ग्रेट-सर्कल नेविगेशन

ऑर्थोड्रोमिक पाठ्यक्रम पृथ्वी ग्लोब पर खींचा गया।

ग्रेट-सर्कल नेविगेशन या ऑर्थोड्रोमिक नेविगेशन (ऑर्थोड्रोमिक कोर्स से संबंधित; from Ancient Greek ορθός (orthós) 'right angle', and δρόμος (drómos) 'path') एक बृहत् वृत्त के साथ एक जलयान (जलयान या विमान) को मार्गदर्शन करने का अभ्यास है। इस तरह के मार्ग ग्लोब पर दो बिंदुओं के बीच सबसे कम दूरी तय करते हैं।^[1]

कार्य प्रणाली

चित्र 1. (φ₁, एल₁) और (φ₂, एल₂).

गोलाकार त्रिकोणमिति का उपयोग करके बृहत् वृत्त पथ पाया जा सकता है; यह व्युत्क्रम भूगणितीय समस्या का गोलाकार संस्करण है।

यदि एक नाविक P₁ = (φ₁,λ₁) पर शुरू होता है और बिंदु P₂ = (φ₂,λ₂) पर एक बिंदु पर बृहत् वृत्त की यात्रा करने की योजना बनाता है (चित्र 1 देखें, φ अक्षांश है, सकारात्मक उत्तर की ओर है, और λ देशांतर है , सकारात्मक पूर्व की ओर), प्रारंभिक और अंतिम पाठ्यक्रम α₁ और α₂ गोलाकार त्रिकोण को हल करने के लिए सूत्रों द्वारा दिए गए हैं

{\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}

जहाँ λ₁₂ = λ₂ − λ₁^{[note 1]} और α₁,α₂ के चतुर्भुज स्पर्शरेखा सूत्रों में अंश और भाजक के चिह्नों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं (उदाहरण के लिए, atan2 फलन का उपयोग करके)। दो बिंदुओं के बीच केंद्रीय कोण, σ₁₂, द्वारा दिया गया है

\tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.

^{[note 2]}^{[note 3]}

(इस सूत्र के अंश में वे मात्राएँ हैं जिनका उपयोग tanα₁ को निर्धारित करने के लिए किया गया था।) फिर बड़े वृत्त के साथ की दूरी s₁₂ = Rσ₁₂ होगी, जहाँ R पृथ्वी की कल्पित त्रिज्या है और σ₁₂ को रेडियन में व्यक्त किया गया है। माध्य पृथ्वी त्रिज्या का उपयोग करते हुए, R = R₁ ≈ 6,371 किमी (3,959 मील) दूरी s₁₂ के लिए परिणाम देता है जो WGS84 दीर्घवृत्त के लिए जियोडेसिक लंबाई के 1% के भीतर हैं; विवरण के लिए दीर्घवृत्ताभ पर जियोडेसिक्स देखें।

मार्ग-बिंदु ढूँढना

मार्ग-बिंदुओं को खोजने के लिए, जो कि P₁ और P₂ के बीच बृहत् वृत्त पर चयनित बिंदुओं की स्थिति है, हम पहले बृहत् वृत्त को उसके नोड A पर वापस एक्सट्रपलेशन करते हैं, वह बिंदु जिस पर बृहत् वृत्त उत्तर दिशा में भूमध्य रेखा को पार करता है: मान लें कि इस बिंदु का देशांतर λ₀ है - चित्र 1 देखें। इस बिंदु पर दिगंश, α₀, द्वारा दिया गया है

\tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.

^{[note 4]}

मान लें कि A से P₁ और P₂ तक बृहत् वृत्त के साथ कोणीय दूरी क्रमशः σ01 और σ02 है। फिर हमारे पास नेपियर के नियमों का उपयोग है

\tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad

(यदि φ₁ = 0 और α₁ = 1⁄2π, use σ₀₁ = 0).

इससे σ₀₁ प्राप्त होता है, जहां से σ₀₂ = σ₀₁ + σ₁₂.

