सहानुभूतिपूर्ण समूह: Difference between revisions

Revision as of 14:01, 8 May 2023

सभी विशिष्ट एबेलियन उपसमूह चक्रीय के साथ परिमित समूहों के लिए, सममिती प्ररूप का समूह देखें।

गणित में, नाम सममिती समूह दो अलग-अलग, लेकिन निकटता से संबंधित, गणितीय समूहों के संग्रह को संदर्भित कर सकता है, जो धनात्मक पूर्णांक n और क्षेत्र F (सामान्य रूप से C या R) के लिए Sp(2n, F) और Sp(n) को दर्शाता है। बाद वाले को सुसंहति सममिती समूह कहा जाता है और इसे $\mathrm {USp} (n)$ द्वारा भी निरूपित किया जाता है। कई लेखक आंशिक भिन्न संकेतन चयन करते हैं, जो सामान्य रूप से 2 के कारकों से भिन्न होते हैं। यहां उपयोग किए जाने वाले संकेतन सबसे सामान्य आव्यूह के आकार के अनुरूप हैं जो समूहों का प्रतिनिधित्व करते हैं। कार्टन के साधारण लाई बीजगणित के वर्गीकरण में, जटिल समूह Sp(2n, C) के लाई बीजगणित को Cn निरूपित किया जाता है, और Sp(n), Sp(2n, C) का सुसंहति वास्तविक रूप है। ध्यान दें कि जब हम (सुसंहति) सममिती समूह का उल्लेख करते हैं तो यह निहित होता है कि हम (सुसंहति) सममिती समूहों के संग्रह के बारे में अन्तः क्रिया कर रहे हैं, जो उनके आयाम n द्वारा अनुक्रमित हैं।

"सममिती समूह" नाम पिछले अस्पष्ट नामों (रेखा) जटिल समूह और एबेलियन रैखिक समूह के प्रतिस्थापन के रूप में हरमन वेइल के कारण है, और "जटिल" का ग्रीक एनालॉग है।

मेटाप्लेक्टिक समूह R पर सममिती समूह का दोहरा आवरण है; इसमें अन्य स्थानीय क्षेत्रों, परिमित क्षेत्रों और एडेल वलय के अनुरूप हैं।

$Sp(2 n, F)$

सममिती समूह एक उत्कृष्ट समूह है जिसे क्षेत्र F पर 2n-आयामी सदिश समष्टि के रैखिक परिवर्तनों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक गैर-पतित विषम सममित द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है। इस तरह के एक सदिश समष्टि को एक सममिती सदिश समष्टि कहा जाता है, और एक अमूर्त सममित सदिश समष्टि $V$ के सममित समूह को $Sp(V)$ द्वारा दर्शाया जाता है। $V$ के लिए एक आधार निर्धारित करने पर, सममिति समूह आव्यूह गुणा के संचालन के अंतर्गत F में प्रविष्टियों के साथ 2n × 2n सममिति आव्यूह का समूह बन जाता है। इस समूह को $Sp(2 n, F)$ या $Sp(n, F)$ द्वारा निरूपित किया जाता है यदि द्विरेखीय समघात को व्युत्क्रमणीय आव्यूह विषम सममित आव्यूह Ω द्वारा दर्शाया जाता है, तो

\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},

जहां M^T, M का स्थानान्तरण है। प्रायः Ω को परिभाषित किया जाता है

\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},

जहां I_n सर्वसम आव्यूह है। इस स्थिति में, $Sp(2 n, F)$ उन ब्लॉक आव्यूह $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$ तीन समीकरणों को संतुष्ट करना:

{\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}

चूंकि सभी सममित आव्यूह में निर्धारक 1 है, सममिती समूह विशेष रैखिक समूह $SL(2 n, F)$ का एक उपसमूह है। जब $n = 1$ , एक आव्यूह पर सममिती की स्थिति संतुष्ट होती है यदि और केवल यदि निर्धारक एक है, ताकि $Sp(2, F) = SL(2, F)$ हो। और $n > 1$ के लिए, अतिरिक्त शर्तें हैं, अर्थात $Sp(2 n, F)$ तब $SL(2 n, F)$ का एक उपयुक्त उपसमूह है।

विशिष्ट रूप से, क्षेत्र F वास्तविक संख्या R या सम्मिश्र संख्या C का क्षेत्र है। इन स्थितियो में Sp(2n, F) वास्तविक/जटिल आयाम n(2n + 1) का एक वास्तविक/जटिल लाई समूह है। ये समूह जुड़े हुए हैं, लेकिन गैर-संहत हैं।

। $Sp(2 n, F)$ के केंद्र (समूह सिद्धांत) मे आव्यूह $I 2 n$ और $- I 2 n$ के होते हैं। जब तक कि क्षेत्र की विशेषता 2 नहीं है।^[1] चूँकि Sp(2n, F) का केंद्र असतत है और इसका भागफल मापांक केंद्र एक साधारण समूह है, Sp(2n, F) को एक साधारण लाई समूह माना जाता है।

इसी लाई बीजगणित की वास्तविक कोटि, और इसलिए लाई समूह Sp(2n, F) की, n है।

Sp(2n, F) का लाई बीजगणित समुच्चय है

{\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},

क्रमविनिमेयक को इसके लाई वर्ग के रूप में सुसज्जित किया गया है।^[2] मानक विषम-सममित द्विरेखीय रूप $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$ के लिए, यह लाई बीजगणित सभी ब्लॉक आव्यूह $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ का समुच्चय है। शर्तों के अधीन

{\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}

$Sp(2 n, C)$

सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में सममिती समूह एक सुसंहति समूह गैर-सुसंहति, बस जुड़ा हुआ, सरल लाई समूह है।

$Sp(2 n, R)$

$Sp(n, C)$ वास्तविक समूह $Sp(2 n, R)$ का जटिलीकरण (लाई समूह) है। $Sp(2 n, R)$ एक वास्तविक, गैर-सुसंहति जुड़ा हुआ, सरल लाई समूह है।^[3] इसके अतिरिक्त के अंतर्गत पूर्णांकों के समूह के लिए एक मौलिक समूह समरूपता है। साधारण लाई समूह के वास्तविक रूप के रूप में इसका लाई बीजगणित एक विखंडित लाई बीजगणित है।

$Sp(2 n, R)$ के कुछ और गुण:

लाई बीजगणित Sp(2n, R) से समूह sp(2n, R) तक का घातीय मानचित्र विशेषण नहीं है। हालांकि, समूह के किसी भी तत्व को दो घातांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है।^[4] दूसरे शब्दों में,

\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.

$Sp(2 n, R)$ में सभी S के लिए:

S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.

आव्यूह D धनात्मक-निश्चित और विकर्ण है I ऐसे Zs का समुच्चय Sp(2n, R) का एक गैर-संहत उपसमूह बनाता है जबकि U(n) एक सुसंहत उपसमूह बनाता है। इस अपघटन को 'यूलर' या 'ब्लोच-मसीहा' अपघटन के रूप में जाना जाता है।^[5] आगे के सममिती आव्यूह गुण उस विकिपीडिया पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं।

लाई समूह के रूप में, $Sp(2 n, R)$ की कई गुना संरचना है। $Sp(2 n, R)$ के लिए समष्टि आयाम $n (n +1)$ के सदिश समष्टि के साथ एकात्मक समूह U(n) के कार्टेशियन गुणनफल के लिए भिन्न है।^[6]

अत्यंत सूक्ष्म जनित्र

सममिती लाई बीजगणित की इकाई $sp (2 n, F)$ हैमिल्टनियन आव्यूह हैं।

ये आव्यूह $Q$ हैं, जैसे कि

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

जहाँ $B$ और $C$ सममिती आव्यूह हैं। व्युत्पत्ति के लिए उत्कृष्ट समूह देखें।

सममिती आव्यूह का उदाहरण

$Sp(2, R)$ के लिए, निर्धारक 1 के साथ $2 \times 2$ मैट्रिसेस का समूह, तीन सममिती (0, 1)-आव्यूह हैं:^[7]

