संरचनात्मक कठोरता: Difference between revisions
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[[File:Structural rigidity basic examples.svg|thumb|घूर्णन काज द्वारा जुड़ी हुई छड़ों के रूप में ग्राफ़ खींचे जाते हैं। [[चक्र ग्राफ]] C<sub>4</sub> वर्ग के रूप में खींचे गए नीले बल द्वारा समांतर चतुर्भुज में झुकाया जा सकता है, इसलिए यह लचीला ग्राफ है। K<sub>3</sub>, त्रिभुज के रूप में खींचा गया है, उस पर लगाए गए किसी भी बल द्वारा परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह कठोर ग्राफ है।]][[असतत ज्यामिति]] और [[यांत्रिकी]] में, संरचनात्मक कठोरता लचीले [[लिंकेज (मैकेनिकल)]] या काज से जुड़े कठोर निकायों द्वारा गठित पहनावा के लचीलेपन की भविष्यवाणी करने के लिए संयोजक सिद्धांत है। | |||
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[[कठोरता]] | [[कठोरता]] संरचना की संपत्ति है कि यह लागू बल के अनुसार झुका नहीं करती है। कठोरता के विपरीत लचीलापन है। संरचनात्मक कठोरता सिद्धांत में, संरचनाओं का निर्माण उन वस्तुओं के संग्रह से होता है जो स्वयं कठोर पिंड होते हैं, जिन्हें अधिकांशतः सीधी छड़ रेखा खंड जैसे सरल ज्यामितीय रूप लेने के लिए माना जाता है, जिसमें लचीली हिंजों से जुड़ी वस्तुओं के जोड़े होते हैं। संरचना कठोर है यदि यह झुक नहीं सकती है, अर्थात, यदि संरचना की कोई निरंतर गति नहीं होती है जो इसके कठोर घटकों के आकार और काज पर उनके संयोजन के प्रतिरूप को संरक्षित करती है। | ||
कठोरता के दो अनिवार्य रूप | कठोरता के दो अनिवार्य रूप भिन्न प्रकार हैं। परिमित या स्थूल कठोरता का अर्थ है कि संरचना सकारात्मक मात्रा में झुकाना, मोड़ना नहीं करेगी। अतिसूक्ष्म कठोरता का अर्थ है कि संरचना उस राशि से भी नहीं झुकेगी जो सिद्धांत में भी पता लगाने के लिए बहुत छोटी है। (प्रौद्योगिकी रूप से, इसका तात्पर्य है कि कुछ विभेदक समीकरणों का कोई अशून्य समाधान नहीं है।) परिमित कठोरता का महत्व स्पष्ट है, किन्तु अतिसूक्ष्म कठोरता भी महत्वपूर्ण है क्योंकि सिद्धांत में असीम लचीलापन वास्तविक दुनिया के अवयस्क ठोके से मेल खाता है और परिणामस्वरूप संरचना में गिरावट आती है। | ||
कठोर ग्राफ [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में [[ग्राफ (असतत गणित)]] का [[ग्राफ एम्बेडिंग]] है जो संरचनात्मक रूप से कठोर है।<ref name="Ref_">{{mathworld|RigidGraph|Rigid Graph}</ref> अर्थात्, ग्राफ कठोर है यदि किनारों को कठोर छड़ों से बदलकर और लचीले हिंजों द्वारा कोने को बदलकर बनाई गई संरचना कठोर है। ग्राफ जो कठोर नहीं होता है उसे लचीला कहा जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, ग्राफ एम्बेडिंग लचीला होता है यदि कोने को लगातार स्थानांतरित किया जा सकता है, आसन्न कोने के बीच की दूरी को संरक्षित करते हुए, जिसके परिणामस्वरूप कुछ गैर-निकटवर्ती कोने के बीच की दूरी बदल जाती है। बाद वाली स्थिति [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] जैसे सरल अनुवाद और घूर्णन को नियमबद्ध करती है। | |||
