बृहत् वृत्त: Difference between revisions
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[[File:Great circle hemispheres.png|thumb|right|एक बड़ा वृत्त गोले को दो बराबर अर्धगोले में विभाजित करता है।]]गणित में, | अन्य उपयोग| | ||
एक बड़े वृत्त का कोई भी वृत्ताकार चाप, गोले का भूगणितीय होता है, इसलिए [[गोलाकार ज्यामिति]] में बड़े वृत्त [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में [[रेखा (ज्यामिति)]] के प्राकृतिक अनुरूप होते हैं। गोले पर अलग-अलग गैर-[[एंटीपोडल बिंदु]] [[बिंदु (ज्यामिति)]] की किसी भी जोड़ी के लिए, दोनों के बीच से गुजरने वाला एक अनूठा बड़ा चक्र है। (किसी भी बिंदु से होकर जाने वाला प्रत्येक बड़ा वृत्त अपने प्रति[[व्यास]] बिंदु से होकर भी गुजरता है, इसलिए दो प्रतिव्यास बिंदुओं के माध्यम से असीम रूप से कई बड़े वृत्त होते हैं।) गोले पर दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच दो बड़े वृत्त के छोटे चाप को लघु चाप कहा जाता है, | द बृहत् वृत्त (disambiguation){{!}}द बृहत् वृत्त}} | ||
[[File:Great circle hemispheres.png|thumb|right|एक बड़ा वृत्त गोले को दो बराबर अर्धगोले में विभाजित करता है।]]गणित में, बड़ा [[वृत्त]] या ऑर्थोड्रोम गोले का वृत्ताकार प्रतिच्छेदन (ज्यामिति) एवं समतल (ज्यामिति) आपतन (ज्यामिति) गोले का [[केंद्र (ज्यामिति)]] होता है।<ref>{{Cite web |last=W. |first=Weisstein, Eric |title=ग्रेट सर्किल - वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html |access-date=2022-09-30 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite book |last1=Weintrit |first1=Adam |url=https://dl.acm.org/doi/abs/10.5555/2788309 |title=नेविगेशन में लॉक्सोड्रोम (रंब लाइन), ऑर्थोड्रोम (ग्रेट सर्कल), ग्रेट एलिप्से और जियोडेटिक लाइन (जियोडेसिक)|last2=Kopcz |first2=Piotr |date=2014 |publisher=CRC Press, Inc. |isbn=978-1-138-00004-9 |location=USA }}</ref> | |||
एक बड़े वृत्त का कोई भी वृत्ताकार चाप, गोले का भूगणितीय होता है, इसलिए [[गोलाकार ज्यामिति]] में बड़े वृत्त [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में [[रेखा (ज्यामिति)]] के प्राकृतिक अनुरूप होते हैं। गोले पर अलग-अलग गैर-[[एंटीपोडल बिंदु]] [[बिंदु (ज्यामिति)]] की किसी भी जोड़ी के लिए, दोनों के बीच से गुजरने वाला एक अनूठा बड़ा चक्र है। (किसी भी बिंदु से होकर जाने वाला प्रत्येक बड़ा वृत्त अपने प्रति[[व्यास]] बिंदु से होकर भी गुजरता है, इसलिए दो प्रतिव्यास बिंदुओं के माध्यम से असीम रूप से कई बड़े वृत्त होते हैं।) गोले पर दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच दो बड़े वृत्त के छोटे चाप को लघु चाप कहा जाता है, एवं उनके बीच सबसे छोटा सतह-पथ है। इसकी चाप की लंबाई बिंदुओं (एक गोले पर [[आंतरिक मीट्रिक]]) के बीच की महान-वृत्त दूरी है, एवं दो बिंदुओं एवं गोले के केंद्र द्वारा गठित [[केंद्रीय कोण]] के [[कोण माप]] के समानुपाती होती है। | |||
एक बड़ा वृत्त सबसे बड़ा वृत्त है जिसे किसी दिए गए गोले पर खींचा जा सकता है। किसी भी बड़े वृत्त का कोई भी व्यास गोले के व्यास के साथ मेल खाता है, | एक बड़ा वृत्त सबसे बड़ा वृत्त है जिसे किसी दिए गए गोले पर खींचा जा सकता है। किसी भी बड़े वृत्त का कोई भी व्यास गोले के व्यास के साथ मेल खाता है, एवं इसलिए हर बड़ा वृत्त गोले के साथ संकेंद्रित वस्तु है एवं समान त्रिज्या साझा करता है। एक गोले के किसी भी अन्य वृत्त को एक छोटा वृत्त कहा जाता है, एवं यह उस गोले का प्रतिच्छेदन है जिसके केंद्र से कोई समतल नहीं गुजरता है। छोटे वृत्त यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मंडलियों के गोलाकार-ज्यामिति एनालॉग हैं। | ||