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Sp(2n, R)

यह पता चला है कि $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ जनित्र का उपयोग करके अधिकतम स्पष्ट विवरण हो सकता है। यदि हम $\operatorname {Sym} (n)$ को सममित को निरूपित करते हैं तो $n\times n$ आव्यूह, तब $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ से $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \}$ उत्पन्न होता है जहां

${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$

$\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ के उपसमूह हैं। ^[8]^{पेज 173}^[9]^{पीजी 2}

सममिती ज्यामिति के साथ संबंध

सममिती ज्यामिति, सममिती प्रसमष्टि का अध्ययन है। सममिती प्रसमष्टि पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शी समष्‍टि एक सममिती सदिश समष्टि है।^[10] जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक सममिती सदिश समष्टि के परिवर्तनों को संरक्षित करने वाली संरचना एक समूह बनाती है और यह समूह Sp(2n, F) है, जो समष्टि के आयाम और उस क्षेत्र पर निर्भर करता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है।

सममिती सदिश समष्टि अपने आप में सममिती प्रसमष्टि है। सममिती समूह के एक समूह संक्रिया (गणित) के अंतर्गत एक परिवर्तन के अर्थ में, एक सममिती-समरूपता का एक रैखिक संस्करण है जो एक अधिक सामान्य संरचना है जो एक सममिती प्रसमष्टि पर परिवर्तन को संरक्षित करता है।

$Sp(n)$

सुसंहति सममिती समूह^[11] $Sp(n)$ , $Sp(2 n, C)$ का $2n\times 2n$ एकात्मक समूह के साथ प्रतिच्छेदन है:

\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).

इसे कभी-कभी USp(2n) के रूप में लिखा जाता है। वैकल्पिक रूप से, Sp(n) को GL(n, H) ( व्युत्क्रमणीय चतुष्कोणीय आव्यूह) के उपसमूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो Hⁿ पर मानक हर्मिटियन द्विघात को संरक्षित करता है:

\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.

अर्थात्, Sp(n) केवल चतुष्कोणीय एकात्मक समूह, U(n, H) है।^[12] वास्तव में, इसे कभी-कभी अतिसक्रिय समूह कहा जाता है। साथ ही Sp(1) मानक 1 के चतुष्कोणों का समूह है, जो SU(2) के समतुल्य है और स्थैतिक रूप से एक 3-क्षेत्र S³ है

ध्यान दें कि $Sp(n)$ पूर्व खंड के अर्थ में एक सममिती समूह नहीं है - यह एक गैर-पतित विषम-सममित को संरक्षित नहीं करता है $H$ - द्विरेखीय समघात पर $H n$ शून्य को छोड़कर ऐसा कोई रूप नहीं है। बल्कि, यह Sp(2n, C) के एक उपसमूह के लिए समतुल्य है, और इसलिए दो बार आयाम के सदिश समष्टि में एक जटिल सममिति रूप को संरक्षित करता है। जैसा कि नीचे समझाया गया है, Sp(n) का लाइ बीजगणित जटिल सममिति लाइ बीजगणित sp(2n, C) का सुसंहत वास्तविक रूप है।

$Sp(n)$ (वास्तविक) आयाम वाला एक वास्तविक लाई समूह $n (2 n + 1)$ है। यह सुसंहति समष्टि है और सरलता से जुड़ा हुआ है।^[13] $Sp(n)$ का लाई बीजगणित चतुष्कोणीय विषम-हर्मिटियन आव्यूह द्वारा दिया गया है, और n-द्वारा-n चतुष्कोणीय आव्यूह का समुच्चय जो संतुष्ट करता है।

A+A^{\dagger }=0

जहाँ $A †$ का संयुग्मी स्थानांतरण $A$ है। यहाँ एक चतुष्कोणीय संयुग्म लेता है। लाइ वर्ग क्रमविनिमेयक द्वारा दिया जाता है।

महत्वपूर्ण उपसमूह

कुछ मुख्य उपसमूह हैं:

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)

\operatorname {Sp} (n)\subset \operatorname {U} (n)

\operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {O} (4)

इसके विपरीत यह स्वयं कुछ अन्य समूहों का एक उपसमूह है:

\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)

\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)

\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)

लाई बीजगणित $sp (2) = so (5)$ और $sp (1) = so (3) = su (2)$ की समरूपताएं भी हैं।

सममिती समूहों के बीच संबंध

प्रत्येक जटिल, अर्ध-सरल लाइ बीजगणित में एक विभाजित वास्तविक रूप और एक सुसंहत वास्तविक रूप को बाद के दो का एक जटिल रूप कहा जाता है।

Sp(2n, C) का लाई बीजगणित अर्धसरल है और इसे Sp(2n, C) के रूप में दर्शाया गया है। इसका विभाजित वास्तविक रूपSp(2n, R) है और इसका सुसंहत वास्तविक रूप sp(n) है। ये क्रमशः लाइ समूहों Sp(2n, R) और Sp(n) के अनुरूप हैं।

बीजगणित sp(p, n − p), जो Sp(p, n − p) के लाइ बीजगणित हैं, सुसंहत रूप के समतुल्य अनिश्चित संकेत हैं।

भौतिक महत्व

उत्कृष्ट यांत्रिकी

सुसंहति सममिती समूह $Sp(n)$ उत्कृष्ट भौतिकी में पोइसन वर्ग को संरक्षित करने वाले विहित निर्देशांक की समरूपता के रूप में सामने आता है।

n कणों की एक प्रणाली पर विचार करें, जो हैमिल्टन के समीकरणों के अंतर्गत विकसित हो रही है, जिसकी स्थिति एक निश्चित समय पर प्रावस्था-समष्टि में विहित निर्देशांक के वेक्टर द्वारा निरूपित की जाती है,

\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.

समूह Sp(2n, R) के तत्व, एक निश्चित अर्थ में, इस सदिश पर विहित रूपांतरण हैं, अर्थात वे हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को संरक्षित करते हैं।^[14]^[15] यदि

\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }

नए विहित निर्देशांक हैं, फिर, एक बिंदु के साथ समय व्युत्पन्न को दर्शाता है,

{\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},

जहाँ

M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )

सभी T और प्रावस्था समष्टि में सभी Z के लिए होता है।^[16]

रिमेंनियन प्रसमष्टि के विशेष स्थिति के लिए, हैमिल्टन के समीकरण उस प्रसमष्टि पर अल्पांतरी का वर्णन करते हैं। निर्देशांक $q^{i}$ अंतर्निहित प्रसमष्टि पर रहते हैं, और संवेग $p_{i}$ कोटिस्पर्शी बंडल में रहते हैं। यही कारण है कि इन्हें परंपरागत रूप से ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखा जाता है; यह उनके स्थानों को अलग करना है। इसी हैमिल्टनियन में विशुद्ध रूप $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ से गतिज ऊर्जा होती है। जहाँ $g^{ij}$ आव्यूह प्रदिश का व्युत्क्रम $g_{ij}$ रीमैनियन प्रसमष्टि पर है।^[17]^[15] वास्तव में, किसी भी सरल प्रसमष्टि के कोटिस्पर्शी बंडल को एक प्रमाणिक तरीके से एक सममिती प्रसमष्टि दिया जा सकता है, जिसमें सममिती द्विघात को पुनरावृत्‍ति एक प्ररूप के बाहरी अवकल के रूप में परिभाषित किया जाता है।^[18]

क्वांटम यांत्रिकी

n कणों की एक प्रणाली पर विचार करें जिसका क्वांटम अवस्था इसकी स्थिति और गति को कूटबद्ध करता है। ये निर्देशांक सतत चर हैं और इसलिए हिल्बर्ट समष्टि, जिसमें अवस्था रहती है, और अनंत-आयामी है। यह प्रायः इस स्थिति के विश्लेषण को कठिन बना देता है। प्रावस्था-समष्‍टि में हाइजेनबर्ग समीकरण के अंतर्गत स्थिति और गति संक्रिया के विकास पर विचार करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है।

प्रामाणिक निर्देशांक के सदिश का निर्माण करें,

\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.