ग्राफ़ के लिए कठोरता की समस्याओं पर विचार करना भी संभव है जिसमें कुछ किनारे संपीड़न तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं (लंबी लंबाई तक फैलने में सक्षम, | ग्राफ़ के लिए कठोरता की समस्याओं पर विचार करना भी संभव है जिसमें कुछ किनारे संपीड़न तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं (लंबी लंबाई तक फैलने में सक्षम, किन्तु कम लंबाई तक सिकुड़ने में सक्षम नहीं) जबकि अन्य किनारे तनाव तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं (सिकुड़ने में सक्षम किन्तु खिंचाव नहीं)। इस प्रकार के किनारों के साथ कठोर ग्राफ तन्यता संरचना का गणितीय मॉडल बनाता है। | ||
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[[File:Moser spindle pseudotriangulation.svg|thumb|[[ मोजर धुरी ]], | [[File:Moser spindle pseudotriangulation.svg|thumb|[[ मोजर धुरी ]], कठोर ग्राफ और [[लमान ग्राफ]] का उदाहरण।]]मौलिक समस्या यह है कि सैद्धांतिक विश्लेषण द्वारा किसी संरचना की कठोरता का अनुमान कैसे लगाया जाए, बिना इसे बनाए। इस क्षेत्र में प्रमुख परिणामों में निम्नलिखित सम्मलित हैं। | ||
*किसी भी आयाम में, रॉड | *किसी भी आयाम में, रॉड और काज लिंकेज की कठोरता को मैट्रोइड द्वारा वर्णित किया जाता है। द्वि-आयामी कठोरता [[ matroid |मैट्रोइड]] (विमान में न्यूनतम कठोर ग्राफ) के आधार लैमन ग्राफ हैं। | ||
*कॉची की प्रमेय (ज्यामिति) | कॉची की प्रमेय में कहा गया है कि | *कॉची की प्रमेय (ज्यामिति) | कॉची की प्रमेय में कहा गया है कि त्रि-आयामी उत्तल पॉलीहेड्रॉन का निर्माण इसके चेहरों के लिए कठोर प्लेटों के साथ किया गया है, जो इसके किनारों के साथ काज से जुड़ा हुआ है, कठोर संरचना बनाता है। | ||
*लचीले पॉलीहेड्रॉन, गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा जो कठोर नहीं हैं, | *लचीले पॉलीहेड्रॉन, गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा जो कठोर नहीं हैं, इसका निर्माण [[राउल ब्रिकार्ड]], [[रॉबर्ट कोनेली]] और अन्य लोगों द्वारा किया गया था। [[धौंकनी अनुमान]], जो अब सिद्ध हो चुका है, बताता है कि लचीले पॉलीहेड्रॉन की हर निरंतर गति इसकी मात्रा को सुरक्षित रखती है। | ||
*[[ग्रिड ब्रेसिंग]] समस्या में, जहां फ्रेमवर्क को कठोर बनाया जाना है, [[क्रॉस ब्रेसिंग]] के रूप में जोड़े गए विकर्णों के साथ | *[[ग्रिड ब्रेसिंग]] समस्या में, जहां फ्रेमवर्क को कठोर बनाया जाना है, [[क्रॉस ब्रेसिंग]] के रूप में जोड़े गए विकर्णों के साथ [[चौकोर ग्रिड]] है, संरचना की कठोरता का विश्लेषण अंतर्निहित द्विदलीय ग्राफ की संयोजकता पर समस्या में अनुवाद करके किया जा सकता है।<ref>{{citation | ||
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चूंकि, कई अन्य सरल स्थितियों में अभी तक यह ज्ञात नहीं है कि काफी गणितीय सिद्धांत के अस्तित्व के अतिरिक्त गणितीय रूप से संरचना की कठोरता का विश्लेषण कैसे किया जाए। | |||
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संरचनात्मक कठोरता के गणितीय सिद्धांत के संस्थापकों में से | संरचनात्मक कठोरता के गणितीय सिद्धांत के संस्थापकों में से महान भौतिक विज्ञानी [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] थे। बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में कठोरता के गणितीय सिद्धांत का प्रस्फुटन देखा गया, जो इक्कीसवीं सदी में जारी है। | ||