यूक्लिडियन 3-स्पेस में प्रत्येक वृत्त ठीक एक गोले का एक बड़ा वृत्त है। | यूक्लिडियन 3-स्पेस में प्रत्येक वृत्त ठीक एक गोले का एक बड़ा वृत्त है। | ||
एक बड़े वृत्त से घिरी हुई [[डिस्क (गणित)]] को एक बड़ी डिस्क कहा जाता है: यह एक [[गेंद (ज्यामिति)]] | एक बड़े वृत्त से घिरी हुई [[डिस्क (गणित)]] को एक बड़ी डिस्क कहा जाता है: यह एक [[गेंद (ज्यामिति)]] एवं उसके केंद्र से गुजरने वाले समतल का प्रतिच्छेदन है। | ||
उच्च आयामों में, n-sphere|n-sphere पर महान वृत्त n-sphere के 2-विमानों के प्रतिच्छेदन हैं जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्पत्ति के माध्यम से गुजरते हैं {{math|'''R'''<sup>''n'' + 1</sup>}}. | उच्च आयामों में, n-sphere|n-sphere पर महान वृत्त n-sphere के 2-विमानों के प्रतिच्छेदन हैं जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्पत्ति के माध्यम से गुजरते हैं {{math|'''R'''<sup>''n'' + 1</sup>}}. | ||
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यूलर-लैग्रेंज समीकरण के अनुसार, <math>S[\gamma]</math> कम से कम अगर | यूलर-लैग्रेंज समीकरण के अनुसार, <math>S[\gamma]</math> कम से कम अगर एवं केवल अगर है | ||
:<math> \frac{\sin^2\theta\phi'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=C</math>, | :<math> \frac{\sin^2\theta\phi'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=C</math>, | ||
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:<math> \frac{\sin\theta\cos\theta\phi'^2}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=\frac{d}{dt}\frac{\theta'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}.</math> | :<math> \frac{\sin\theta\cos\theta\phi'^2}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=\frac{d}{dt}\frac{\theta'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}.</math> | ||
इन दोनों के पहले समीकरण से यह प्राप्त किया जा सकता है | इन दोनों के पहले समीकरण से यह प्राप्त किया जा सकता है | ||
:<math> \phi'=\frac{C\theta'}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-C^2}}</math>. | :<math> \phi'=\frac{C\theta'}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-C^2}}</math>. | ||
दोनों पक्षों को एकीकृत करना | दोनों पक्षों को एकीकृत करना एवं सीमा की स्थिति पर विचार करना, का वास्तविक समाधान <math>C</math> शून्य है। इस प्रकार, <math>\phi'=0</math> एवं <math>\theta</math> 0 एवं के बीच कोई भी मान हो सकता है <math>\theta_0</math>, यह दर्शाता है कि वक्र गोले के एक याम्योत्तर पर स्थित होना चाहिए। कार्तीय निर्देशांक में, यह है | ||
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जो कि मूल बिंदु से होकर जाने वाला एक तल है, अर्थात, गोले का केंद्र। | जो कि मूल बिंदु से होकर जाने वाला एक तल है, अर्थात, गोले का केंद्र। | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
