सत्ता स्थापित

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Power set

The elements of the power set of {x, y, z} ordered with respect to inclusion.
Type	Set operation
Field	Set theory
Statement	The power set is the set that contains all subsets of a given set.
Symbolic statement	$x\in P(S)\iff x\subseteq S$

गणित में, समुच्चय (गणित) का पावर सेट (या पॉवर समुच्चय) S के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय S है, इस प्रकार किसी रिक्त समुच्चय युक्त S का मान अपने आप में समुच्चय हैं। स्वयंसिद्ध (एक्सयोमेटिक) समुच्चय सिद्धांत में (जैसा कि विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, ZFC स्वयंसिद्धों में), किसी भी समुच्चय के पावर समुच्चय के अस्तित्व को पावर समुच्चय के स्वयंसिद्ध द्वारा पोस्ट किया गया है। इसकी पावर S के रूप में विभिन्न P(S) , 𝒫(S), P(S), $\mathbb {P} (S)$, $\wp (X)$, या 2^S के रूपों से निरूपित की जाती है। 2^S के अंकन अर्ताथ जिसका अर्थ है कि सभी फंक्शनों का समुच्चय S से दो तत्वों के दिए गए समुच्चय (जैसे, {0, 1}) के लिए किया जाता है, क्योंकि का उपयोग किया जाता है क्योंकि पॉवरसेट S के साथ पहचाना जा सकता है, जो इसके बराबर, या सभी फंक्शनों के समुच्चय के समुच्चय के बराबर है, जिसमें दिए गए S के दो तत्वों को समुच्चय करने के लिए किया जाता हैं।

S का कोई उपसमुच्चय P(S) समुच्चय समूह कहा जाता है ।

उदाहरण

यदि S समुच्चय है {x, y, z}, फिर सभी उपसमुच्चय S हैं

• {} (यह भी निरूपित है $\varnothing$ या $\emptyset$, रिक्त समुच्चय या अशक्त समुच्चय)
• {x}
• {y}
• {z}
• {x, y}
• {x, z}
• {y, z}
• {x, y, z}

{{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} और इसलिए की पावर समुच्चय S है ।

गुण

यदि S प्रमुखता के साथ परिमित समुच्चय |S| = n है, (अर्ताथ किसी समुच्चय में सभी n तत्वों की संख्या S है), फिर |P(S)| = 2ⁿ के सभी उपसमुच्चयों की संख्या S है। इस तथ्य और इसके साथ ही संकेतन का कारण 2^S पावर समुच्चय को दर्शाते हुए P(S) को नीचे दिए गए मानों में प्रदर्शित किया जाता है।

किसी संकेतक फ़ंक्शन या कार्डिनलिटी के साथ समुच्चय S के उपसमुच्चय ए का विशिष्ट फंक्शन | S |= n S से दो तत्वों के लिए फ़ंक्शन {0, 1} है , जिसमें i_A: S → {0, 1} के रूप में निरूपित, और यह इंगित करता है कि S का तत्व A से संबंधित है या नहीं;अगर X इन s से संबंधित है, तो I_A(x) = 1, और 0 अन्यथा।S के प्रत्येक उपसमुच्चय A को संकेतक फ़ंक्शन 'I_A' के बराबर या समतुल्य किया जाता है, और {0,1}^S S से सभी फंक्शनों के समुच्चय के रूप में {0,1} अन्य शब्दों में S के सभी उपसमुच्चय के सभी संकेतक फंक्शन सम्मिलित करता हैं, इस प्रकार {0,1}^S पावर समुच्चय के बराबर या बायजमेंट P(S) है ।चूंकि S में प्रत्येक तत्व किसी भी फ़ंक्शन के अनुसार 0 या 1 से मेल खाता है, इस प्रकार {0,1}^S में सभी फंक्शनों की संख्या {0,1}^S 2ⁿ है। चूंकि नंबर 2 को {0,1} रूप में परिभाषित किया जा सकता है (देखें, उदाहरण के लिए, वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल ), P(S) के रूप में भी निरूपित है, जो 2^S को |2^S| = 2^|S| होल्ड्स के रूप में निरूपित करता हैं। सामान्यतः, x^Y y से x और सभी फंक्शनों का समुच्चय |X^Y| = |X|^|Y|है।