प्रामाणिक रूपान्तरण संबंध के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega

जहाँ

\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}

$I n$ और $n \times n$ सर्वसम आव्यूह है।

कई भौतिक स्थितियों के लिए केवल द्विघात हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) की आवश्यकता होती है, जो कि द्विघात का हैमिल्टनियन है

{\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}

जहाँ $K$ एक $2 n \times 2 n$ वास्तविक सममित आव्यूह है। यह एक उपयोगी प्रतिबंध प्रमाणित होता है और हमें हाइजेनबर्ग समीकरण को पुनः लिखने की स्वीकृति देता है

{\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}

इस समीकरण के समाधान को प्रामाणिक रूपान्तरण संबंध को बनाए रखना चाहिए। यह दिखाया जा सकता है कि इस प्रणाली का समय विकास सममिती समूह Sp(2n, R) की संक्रिया (गणित) के बराबर है।

यह भी देखें

लंबकोणीय समूह
एकात्मक समूह
अनुमानित एकात्मक समूह
सममिती प्रसमष्टि, सममिती आव्यूह, सममिती सदिश समष्टि, सममिती प्रतिनिधित्व
उत्कृष्ट लाई समूहों का प्रतिनिधित्व
हैमिल्टनियन यांत्रिकी
मेटाप्लेक्टिक समूह
Θ10

↑ "Symplectic group", Encyclopedia of Mathematics Retrieved on 13 December 2014.
↑ Hall 2015 Prop. 3.25
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संदर्भ

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[10] "Lecture Notes – Lecture 2: Symplectic reduction", Retrieved on 30 January 2015.

[11] Hall 2015 Section 1.2.8

[12] Hall 2015 p. 14

[13] Hall 2015 Prop. 13.12

[14] Arnold 1989 gives an extensive mathematical overview of classical mechanics. See chapter 8 for symplectic manifolds.

[A&M-15] 15.0 ^15.1 Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X

[16] Goldstein 1980, Section 9.3

[17] Jurgen Jost, (1992) Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer.

[18] Silva, Ana Cannas (2008). सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति पर व्याख्यान. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1764. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. p. 9. doi:10.1007/978-3-540-45330-7. ISBN 978-3-540-42195-5.