[ए] बलों की कार्रवाई के अधीन ढांचे के संतुलन और विक्षेपण का सिद्धांत गुणवत्ता की कठोरता पर काम कर रहा है ... ऐसे स्थितियों में जहां ढांचे ... को अतिरिक्त जोड़ने वाले टुकड़े द्वारा शक्तिशाली किया जाता है ... तीन आयामों के स्थितियों में , बलों के समीकरणों की नियमित विधि द्वारा, प्रत्येक बिंदु के संतुलन को निर्धारित करने के लिए तीन समीकरण होंगे, जिससे कि e अज्ञात मात्राओं के बीच 3s समीकरण दिए जा सकें, यदि s बिंदुओं की संख्या हो और e संबंधों की संख्या [इस प्रकार से] हो। चूँकि, प्रणाली के संतुलन के छह समीकरण हैं, जिन्हें प्रत्येक टुकड़े में क्रिया और प्रतिक्रिया की समानता के कारण बलों द्वारा आवश्यक रूप से पूरा किया जाना चाहिए। इसलिए यदि e = 3s − 6, किसी भी शाश्वत बल का प्रभाव अलग-अलग टुकड़ों में तनाव या दबाव उत्पन्न करने में निश्चित होगा; किन्तु यदि e > 3s − 6, ये बल अनिश्चित होंगे...।<ref>{{citation | |||
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[ए] बलों की कार्रवाई के अधीन ढांचे के संतुलन और विक्षेपण का सिद्धांत गुणवत्ता की कठोरता पर काम कर रहा है ... ऐसे | | contribution = On reciprocal figures and diagrams of forces | ||
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Latest revision as of 17:19, 16 May 2023
घूर्णन काज द्वारा जुड़ी हुई छड़ों के रूप में ग्राफ़ खींचे जाते हैं। चक्र ग्राफ C4 वर्ग के रूप में खींचे गए नीले बल द्वारा समांतर चतुर्भुज में झुकाया जा सकता है, इसलिए यह लचीला ग्राफ है। K3, त्रिभुज के रूप में खींचा गया है, उस पर लगाए गए किसी भी बल द्वारा परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह कठोर ग्राफ है।
असतत ज्यामिति और यांत्रिकी में, संरचनात्मक कठोरता लचीले लिंकेज (मैकेनिकल) या काज से जुड़े कठोर निकायों द्वारा गठित पहनावा के लचीलेपन की भविष्यवाणी करने के लिए संयोजक सिद्धांत है।
परिभाषाएँ
कठोरता संरचना की संपत्ति है कि यह लागू बल के अनुसार झुका नहीं करती है। कठोरता के विपरीत लचीलापन है। संरचनात्मक कठोरता सिद्धांत में, संरचनाओं का निर्माण उन वस्तुओं के संग्रह से होता है जो स्वयं कठोर पिंड होते हैं, जिन्हें अधिकांशतः सीधी छड़ रेखा खंड जैसे सरल ज्यामितीय रूप लेने के लिए माना जाता है, जिसमें लचीली हिंजों से जुड़ी वस्तुओं के जोड़े होते हैं। संरचना कठोर है यदि यह झुक नहीं सकती है, अर्थात, यदि संरचना की कोई निरंतर गति नहीं होती है जो इसके कठोर घटकों के आकार और काज पर उनके संयोजन के प्रतिरूप को संरक्षित करती है।
कठोरता के दो अनिवार्य रूप भिन्न प्रकार हैं। परिमित या स्थूल कठोरता का अर्थ है कि संरचना सकारात्मक मात्रा में झुकाना, मोड़ना नहीं करेगी। अतिसूक्ष्म कठोरता का अर्थ है कि संरचना उस राशि से भी नहीं झुकेगी जो सिद्धांत में भी पता लगाने के लिए बहुत छोटी है। (प्रौद्योगिकी रूप से, इसका तात्पर्य है कि कुछ विभेदक समीकरणों का कोई अशून्य समाधान नहीं है।) परिमित कठोरता का महत्व स्पष्ट है, किन्तु अतिसूक्ष्म कठोरता भी महत्वपूर्ण है क्योंकि सिद्धांत में असीम लचीलापन वास्तविक दुनिया के अवयस्क ठोके से मेल खाता है और परिणामस्वरूप संरचना में गिरावट आती है।