खगोलीय क्षेत्र पर महान वृत्तों के कुछ उदाहरणों में [[[[आकाश]]ीय क्षितिज]], [[आकाशीय [[भूमध्य रेखा]]]] | खगोलीय क्षेत्र पर महान वृत्तों के कुछ उदाहरणों में [[[[आकाश]]ीय क्षितिज]], [[आकाशीय [[भूमध्य रेखा]]]] एवं [[क्रांतिवृत्त]] शामिल हैं। हवा या समुद्र के लिए पृथ्वी की सतह पर एक दीर्घवृत्ताभ पर भू-भौतिकी के सटीक सन्निकटन के रूप में ग्रेट सर्किल का भी उपयोग किया जाता है [[ग्रेट-सर्कल नेविगेशन]] (हालांकि यह [[पृथ्वी का आकार]] है), साथ ही गोलाकार आकाशीय पिंडों पर भी। | ||
आदर्श पृथ्वी का भूमध्य रेखा एक बड़ा चक्र है | आदर्श पृथ्वी का भूमध्य रेखा एक बड़ा चक्र है एवं कोई भी मध्याह्न रेखा एवं इसके विपरीत भूमध्य रेखा एक महान चक्र बनाती है। एक एवं बड़ा वृत्त वह है जो [[भूमि और जल गोलार्ध|भूमि एवं जल गोलार्ध]]ों को विभाजित करता है। एक बड़ा वृत्त पृथ्वी को पृथ्वी के दो गोलार्द्धों में विभाजित करता है एवं यदि एक बड़ा वृत्त एक बिंदु से होकर गुजरता है तो उसे अपने प्रतिध्रुव बिंदु से होकर गुजरना होगा। | ||
[[फंक ट्रांसफॉर्म]] क्षेत्र के सभी महान मंडलियों के साथ एक समारोह को एकीकृत करता है। | [[फंक ट्रांसफॉर्म]] क्षेत्र के सभी महान मंडलियों के साथ एक समारोह को एकीकृत करता है। | ||
Revision as of 10:50, 27 April 2023
गणित में, बड़ा वृत्त या ऑर्थोड्रोम गोले का वृत्ताकार प्रतिच्छेदन (ज्यामिति) एवं समतल (ज्यामिति) आपतन (ज्यामिति) गोले का केंद्र (ज्यामिति) होता है।[1][2]
एक बड़े वृत्त का कोई भी वृत्ताकार चाप, गोले का भूगणितीय होता है, इसलिए गोलाकार ज्यामिति में बड़े वृत्त यूक्लिडियन अंतरिक्ष में रेखा (ज्यामिति) के प्राकृतिक अनुरूप होते हैं। गोले पर अलग-अलग गैर-एंटीपोडल बिंदु बिंदु (ज्यामिति) की किसी भी जोड़ी के लिए, दोनों के बीच से गुजरने वाला एक अनूठा बड़ा चक्र है। (किसी भी बिंदु से होकर जाने वाला प्रत्येक बड़ा वृत्त अपने प्रतिव्यास बिंदु से होकर भी गुजरता है, इसलिए दो प्रतिव्यास बिंदुओं के माध्यम से असीम रूप से कई बड़े वृत्त होते हैं।) गोले पर दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच दो बड़े वृत्त के छोटे चाप को लघु चाप कहा जाता है, एवं उनके बीच सबसे छोटा सतह-पथ है। इसकी चाप की लंबाई बिंदुओं (एक गोले पर आंतरिक मीट्रिक) के बीच की महान-वृत्त दूरी है, एवं दो बिंदुओं एवं गोले के केंद्र द्वारा गठित केंद्रीय कोण के कोण माप के समानुपाती होती है।
एक बड़ा वृत्त सबसे बड़ा वृत्त है जिसे किसी दिए गए गोले पर खींचा जा सकता है। किसी भी बड़े वृत्त का कोई भी व्यास गोले के व्यास के साथ मेल खाता है, एवं इसलिए हर बड़ा वृत्त गोले के साथ संकेंद्रित वस्तु है एवं समान त्रिज्या साझा करता है। एक गोले के किसी भी अन्य वृत्त को एक छोटा वृत्त कहा जाता है, एवं यह उस गोले का प्रतिच्छेदन है जिसके केंद्र से कोई समतल नहीं गुजरता है। छोटे वृत्त यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मंडलियों के गोलाकार-ज्यामिति एनालॉग हैं।
यूक्लिडियन 3-स्पेस में प्रत्येक वृत्त ठीक एक गोले का एक बड़ा वृत्त है।
एक बड़े वृत्त से घिरी हुई डिस्क (गणित) को एक बड़ी डिस्क कहा जाता है: यह एक गेंद (ज्यामिति) एवं उसके केंद्र से गुजरने वाले समतल का प्रतिच्छेदन है। उच्च आयामों में, n-sphere|n-sphere पर महान वृत्त n-sphere के 2-विमानों के प्रतिच्छेदन हैं जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्पत्ति के माध्यम से गुजरते हैं Rn + 1.
