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[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, एक फील्ड (गणित) पर एक चिकनी योजना एक ऐसी [[योजना (गणित)]] है जो किसी भी बिंदु के पास [[affine अंतरिक्ष]] द्वारा अच्छी तरह अनुमानित है। चिकनाई एक योजना की धारणा को सटीक बनाने का एक तरीका है जिसमें बीजगणितीय विविधता बिंदुओं का कोई विलक्षण बिंदु नहीं है। एक विशेष मामला एक क्षेत्र पर एक चिकनी बीजगणितीय विविधता की धारणा है। टोपोलॉजी में [[ कई गुना ]] की बीजगणितीय ज्यामिति में चिकनी योजनाएँ भूमिका निभाती हैं।
[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, क्षेत्र पर '''निष्कोण योजना''' एक ऐसी [[योजना (गणित)|योजना]] है जो किसी भी बिंदु के पास [[affine अंतरिक्ष|सजातीय]] अंतराल द्वारा अच्छी तरह अनुमानित है। समतलता ऐसी योजना की धारणा को सटीक बनाने का तरीका है जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं है। विशेष स्थिति एक क्षेत्र के ऊपर निष्कोण विविधता की धारणा है। टोपोलॉजी में [[ कई गुना |बहुरूपता]] की बीजगणितीय ज्यामिति में निष्कोण योजनाएँ भूमिका निभाती हैं।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


सबसे पहले, X को स्कीम थ्योरी की ग्लोसरी की एफ़िन स्कीम होने दें#फ़ील्ड k पर परिमित करें। समतुल्य रूप से, एक्स में एफाइन स्पेस ए में एक [[बंद विसर्जन]] है<sup>n</sup> कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए k से अधिक। तब X कुछ समीकरणों g द्वारा परिभाषित बंद उपयोजना है<sub>1</sub> = 0, ..., जी<sub>''r''</sub> = 0, जहां प्रत्येक जी<sub>i</sub>बहुपद वलय k [x] में है<sub>1</sub>,..., एक्स<sub>''n''</sub>]। affine स्कीम X, k पर आयाम m की 'सुचारू' है यदि X में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में कम से कम m बीजगणितीय विविधता का आयाम है, और डेरिवेटिव का मैट्रिक्स (∂g<sub>''i''</sub>/∂x<sub>''j''</sub>) की X पर हर जगह कम से कम n−m रैंक है।<ref>The definition of smoothness used in this article is equivalent to Grothendieck's definition of smoothness by Theorems 30.2 and Theorem 30.3 in: Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).</ref> (यह इस प्रकार है कि एक्स के पास प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एम के बराबर आयाम है।) चिकनाई एक्स के विसर्जित स्थान में विसर्जन की पसंद से स्वतंत्र है।
सबसे पहले, माना ''X'' को क्षेत्र ''k'' पर परिमित प्रकार की परिबद्ध योजना है। समतुल्य रूप से, ''X'' में कुछ प्राकृतिक संख्या ''n'' के लिए ''k'' से अधिक सजातीय स्थान में [[बंद विसर्जन|संवृत्त संलयन]] है। फिर ''X'' कुछ समीकरणों ''g''<sub>1</sub> = 0, ..., ''g<sub>r</sub>'' = 0 द्वारा परिभाषित एक संवृत्त उपयोजना है, जहां प्रत्येक ''g<sub>i</sub>'' बहुपद वलय ''k''[''x''<sub>1</sub>,..., ''x<sub>n</sub>''] में है। सजातीय योजना ''X'', ''k'' के ऊपर आयाम ''m'' का निष्कोण है यदि ''X'' में प्रत्येक बिंदु के आसपास में कम से कम ''m'' आयाम है, और व्युत्पन्नों की मैट्रिक्स (∂''g<sub>i</sub>''/∂''x<sub>j</sub>'') में ''X'' पर प्रत्येक स्थान कम से कम ''n''−''m'' रैंक है। (यह इस प्रकार है कि ''X'' के निकट प्रत्येक बिंदु के आसपास में ''m'' के बराबर आयाम है।) समतलता ''X'' के सजातीय स्थान में संलयन के चुनाव से स्वतंत्र है।