कठोर ग्राफ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ग्राफ (असतत गणित) का ग्राफ एम्बेडिंग है जो संरचनात्मक रूप से कठोर है।[1] अर्थात्, ग्राफ कठोर है यदि किनारों को कठोर छड़ों से बदलकर और लचीले हिंजों द्वारा कोने को बदलकर बनाई गई संरचना कठोर है। ग्राफ जो कठोर नहीं होता है उसे लचीला कहा जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, ग्राफ एम्बेडिंग लचीला होता है यदि कोने को लगातार स्थानांतरित किया जा सकता है, आसन्न कोने के बीच की दूरी को संरक्षित करते हुए, जिसके परिणामस्वरूप कुछ गैर-निकटवर्ती कोने के बीच की दूरी बदल जाती है। बाद वाली स्थिति सर्वांगसमता (ज्यामिति) जैसे सरल अनुवाद और घूर्णन को नियमबद्ध करती है।
ग्राफ़ के लिए कठोरता की समस्याओं पर विचार करना भी संभव है जिसमें कुछ किनारे संपीड़न तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं (लंबी लंबाई तक फैलने में सक्षम, किन्तु कम लंबाई तक सिकुड़ने में सक्षम नहीं) जबकि अन्य किनारे तनाव तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं (सिकुड़ने में सक्षम किन्तु खिंचाव नहीं)। इस प्रकार के किनारों के साथ कठोर ग्राफ तन्यता संरचना का गणितीय मॉडल बनाता है।
कठोरता का गणित
मौलिक समस्या यह है कि सैद्धांतिक विश्लेषण द्वारा किसी संरचना की कठोरता का अनुमान कैसे लगाया जाए, बिना इसे बनाए। इस क्षेत्र में प्रमुख परिणामों में निम्नलिखित सम्मलित हैं।
- किसी भी आयाम में, रॉड और काज लिंकेज की कठोरता को मैट्रोइड द्वारा वर्णित किया जाता है। द्वि-आयामी कठोरता मैट्रोइड (विमान में न्यूनतम कठोर ग्राफ) के आधार लैमन ग्राफ हैं।
- कॉची की प्रमेय (ज्यामिति) | कॉची की प्रमेय में कहा गया है कि त्रि-आयामी उत्तल पॉलीहेड्रॉन का निर्माण इसके चेहरों के लिए कठोर प्लेटों के साथ किया गया है, जो इसके किनारों के साथ काज से जुड़ा हुआ है, कठोर संरचना बनाता है।
- लचीले पॉलीहेड्रॉन, गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा जो कठोर नहीं हैं, इसका निर्माण राउल ब्रिकार्ड, रॉबर्ट कोनेली और अन्य लोगों द्वारा किया गया था। धौंकनी अनुमान, जो अब सिद्ध हो चुका है, बताता है कि लचीले पॉलीहेड्रॉन की हर निरंतर गति इसकी मात्रा को सुरक्षित रखती है।
- ग्रिड ब्रेसिंग समस्या में, जहां फ्रेमवर्क को कठोर बनाया जाना है, क्रॉस ब्रेसिंग के रूप में जोड़े गए विकर्णों के साथ चौकोर ग्रिड है, संरचना की कठोरता का विश्लेषण अंतर्निहित द्विदलीय ग्राफ की संयोजकता पर समस्या में अनुवाद करके किया जा सकता है।[2][3]
चूंकि, कई अन्य सरल स्थितियों में अभी तक यह ज्ञात नहीं है कि काफी गणितीय सिद्धांत के अस्तित्व के अतिरिक्त गणितीय रूप से संरचना की कठोरता का विश्लेषण कैसे किया जाए।
इतिहास
संरचनात्मक कठोरता के गणितीय सिद्धांत के संस्थापकों में से महान भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल थे। बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में कठोरता के गणितीय सिद्धांत का प्रस्फुटन देखा गया, जो इक्कीसवीं सदी में जारी है।