नोड पर देशांतर से पाया जाता है

{\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}

चित्रा 2. एक नोड (एक भूमध्य रेखा क्रॉसिंग) और एक मनमानी बिंदु (φ, λ) के बीच बृहत् चक्र पथ।

अंत में, प्रत्यक्ष जियोडेसिक समस्या के गोलाकार संस्करण द्वारा, एक मनमाना बिंदु, P (चित्र 2 देखें) पर स्थिति और दिगंश की गणना करें।^{[note 5]} नेपियर के नियम देते हैं

{\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},

^{[note 6]}

{\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}

σ₀₁, λ, और α निर्धारित करने के लिए atan2 फलन का उपयोग किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, पथ का मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए, σ = 1⁄2(σ₀₁ + σ₀₂); वैकल्पिक रूप से बिंदु को शुरुआती बिंदु से दूरी d खोजने के लिए, σ = σ₀₁ + d/R लें। इसी तरह, शीर्ष, बृहत् पर बिंदु सबसे बड़े अक्षांश वाला वृत्त, σ = +1⁄2π को प्रतिस्थापित करके पाया जाता है। उपयोग करने वाले देशांतर के संदर्भ में मार्ग को मानकीकृत करना सुविधाजनक हो सकता है

\tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).

^{[note 7]}

देशांतर के नियमित अंतराल पर अक्षांश पाए जा सकते हैं और परिणामी स्थिति मर्केटर चार्ट में स्थानांतरित हो जाती है बड़े वृत्त को समकोण रेखाओं की एक श्रृंखला द्वारा अनुमानित करने की अनुमति देता है। इस तरह तय किया रास्ता निर्देशांक प्रदान करते हुए अंत बिंदुओं में शामिल होने वाला बृहत् दीर्घवृत्त देता है $(\phi ,\lambda )$ दीर्घवृत्त पर भौगोलिक निर्देशांक के रूप में व्याख्या की जाती है।

ये सूत्र पृथ्वी के गोलीय मॉडल पर लागू होते हैं। उनका उपयोग सहायक क्षेत्र पर बृहत् वृत्त के लिए हल करने में भी किया जाता है जो क्रांति के दीर्घवृत्ताभ पर सबसे छोटा रास्ता खोजने के लिए एक उपकरण है, या जियोडेसिक; दीर्घवृत्ताभ पर जियोडेसिक्स पर लेख देखें।

उदाहरण

वालपराइसो से बृहत् वृत्त मार्ग की गणना करें, φ₁ = −33°, λ₁ = −71.6°, से शंघाई, φ₂ = 31.4°, λ₂ = 121.8°.

पाठ्यक्रम और दूरी के सूत्र देते हैं λ₁₂ = −166.6°,^{[note 8]} α₁ = −94.41°, α₂ = −78.42°, और σ₁₂ = 168.56°. पृथ्वी की त्रिज्या लेना#औसत त्रिज्या होना R = 6371 किमी, दूरी है s₁₂ = 18743 किमी.

मार्ग के बिंदुओं की गणना करने के लिए, पहले खोजें α₀ = −56.74°, σ₀₁ = −96.76°, σ₀₂ = 71.8°, λ₀₁ = 98.07°, और λ₀ = −169.67°. फिर मार्ग के मध्यबिंदु की गणना करने के लिए (उदाहरण के लिए), लें σ = 1⁄2(σ₀₁ + σ₀₂) = −12.48°, और हल करें के लिए φ = −6.81°, λ = −159.18°, and α = −57.36°.

यदि WGS84 दीर्घवृत्त पर जियोडेसिक की सटीक गणना की जाती है,^[4] परिणाम αα₁ = −94.82°, α₂ = −78.29°, और s₁₂ = 18752किमी. जियोडेसिक का मध्यबिंदु है φ = −7.07°, λ = −159.31°, α = −57.45°

ग्नोमोनिक चार्ट

ग्नोमोनिक चार्ट पर खींची गई एक सीधी रेखा एक बृहत् वृत्त ट्रैक होगा। जब इसे किसी मर्केटर चार्ट में स्थानांतरित किया जाता है, तो यह एक वक्र बन जाता है। स्थितियों को देशांतर के सुविधाजनक अंतराल पर स्थानांतरित किया जाता है और यह मर्केटर चार्ट पर प्लॉट किया जाता है।

