सबऑब्जेक्ट वर्गिकारक: Difference between revisions

From Vigyanwiki
mNo edit summary
mNo edit summary
Line 1: Line 1:
[[श्रेणी सिद्धांत]] में, उपवस्तु वर्गिकारक एक श्रेणी का विशेष वस्तु Ω है, जैसे कि, सहजता से, श्रेणी में किसी भी वस्तु'' X'' के उपवस्तु '''X''<nowiki/>' से Ω तक आकारिकी के अनुरूप होते हैं। विशिष्ट उदाहरणों में, आकारिकी [[subobject|उपवस्तु]] के तत्वों को "सही" और ''X'' के अन्य तत्वों को गलत प्रदर्शित करती है। इसलिए, एक उपवस्तु वर्गिकारक को एक "वास्तविक मान वस्तु" के रूप में भी जाना जाता है और तर्क के स्पष्ट विवरण में इस अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालांकि ध्यान दें कि उपवस्तु वर्गिकारक प्रायः साधारण बाइनरी लॉजिक ट्रूथ वैल्यू {true, false} की तुलना में बहुत अधिक जटिल होते हैं।
[[श्रेणी सिद्धांत]] में, उपवस्तु वर्गिकारक एक श्रेणी का विशेष वस्तु Ω है, जैसे कि, सहजता से, श्रेणी में किसी भी वस्तु'' X'' के उपवस्तु '''X''<nowiki/>' से Ω तक आकारिकी के अनुरूप होते हैं। विशिष्ट उदाहरणों में, आकारिकी [[subobject|उपवस्तु]] के तत्वों को "सही" और ''X'' के अन्य तत्वों को गलत प्रदर्शित करती है। इसलिए, एक उपवस्तु वर्गिकारक को एक "वास्तविक मान वस्तु" के रूप में भी जाना जाता है और तर्क के स्पष्ट विवरण में इस अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालांकि ध्यान दें कि उपवस्तु वर्गिकारक प्रायः साधारण द्वि आधारी वास्तविक मान {सत्य, असत्य} की तुलना में बहुत अधिक जटिल होते हैं।


== परिचयात्मक उदाहरण ==
== परिचयात्मक उदाहरण ==


एक उदाहरण के रूप में, सेट Ω = {0,1} सेट और फ़ंक्शंस की श्रेणी में एक उपवस्तु वर्गिकारक है: समावेशन फ़ंक्शन j द्वारा परिभाषित S के प्रत्येक सबसेट A के लिए: A → S हम फ़ंक्शन χ असाइन कर सकते हैं<sub>A</sub>S से Ω तक जो A से 1 के तत्वों को सटीक रूप से मैप करता है (संकेतक फ़ंक्शन देखें)। S से Ω तक प्रत्येक फलन ठीक एक उपसमुच्चय A से इस प्रकार उत्पन्न होता है।
एक उदाहरण के रूप में, समुच्चय Ω = {0,1} समुच्चय और फलन की श्रेणी में एक उपवस्तु वर्गिकारक है: समाविष्ट फलन j द्वारा परिभाषित S के प्रत्येक सबसमुच्चय A के लिए: A → S हम फलन χ<sub>A</sub> S से Ω को नियोजित कर सकते हैं जो A से 1 के तत्वों को सटीक रूप से प्रतिचित्र करता है (अभिलक्षण फलन देखें)। S से Ω तक प्रत्येक फलन ठीक एक उपसमुच्चय A से इस प्रकार उत्पन्न होता है।