डेरिवेटिव्स के मैट्रिक्स पर स्थिति का अर्थ यह समझा जाता है कि X का बंद उपसमुच्चय जहां डेरिवेटिव्स के मैट्रिक्स के सभी (n−m) × (n − m) [[माइनर (रैखिक बीजगणित)]] शून्य हैं, खाली सेट है। समान रूप से, सभी जी द्वारा उत्पन्न बहुपद अंगूठी में आदर्श (रिंग थ्योरी)।<sub>''i''</sub> और वे सभी अवयस्क संपूर्ण बहुपद वलय हैं।
व्युत्पन्नों के मैट्रिक्स पर स्थिति का अर्थ यह समझा जाता है कि ''X'' का संवृत्त उपसमुच्चय जहां व्युत्पन्न के मैट्रिक्स के सभी (''n''−''m'') × (''n'' − ''m'') [[माइनर (रैखिक बीजगणित)|अल्प]] शून्य हैं, खाली समुच्चय है। समान रूप से, सभी ''g<sub>i</sub>'' और उन सभी अल्पों द्वारा उत्पन्न बहुपद वलय में आदर्श संपूर्ण बहुपद वलय है।


ज्यामितीय शब्दों में, डेरिवेटिव का मैट्रिक्स (∂g<sub>''i''</sub>/∂x<sub>''j''</sub>) X में एक बिंदु p पर एक रैखिक नक्शा F देता है<sup>एन</sup> → एफ<sup>r</sup>, जहां F, p का अवशिष्ट क्षेत्र है। इस मानचित्र के कर्नेल को पी पर एक्स की [[ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान]] कहा जाता है। एक्स की चिकनाई का अर्थ है कि ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान का आयाम प्रत्येक बिंदु के निकट एक्स के आयाम के बराबर है; एक बीजगणितीय विविधता के एक विलक्षण बिंदु पर, ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान बड़ा होगा।
ज्यामितीय शब्दों में, ''X'' में बिंदु ''p'' पर व्युत्पन्नों (∂''g<sub>i</sub>''/∂''x<sub>j</sub>'') का मैट्रिक्स एक रैखिक मानचित्र ''F<sup>n</sup>'' → ''F<sup>r</sup>'' देता है, जहां ''F'' ''p'' का अवशिष्ट क्षेत्र है। इस मानचित्र के आधार को ''p'' पर ''X'' की [[ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान]] कहा जाता है। ''X'' की समतलता का अर्थ है कि ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान का आयाम प्रत्येक बिंदु के निकट ''X'' के आयाम के बराबर है एक विलक्षण बिंदु पर, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान बड़ा होगा।  


अधिक आम तौर पर, एक क्षेत्र के ऊपर एक योजना एक्स कश्मीर पर 'चिकनी' होती है यदि एक्स के प्रत्येक बिंदु में एक खुला पड़ोस होता है जो कि कश्मीर पर कुछ आयाम की एक चिकनी संबंध योजना है। विशेष रूप से, कश्मीर पर एक चिकनी योजना योजना सिद्धांत की शब्दावली है # स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की।
अधिक प्रायः, क्षेत्र ''k'' पर योजना ''X'', ''k'' के ऊपर निष्कोण होता है यदि ''X'' के प्रत्येक बिंदु में एक विवृत आसपास होता है जो ''k'' के ऊपर कुछ आयाम की निष्कोण सजातीय योजना है। विशेष रूप से, ''k'' पर निष्कोण योजना स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की होती है।


योजनाओं के एक चिकनी रूपवाद की अधिक सामान्य धारणा है, जो मोटे तौर पर चिकनी तंतुओं के साथ एक आकारिकी है। विशेष रूप से, एक योजना एक्स एक क्षेत्र के ऊपर चिकनी है अगर और केवल अगर मोर्फिज्म एक्स → स्पेक के चिकनी है।
योजनाओं के निष्कोण रूपवाद की अधिक सामान्य धारणा है, जो मोटे तौर पर निष्कोण तंतुओं के साथ एक आकारिकी है। विशेष रूप से, योजना ''X'' क्षेत्र ''k'' पर निष्कोण होती है यदि और केवल अगर आकारिकी ''X'' → Spec ''k'' निष्कोण होती है।