कैंटर का विकर्ण तर्क जनरल समुच्चय्स या कैंटर के विकर्ण तर्क से पता चलता है कि समुच्चय का पावर समुच्चय (चाहे अनंत या नहीं) सदैव समुच्चय की तुलना में कड़ाई से उच्च कार्डिनलिटी हो (या अनौपचारिक रूप से, पावर समुच्चय मूल समुच्चय से बड़ा होना चाहिए)। विशेष रूप से, कैंटर के प्रमेय से पता चलता है कि गिनती योग्य समुच्चय समुच्चय का पावर समुच्चय का अत्यधिक अनंत है।प्राकृतिक संख्या ओं के समुच्चय के पावर समुच्चय को बायजेक्शन में रखा जा सकता है। वास्तविक संख्या ओं के समुच्चय के साथ एक-से-एक पत्राचार (कंटिनम की कार्डिनैलिटी देखें) होते हैं।

एक समुच्चय का पावर समुच्चय S, संघ (समुच्चय सिद्धांत), चौराहे (समुच्चय सिद्धांत) और पूरक (समुच्चय सिद्धांत) के संचालन के साथ, बूलियन बीजगणित (संरचना) के प्रोटोटाइपिक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। वास्तव में, कोई यह दिखा सकता है कि कोई भी परिमित बूलियन बीजगणित परिमित समुच्चय के पावर समुच्चय के बूलियन बीजगणित के लिए आइसोमॉर्फिक है।अनंत बूलियन बीजगणित के लिए, यह अब सच नहीं है, किन्तु प्रत्येक अनंत बूलियन बीजगणित को पावर समुच्चय बूलियन बीजगणित (स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय देखें) के उप -क्षेत्र के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक समुच्चय का पावर समुच्चय S एबेलियन समूह बनाता है जब इसे सममित अंतर के संचालन के साथ माना जाता है (पहचान तत्व के रूप में रिक्त समुच्चय के साथ और प्रत्येक समुच्चय अपने स्वयं के व्युत्क्रम के रूप में होता है), और अंतःखण्ड के संचालन के साथ विचार किए जाने पर विनिमेय मोनॉयड को निरूपित करता हैं। इसलिए यह दिखाया जा सकता है, वितरणात्मक संपत्ति को प्रमाणित करके इन दोनों ऑपरेशनों के साथ साथ माना जाने वाला पावर सेट के लिए बूलियन रिंग बनाता है।

फ़ंक्शंस के रूप में उपसमुच्चय का प्रतिनिधित्व करना

समुच्चय सिद्धांत में, X^Y से सभी फ़ंक्शन (गणित) के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करने वाला संकेतन है Y को X।के रूप में 2 के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {0,1} (देखें, उदाहरण के लिए, वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल), 2^S (अर्थात, {0,1}^S) से सभी फ़ंक्शन (गणित) का समुच्चय है S को {0,1}।पावर समुच्चय के रूप में#गुण, 2^S और की पावर समुच्चय S, P(S), समान समुच्चय-सिद्धांत माना जाता है।

इस तुल्यता को उदाहरण पावर समुच्चय उदाहरण पर लागू किया जा सकता है, जिसमें S = {x, y, z}, 0 से संख्याओं के बाइनरी अभ्यावेदन के साथ समाकृतिकता प्राप्त करने के लिए 2ⁿ − 1, साथ n समुच्चय में तत्वों की संख्या होने के साथ-साथ S या |S| = n। सबसे पहले, एन्यूमरेटेड समुच्चय { (x, 1), (y, 2), (z, 3) } को परिभाषित किया गया है जिसमें प्रत्येक आदेशित जोड़ी में संख्या युग्मित तत्व की स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है, जिसमें S मान के अनुसार इसके जैसे बाइनरी अंकों के अनुक्रम में {x, y} = 011₍₂₎; x का S इस अनुक्रम के दाईं ओर से पहले स्थित है और y दाईं ओर से दूसरे पर है, और अनुक्रम में 1 का अर्थ है तत्व S अनुक्रम में इसकी स्थिति के अनुरूप उपसमुच्चय में सम्मिलित है, इस प्रकार S अनुक्रम के लिए जबकि 0 का अर्थ है कि नहीं है।