अधिक स्पष्ट होने के लिए, S (A ⊆ S) के उपसमुच्चय A पर विचार करें, जहाँ S एक समुच्चय है। उपसमुच्चय होने की धारणा को गणितीय रूप से तथाकथित अभिलाक्षणिक फलन χ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है<sub>''A''</sub> : एस → {0,1}, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
अधिक स्पष्टता के लिए, S (A ⊆ S) के उपसमुच्चय A पर विचार करें, जहाँ S एक समुच्चय है। उपसमुच्चय होने की धारणा को गणितीय रूप से तथाकथित अभिलाक्षणिक फलन χ<sub>''A''</sub> :S → {0,1} का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
:<math>\chi_A(x) =  
:<math>\chi_A(x) =  
\begin{cases}  
\begin{cases}  
Line 11: Line 11:
   1, & \mbox{if }x\in A
   1, & \mbox{if }x\in A
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
(यहाँ हम 1 को सत्य और 0 को असत्य के रूप में व्याख्या करते हैं।) अभिलाक्षणिक फलन की भूमिका यह निर्धारित करना है कि कौन से तत्व उपसमुच्चय A से संबंधित हैं। वास्तव में, χ<sub>''A''</sub> के तत्वों पर सटीक रूप से सच है।
(यहाँ हम 1 को सत्य और 0 को असत्य के रूप में व्याख्या करते हैं।) अभिलाक्षणिक फलन की भूमिका यह निर्धारित करना है कि कौन से तत्व उपसमुच्चय A से संबंधित हैं। वास्तव में, χ<sub>''A,''</sub> A के तत्वों पर सटीक रूप से सच है।


इस प्रकार, S के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह और S से Ω = {0,1} तक के सभी मानचित्रों का संग्रह [[समरूप]]है।
इस प्रकार, S के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह और S से Ω = {0,1} तक के सभी प्रतिचित्रों का संग्रह [[समरूप|समरूपी]] है।


इस धारणा को वर्गीकृत करने के लिए, याद रखें कि, श्रेणी सिद्धांत में, एक सबोबजेक्ट वास्तव में एक जोड़ी है जिसमें एक वस्तु और एक [[एकरूपता]] (किसी अन्य वस्तु में शामिल होने के रूप में व्याख्या की गई) शामिल है। तदनुसार, 'true' तत्व 1 को संदर्भित करता है, जिसे तीर द्वारा चुना गया है: 'true': {0} → {0, 1} जो 0 से 1 को मैप करता है। S के सबसेट A को अब पुलबैक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ( श्रेणी सिद्धांत) विशेषता समारोह χ के साथ 'सत्य' का<sub>''A''</sub>, निम्नलिखित आरेख पर दिखाया गया है:
इस धारणा को वर्गीकृत करने के लिए, याद रखें कि, श्रेणी सिद्धांत में, एक उपवस्तु वास्तव में एक जोड़ी है जिसमें एक वस्तु और एक [[एकरूपता|मोनिक तीर]] (किसी अन्य वस्तु में समिलित होने के रूप में व्याख्या की गई) समिलित है। तदनुसार, '<nowiki/>'''सत्य'''<nowiki/>' तत्व 1 को संदर्भित करता है, जिसे तीर द्वारा चुना गया है: '<nowiki/>'''सत्य'''<nowiki/>': {0} → {0, 1} जो 0 से 1 को प्रतिचित्र करता है। S के सबसमुच्चय A को अब अभिलाक्षणिक फलन χ<sub>''A''</sub>, के साथ ''''सत्य'''<nowiki/>' के पुलबैक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो निम्नलिखित आरेख पर दिखाया गया है:
[[Image:SubobjectClassifier-01.png|center]]इस तरह से परिभाषित, χ एक आकृतिवाद उप है<sub>C</sub>() → होम<sub>C</sub>(एस, Ω)परिभाषा के अनुसार, Ω एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि यह रूपवाद एक समरूपतावाद है।
[[Image:SubobjectClassifier-01.png|center]]इस तरह से परिभाषित, χ एक आकृतिवाद Sub<sub>C</sub>(S) → Hom<sub>C</sub>(S, Ω) है। परिभाषा के अनुसार, Ω एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि यह आकारिता एक समरूपतावाद है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