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 सभी विशिष्ट एबेलियन उपसमूह चक्रीय के साथ परिमित समूहों के लिए, सममिती प्ररूप का समूह देखें।{{Lie groups |Classical}}
 {{Group theory sidebar |Topological}}
-गणित में, नाम सममिती समूह दो अलग-अलग, लेकिन निकटता से संबंधित, गणितीय समूहों के संग्रह को संदर्भित कर सकता है, जो धनात्मक पूर्णांक n और क्षेत्र '''F''' (सामान्य रूप से '''C''' या '''R''') के लिए '''Sp(2n, F)''' और '''Sp(n)''' को दर्शाता है। बाद वाले को सुसंहति सममिती समूह कहा जाता है और इसे <math>\mathrm{U
+गणित में, नाम '''सममिती समूह''' दो अलग-अलग, लेकिन निकटता से संबंधित, गणितीय समूहों के संग्रह को संदर्भित कर सकता है, जो धनात्मक पूर्णांक n और क्षेत्र '''F''' (सामान्य रूप से '''C''' या '''R''') के लिए '''Sp(2n, F)''' और '''Sp(n)''' को दर्शाता है। बाद वाले को सुसंहति सममिती समूह कहा जाता है और इसे <math>\mathrm{U
 Sp}(n)</math> द्वारा भी निरूपित किया जाता है। कई लेखक आंशिक भिन्न संकेतन चयन करते हैं, जो सामान्य रूप से 2 के कारकों से भिन्न होते हैं। यहां उपयोग किए जाने वाले संकेतन सबसे सामान्य आव्यूह के आकार के अनुरूप हैं जो समूहों का प्रतिनिधित्व करते हैं। कार्टन के साधारण लाई बीजगणित के वर्गीकरण में, जटिल समूह Sp(2n, C) के लाई बीजगणित को Cn निरूपित किया जाता है, और Sp(n), Sp(2n, C) का सुसंहति वास्तविक रूप है। ध्यान दें कि जब हम (सुसंहति) सममिती समूह का उल्लेख करते हैं तो यह निहित होता है कि हम (सुसंहति) सममिती समूहों के संग्रह के बारे में अन्तः क्रिया कर रहे हैं, जो उनके आयाम n द्वारा अनुक्रमित हैं।
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 =={{math|Sp(2''n'', '''F''')}}==
-सममिती समूह एक उत्कृष्ट समूह है जिसे क्षेत्र '''F''' पर 2n-आयामी सदिश समष्टि के रैखिक परिवर्तनों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक गैर-पतित विषम सममित  द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है। इस तरह के एक सदिश समष्टि को एक सममिती सदिश समष्टि कहा जाता है, और एक अमूर्त सममित सदिश समष्टि {{math|''V''}} के सममित समूह को {{math|Sp(''V'')}} द्वारा दर्शाया जाता है।  {{math|''V''}} के लिए एक आधार निर्धारित करने पर, सहानुभूतिपूर्ण समूह आव्यूह गुणा के संचालन के अंतर्गत '''F''' में प्रविष्टियों के साथ 2n × 2n सममिति आव्यूह का समूह बन जाता है। इस समूह को  {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} या {{math|Sp(''n'', '''F''')}} द्वारा  निरूपित किया जाता है यदि द्विरेखीय समघात को [[नॉनसिंगुलर मैट्रिक्स|व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स]] विषम सममित आव्यूह Ω द्वारा दर्शाया जाता है, तो
+सममिती समूह एक उत्कृष्ट समूह है जिसे क्षेत्र '''F''' पर 2n-आयामी सदिश समष्टि के रैखिक परिवर्तनों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक गैर-पतित विषम सममित द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है। इस तरह के एक सदिश समष्टि को एक सममिती सदिश समष्टि कहा जाता है, और एक अमूर्त सममित सदिश समष्टि {{math|''V''}} के सममित समूह को {{math|Sp(''V'')}} द्वारा दर्शाया जाता है। {{math|''V''}} के लिए एक आधार निर्धारित करने पर, सममिति समूह आव्यूह गुणा के संचालन के अंतर्गत '''F''' में प्रविष्टियों के साथ 2n × 2n सममिति आव्यूह का समूह बन जाता है। इस समूह को {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} या {{math|Sp(''n'', '''F''')}} द्वारा निरूपित किया जाता है यदि द्विरेखीय समघात को [[नॉनसिंगुलर मैट्रिक्स|व्युत्क्रमणीय आव्यूह]] विषम सममित आव्यूह Ω द्वारा दर्शाया जाता है, तो
 :<math>\operatorname{Sp}(2n, F) = \{M \in M_{2n \times 2n}(F) : M^\mathrm{T} \Omega M = \Omega\},</math>
-जहां M<sup>T</sup>  का स्थानान्तरण है। प्रायः Ω को परिभाषित किया जाता है
+जहां M<sup>T</sup>, M का स्थानान्तरण है। प्रायः Ω को परिभाषित किया जाता है
 :<math>\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix},</math>
-जहां I<sub>n</sub>पहचान आव्यूह है। इस मामले में, {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} उन ब्लॉक आव्यूह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>(\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix})</math>, कहाँ <math>A, B, C, D \in M_{n \times n}(F)</math>, तीन समीकरणों को संतुष्ट करना:
+जहां I<sub>n</sub> सर्वसम आव्यूह है। इस स्थिति में, {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} उन ब्लॉक आव्यूह <math>(\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix})</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ <math>A, B, C, D \in M_{n \times n}(F)</math> तीन समीकरणों को संतुष्ट करना:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 23: / Line 23: @@
 -D^\mathrm{T}B + B^\mathrm{T}D &= 0.
 \end{align}</math>
-चूँकि सभी symplectic matrices में निर्धारक होते हैं {{math|1}}, सममिती समूह [[विशेष रैखिक समूह]] का एक [[उपसमूह]] है {{math|SL(2''n'', '''F''')}}. कब {{math|1=''n'' = 1}}, एक आव्यूह पर सममिती की स्थिति संतुष्ट होती है [[अगर और केवल अगर]] निर्धारक एक है, ताकि {{math|1=Sp(2, '''F''') = SL(2, '''F''')}}. के लिए {{math|''n'' > 1}}, अतिरिक्त शर्तें हैं, अर्थात {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} तब का एक उचित उपसमूह है {{math|SL(2''n'', '''F''')}}.
+चूंकि सभी सममित आव्यूह में निर्धारक 1 है, सममिती समूह [[विशेष रैखिक समूह]] {{math|SL(2''n'', '''F''')}} का एक [[उपसमूह]] है। जब {{math|1=''n'' = 1}}, एक आव्यूह पर सममिती की स्थिति संतुष्ट होती है [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] निर्धारक एक है, ताकि {{math|1=Sp(2, '''F''') = SL(2, '''F''')}} हो। और {{math|''n'' > 1}} के लिए, अतिरिक्त शर्तें हैं, अर्थात {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} तब {{math|SL(2''n'', '''F''')}} का एक उपयुक्त उपसमूह है।
-सामान्य रूप से, मैदान {{math|'''F'''}} [[वास्तविक संख्या]]ओं का क्षेत्र है {{math|'''R'''}} या [[जटिल संख्या]]एँ {{math|'''C'''}}. ऐसे मामलों में {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} वास्तविक/जटिल आयाम का वास्तविक/जटिल [[झूठ समूह]] है {{math|''n''(2''n'' + 1)}}. ये समूह जुड़े हुए स्थान हैं लेकिन [[कॉम्पैक्ट समूह|सुसंहति समूह]] | गैर-सुसंहति हैं।
+विशिष्ट रूप से, क्षेत्र F वास्तविक संख्या '''R''' या सम्मिश्र संख्या '''C''' का क्षेत्र है। इन स्थितियो में Sp(2''n'', '''F''') वास्तविक/जटिल आयाम n(2n + 1) का एक वास्तविक/जटिल लाई समूह है। ये समूह जुड़े हुए हैं, लेकिन गैर-संहत हैं।
-[[केंद्र (समूह सिद्धांत)]]। {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} आव्यूह के होते हैं {{math|''I''<sub>2''n''</sub>}} और {{math|−''I''<sub>2''n''</sub>}} जब तक [[विशेषता (बीजगणित)]] नहीं है {{math|2}}.<ref>[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Symplectic_group "Symplectic group"], ''[[Encyclopedia of Mathematics]]'' Retrieved on 13 December 2014.</ref> के केंद्र के बाद से {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} असतत है और इसका भागफल मॉड्यूलो केंद्र एक [[साधारण समूह]] है, {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} को सरल झूठ समूह माना जाता है#परिभाषा पर टिप्पणियाँ।
+। {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} के [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] मे आव्यूह {{math|''I''<sub>2''n''</sub>}} और {{math|−''I''<sub>2''n''</sub>}} के होते हैं। जब तक कि क्षेत्र की विशेषता 2 नहीं है।<ref>[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Symplectic_group "Symplectic group"], ''[[Encyclopedia of Mathematics]]'' Retrieved on 13 December 2014.</ref> चूँकि Sp(2''n'', '''F''') का केंद्र असतत है और इसका भागफल मापांक केंद्र एक साधारण समूह है, Sp(2''n'', '''F''') को एक साधारण लाई समूह माना जाता है।