इसकी पूरी पावर समुच्चय के लिए S, हम पाते हैं:

उपसमुच्चय	बाइनरी अंकों का अनुक्रम	बाइनरी व्याख्या	बराबर दशमलव
{ }	0, 0, 0	000(2)	0(10)
{ x }	0, 0, 1	001(2)	1(10)
{ y }	0, 1, 0	010(2)	2(10)
{ x, y }	0, 1, 1	011(2)	3(10)
{ z }	1, 0, 0	100(2)	4(10)
{ x, z }	1, 0, 1	101(2)	5(10)
{ y, z }	1, 1, 0	110(2)	6(10)
{ x, y, z }	1, 1, 1	111(2)	7(10)

इस प्रकार P(S) का मान इसके पूर्णांकों के समान रहता है, इसलिए सभी उपसमुच्चयों का यह प्रतिनिधित्व S करता है जिसका मान अद्वितीय नहीं है, किन्तु एन्यूमरेटेड समुच्चय का क्रम क्रम इसके कार्डिनैलिटी को परिवर्तित नहीं करता है।(उदाहरण के लिए { (y, 1), (z, 2), (x, 3) } का उपयोग और द्विध्रुव के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसमें P(S) एक-से-एक पत्राचार की संख्या को परिवर्तित किए बिना पूर्णांक के लिए उपयोग करता हैं।)

चूंकि, इस प्रकार के परिमित बाइनरी प्रतिनिधित्व केवल तभी संभव है जब S को गणना की जा सकती है। (इस उदाहरण में, x, y, और z बाइनरी अंक अनुक्रमों की स्थिति के रूप में क्रमशः 1, 2, और 3 के साथ गणना की जाती है।) इस प्रकार एन्यूमरेशन संभव है भले ही संभव हो S अनंत कार्डिनैलिटी है (अर्ताथ, इसके तत्वों की संख्या S के लिए अनंत है), जैसे कि पूर्णांक या तर्कसंगत का समुच्चय, किन्तु उदाहरण के लिए संभव नहीं है यदि S वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तो जिस स्थिति में हम सभी तर्कहीन संख्याओं की गणना नहीं कर सकते हैं।

द्विपद प्रमेय से संबंध

द्विपद प्रमेय पावर समुच्चय से निकटता से संबंधित है। किसी k के लिए इसके कुछ समुच्चयों से संयोजन के लिए और k-लमेंट्स उपसमुच्चय के नाम रहते हैं, इसलिए संयोजनों की संख्या के रूप में निरूपित होने वाले C(n, k) (जिसे बिनोमियल गुणांक भी कहा जाता है) के साथ कई उपसमुच्चय है, इस प्रकार k के साथ समुच्चय में तत्व n तत्व;दूसरे शब्दों में यह समुच्चय की संख्या है, k तत्व जो समुच्चय के n तत्वों के पावर सेट के तत्व हैं।

उदाहरण के लिए, तीन तत्वों के साथ समुच्चय का पावर समुच्चय है:

• C (3, 0) = 1 उपसमुच्चय 0 तत्वों के साथ (रिक्त उपसमुच्चय),
• C (3, 1) = 3 उपसमुच्चय 1 तत्व के साथ (सिंगलटन उपसमुच्चय),
• C (3, 2) = 3 उपसमुच्चय 2 तत्वों के साथ (सिंगलटन उपसमुच्चय का पूरक),
• C (3, 3) = 1 3 तत्वों के साथ उपसमुच्चय (मूल समुच्चय ही)।

इस संबंध का उपयोग करते हुए, हम गणना कर सकते हैं, जिसके लिए ${\textstyle \left|2^{S}\right|}$ सूत्र का उपयोग करना:

$$\left|2^{S}\right|=\sum _{k=0}^{|S|}{\binom {|S|}{k}}$$

इसलिए, कोई निम्नलिखित पहचान को कम कर सकता है, यह मानकर ${\textstyle |S|=n}$:

$$\left|2^{S}\right|=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}$$

पुनरावर्ती परिभाषा

यदि $S$ परिमित समुच्चय है, फिर पुनरावर्ती परिभाषा है $P(S)$ निम्नानुसार हैं:

• यदि $S=\{\}$, तब $P(S)=\{\,\{\}\,\}$।
• अन्यथा, चलो $e\in S$ और $T=S\setminus \{e\}$;तब $P(S)=P(T)\cup \{t\cup \{e\}:t\in P(T)\}$।

शब्दों में:

• रिक्त समुच्चय का पावर समुच्चय सिंगलटन (गणित) है जिसका एकमात्र तत्व रिक्त समुच्चय है।
• एक गैर-रिक्त समुच्चय के लिए $S$, होने देना $e$ समुच्चय का कोई तत्व हो और $T$ इसके समीपस्थ पूरक को पुनः पावर समुच्चय $S$ पावर समुच्चय का संघ समुच्चय सिद्धांत है, इस प्रकार $T$ और का पावर समुच्चय $T$ जिसके प्रत्येक तत्व का विस्तार $e$ तत्व के अनुसार किया जाता है ।

सीमित कार्डिनलिटी के उपसमुच्चय

इस उपसमुच्चय का समुच्चय S कार्डिनलिटी से कम या उसके बराबर κ कभी -कभी P_κ(S) या [S]^κ द्वारा निरूपित किया जाता है, और कार्डिनलिटी के साथ उपसमुच्चय का समुच्चय सख्ती से कम κ कभी -कभी P_{< κ}(S) या [S]^<κ द्वारा निरूपित किया जाता है। इसी प्रकार गैर-रिक्त उपसमुच्चय P_{≥ 1}(S) या P⁺(S) का समुच्चय S द्वारा निरूपित किया जा सकता है ।

पावर ऑब्जेक्ट

किसी समुच्चय को बीजगणित के रूप में माना जाता है जिसमें कोई गैर संचालन या समीकरणों को परिभाषित नहीं किया जाता है। इस दृष्टिकोण से पावर समुच्चय का विचार X के उपसमुच्चय के समुच्चय के रूप में X स्वाभाविक रूप से बीजीय संरचना या बीजगणित के सबलेगैब्रस को सामान्यीकृत करता है।

एक समुच्चय का पावर समुच्चय, जब समावेश द्वारा आदेश दिया जाता है, सदैव पूर्ण परमाणु बूलियन बीजगणित होता है, और हर पूर्ण परमाणु बूलियन बीजगणित कुछ समुच्चय के सभी उपसमुच्चय के ऑर्डर के रूप में उत्पन्न होता है। इस विधि से बीजगणित करने के लिए सामान्यीकरण यह है कि बीजगणित के उप -समूह का समुच्चय, फिर से समावेश द्वारा आदेश दिया जाता है, इस प्रकार सदैव बीजगणितीय ऑर्डर होता है, और हर बीजीय ऑर्डर कुछ बीजगणित के सबलेगैब्रस की ऑर्डर के रूप में उत्पन्न होती है। तो इस संबंध में, सबलगेब्रस उपसमुच्चय के अनुरूप व्यवहार करते हैं।

चूंकि, उपसमुच्चय के दो महत्वपूर्ण गुण हैं जो सामान्य रूप से सबलेगेब्रस तक नहीं ले जाते हैं। सबसे पहले, चूंकि समुच्चय के उपसमुच्चय समुच्चय (साथ ही ऑर्डर) के रूप में, कुछ वर्गों में बीजगणित के उप -वर्गीकरण को उस वर्ग में बीजगणित के रूप में व्यवस्थित करना संभव नहीं हो सकता है, चूंकि उन्हें सदैव ऑर्डर के रूप में आयोजित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में समुच्चय के उपसमुच्चय्स उस समुच्चय से समुच्चय {0,1} = 2 तक के फंक्शनों के साथ ब्यूचमेंट में प्रकट होता हैं, इस बात की कोई गारंटी नहीं रहती हैं कि बीजगणित के वर्ग में बीजगणित होता है जो इस प्रकार से 2 की भूमिका निभा सकते है।