== गुण ==
== गुण ==
एक क्षेत्र पर एक चिकनी योजना योजना सिद्धांत की शब्दावली है #नियमित और इसलिए [[सामान्य योजना]]। विशेष रूप से, एक क्षेत्र पर एक चिकनी योजना योजना सिद्धांत की शब्दावली है # कम।
क्षेत्र पर [[सामान्य योजना|निष्कोण योजना]] नियमित है और इसलिए सामान्य है। विशेष रूप से, क्षेत्र पर निष्कोण योजना कम हो जाती है।
 
''k'' पर परिमित प्रकार की अभिन्न पृथक योजना होने के लिए क्षेत्र ''k'' पर विविधता को परिभाषित करें। फिर ''k'' के ऊपर परिमित प्रकार की कोई भी निष्कोण पृथक योजना ''k'' के ऊपर निष्कोण विविधताओ का एक परिमित असंयुक्त संघ है।
 
सम्मिश्र संख्याओं पर निष्कोण विविधता ''X'' के लिए, ''X'' के जटिल बिंदुओं का स्थान ''X''('''C''') चिरसम्मत (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी का उपयोग करते हुए जटिल बहुरूपता है। इसी तरह, वास्तविक संख्या पर निष्कोण विविधता ''X'' के लिए, वास्तविक बिंदुओं का स्थान ''X''('''R''') वास्तविक कई गुना है, संभवतः खाली है।
 
 


स्कीम थ्योरी की ग्लोसरी होने के लिए 'k' फील्ड में वैरायटी को डिफाइन करें# स्कीम थ्योरी की इंटीग्रल ग्लोसरी #'k' पर फाइनाइट टाइप की सेपरेटेड स्कीम। फिर '' k '' पर परिमित प्रकार की कोई भी अलग-अलग योजना '' k '' पर चिकनी किस्मों का एक परिमित असंयुक्त संघ है।


जटिल संख्याओं के ऊपर एक सहज विविधता ''X'' के लिए, ''X'' के जटिल बिंदुओं का स्थान ''X''(C) शास्त्रीय (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी का उपयोग करते हुए एक जटिल मैनिफोल्ड है। इसी तरह, वास्तविक संख्याओं पर एक चिकनी विविधता ''एक्स'' के लिए, वास्तविक बिंदुओं का स्थान ''एक्स''(आर) एक वास्तविक विभेदक कई गुना है, संभवतः खाली है।


किसी भी योजना 'एक्स' के लिए जो स्थानीय रूप से परिमित प्रकार के क्षेत्र '' के '' पर है, एक [[सुसंगत शीफ]] है Ω<sup>एक्स पर [[काहलर अंतर]] का 1।<sup>1</sup> प्रत्येक बिंदु के निकट X के आयाम के बराबर रैंक का एक सदिश बंडल है।<ref>Theorem 30.3, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).</ref> उस स्थिति में, Ω<sup>1</sup> को X का कोटैंजेंट बंडल कहा जाता है। k पर एक चिकनी योजना के [[[[स्पर्शरेखा बंडल]]]] को दोहरे बंडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, TX = (Ω<sup>1</sup>)<sup>*</सुप>.
किसी भी योजना 'एक्स' के लिए जो स्थानीय रूप से परिमित प्रकार के क्षेत्र '' के '' पर है, एक [[सुसंगत शीफ]] है Ω<sup>एक्स पर [[काहलर अंतर]] का 1।<sup>1</sup> प्रत्येक बिंदु के निकट X के आयाम के बराबर रैंक का एक सदिश बंडल है।<ref>Theorem 30.3, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).</ref> उस स्थिति में, Ω<sup>1</sup> को X का कोटैंजेंट बंडल कहा जाता है। k पर एक चिकनी योजना के [[[[स्पर्शरेखा बंडल]]]] को दोहरे बंडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, TX = (Ω<sup>1</sup>)<sup>*</सुप>.
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== सामान्य चिकनाई ==
== सामान्य चिकनाई ==
एक स्कीम X को k के ऊपर आयाम n का 'सामान्य रूप से चिकना' कहा जाता है यदि X में एक खुला घना उपसमुच्चय होता है जो k के ऊपर आयाम n का चिकना होता है। एक पूर्ण क्षेत्र (विशेष रूप से एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र) पर प्रत्येक विविधता सामान्य रूप से चिकनी होती है।<ref>Lemma 1 in section 28 and Corollary to Theorem 30.5, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).</ref>
एक स्कीम X को k के ऊपर आयाम n का 'सामान्य रूप से चिकना' कहा जाता है यदि X में एक खुला घना उपसमुच्चय होता है जो k के ऊपर आयाम n का चिकना होता है। एक पूर्ण क्षेत्र (विशेष रूप से एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र) पर प्रत्येक विविधता सामान्य रूप से चिकनी होती है।<ref>Lemma 1 in section 28 and Corollary to Theorem 30.5, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).</ref>
== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
*एफ़ाइन स्पेस और [[ प्रक्षेपण स्थान ]] फ़ील्ड k पर स्मूद स्कीम हैं।
*एफ़ाइन स्पेस और [[ प्रक्षेपण स्थान ]] फ़ील्ड k पर स्मूद स्कीम हैं।