सबसे छोटे रास्तों की व्युत्पत्ति
यह साबित करने के लिए कि एक बड़े वृत्त का लघु चाप एक गोले की सतह पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा रास्ता है, इसमें विविधताओं की कलन लागू की जा सकती है।
एक बिंदु से सभी नियमित पथों की कक्षा पर विचार करें दूसरे बिंदु पर . गोलाकार निर्देशांक पेश करें ताकि उत्तरी ध्रुव से मेल खाता है। गोले पर कोई भी वक्र जो किसी भी ध्रुव को नहीं काटता है, संभवत: अंतिम बिंदुओं को छोड़कर, पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है
बशर्ते हम अनुमति दें मनमाना वास्तविक मूल्यों को लेने के लिए। इन निर्देशांकों में अपरिमेय चाप की लंबाई है
तो एक वक्र की लंबाई से को द्वारा दिए गए वक्र का एक कार्यात्मक (गणित) है
यूलर-लैग्रेंज समीकरण के अनुसार, कम से कम अगर एवं केवल अगर है
- ,
कहाँ एक है -स्वतंत्र स्थिरांक, एवं
इन दोनों के पहले समीकरण से यह प्राप्त किया जा सकता है
- .
दोनों पक्षों को एकीकृत करना एवं सीमा की स्थिति पर विचार करना, का वास्तविक समाधान शून्य है। इस प्रकार, एवं 0 एवं के बीच कोई भी मान हो सकता है , यह दर्शाता है कि वक्र गोले के एक याम्योत्तर पर स्थित होना चाहिए। कार्तीय निर्देशांक में, यह है
जो कि मूल बिंदु से होकर जाने वाला एक तल है, अर्थात, गोले का केंद्र।
अनुप्रयोग
खगोलीय क्षेत्र पर महान वृत्तों के कुछ उदाहरणों में [[आकाशीय क्षितिज]], [[आकाशीय भूमध्य रेखा]] एवं क्रांतिवृत्त शामिल हैं। हवा या समुद्र के लिए पृथ्वी की सतह पर एक दीर्घवृत्ताभ पर भू-भौतिकी के सटीक सन्निकटन के रूप में ग्रेट सर्किल का भी उपयोग किया जाता है ग्रेट-सर्कल नेविगेशन (हालांकि यह पृथ्वी का आकार है), साथ ही गोलाकार आकाशीय पिंडों पर भी।
आदर्श पृथ्वी का भूमध्य रेखा एक बड़ा चक्र है एवं कोई भी मध्याह्न रेखा एवं इसके विपरीत भूमध्य रेखा एक महान चक्र बनाती है। एक एवं बड़ा वृत्त वह है जो भूमि एवं जल गोलार्धों को विभाजित करता है। एक बड़ा वृत्त पृथ्वी को पृथ्वी के दो गोलार्द्धों में विभाजित करता है एवं यदि एक बड़ा वृत्त एक बिंदु से होकर गुजरता है तो उसे अपने प्रतिध्रुव बिंदु से होकर गुजरना होगा।
फंक ट्रांसफॉर्म क्षेत्र के सभी महान मंडलियों के साथ एक समारोह को एकीकृत करता है।
यह भी देखें
- छोटा घेरा
- एक गोले का घेरा
- ग्रेट-सर्कल दूरी
- ग्रेट-सर्कल नेविगेशन
- महान दीर्घवृत्त
- रंब रेखा
संदर्भ
- ↑ W., Weisstein, Eric. "ग्रेट सर्किल - वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2022-09-30.
{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) - ↑ Weintrit, Adam; Kopcz, Piotr (2014). नेविगेशन में लॉक्सोड्रोम (रंब लाइन), ऑर्थोड्रोम (ग्रेट सर्कल), ग्रेट एलिप्से और जियोडेटिक लाइन (जियोडेसिक). USA: CRC Press, Inc. ISBN 978-1-138-00004-9.
बाहरी संबंध
- Great Circle – from MathWorld Great Circle description, figures, and equations. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
- Great Circles on Mercator's Chart by John Snyder with additional contributions by Jeff Bryant, Pratik Desai, and Carl Woll, Wolfram Demonstrations Project.
- Navigational Algorithms Archived 2018-10-16 at the Wayback Machine Paper: The Sailings.
- Chart Work - Navigational Algorithms Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix.
