते हैं, इन मात्राओं को सुधारने के लिए एकमात्र संभावना हैं।।

1980 के दशक में कई लेखकों द्वारा सुपरसिमेट्रिक सिद्धांतों में तत्काल गणना के लिए क्षेत्र सैद्धांतिक तकनीकों का व्यापक अध्ययन किया गया था। चूंकि सुपरसिममेट्री तत्काल पृष्ठभूमि में फर्मियोनिक बनाम बोसोनिक गैर-शून्य मोड को रद्द करने की आश्वासन देती है, इसलिए तत्काल सैडल बिंदु की सम्मिलित 'टी हूफ्ट गणना शून्य मोड पर एकीकरण को कम कर देती है।

N = 1 सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांत में इंस्टेंटॉन सुपरपोटेंशियल को संशोधित कर सकते हैं, कभी-कभी सभी वैकुआ को उठा सकते हैं। 1984 में, इयान एफ्लेक, माइकल डाइन और नाथन सीबर्ग ने अपने पेपर डायनेमिकल सुपरसिममेट्री ब्रेकिंग इन सुपरसिमेट्रिक क्यूसीडी में सुपरपोटेंशियल में तत्काल सुधार की गणना की। अधिक सटीक रूप से, वे केवल गणना करने में सक्षम थे, जब सिद्धांत में विशेष एकात्मक गेज समूह में रंगों की संख्या की तुलना में चिरल सुपरफील्ड का एक कम गंध होता है, क्योंकि कम गंधों की उपस्थिति में एक अखंड नॉनबेलियन गेज समरूपता एक अवरक्त विचलन की ओर जाता है, और अधिक जायके के मामले में योगदान शून्य के बराबर है। चिरल पदार्थ की इस विशेष पसंद के लिए, दुर्बल युग्मन पर गेज समरूपता को पूरी तरह से तोड़ने के लिए स्केलर क्षेत्र के निर्वात अपेक्षा मूल्यों को चुना जा सकता है, जिससे एक विश्वसनीय अर्ध-शास्त्रीय काठी बिंदु गणना आगे बढ़ सकती है। तब तक विभिन्न सामूहिक शब्दों से गड़बड़ी पर विचार करते हुए वे रंगों और गंधों की मनमानी संख्या की उपस्थिति में महाशक्ति की गणना करने में सक्षम थे, तब भी मान्य जब सिद्धांत अब दुर्बल रूप से युग्मित नहीं है।

N = 2 सुपरसिमेट्रिक गेज थ्योरिज में सुपरपोटेंशियल को क्वांटम सुधारों का कोई प्रभाव नहीं पड़ता। हालांकि, वैकुअमों के मोड्यूली अंतर्वस्तु की मीट्रिक को इंस्टेंटन से क्वांटम सुधारों का एक श्रृंखला के रूप में गणना की गई। पहले, एक इंस्टेंटन सुधार को नेथन सीबर्ग द्वारा "सुपरसिमेट्री और नॉनपर्टर्बेटिव बीटा फलन " गणित में किया गया था।सबसे पहले, नेथन साइबर्ग ने 'सुपरसिमेट्री एवं नॉन-पर्टर्बेटिव बीटा फलन' में एक इन्स्टेंटन की सुधार की गणना की थी। SU(2) यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए पूर्ण सुधार का समुच्चय नेथन साइबर्ग और एडवर्ड विट्टेन ने 'इलेक्ट्रिक-मैग्नेटिक ड्यूअलिटी, मोनोपोल कंडेंसेशन, एवं कन्फाइनमेंट इन N=2 सुपरसिमेट्री यांग-मिल्स सिद्धांत' में गणना की। इस प्रक्रिया में साइबर्ग-विट्टेन सिद्धांत के नाम से एक विषय बना था।। उन्होंने मोनोपोल्स, द्वैत और चिराल समरूपता एन = 2 सुपरसिमेट्रिक क्यूसीडी में टूटने में मौलिक पदार्थ के साथ एसयू (2) गेज सिद्धांतों के लिए अपनी गणना का विस्तार किया। इन परिणामों को बाद में विभिन्न गेज समूहों और सामग्री सामग्री के लिए बढ़ाया गया था, और प्रत्यक्ष गेज सिद्धांत व्युत्पत्ति भी ज्यादातर विषयों में प्राप्त की गई थी। गेज समूह यू (एन) के साथ गेज सिद्धांतों के लिए साइबर्ग-विटन ज्यामिति 2003 में निकिता नेक्रासोव और एंड्री ओकोनकोव द्वारा और स्वतंत्र रूप से नाकाजिमा खोलें और कोटा योशीओका द्वारा नेकरासोव विभाजन कार्यों का उपयोग करके गेज सिद्धांत से प्राप्त की गई है।

एन = 4 सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांतों में इंस्टैंटॉन वैकुआ के मोडुली स्पेस पर मीट्रिक के लिए क्वांटम सुधार नहीं करते हैं।

यह भी देखें

• Instanton fluid
• Caloron
• Sidney Coleman
• Holstein–Herring method
• Gravitational instanton
• Semiclassical transition state theory
• Yang–Mills equations
• Gauge theory (mathematics)

संदर्भ और नोट्स

Notes

Citations

General

• Instantons in Gauge Theories, a compilation of articles on instantons, edited by Mikhail A. Shifman, doi:10.1142/2281
• Solitons and Instantons, R. Rajaraman (Amsterdam: North Holland, 1987), ISBN 0-444-87047-4
• The Uses of Instantons, by Sidney Coleman in Proc. Int. School of Subnuclear Physics, (Erice, 1977); and in Aspects of Symmetry p. 265, Sidney Coleman, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31827-0; and in Instantons in Gauge Theories
• Solitons, Instantons and Twistors. M. Dunajski, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857063-9.
• The Geometry of Four-Manifolds, S.K. Donaldson, P.B. Kronheimer, Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8.

बाहरी संबंध

• The dictionary definition of instanton at Wiktionary