-संबंधित लाई बीजगणित की वास्तविक रैंक, और इसलिए लाई समूह की {{math|Sp(2''n'', '''F''')}}, है {{math|''n''}}.
+इसी लाई बीजगणित की वास्तविक कोटि, और इसलिए लाई समूह Sp(2''n'', '''F''') की, n है।
-का [[झूठ बीजगणित]] {{math|Sp(2''n'', '''F''')}} समुच्चय है
+Sp(2''n'', '''F''') का लाई बीजगणित समुच्चय है
 :<math>\mathfrak{sp}(2n,F) = \{X \in M_{2n \times 2n}(F) : \Omega X + X^\mathrm{T} \Omega = 0\},</math>
-कम्यूटेटर # रिंग थ्योरी से लैस है जो इसके लाई ब्रैकेट के रूप में है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Prop. 3.25</ref> मानक तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप के लिए <math>\Omega = (\begin{smallmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{smallmatrix})</math>, यह झूठ बीजगणित सभी ब्लॉक मैट्रिसेस का समुच्चय है <math>(\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix})</math> शर्तों के अधीन
+क्रमविनिमेयक को इसके लाई वर्ग के रूप में सुसज्जित किया गया है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Prop. 3.25</ref> मानक विषम-सममित द्विरेखीय रूप <math>\Omega = (\begin{smallmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{smallmatrix})</math> के लिए, यह लाई बीजगणित सभी ब्लॉक आव्यूह <math>(\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix})</math> का समुच्चय है। शर्तों के अधीन
 :<math>\begin{align}
@@ Line 44: / Line 44: @@
 ==={{math|Sp(2''n'', '''C''')}}===
-जटिल संख्याओं के क्षेत्र में सममिती समूह एक सुसंहति समूह है | गैर-सुसंहति, बस जुड़ा हुआ, [[सरल झूठ समूह]]।
+सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में सममिती समूह एक सुसंहति समूह गैर-सुसंहति, बस जुड़ा हुआ, [[सरल झूठ समूह|सरल लाई समूह]] है।
 ==={{math|Sp(2''n'', '''R''')}}===
-{{math|Sp(''n'', '''C''')}} वास्तविक समूह का जटिलीकरण (झूठ समूह) है {{math|Sp(2''n'', '''R''')}}. {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} एक वास्तविक, सुसंहति समूह है | गैर-सुसंहति, कनेक्टेड स्पेस, सरल झूठ समूह।<ref>[https://math.stackexchange.com/q/1051400 "Is the symplectic group Sp(2''n'', '''R''') simple?"], ''[[Stack Exchange]]'' Retrieved on 14 December 2014.</ref> इसके अतिरिक्त के अंतर्गत [[पूर्णांकों]] के समूह के लिए एक [[मौलिक समूह]] [[समूह समरूपता]] है। एक साधारण लाई समूह के [[वास्तविक रूप]] के रूप में इसका लाई बीजगणित स्प्लिट लाई बीजगणित है।
+{{math|Sp(''n'', '''C''')}} वास्तविक समूह {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} का जटिलीकरण (लाई समूह) है। {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} एक वास्तविक, गैर-सुसंहति जुड़ा हुआ, सरल लाई समूह है।<ref>[https://math.stackexchange.com/q/1051400 "Is the symplectic group Sp(2''n'', '''R''') simple?"], ''[[Stack Exchange]]'' Retrieved on 14 December 2014.</ref> इसके अतिरिक्त के अंतर्गत [[पूर्णांकों]] के समूह के लिए एक [[मौलिक समूह]] [[समूह समरूपता|समरूपता]] है। साधारण लाई समूह के वास्तविक रूप के रूप में इसका लाई बीजगणित एक विखंडित लाई बीजगणित है।
-के कुछ और गुण {{math|Sp(2''n'', '''R''')}}:
+{{math|Sp(2''n'', '''R''')}} के कुछ और गुण:
-* झूठ बीजगणित से घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत)। {{math|'''sp'''(2''n'', '''R''')}} समूह के लिए {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} विशेषण फलन नहीं है। हालांकि, समूह के किसी भी तत्व को दो घातीयों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref>[https://math.stackexchange.com/q/1051255 "Is the exponential map for Sp(2''n'', '''R''') surjective?"], ''[[Stack Exchange]]'' Retrieved on 5 December 2014.</ref> दूसरे शब्दों में,
+* लाई बीजगणित Sp(2''n'', '''R''') से समूह '''sp'''(2''n'', '''R''') तक का घातीय मानचित्र विशेषण नहीं है। हालांकि, समूह के किसी भी तत्व को दो घातांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है।<ref>[https://math.stackexchange.com/q/1051255 "Is the exponential map for Sp(2''n'', '''R''') surjective?"], ''[[Stack Exchange]]'' Retrieved on 5 December 2014.</ref> दूसरे शब्दों में,
 ::<math>\forall S \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})\,\, \exists X,Y \in \mathfrak{sp}(2n,\mathbf{R}) \,\, S = e^Xe^Y. </math>
-* सभी के लिए {{math|''S''}} में {{math|Sp(2''n'', '''R''')}}:
+::* {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} में सभी S के लिए:
 ::<math>S = OZO' \quad \text{such that} \quad O, O' \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})\cap\operatorname{SO}(2n) \cong U(n) \quad \text{and} \quad Z = \begin{pmatrix}D & 0 \\ 0 & D^{-1}\end{pmatrix}.</math>
-:गणित का सवाल {{math|''D''}} [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित आव्यूह]] है | सकारात्मक-निश्चित और [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]]। ऐसे का समुच्चय {{math|''Z''}}s का एक गैर-सुसंहति उपसमूह बनाता है {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} जबकि {{math|U(''n'')}} एक सुसंहति उपसमूह बनाता है। इस अपघटन को 'यूलर' या 'ब्लोच-मसीहा' अपघटन के रूप में जाना जाता है।<ref>[https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ga/papers/2602.pdf "Standard forms and entanglement engineering of multimode Gaussian states under local operations – Serafini and Adesso"], Retrieved on 30 January 2015.</ref> आगे के सममिती आव्यूह गुण उस विकिपीडिया पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं।
+:आव्यूह D धनात्मक-निश्चित और विकर्ण है I ऐसे Zs का समुच्चय Sp(2''n'', '''R''') का एक गैर-संहत उपसमूह बनाता है जबकि U(n) एक सुसंहत उपसमूह बनाता है। इस अपघटन को 'यूलर' या 'ब्लोच-मसीहा' अपघटन के रूप में जाना जाता है।<ref>[https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ga/papers/2602.pdf "Standard forms and entanglement engineering of multimode Gaussian states under local operations – Serafini and Adesso"], Retrieved on 30 January 2015.</ref> आगे के सममिती आव्यूह गुण उस विकिपीडिया पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं।
-* एक झूठ समूह के रूप में, {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} की [[कई गुना]] संरचना है। के लिए कई गुना {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} [[एकात्मक समूह]] के मैनिफोल्ड #कार्टेशियन उत्पादों के लिए [[डिफियोमोर्फिज्म]] है {{math|U(''n'')}} आयाम के सदिश स्थान के साथ {{math|''n''(''n''+1)}}.<ref>[http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/arnogive.pdf "Symplectic Geometry – Arnol'd and Givental"], Retrieved on 30 January 2015.</ref>
+* लाई समूह के रूप में, {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} की [[कई गुना]] संरचना है। {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} के लिए समष्टि आयाम {{math|''n''(''n''+1)}} के सदिश समष्टि के साथ एकात्मक समूह U(n) के कार्टेशियन गुणनफल के लिए भिन्न है।<ref>[http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/arnogive.pdf "Symplectic Geometry – Arnol'd and Givental"], Retrieved on 30 January 2015.</ref>
-=== इनफिनिटिमल जेनरेटर ===
+=== अत्यंत सूक्ष्म जनित्र ===
-सममिती झूठ बीजगणित के सदस्य {{math|'''sp'''(2''n'', '''F''')}} [[हैमिल्टनियन मैट्रिक्स|हैमिल्टनियन आव्यूह]] हैं।
+सममिती लाई बीजगणित की इकाई {{math|'''sp'''(2''n'', '''F''')}} [[हैमिल्टनियन मैट्रिक्स|हैमिल्टनियन आव्यूह]] हैं।