सामान्य परिभाषा के लिए, हम एक श्रेणी C से शुरू करते हैं जिसमें एक [[ टर्मिनल वस्तु ]] होता है, जिसे हम 1 से निरूपित करते हैं। C की वस्तु Ω C के लिए एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि कोई आकारिकी मौजूद है
सामान्य परिभाषा के लिए, हम एक श्रेणी C से शुरू करते हैं जिसमें एक [[ टर्मिनल वस्तु | अंतस्थ वस्तु]] होता है, जिसे हम 1 से निरूपित करते हैं। C की वस्तु Ω C के लिए एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि कोई आकारिकी उपस्थित है
:1 → Ω
:1 → Ω


निम्नलिखित संपत्ति के साथ:
निम्नलिखित गुण के साथ:
: प्रत्येक मोनोमोर्फिज्म ''जे'' के लिए: ''यू'' → ''एक्स'' में एक अद्वितीय आकारिकी है ''χ<sub> j</sub>: X → Ω ऐसा है कि निम्नलिखित [[क्रमविनिमेय आरेख]]
: प्रत्येक [[एकरूपता]] ''J'' के लिए: ''U'' → ''X'' में एक अद्वितीय आकारिकी ''χ<sub> j</sub>: X → Ω है, जैसे कि निम्नलिखित [[क्रमविनिमेय आरेख]]''
[[Image:SubobjectClassifier-02.png|center]]: एक [[पुलबैक आरेख]] है—अर्थात्, U आरेख की [[सीमा (श्रेणी सिद्धांत)]] है:
[[Image:SubobjectClassifier-02.png|center]]: एक [[पुलबैक आरेख]] है—अर्थात्, U आरेख की [[सीमा (श्रेणी सिद्धांत)]] है:
[[Image:SubobjectClassifier-03.png|center]]रूपवाद χ<sub> j</sub>इसके बाद j द्वारा दर्शाए गए उप-विषय के लिए 'वर्गीकरण रूपवाद' कहा जाता है।
[[Image:SubobjectClassifier-03.png|center]]आकारिकी χ<sub> j के</sub> बाद j द्वारा दर्शाए गए उप-वस्तु के लिए 'वर्गीकरण आकारिकी' कहा जाता है।


== आगे के उदाहरण ==
== आगे के उदाहरण ==


=== सेट के ढेर ===
=== समुच्चय के ढेर ===
[[टोपोलॉजिकल स्पेस]] एक्स [[खुला सेट]] के [[शीफ (गणित)]] की श्रेणी में एक उप-ऑब्जेक्ट क्लासिफायरियर Ω है जिसे निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: एक्स के किसी भी खुले सेट यू के लिए, Ω(यू) यू के सभी खुले उपसमुच्चयों का सेट है। टर्मिनल ऑब्जेक्ट शीफ 1 है जो एक्स के हर खुले सेट यू को [[सिंगलटन (गणित)]] {*} असाइन करता है। आकृतिवाद η:1 → Ω नक्शे के परिवार द्वारा दिया गया है η<sub>''U''</sub> : 1(यू) → Ω(यू) एन द्वारा परिभाषित<sub>''U''</sub>(*) = X के प्रत्येक खुले सेट U के लिए U। X पर एक शीफ F और एक सब-शेफ j दिया है: G → F, वर्गीकृत आकारिकी χ<sub> j</sub>: F → Ω मानचित्र χ के परिवार द्वारा दिया गया है<sub> j,U</sub>: एफ (यू) → Ω (यू), जहां एक्स<sub> j,U</sub>(एक्स) यू के सभी खुले सेट वी का संघ है जैसे एक्स से वी (शेव के अर्थ में) का प्रतिबंध जे में निहित है<sub>V</sub>(जी (वी))
[[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] ''X'' [[खुला सेट|खुला समुच्चय]] के [[शीफ (गणित)|पुलाबद्‍ध (गणित)]] की श्रेणी में एक उप-वस्तु वर्गीकरण Ω है जिसे निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: ''X'' के किसी भी खुले समुच्चय ''U'' के लिए, Ω (''U'') ''U'' के सभी खुले उपसमुच्चयों का समुच्चय है। अंतस्थ वस्तु पुलाबद्‍ध 1 है जो ''X'' के हर खुले समुच्चय ''U'' को [[सिंगलटन (गणित)|एकल (गणित)]] {*} निर्धारित करता है। आकारिकी η:1 → Ω प्रतिचित्रों के परिवार द्वारा दिया गया है η<sub>''U''</sub> : 1(''U'') → Ω(''U'') n<sub>''U''</sub>(*) = ''U'' द्वारा परिभाषित ''X'' के प्रत्येक खुले समुच्चय ''U''। ''X'' पर एक पुलाबद्‍ध ''F'' और एक सब-पुलाबद्‍ध j दिया है: G → F, वर्गीकृत आकारिकी χ<sub> j</sub>: F → Ω प्रतिचित्र χ के परिवार द्वारा दिया गया है<sub> j,U</sub>: ''F'' (''U'') → Ω (''U''), जहां ''X''<sub> j, U</sub>(''X'') ''U'' के सभी खुले समुच्चय ''V'' का संघ है जैसे ''X'' से ''V'' (पुलाबद्‍ध के अर्थ में) का प्रतिबंध ''J<sub>V</sub> (G (V))'' में निहित है।