Revision as of 22:28, 1 May 2023

बीजगणितीय ज्यामिति में, क्षेत्र पर निष्कोण योजना एक ऐसी योजना है जो किसी भी बिंदु के पास सजातीय अंतराल द्वारा अच्छी तरह अनुमानित है। समतलता ऐसी योजना की धारणा को सटीक बनाने का तरीका है जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं है। विशेष स्थिति एक क्षेत्र के ऊपर निष्कोण विविधता की धारणा है। टोपोलॉजी में बहुरूपता की बीजगणितीय ज्यामिति में निष्कोण योजनाएँ भूमिका निभाती हैं।

परिभाषा

सबसे पहले, माना X को क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की परिबद्ध योजना है। समतुल्य रूप से, X में कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए k से अधिक सजातीय स्थान में संवृत्त संलयन है। फिर X कुछ समीकरणों g1 = 0, ..., gr = 0 द्वारा परिभाषित एक संवृत्त उपयोजना है, जहां प्रत्येक gi बहुपद वलय k[x1,..., xn] में है। सजातीय योजना X, k के ऊपर आयाम m का निष्कोण है यदि X में प्रत्येक बिंदु के आसपास में कम से कम m आयाम है, और व्युत्पन्नों की मैट्रिक्स (∂gi/∂xj) में X पर प्रत्येक स्थान कम से कम n−m रैंक है। (यह इस प्रकार है कि X के निकट प्रत्येक बिंदु के आसपास में m के बराबर आयाम है।) समतलता X के सजातीय स्थान में संलयन के चुनाव से स्वतंत्र है।

व्युत्पन्नों के मैट्रिक्स पर स्थिति का अर्थ यह समझा जाता है कि X का संवृत्त उपसमुच्चय जहां व्युत्पन्न के मैट्रिक्स के सभी (n−m) × (n − m) अल्प शून्य हैं, खाली समुच्चय है। समान रूप से, सभी gi और उन सभी अल्पों द्वारा उत्पन्न बहुपद वलय में आदर्श संपूर्ण बहुपद वलय है।

ज्यामितीय शब्दों में, X में बिंदु p पर व्युत्पन्नों (∂gi/∂xj) का मैट्रिक्स एक रैखिक मानचित्र Fn → Fr देता है, जहां F p का अवशिष्ट क्षेत्र है। इस मानचित्र के आधार को p पर X की ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है। X की समतलता का अर्थ है कि ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान का आयाम प्रत्येक बिंदु के निकट X के आयाम के बराबर है एक विलक्षण बिंदु पर, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान बड़ा होगा।

अधिक प्रायः, क्षेत्र k पर योजना X, k के ऊपर निष्कोण होता है यदि X के प्रत्येक बिंदु में एक विवृत आसपास होता है जो k के ऊपर कुछ आयाम की निष्कोण सजातीय योजना है। विशेष रूप से, k पर निष्कोण योजना स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की होती है।

योजनाओं के निष्कोण रूपवाद की अधिक सामान्य धारणा है, जो मोटे तौर पर निष्कोण तंतुओं के साथ एक आकारिकी है। विशेष रूप से, योजना X क्षेत्र k पर निष्कोण होती है यदि और केवल अगर आकारिकी X → Spec k निष्कोण होती है।

गुण

क्षेत्र पर निष्कोण योजना नियमित है और इसलिए सामान्य है। विशेष रूप से, क्षेत्र पर निष्कोण योजना कम हो जाती है।

k पर परिमित प्रकार की अभिन्न पृथक योजना होने के लिए क्षेत्र k पर विविधता को परिभाषित करें। फिर k के ऊपर परिमित प्रकार की कोई भी निष्कोण पृथक योजना k के ऊपर निष्कोण विविधताओ का एक परिमित असंयुक्त संघ है।