[ए] बलों की कार्रवाई के अधीन ढांचे के संतुलन और विक्षेपण का सिद्धांत गुणवत्ता की कठोरता पर काम कर रहा है ... ऐसे स्थितियों में जहां ढांचे ... को अतिरिक्त जोड़ने वाले टुकड़े द्वारा शक्तिशाली किया जाता है ... तीन आयामों के स्थितियों में , बलों के समीकरणों की नियमित विधि द्वारा, प्रत्येक बिंदु के संतुलन को निर्धारित करने के लिए तीन समीकरण होंगे, जिससे कि e अज्ञात मात्राओं के बीच 3s समीकरण दिए जा सकें, यदि s बिंदुओं की संख्या हो और e संबंधों की संख्या [इस प्रकार से] हो। चूँकि, प्रणाली के संतुलन के छह समीकरण हैं, जिन्हें प्रत्येक टुकड़े में क्रिया और प्रतिक्रिया की समानता के कारण बलों द्वारा आवश्यक रूप से पूरा किया जाना चाहिए। इसलिए यदि e = 3s − 6, किसी भी शाश्वत बल का प्रभाव अलग-अलग टुकड़ों में तनाव या दबाव उत्पन्न करने में निश्चित होगा; किन्तु यदि e > 3s − 6, ये बल अनिश्चित होंगे...।[4]
यह भी देखें
- चेबीचेव-ग्रब्लर-कुट्ज़बैक कसौटी
- फ्रेमवर्क पर गिनती
- केम्पे की सार्वभौमिकता प्रमेय
टिप्पणियाँ
- ↑ {{mathworld|RigidGraph|Rigid Graph}
- ↑ Baglivo, Jenny A.; Graver, Jack E. (1983), "3.10 Bracing structures", Incidence and Symmetry in Design and Architecture, Cambridge Urban and Architectural Studies, Cambridge, UK: Cambridge University Press, pp. 76–87, ISBN 9780521297844
- ↑ Graver, Jack E. (2001), Counting on Frameworks: Mathematics to Aid the Design of Rigid Structures, The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 25, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-331-0, MR 1843781. See in particular sections 1.2 ("The grid bracing problem", pp. 4–12), 1.5 ("More about the grid problem", pp. 19–22), 2.6 ("The solution to the grid problem", pp. 50–55), and 4.4 ("Tensegrity: tension bracings", particularly pp. 158–161).
- ↑ Maxwell, James Cleark (1864), "On reciprocal figures and diagrams of forces", Philosophical Magazine, 4th Series, vol. 27, pp. 250–261, doi:10.1080/14786446408643663
संदर्भ
- Alfakih, Abdo Y. (2007), "On dimensional rigidity of bar-and-joint frameworks", Discrete Applied Mathematics, 155 (10): 1244–1253, doi:10.1016/j.dam.2006.11.011, MR 2332317.
- Connelly, Robert (1980), "The rigidity of certain cabled frameworks and the second-order rigidity of arbitrarily triangulated convex surfaces", Advances in Mathematics, 37 (3): 272–299, doi:10.1016/0001-8708(80)90037-7, MR 0591730.
- Crapo, Henry (1979), "Structural rigidity", Structural Topology (1): 26–45, 73, hdl:2099/521, MR 0621627.
- Maxwell, J. C. (1864), "On reciprocal figures and diagrams of forces", Philosophical Magazine, 4th Series, 27 (182): 250–261, doi:10.1080/14786446408643663.
- Rybnikov, Konstantin; Zaslavsky, Thomas (2005), "Criteria for balance in abelian gain graphs, with applications to piecewise-linear geometry", Discrete and Computational Geometry, 34 (2): 251–268, arXiv:math/0210052, doi:10.1007/s00454-005-1170-6, MR 2155721, S2CID 14391276.
- Whiteley, Walter (1988), "The union of matroids and the rigidity of frameworks", SIAM Journal on Discrete Mathematics, 1 (2): 237–255, doi:10.1137/0401025, MR 0941354