मोटे तौर पर इस टोपोस के अंदर एक अभिकथन बोलना सत्य या असत्य है, और एक खुले उपसमुच्चय यू के दृष्टिकोण से इसका सत्य मूल्य यू का खुला उपसमुच्चय है जहां अभिकथन सत्य है।
समान्यतः इस सांस्थितिक अनुक्रम के अंदर एक अभिकथन बोलना सत्य या असत्य है, और एक खुले उपसमुच्चय ''U'' के दृष्टिकोण से इसका वास्तविक मूल ''U'' का खुला उपसमुच्चय है जहां अभिकथन सत्य है।


=== प्रीशेव्स ===
=== प्रीशेव्स ===
एक छोटी श्रेणी दी गई <math>C</math>, [[presheaves]] की श्रेणी <math>\mathrm{Set}^{C^{op}}</math> (अर्थात् [[फ़ैक्टर श्रेणी]] जिसमें सभी कॉन्ट्रावैरिएंट फ़ैक्टर शामिल हैं  <math>C</math> को <math>\mathrm{Set}</math>) किसी भी भेजने वाले फ़ंक्टर द्वारा दिया गया सबऑब्जेक्ट क्लासिफ़र है <math>c \in C</math> छलनी (श्रेणी सिद्धांत) के सेट पर <math>c</math>. ऊपर दिए गए ढेरों के सेट उदाहरण में वर्गीकृत आकारिकी काफी हद तक समान रूप से बनाई गई हैं।
एक छोटी श्रेणी दी गई <math>C</math>, [[presheaves]] की श्रेणी <math>\mathrm{Set}^{C^{op}}</math> (अर्थात् [[फ़ैक्टर श्रेणी]] जिसमें सभी कॉन्ट्रावैरिएंट फ़ैक्टर समिलित हैं  <math>C</math> को <math>\mathrm{Set}</math>) किसी भी भेजने वाले फ़ंक्टर द्वारा दिया गया सबऑब्जेक्ट क्लासिफ़र है <math>c \in C</math> छलनी (श्रेणी सिद्धांत) के समुच्चय पर <math>c</math>. ऊपर दिए गए ढेरों के समुच्चय उदाहरण में वर्गीकृत आकारिकी काफी हद तक समान रूप से बनाई गई हैं।


=== प्राथमिक टोपोई ===
=== प्राथमिक टोपोई ===
Line 42: Line 42:


== संबंधित अवधारणाएँ ==
== संबंधित अवधारणाएँ ==
एक [[ casitopos ]] में एक वस्तु होती है जो लगभग एक उपवस्तु वर्गिकारकियर होती है; यह केवल मजबूत विषयों का वर्गीकरण करता है।
एक [[ casitopos ]] में एक वस्तु होती है जो लगभग एक उपवस्तु वर्गीकरण होता है; यह केवल मजबूत विषयों का वर्गीकरण करता है।


== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==

Revision as of 13:39, 7 May 2023

श्रेणी सिद्धांत में, उपवस्तु वर्गिकारक एक श्रेणी का विशेष वस्तु Ω है, जैसे कि, सहजता से, श्रेणी में किसी भी वस्तु X के उपवस्तु 'X' से Ω तक आकारिकी के अनुरूप होते हैं। विशिष्ट उदाहरणों में, आकारिकी उपवस्तु के तत्वों को "सही" और X के अन्य तत्वों को गलत प्रदर्शित करती है। इसलिए, एक उपवस्तु वर्गिकारक को एक "वास्तविक मान वस्तु" के रूप में भी जाना जाता है और तर्क के स्पष्ट विवरण में इस अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालांकि ध्यान दें कि उपवस्तु वर्गिकारक प्रायः साधारण द्वि आधारी वास्तविक मान {सत्य, असत्य} की तुलना में बहुत अधिक जटिल होते हैं।

परिचयात्मक उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, समुच्चय Ω = {0,1} समुच्चय और फलन की श्रेणी में एक उपवस्तु वर्गिकारक है: समाविष्ट फलन j द्वारा परिभाषित S के प्रत्येक सबसमुच्चय A के लिए: A → S हम फलन χA S से Ω को नियोजित कर सकते हैं जो A से 1 के तत्वों को सटीक रूप से प्रतिचित्र करता है (अभिलक्षण फलन देखें)। S से Ω तक प्रत्येक फलन ठीक एक उपसमुच्चय A से इस प्रकार उत्पन्न होता है।

अधिक स्पष्टता के लिए, S (A ⊆ S) के उपसमुच्चय A पर विचार करें, जहाँ S एक समुच्चय है। उपसमुच्चय होने की धारणा को गणितीय रूप से तथाकथित अभिलाक्षणिक फलन χA :S → {0,1} का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(यहाँ हम 1 को सत्य और 0 को असत्य के रूप में व्याख्या करते हैं।) अभिलाक्षणिक फलन की भूमिका यह निर्धारित करना है कि कौन से तत्व उपसमुच्चय A से संबंधित हैं। वास्तव में, χA, A के तत्वों पर सटीक रूप से सच है।

इस प्रकार, S के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह और S से Ω = {0,1} तक के सभी प्रतिचित्रों का संग्रह समरूपी है।

इस धारणा को वर्गीकृत करने के लिए, याद रखें कि, श्रेणी सिद्धांत में, एक उपवस्तु वास्तव में एक जोड़ी है जिसमें एक वस्तु और एक मोनिक तीर (किसी अन्य वस्तु में समिलित होने के रूप में व्याख्या की गई) समिलित है। तदनुसार, 'सत्य' तत्व 1 को संदर्भित करता है, जिसे तीर द्वारा चुना गया है: 'सत्य': {0} → {0, 1} जो 0 से 1 को प्रतिचित्र करता है। S के सबसमुच्चय A को अब अभिलाक्षणिक फलन χA, के साथ 'सत्य' के पुलबैक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो निम्नलिखित आरेख पर दिखाया गया है:

SubobjectClassifier-01.png

इस तरह से परिभाषित, χ एक आकृतिवाद SubC(S) → HomC(S, Ω) है। परिभाषा के अनुसार, Ω एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि यह आकारिता एक समरूपतावाद है।

परिभाषा

सामान्य परिभाषा के लिए, हम एक श्रेणी C से शुरू करते हैं जिसमें एक अंतस्थ वस्तु होता है, जिसे हम 1 से निरूपित करते हैं। C की वस्तु Ω C के लिए एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि कोई आकारिकी उपस्थित है

1 → Ω

निम्नलिखित गुण के साथ:

प्रत्येक एकरूपता J के लिए: UX में एक अद्वितीय आकारिकी χ j: X → Ω है, जैसे कि निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख
SubobjectClassifier-02.png

: एक पुलबैक आरेख है—अर्थात्, U आरेख की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) है:

SubobjectClassifier-03.png

आकारिकी χ j के बाद j द्वारा दर्शाए गए उप-वस्तु के लिए 'वर्गीकरण आकारिकी' कहा जाता है।