सम्मिश्र संख्याओं पर निष्कोण विविधता X के लिए, X के जटिल बिंदुओं का स्थान X(C) चिरसम्मत (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी का उपयोग करते हुए जटिल बहुरूपता है। इसी तरह, वास्तविक संख्या पर निष्कोण विविधता X के लिए, वास्तविक बिंदुओं का स्थान X(R) वास्तविक कई गुना है, संभवतः खाली है।



किसी भी योजना 'एक्स' के लिए जो स्थानीय रूप से परिमित प्रकार के क्षेत्र के पर है, एक सुसंगत शीफ है Ωएक्स पर काहलर अंतर का 1।1 प्रत्येक बिंदु के निकट X के आयाम के बराबर रैंक का एक सदिश बंडल है।[1] उस स्थिति में, Ω1 को X का कोटैंजेंट बंडल कहा जाता है। k पर एक चिकनी योजना के [[स्पर्शरेखा बंडल]] को दोहरे बंडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, TX = (Ω1)*</सुप>.

चिकनाई एक ज्यामितीय गुण है, जिसका अर्थ है कि k के किसी भी क्षेत्र विस्तार E के लिए, एक योजना X k पर चिकनी है यदि और केवल यदि योजना XE:= एक्स ×Spec k स्पेक E, E पर स्मूथ है। एक उत्तम क्षेत्र k के लिए, एक स्कीम X, k पर स्मूथ है अगर और केवल अगर X स्थानीय रूप से k पर परिमित प्रकार का है और X नियमित योजना है।

सामान्य चिकनाई

एक स्कीम X को k के ऊपर आयाम n का 'सामान्य रूप से चिकना' कहा जाता है यदि X में एक खुला घना उपसमुच्चय होता है जो k के ऊपर आयाम n का चिकना होता है। एक पूर्ण क्षेत्र (विशेष रूप से एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र) पर प्रत्येक विविधता सामान्य रूप से चिकनी होती है।[2]

उदाहरण

  • एफ़ाइन स्पेस और प्रक्षेपण स्थान फ़ील्ड k पर स्मूद स्कीम हैं।
  • प्रक्षेपी स्थान 'पी' में एक चिकनी हाइपरसतह का एक उदाहरणn over k Fermat हाइपरसफेस x है0डी + ... + एक्सnd = 0, किसी भी धनात्मक पूर्णांक d के लिए जो k में व्युत्क्रमणीय है।
  • फ़ील्ड k पर एक विलक्षण (गैर-चिकनी) योजना का एक उदाहरण बंद उपयोजना x हैएफ़ाइन लाइन A में 2 = 01 k से अधिक।
  • k से अधिक एकवचन (गैर-चिकनी) किस्म का एक उदाहरण कस्पिडल क्यूबिक कर्व x है2 = और3 एफाइन प्लेन ए में2, जो मूल बिंदु (x,y) = (0,0) के बाहर चिकना है।
  • क्षेत्र k पर एक 0-आयामी वैरायटी X, X = Spec E के रूप में है, जहाँ E, k का परिमित विस्तार क्षेत्र है। विविधता X, k के ऊपर चिकनी है यदि और केवल यदि E k का एक वियोज्य विस्तार विस्तार है। इस प्रकार, यदि E k के ऊपर वियोज्य नहीं है, तो X एक नियमित योजना है, लेकिन k पर सुचारू नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए k परिमेय फलन 'F' का क्षेत्र हैp(टी) एक प्रमुख संख्या पी के लिए, और ई = 'एफ'p(टी1/p); तो कल्पना ई विभिन्न प्रकार के आयाम 0 ओवर के है जो एक नियमित योजना है, लेकिन के पर चिकनी नहीं है।
  • शुबर्ट किस्म सामान्य रूप से चिकनी नहीं होती है।

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Theorem 30.3, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).
  2. ↑ Lemma 1 in section 28 and Corollary to Theorem 30.5, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).


संदर्भ

  • D. Gaitsgory's notes on flatness and smoothness at http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461


यह भी देखें

श्रेणी:योजना सिद्धांत|*

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