-ये आव्यूह हैं, <math>Q</math> ऐसा है कि<blockquote><math>Q = \begin{pmatrix} A & B \\ C & -A^\mathrm{T} \end{pmatrix}</math></blockquote>कहाँ {{math|''B''}} और {{math|''C''}} [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] हैं। व्युत्पत्ति के लिए उत्कृष्ट समूह देखें।
+ये आव्यूह <math>Q</math> हैं, जैसे कि<blockquote><math>Q = \begin{pmatrix} A & B \\ C & -A^\mathrm{T} \end{pmatrix}</math></blockquote>जहाँ {{math|''B''}} और {{math|''C''}} [[सममित मैट्रिक्स|सममिती आव्यूह]] हैं। व्युत्पत्ति के लिए उत्कृष्ट समूह देखें।
 ===सममिती आव्यूह का उदाहरण===
-के लिए {{math|Sp(2, '''R''')}}, का समूह {{math|2 × 2}} निर्धारक के साथ matrices {{math|1}}, तीन सममिती {{math|(0, 1)}}-मैट्रिसेस हैं:<ref>[http://mathworld.wolfram.com/SymplecticGroup.html Symplectic Group], (source: [[Wolfram MathWorld]]), downloaded February 14, 2012</ref><ब्लॉककोट><math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\quad \text{and} \quad
+{{math|Sp(2, '''R''')}} के लिए, निर्धारक 1 के साथ {{math|2 × 2}} मैट्रिसेस का समूह, तीन सममिती (0, 1)-आव्यूह हैं:<ref>[http://mathworld.wolfram.com/SymplecticGroup.html Symplectic Group], (source: [[Wolfram MathWorld]]), downloaded February 14, 2012</ref><blockquote><math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\quad \text{and} \quad
-\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. </math></ब्लॉककोट>
+\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. </math></blockquote>
-==== एसपी (2एन, आर) ====
+==== Sp(2n, R) ====
-यह पता चला है कि <math>\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})</math> जेनरेटर का उपयोग करके काफी स्पष्ट विवरण हो सकता है। अगर हम जाने दें <math>\operatorname{Sym}(n)</math> सममित को निरूपित करें <math>n\times n</math> मैट्रिसेस, फिर <math>\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})</math> से उत्पन्न होता है <math>D(n)\cup N(n) \cup \{\Omega\},</math> जहां <ब्लॉककोट><math>\begin{align}
+यह पता चला है कि <math>\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})</math> जनित्र का उपयोग करके अधिकतम स्पष्ट विवरण हो सकता है। यदि हम <math>\operatorname{Sym}(n)</math> को सममित को निरूपित करते हैं तो <math>n\times n</math> आव्यूह, तब <math>\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})</math> से <math>D(n)\cup N(n) \cup \{\Omega\}</math> उत्पन्न होता है जहां
+<math>\begin{align}
 D(n) &= \left\{ \left. \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & (A^T)^{-1} \end{bmatrix} \,\right| \, A \in \operatorname{GL}(n, \mathbf{R})
 \right\} \\[6pt]
 N(n) &= \left\{ \left. \begin{bmatrix} I_n & B \\ 0 & I_n \end{bmatrix} \, \right| \, B \in \operatorname{Sym}(n)\right\}
-\end{align}</math></blockquote>के उपसमूह हैं <math>\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})</math><ref>{{Cite book|last=Gerald B. Folland.|url=https://www.worldcat.org/oclc/945482850|title=चरण अंतरिक्ष में हार्मोनिक विश्लेषण|date=2016|publisher=Princeton Univ Press|isbn=978-1-4008-8242-7|location=Princeton|page=173|oclc=945482850}}</ref><sup>पेज 173</sup><ref>{{Cite book|last=Habermann, Katharina, 1966-|url=http://worldcat.org/oclc/262692314|title=सहानुभूतिपूर्ण डायराक ऑपरेटरों का परिचय|date=2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-33421-7|oclc=262692314}}</ref><sup>पीजी 2</sup>.
+\end{align}</math>
+<math>\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})</math> के उपसमूह हैं। <ref>{{Cite book|last=Gerald B. Folland.|url=https://www.worldcat.org/oclc/945482850|title=चरण अंतरिक्ष में हार्मोनिक विश्लेषण|date=2016|publisher=Princeton Univ Press|isbn=978-1-4008-8242-7|location=Princeton|page=173|oclc=945482850}}</ref><sup>पेज 173</sup><ref>{{Cite book|last=Habermann, Katharina, 1966-|url=http://worldcat.org/oclc/262692314|title=सहानुभूतिपूर्ण डायराक ऑपरेटरों का परिचय|date=2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-33421-7|oclc=262692314}}</ref><sup>पीजी 2</sup>
 ===सममिती ज्यामिति के साथ संबंध===
-[[ सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति | सममिती ज्यामिति]] , [[ सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड ]]्स का अध्ययन है। एक सममिती मैनिफोल्ड पर किसी भी बिंदु पर [[स्पर्शरेखा स्थान]] एक सममिती सदिश स्थान है।<ref>[https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/BRST/ "Lecture Notes – Lecture 2: Symplectic reduction"], Retrieved on 30 January 2015.</ref> जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक सममिती सदिश स्पेस के परिवर्तनों को संरक्षित करने वाली संरचना एक समूह (गणित) बनाती है और यह समूह है {{math|Sp(2''n'', '''F''')}}, समष्टि के आयाम और क्षेत्र (गणित) पर निर्भर करता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है।
+सममिती ज्यामिति, सममिती प्रसमष्टि का अध्ययन है। सममिती प्रसमष्टि पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शी समष्‍टि एक सममिती सदिश समष्टि है।<ref>[https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/BRST/ "Lecture Notes – Lecture 2: Symplectic reduction"], Retrieved on 30 January 2015.</ref> जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक सममिती सदिश समष्टि के परिवर्तनों को संरक्षित करने वाली संरचना एक समूह बनाती है और यह समूह Sp(2''n'', '''F''') है, जो समष्टि के आयाम और उस क्षेत्र पर निर्भर करता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है।
-एक सममिती सदिश स्पेस अपने आप में सममिती मैनिफोल्ड है। सममिती समूह के एक [[समूह क्रिया (गणित)]] के अंतर्गत एक परिवर्तन, एक अर्थ में, एक [[sympletomorphism]] का एक रैखिक संस्करण है जो एक अधिक सामान्य संरचना है जो एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड पर परिवर्तन को संरक्षित करता है।
+सममिती सदिश समष्टि अपने आप में सममिती प्रसमष्टि है। सममिती समूह के एक [[समूह क्रिया (गणित)|समूह संक्रिया (गणित)]] के अंतर्गत एक परिवर्तन के अर्थ में, एक [[sympletomorphism|सममिती-समरूपता]] का एक रैखिक संस्करण है जो एक अधिक सामान्य संरचना है जो एक सममिती प्रसमष्टि पर परिवर्तन को संरक्षित करता है।
 =={{math|Sp(''n'')}}==
-सुसंहति सममिती समूह<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 1.2.8</ref> {{math|Sp(''n'')}} का चौराहा है {{math|Sp(2''n'', '''C''')}} साथ <math>2n\times 2n</math> एकात्मक समूह:
+सुसंहति सममिती समूह<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 1.2.8</ref> {{math|Sp(''n'')}}, {{math|Sp(2''n'', '''C''')}} का <math>2n\times 2n</math> एकात्मक समूह के साथ प्रतिच्छेदन है:
 :<math>\operatorname{Sp}(n):=\operatorname{Sp}(2n;\mathbf C)\cap\operatorname{U}(2n)=\operatorname{Sp}(2n;\mathbf C)\cap\operatorname {SU} (2n).</math>
-इसे कभी-कभी लिखा जाता है {{math|USp(2''n'')}}. वैकल्पिक रूप से, {{math|Sp(''n'')}} के उपसमूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है {{math|GL(''n'', '''H''')}} (इनवर्टिबल [[चार का समुदाय]] आव्यूह) जो मानक [[हर्मिटियन रूप]] को संरक्षित करता है {{math|'''H'''<sup>''n''</sup>}}:
+इसे कभी-कभी USp(2''n'') के रूप में लिखा जाता है। वैकल्पिक रूप से, Sp(n) को GL(''n'', '''H''') ( व्युत्क्रमणीय चतुष्कोणीय आव्यूह) के उपसमूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो '''H'''<sup>''n''</sup> पर मानक हर्मिटियन द्विघात को संरक्षित करता है:
 :<math>\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n.</math>
-वह है, {{math|Sp(''n'')}} केवल क्लासिकी समूह#Sp(p, q) – चतुष्कोणीय एकात्मक समूह है, {{math|U(''n'', '''H''')}}.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} p. 14</ref> दरअसल, इसे कभी-कभी हाइपर्यूनिटरी ग्रुप भी कहा जाता है। साथ ही Sp(1) मानदंड के चतुष्कोणों का समूह है {{math|1}}, के बराबर {{math|[[SU(2)]]}} और स्थलाकृतिक रूप से एक 3-क्षेत्र |{{math|3}}-वृत्त {{math|S<sup>3</sup>}}.
+अर्थात्, Sp(n) केवल चतुष्कोणीय एकात्मक समूह, U(n, '''H''') है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} p. 14</ref> वास्तव में, इसे कभी-कभी अतिसक्रिय समूह कहा जाता है। साथ ही Sp(1) मानक 1 के चतुष्कोणों का समूह है, जो SU(2) के समतुल्य है और स्थैतिक रूप से एक 3-क्षेत्र S<sup>3</sup> है
-ध्यान दें कि {{math|Sp(''n'')}} पिछले खंड के अर्थ में एक सममिती समूह नहीं है - यह एक गैर-पतित तिरछा-सममित को संरक्षित नहीं करता है {{math|'''H'''}}- द्विरेखीय समघात ऑन {{math|'''H'''<sup>''n''</sup>}}: शून्य रूप को छोड़कर ऐसा कोई रूप नहीं है। बल्कि, यह एक उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है {{math|Sp(2''n'', '''C''')}}, और इसलिए दो बार आयाम के सदिश समष्टि में एक जटिल सममिती रूप को संरक्षित करता है। जैसा कि नीचे समझाया गया है, का झूठ बीजगणित {{math|Sp(''n'')}} जटिल symplectic झूठ बीजगणित का सुसंहति वास्तविक रूप है {{math|'''sp'''(2''n'', '''C''')}}.
+ध्यान दें कि {{math|Sp(''n'')}} पूर्व खंड के अर्थ में एक सममिती समूह नहीं है - यह एक गैर-पतित विषम-सममित को संरक्षित नहीं करता है {{math|'''H'''}}- द्विरेखीय समघात पर {{math|'''H'''<sup>''n''</sup>}} शून्य को छोड़कर ऐसा कोई रूप नहीं है। बल्कि, यह Sp(2n, '''C''') के एक उपसमूह के लिए समतुल्य है, और इसलिए दो बार आयाम के सदिश समष्टि में एक जटिल सममिति रूप को संरक्षित करता है। जैसा कि नीचे समझाया गया है, Sp(n) का लाइ बीजगणित जटिल सममिति लाइ बीजगणित sp(2n, C) का सुसंहत वास्तविक रूप है।
-{{math|Sp(''n'')}} (वास्तविक) आयाम वाला एक वास्तविक झूठ समूह है {{math|''n''(2''n'' + 1)}}. यह [[ कॉम्पैक्ट जगह | सुसंहति जगह]] है और बस जुड़ा हुआ है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Prop. 13.12</ref>
+{{math|Sp(''n'')}} (वास्तविक) आयाम वाला एक वास्तविक लाई समूह {{math|''n''(2''n'' + 1)}} है। यह [[ कॉम्पैक्ट जगह |सुसंहति समष्टि]] है और सरलता से जुड़ा हुआ है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Prop. 13.12</ref> {{math|Sp(''n'')}} का लाई बीजगणित चतुष्कोणीय विषम-हर्मिटियन आव्यूह द्वारा दिया गया है, और n-द्वारा-n चतुष्कोणीय आव्यूह का समुच्चय जो संतुष्ट करता है।
-का झूठ बीजगणित {{math|Sp(''n'')}} चतुष्कोणीय तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस द्वारा दिया गया है, का समुच्चय {{math|''n''-by-''n''}} चतुष्कोणीय आव्यूह जो संतुष्ट करते हैं
 :<math>A+A^{\dagger} = 0</math>
-कहाँ {{math|A<sup>†</sup>}} का संयुग्मी स्थानांतरण है {{math|A}} (यहाँ एक चतुष्कोणीय संयुग्म लेता है)। लाइ ब्रैकेट कम्यूटेटर द्वारा दिया जाता है।
+जहाँ {{math|A<sup>†</sup>}} का संयुग्मी स्थानांतरण {{math|A}} है। यहाँ एक चतुष्कोणीय संयुग्म लेता है। लाइ वर्ग क्रमविनिमेयक द्वारा दिया जाता है।
 === महत्वपूर्ण उपसमूह ===
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 : <math>\operatorname{F}_4 \supset \operatorname{Sp}(4)</math>
 : <math>\operatorname{G}_2 \supset \operatorname{Sp}(1)</math>
-लाई बीजगणित की समरूपताएं भी हैं {{math|1='''sp'''(2) = '''so'''(5)}} और {{math|1='''sp'''(1) = '''so'''(3) = '''su'''(2)}}.
+लाई बीजगणित {{math|1='''sp'''(2) = '''so'''(5)}} और {{math|1='''sp'''(1) = '''so'''(3) = '''su'''(2)}} की समरूपताएं भी हैं।
 == सममिती समूहों के बीच संबंध ==
-प्रत्येक जटिल, अर्ध-सरल झूठ बीजगणित का एक वास्तविक रूप होता है (झूठ सिद्धांत)#विभाजित वास्तविक रूप और एक वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#सुसंहति वास्तविक रूप; पूर्व को बाद के दो का जटिल कहा जाता है।
+प्रत्येक जटिल, अर्ध-सरल लाइ बीजगणित में एक विभाजित वास्तविक रूप और एक सुसंहत वास्तविक रूप को बाद के दो का एक जटिल रूप कहा जाता है।
-का झूठ बीजगणित {{math|Sp(2''n'', '''C''')}} सेमीसिंपल लाई बीजगणित है और इसे निरूपित किया जाता है {{math|'''sp'''(2''n'', '''C''')}}. इसका वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#विभाजित वास्तविक रूप है {{math|'''sp'''(2''n'', '''R''')}} और उसका वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)#सघन वास्तविक रूप है {{math|'''sp'''(''n'')}}. ये झूठ समूहों के अनुरूप हैं {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} और {{math|Sp(''n'')}} क्रमश।
+Sp(2''n'', '''C''') का लाई बीजगणित अर्धसरल है और इसे Sp(2''n'', '''C''') के रूप में दर्शाया गया है। इसका विभाजित वास्तविक रूपSp(2''n'', '''R''') है और इसका सुसंहत वास्तविक रूप sp(n) है। ये क्रमशः लाइ समूहों Sp(2''n'', '''R''') और '''Sp'''(n) के अनुरूप हैं।
-बीजगणित, {{math|'''sp'''(''p'', ''n'' − ''p'')}}, जो के झूठ बीजगणित हैं {{math|Sp(''p'', ''n'' − ''p'')}}, सुसंहति फॉर्म के बराबर मेट्रिक हस्ताक्षर हैं।
+बीजगणित '''sp'''(p, n − p), जो Sp(p, n − p) के लाइ बीजगणित हैं, सुसंहत रूप के समतुल्य अनिश्चित संकेत हैं।
 == भौतिक महत्व ==
 === उत्कृष्ट यांत्रिकी ===
-सुसंहति सममिती समूह {{math|Sp(''n'')}} उत्कृष्ट भौतिकी में पोइसन ब्रैकेट को संरक्षित करने वाले विहित निर्देशांक की समरूपता के रूप में सामने आता है।
+सुसंहति सममिती समूह {{math|Sp(''n'')}} उत्कृष्ट भौतिकी में पोइसन वर्ग को संरक्षित करने वाले विहित निर्देशांक की समरूपता के रूप में सामने आता है।
-की एक प्रणाली पर विचार करें {{math|''n''}} कण, हैमिल्टनियन यांत्रिकी के अंतर्गत विकसित हो रहे हैं। हैमिल्टन के समीकरण जिनकी स्थिति एक निश्चित समय पर [[चरण स्थान]] में [[विहित निर्देशांक]] के सदिश द्वारा निरूपित की जाती है,
+n कणों की एक प्रणाली पर विचार करें, जो हैमिल्टन के समीकरणों के अंतर्गत विकसित हो रही है, जिसकी स्थिति एक निश्चित समय पर प्रावस्था-समष्टि में विहित निर्देशांक के वेक्टर द्वारा निरूपित की जाती है,
 :<math>\mathbf{z} = (q^1, \ldots , q^n, p_1, \ldots , p_n)^\mathrm{T}.</math>
-समूह के तत्व {{math|Sp(2''n'', '''R''')}} एक निश्चित अर्थ में, इस सदिश पर [[विहित परिवर्तन]] हैं, यानी वे हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप को संरक्षित करते हैं। हैमिल्टन के समीकरण।<ref>{{harvnb|Arnold|1989}} gives an extensive mathematical overview of classical mechanics. See chapter 8 for [[symplectic manifold]]s.</ref><ref name="A&M" />अगर
+समूह Sp(2''n'', '''R''') के तत्व, एक निश्चित अर्थ में, इस सदिश पर विहित रूपांतरण हैं, अर्थात वे हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को संरक्षित करते हैं।<ref>{{harvnb|Arnold|1989}} gives an extensive mathematical overview of classical mechanics. See chapter 8 for [[symplectic manifold]]s.</ref><ref name="A&M" /> यदि
 :<math>\mathbf{Z} = \mathbf Z(\mathbf z, t) = (Q^1, \ldots , Q^n, P_1, \ldots , P_n)^\mathrm{T}</math>
-नए विहित निर्देशांक हैं, फिर, समय व्युत्पन्न को इंगित करने वाले बिंदु के साथ,
+नए विहित निर्देशांक हैं, फिर, एक बिंदु के साथ समय व्युत्पन्न को दर्शाता है,
 :<math>\dot {\mathbf Z} = M({\mathbf z}, t) \dot {\mathbf z},</math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>M(\mathbf z, t) \in \operatorname{Sp}(2n, \mathbf R)</math>
-सभी के लिए {{mvar|t}} और सभी {{math|'''z'''}} चरण समष्टि में।<ref>{{harvnb|Goldstein|1980|loc=Section 9.3}}</ref>