आगे के उदाहरण

समुच्चय के ढेर

सांस्थितिक समष्टि X खुला समुच्चय के पुलाबद्‍ध (गणित) की श्रेणी में एक उप-वस्तु वर्गीकरण Ω है जिसे निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: X के किसी भी खुले समुच्चय U के लिए, Ω (U) U के सभी खुले उपसमुच्चयों का समुच्चय है। अंतस्थ वस्तु पुलाबद्‍ध 1 है जो X के हर खुले समुच्चय U को एकल (गणित) {*} निर्धारित करता है। आकारिकी η:1 → Ω प्रतिचित्रों के परिवार द्वारा दिया गया है ηU : 1(U) → Ω(U) nU(*) = U द्वारा परिभाषित X के प्रत्येक खुले समुच्चय UX पर एक पुलाबद्‍ध F और एक सब-पुलाबद्‍ध j दिया है: G → F, वर्गीकृत आकारिकी χ j: F → Ω प्रतिचित्र χ के परिवार द्वारा दिया गया है j,U: F (U) → Ω (U), जहां X j, U(X) U के सभी खुले समुच्चय V का संघ है जैसे X से V (पुलाबद्‍ध के अर्थ में) का प्रतिबंध JV (G (V)) में निहित है।

समान्यतः इस सांस्थितिक अनुक्रम के अंदर एक अभिकथन बोलना सत्य या असत्य है, और एक खुले उपसमुच्चय U के दृष्टिकोण से इसका वास्तविक मूल U का खुला उपसमुच्चय है जहां अभिकथन सत्य है।

प्रीशेव्स

एक छोटी श्रेणी दी गई , presheaves की श्रेणी (अर्थात् फ़ैक्टर श्रेणी जिसमें सभी कॉन्ट्रावैरिएंट फ़ैक्टर समिलित हैं को ) किसी भी भेजने वाले फ़ंक्टर द्वारा दिया गया सबऑब्जेक्ट क्लासिफ़र है छलनी (श्रेणी सिद्धांत) के समुच्चय पर . ऊपर दिए गए ढेरों के समुच्चय उदाहरण में वर्गीकृत आकारिकी काफी हद तक समान रूप से बनाई गई हैं।

प्राथमिक टोपोई

ऊपर दिए गए दोनों उदाहरणों को निम्नलिखित सामान्य तथ्य से सम्मिलित किया गया है: परिमित सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और शक्ति वस्तुओं के साथ एक श्रेणी के रूप में परिभाषित प्रत्येक प्राथमिक टोपोस, आवश्यक रूप से एक सबोबजेक्ट क्लासिफायरियर है।[1] ऊपर दिए गए दो उदाहरण टोपोस हैं, और प्रत्येक ग्रोथेंडिक टोपोस एक प्राथमिक टोपोस है।

संबंधित अवधारणाएँ

एक casitopos में एक वस्तु होती है जो लगभग एक उपवस्तु वर्गीकरण होता है; यह केवल मजबूत विषयों का वर्गीकरण करता है।

टिप्पणियाँ

  1. Pedicchio & Tholen (2004) p.8


संदर्भ

  • Artin, Michael; Alexander Grothendieck; Jean-Louis Verdier (1964). Séminaire de Géometrie Algébrique IV. Springer-Verlag.
  • Barr, Michael; Charles Wells (1985). Toposes, Triples and Theories. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96115-1.
  • Bell, John (1988). Toposes and Local Set Theories: an Introduction. Oxford: Oxford University Press.
  • Goldblatt, Robert (1983). Topoi: The Categorial Analysis of Logic. North-Holland, Reprinted by Dover Publications, Inc (2006). ISBN 0-444-85207-7.
  • Johnstone, Peter (2002). Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford: Oxford University Press.
  • Johnstone, Peter (1977). Topos Theory. Academic Press. ISBN 0-12-387850-0.
  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
  • Mac Lane, Saunders; Ieke Moerdijk (1992). Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4.
  • McLarty, Colin (1992). Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853392-6.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
  • Taylor, Paul (1999). Practical Foundations of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63107-6.