यह भी देखें

↑ In the article on great-circle distances, the notation Δλ = λ₁₂ and Δσ = σ₁₂ is used. The notation in this article is needed to deal with differences between other points, e.g., λ₀₁.
↑ A simpler formula is
$\cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};$
however, this is numerically less accurate if σ₁₂ small.
↑ These equations for α₁,α₂,σ₁₂ are suitable for implementation on modern calculators and computers. For hand computations with logarithms, Delambre's analogies^[2] were usually used:
${\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}$
McCaw^[3] refers to these equations as being in "logarithmic form", by which he means that all the trigonometric terms appear as products; this minimizes the number of table lookups required. Furthermore, the redundancy in these formulas serves as a check in hand calculations. If using these equations to determine the shorter path on the great circle, it is necessary to ensure that |λ₁₂| ≤ π (otherwise the longer path is found).
↑ A simpler formula is
$\sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};$
however, this is less accurate α₀ ≈ ±1⁄2π.
↑ The direct geodesic problem, finding the position of P₂ given P₁, α₁, and s₁₂, can also be solved by formulas for solving a spherical triangle, as follows,
${\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}$
The solution for way-points given in the main text is more general than this solution in that it allows way-points at specified longitudes to be found. In addition, the solution for σ (i.e., the position of the node) is needed when finding geodesics on an ellipsoid by means of the auxiliary sphere.
↑ A simpler formula is
$\sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;$
however, this is less accurate when φ ≈ ±1⁄2π
↑ The following is used: $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$
↑ λ₁₂ is reduced to the range [−180°, 180°] by adding or subtracting 360° as necessary

संदर्भ

↑ Adam Weintrit; Tomasz Neumann (7 June 2011). Methods and Algorithms in Navigation: Marine Navigation and Safety of Sea Transportation. CRC Press. pp. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.
↑ Todhunter, I. (1871). Spherical Trigonometry (3rd ed.). MacMillan. p. 26.
↑ McCaw, G. T. (1932). "Long lines on the Earth". Empire Survey Review. 1 (6): 259–263. doi:10.1179/sre.1932.1.6.259.
↑ Karney, C. F. F. (2013). "Algorithms for geodesics". Journal of Geodesy. 87 (1): 43–55. arXiv:1109.4448. Bibcode:2013JGeod..87...43K. doi:10.1007/s00190-012-0578-z.

बाहरी संबंध

Great Circle – from MathWorld Great Circle description, figures, and equations. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
Great Circle Mapper Interactive tool for plotting great circle routes.
Great Circle Calculator deriving (initial) course and distance between two points.
Great Circle Distance Graphical tool for drawing great circles over maps. Also shows distance and azimuth in a table.
Google assistance program for orthodromic navigation

[2] In the article on great-circle distances, the notation Δλ = λ₁₂ and Δσ = σ₁₂ is used. The notation in this article is needed to deal with differences between other points, e.g., λ₀₁.

[3] A simpler formula is
$\cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};$
however, this is numerically less accurate if σ₁₂ small.

[6] These equations for α₁,α₂,σ₁₂ are suitable for implementation on modern calculators and computers. For hand computations with logarithms, Delambre's analogies^[2] were usually used:
${\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}$
McCaw^[3] refers to these equations as being in "logarithmic form", by which he means that all the trigonometric terms appear as products; this minimizes the number of table lookups required. Furthermore, the redundancy in these formulas serves as a check in hand calculations. If using these equations to determine the shorter path on the great circle, it is necessary to ensure that |λ₁₂| ≤ π (otherwise the longer path is found).

[7] A simpler formula is
$\sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};$
however, this is less accurate α₀ ≈ ±1⁄2π.

[8] The direct geodesic problem, finding the position of P₂ given P₁, α₁, and s₁₂, can also be solved by formulas for solving a spherical triangle, as follows,
${\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}$
The solution for way-points given in the main text is more general than this solution in that it allows way-points at specified longitudes to be found. In addition, the solution for σ (i.e., the position of the node) is needed when finding geodesics on an ellipsoid by means of the auxiliary sphere.

[9] A simpler formula is
$\sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;$
however, this is less accurate when φ ≈ ±1⁄2π

[10] The following is used: $\cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})$

[11] λ₁₂ is reduced to the range [−180°, 180°] by adding or subtracting 360° as necessary

[WeintritNeumann2011-1] Adam Weintrit; Tomasz Neumann (7 June 2011). Methods and Algorithms in Navigation: Marine Navigation and Safety of Sea Transportation. CRC Press. pp. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.

[4] Todhunter, I. (1871). Spherical Trigonometry (3rd ed.). MacMillan. p. 26.

[5] McCaw, G. T. (1932). "Long lines on the Earth". Empire Survey Review. 1 (6): 259–263. doi:10.1179/sre.1932.1.6.259.

[12] Karney, C. F. F. (2013). "Algorithms for geodesics". Journal of Geodesy. 87 (1): 43–55. arXiv:1109.4448. Bibcode:2013JGeod..87...43K. doi:10.1007/s00190-012-0578-z.

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