बीजगणित के कुछ वर्ग इन दोनों गुणों का आनंद लेते हैं। इसके पहले के मान अधिक सामान्य रहते हैं, दोनों स्थितियाँ अपेक्षाकृत दुर्लभ रहती है। इसका एक वर्ग जो दोनों के लिए समान है वह बहुमूल्य अवस्था में रहता है। इसके दो मल्टीग्राफ G और H, समरूपता h: G → H दिए गए है, जो दो फंक्शनों से मिलकर, मैपिंग अक्षों टू अक्षों और दूसरा मैपिंग किनारों को किनारों पर प्रकट होते हैं। इस प्रकार समुच्चय H^G से समरूपता G को H फिर उस ग्राफ के रूप में आयोजित किया जाता है जिसके अक्षों और किनारों को क्रमशः उस समुच्चय में दिखाई देने वाले शीर्ष और किनारे के फंक्शन होते हैं। इसके अतिरिक्त मल्टीग्राफ के सबग्राफ G से ग्राफ होमोमोर्फिज्म के साथ ब्यूचमेंट में हैं, जिसमें G मल्टीग्राफ के लिए Ω दो कोने पर पूर्ण ग्राफ के रूप में निश्चित रहता हैं (इसलिए चार किनारों, अर्थात् दो आत्म-लूप और चक्र बनाने वाले दो और किनारों) को पांचवें किनारे के साथ संवर्धित किया जाता हैं, अर्थात् अक्षों में दूसरा लूप रहता हैं। इसलिए हम सबग्राफ को व्यवस्थित कर सकते हैं, इस कारण G मल्टीग्राफ के रूप में Ω^G, G की पावर वस्तु कहा जाता है।

एक बीजगणित के रूप में मल्टीग्राफ के बारे में जो विशेष है, वह यह है कि इसके संचालन असंबद्ध हैं। इस मल्टीग्राफ में समुच्चय बनाने वाले दो प्रकार के तत्व V अक्षों की और E किनारों पर होते हैं, और इसके दो अनियमित संचालन s,t: E → V प्रत्येक किनारे के स्रोत (प्रारंभ) और लक्ष्य (अंत) कोने देना हैं। इस बीजगणित के सभी जिनके संचालन को अनियमित किया जाता है, उन्हें प्रेसफ कहा जाता है। प्रेसहीव्स के हर वर्ग में प्रीसीफ होता है, जिसमें Ω सबलगेब्रस के लिए भूमिका प्रकट करता है, जो 2 उपसमुच्चय के लिए उपयोग किया जाता हैं। इस प्रकार का वर्ग श्रेणी (गणित) के रूप में प्राथमिक टॉपोस की अधिक सामान्य धारणा की विशेष स्थिति को प्रकट करता है जो बंद श्रेणी (और इसके अतिरिक्त कार्टेशियन बंद श्रेणी ) है और वस्तु है Ω, सबबोजज वर्गीकरणकर्ता कहा जाता है। यद्यपि शब्द पावर ऑब्जेक्ट को कभी -कभी घातीय वस्तु के साथ समानार्थक रूप से उपयोग किया जाता है, इस प्रकार यह Y^X, Ω टॉपोस सिद्धांत में Y होना आवश्यक है ।

फंक्शनर्स और क्वांटिफ़ायर

श्रेणी सिद्धांत और प्राथमिक टॉपोस के सिद्धांत में, सार्वभौमिक परिमाणक को पावर समुच्चय के बीच फ़ंक्शनर के सही आसन्न के रूप में समझा जा सकता है, समुच्चय के बीच फ़ंक्शन की व्युत्क्रम प्रतिबिंब फ़न्क्टर, इसी प्रकार, अस्तित्वगत क्वांटिफायर बाएं आसन्न रहते है।

यह भी देखें

• कैंटर का प्रमेय
• समुच्चय का समूह
• समुच्चय का क्षेत्र
• सभी कश्मीर के लिए के-कॉम्बिनेशन की संयोजन संख्या

ग्रन्थसूची

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
• Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.

बाहरी कड़ियाँ

• Power set at PlanetMath.
• Power set at the nLab
• Power object at the nLab
• Power set Algorithm in C++