+सभी T और प्रावस्था समष्टि में सभी '''Z''' के लिए होता है।<ref>{{harvnb|Goldstein|1980|loc=Section 9.3}}</ref>
-[[रीमैनियन कई गुना]] के विशेष मामले के लिए, हैमिल्टन के समीकरण उस मैनिफोल्ड पर [[ geodesic ]]्स का वर्णन करते हैं। निर्देशांक <math>q^i</math> अंतर्निहित कई गुना, और क्षण पर रहते हैं <math>p_i</math> [[स्पर्शरेखा बंडल]] में रहते हैं। यही कारण है कि इन्हें पारंपरिक रूप से अपर और लोअर इंडेक्स के साथ लिखा जाता है; यह उनके स्थानों को अलग करना है। इसी हैमिल्टनियन में विशुद्ध रूप से गतिज ऊर्जा होती है: यह है <math>H=\tfrac{1}{2}g^{ij}(q)p_ip_j</math> कहाँ <math>g^{ij}</math> [[मीट्रिक टेंसर]] का व्युत्क्रम है <math>g_{ij}</math> रीमैनियन मैनिफोल्ड पर।<ref>Jurgen Jost, (1992) ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', Springer.</ref><ref name="A&M">[[Ralph Abraham (mathematician)|Ralph Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden]], ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London {{isbn|0-8053-0102-X}}</ref> वास्तव में, किसी भी चिकने मैनिफोल्ड के कोटैंजेंट बंडल को एक कैनोनिकल तरीके से एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड दिया जा सकता है, जिसमें सिम्प्लेक्टिक फॉर्म को [[टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म]] के बाहरी डेरिवेटिव के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref>{{Cite book|last=da Silva|first=Ana Cannas|url=http://link.springer.com/10.1007/978-3-540-45330-7|title=सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति पर व्याख्यान|date=2008|publisher=Springer Berlin Heidelberg|isbn=978-3-540-42195-5|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1764|location=Berlin, Heidelberg|pages=9|doi=10.1007/978-3-540-45330-7}}</ref>
+रिमेंनियन प्रसमष्टि के विशेष स्थिति के लिए, हैमिल्टन के समीकरण उस प्रसमष्टि पर अल्पांतरी का वर्णन करते हैं। निर्देशांक <math>q^i</math> अंतर्निहित प्रसमष्टि पर रहते हैं, और संवेग <math>p_i</math>कोटिस्पर्शी [[स्पर्शरेखा बंडल|बंडल]] में रहते हैं। यही कारण है कि इन्हें परंपरागत रूप से ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखा जाता है; यह उनके स्थानों को अलग करना है। इसी हैमिल्टनियन में विशुद्ध रूप <math>H=\tfrac{1}{2}g^{ij}(q)p_ip_j</math> से गतिज ऊर्जा होती है। जहाँ <math>g^{ij}</math> [[मीट्रिक टेंसर|आव्यूह प्रदिश]] का व्युत्क्रम <math>g_{ij}</math> रीमैनियन प्रसमष्टि पर है।<ref>Jurgen Jost, (1992) ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', Springer.</ref><ref name="A&M">[[Ralph Abraham (mathematician)|Ralph Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden]], ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London {{isbn|0-8053-0102-X}}</ref> वास्तव में, किसी भी सरल प्रसमष्टि के कोटिस्पर्शी बंडल को एक प्रमाणिक तरीके से एक सममिती प्रसमष्टि दिया जा सकता है, जिसमें सममिती द्विघात को [[टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म|पुनरावृत्‍ति एक प्ररूप]] के बाहरी अवकल के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref>{{Cite book|last=da Silva|first=Ana Cannas|url=http://link.springer.com/10.1007/978-3-540-45330-7|title=सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति पर व्याख्यान|date=2008|publisher=Springer Berlin Heidelberg|isbn=978-3-540-42195-5|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1764|location=Berlin, Heidelberg|pages=9|doi=10.1007/978-3-540-45330-7}}</ref>
 === क्वांटम यांत्रिकी ===
-की एक प्रणाली पर विचार करें {{math|''n''}} कण जिनकी [[कितना राज्य]] इसकी स्थिति और संवेग को कूटबद्ध करती है। ये निर्देशांक निरंतर चर हैं और इसलिए [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट समष्टि]], जिसमें राज्य रहता है, अनंत-आयामी है। यह अक्सर इस स्थिति के विश्लेषण को पेचीदा बना देता है। चरण समष्टि में [[हाइजेनबर्ग चित्र]] के अंतर्गत स्थिति और गति ऑपरेटरों के विकास पर विचार करना एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है।
+n कणों की एक प्रणाली पर विचार करें जिसका क्वांटम अवस्था इसकी स्थिति और गति को कूटबद्ध करता है। ये निर्देशांक सतत चर हैं और इसलिए हिल्बर्ट समष्टि, जिसमें अवस्था रहती है, और अनंत-आयामी है। यह प्रायः इस स्थिति के विश्लेषण को कठिन बना देता है। प्रावस्था-समष्‍टि में हाइजेनबर्ग समीकरण के अंतर्गत स्थिति और गति संक्रिया के विकास पर विचार करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है।
-कैनोनिकल निर्देशांक के सदिश का निर्माण करें,
+[[विहित रूपान्तरण संबंध|प्रामाणिक]] निर्देशांक के सदिश का निर्माण करें,
 :<math>\mathbf{\hat{z}} = (\hat{q}^1, \ldots , \hat{q}^n, \hat{p}_1, \ldots , \hat{p}_n)^\mathrm{T}. </math>
-[[विहित रूपान्तरण संबंध]] को बस के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+[[विहित रूपान्तरण संबंध|प्रामाणिक]] रूपान्तरण संबंध के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 :<math> [\mathbf{\hat{z}},\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T}] = i\hbar\Omega </math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math> \Omega = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & I_n \\ -I_n & \mathbf{0}\end{pmatrix} </math>
-और {{math|''I''<sub>''n''</sub>}} है {{math|''n'' × ''n''}} शिनाख्त सांचा।
+{{math|''I''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''n'' × ''n''}} सर्वसम आव्यूह है।
-कई भौतिक स्थितियों के लिए केवल द्विघात [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]], यानी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के रूप की आवश्यकता होती है
+कई भौतिक स्थितियों के लिए केवल द्विघात [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] की आवश्यकता होती है, जो कि द्विघात का हैमिल्टनियन है
 :<math>\hat{H} = \frac{1}{2}\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T} K\mathbf{\hat{z}}</math>
-कहाँ {{math|''K''}} एक है {{math|2''n'' × 2''n''}} वास्तविक, सममित आव्यूह। यह एक उपयोगी प्रतिबंध साबित होता है और हमें हाइजेनबर्ग तस्वीर को फिर से लिखने की अनुमति देता है
+जहाँ {{math|''K''}} एक {{math|2''n'' × 2''n''}} वास्तविक सममित आव्यूह है। यह एक उपयोगी प्रतिबंध प्रमाणित होता है और हमें हाइजेनबर्ग समीकरण को पुनः लिखने की स्वीकृति देता है
 :<math>\frac{d\mathbf{\hat{z}}}{dt} = \Omega K \mathbf{\hat{z}}</math>
-इस समीकरण के समाधान को कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन को बनाए रखना चाहिए। यह दिखाया जा सकता है कि इस प्रणाली का समय विकास सममिती समूह #Sp.282n.2C R.29|वास्तविक सममिती समूह की समूह क्रिया (गणित) के बराबर है, {{math|Sp(2''n'', '''R''')}}, चरण स्थान पर।
+इस समीकरण के समाधान को [[विहित रूपान्तरण संबंध|प्रामाणिक]] रूपान्तरण संबंध को बनाए रखना चाहिए। यह दिखाया जा सकता है कि इस प्रणाली का समय विकास सममिती समूह Sp(2n, R) की संक्रिया (गणित) के बराबर है।
 == यह भी देखें ==
-* [[ऑर्थोगोनल समूह]]
+* [[ऑर्थोगोनल समूह|लंबकोणीय समूह]]
 * एकात्मक समूह
 * अनुमानित एकात्मक समूह
-* सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड, सिम्प्लेक्टिक आव्यूह, सिम्प्लेक्टिक सदिश स्पेस, सिम्प्लेक्टिक प्रतिनिधित्व
+* सममिती प्रसमष्टि, सममिती आव्यूह, सममिती सदिश समष्टि, सममिती प्रतिनिधित्व
-* [[शास्त्रीय झूठ समूहों का प्रतिनिधित्व|उत्कृष्ट झूठ समूहों का प्रतिनिधित्व]]
+* [[शास्त्रीय झूठ समूहों का प्रतिनिधित्व|उत्कृष्ट लाई समूहों का प्रतिनिधित्व]]
 * [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]]
 * मेटाप्लेक्टिक समूह

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