श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या: Difference between revisions

Latest revision as of 18:14, 16 May 2023

श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या या गुरुत्वाकर्षण त्रिज्या आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के श्वार्जचाइल्ड समाधान में भौतिक पैरामीटर है जो श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल के घटना क्षितिज को परिभाषित करने वाले त्रिज्या से मेल खाती है। यह द्रव्यमान की किसी भी मात्रा से जुड़ी विशेषता त्रिज्या है। स्च्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या का नाम जर्मन खगोलशास्त्री कार्ल स्च्वार्ज़स्चिल्ड के नाम पर रखा गया था, जिन्होंने 1916 में सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के लिए इस स्पष्ट समाधान की गणना की थी।

श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या के रूप में दिया गया है

r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},

जहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, M वस्तु का द्रव्यमान है, और c प्रकाश की गति है।^{[note 1]}^[1]^[2]

इतिहास

1916 में, कार्ल श्वार्ज़स्चिल्ड ने गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों का स्पष्ट समाधान प्राप्त किया^[3]^[4] जो द्रव्यमान $M$ के साथ गैर-घूर्णन गोलाकार सममित निकाय के बाहर था (देखें श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक)। समाधान में $1-{r_{\text{s}}}/r$ और ${\frac {1}{1-{r_{\text{s}}}/r}}$ , के रूप की नियम सम्मिलित हैं जो क्रमशः $r=0$ और $r=r_{\text{s}}$ पर एकवचन बन जाते हैं। । $r_{\text{s}}$ h> को श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या के रूप में जाना जाने लगा है। इन गणितीय विलक्षणता के भौतिक महत्व पर दशकों से बहस चल रही थी। यह पाया गया कि पर $r=r_{\text{s}}$ समन्वय विलक्षणता है, जिसका अर्थ है कि यह निर्देशांक की विशेष प्रणाली का विरूपण साक्ष्य है जिसका उपयोग किया गया था; जबकि पर $r=0$ स्पेसटाइम विलक्षणता है और इसे हटाया नहीं जा सकता है।^[5] श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या फिर भी भौतिक रूप से प्रासंगिक मात्रा है, जैसा कि ऊपर और नीचे बताया गया है।

इस अभिव्यक्ति की गणना पहले न्यूटोनियन यांत्रिकी का उपयोग करके एक गोलाकार सममित निकाय की त्रिज्या के रूप में की गई थी, जिस पर पलायन वेग प्रकाश की गति के सामान्य था। इसकी पहचान 18वीं सदी में जॉन मिचेल और पियरे-साइमन लाप्लास ने की थी।^[6]^[7]

पैरामीटर

किसी वस्तु का श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या उसके द्रव्यमान के समानुपाती होता है। तदनुसार, सूर्य की श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या लगभग 3.0 km (1.9 mi) है जबकि पृथ्वी का लगभग 9 mm (0.35 in) और चंद्रमा का लगभग 0.1 mm (0.0039 in) है।. अवलोकन ब्रह्मांड का द्रव्यमान लगभग 13.7 बिलियन प्रकाश-वर्ष का श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या है।^[8]

वस्तु का स्च्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या
वस्तु	द्रव्यमान 𝑀	स्च्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या ${\textstyle {\frac {2GM}{c^{2}}}}$	वास्तविक त्रिज्या 𝑟	स्च्वार्ज़स्चिल्ड घनत्व ${\textstyle {\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}}$ और ${\textstyle {\frac {3c^{2}}{8\pi Gr^{2}}}}$
अवलोकनीय ब्रह्मांड	8.8×10⁵² kg	1.3×10²⁶ m (13.7 billion ly)	4.4×10²⁶ m (46.5 billion ly)	9.5×10⁻²⁷ kg/m³
आकाशगंगा	1.6×10⁴² kg	2.4×10¹⁵ m (0.25 ly)	5×10²⁰ m (52900 ly)	0.000029 kg/m³
फीनिक्स ए (सबसे बड़ा ज्ञात ब्लैक होल)	1.99×10⁴¹ kg	2.95×10¹⁴ m (~1975 AU)		0.0018 kg/m³
टन 618	1.3×10⁴¹ kg	1.9×10¹⁴ m (~1300 AU)		0.0045 kg/m³
एनजीसी 4889 में एसएमबीएच	4.2×10⁴⁰ kg	6.2×10¹³ m (~410 AU)		0.042 kg/m³
मेसियर 87 में एसएमबीएच^[9]	1.3×10⁴⁰ kg	1.9×10¹³ m (~130 AU)		0.44 kg/m³
एंड्रोमेडा आकाशगंगा में एसएमबीएच^[10]	3.4×10³⁸ kg	5.0×10¹¹ m (3.3 AU)		640 kg/m³
सैजिटेरियस ए* (मिल्की वे में एसएमबीएच) ^[11]	8.262×10³⁶ kg	1.227×10¹⁰ m (0.08 AU)		1.0678×10⁶ kg/m³
एसएमबीएच में एनजीसी4395^[12]	7.1568×10³⁵ kg	1.062×10⁹ m (1.53 R_⊙)		1.4230×10⁸ kg/m³
एचसीएन-0.009-0.044 में संभावित मध्यवर्ती ब्लैक होल ^[13]	6.3616×10³⁴ kg	9.44×10⁸ m (14.8 R_🜨)		1.8011×10¹⁰ kg/m³
जीडब्ल्यू190521 विलय से मध्यवर्ती ब्लैक होल का परिणाम ^[14]	2.823×10³² kg	4.189×10⁵ m (0.066 R_🜨)		9.125×10¹⁴ kg/m³
सूर्य	1.99×10³⁰ kg	2.95×10³ m	7.0×10⁸ m	1.84×10¹⁹ kg/m³
बृहस्पति	1.90×10²⁷ kg	2.82 m	7.0×10⁷ m	2.02×10²⁵ kg/m³
शनि ग्रह	5.683×10²⁶ kg	8.42×10⁻¹ m	6.03×10⁷ m	2.27×10²⁶ kg/m³
नेपच्यून	1.024×10²⁶ kg	1.52×10⁻¹ m	2.47×10⁷ m	6.97×10²⁷ kg/m³
अरुण ग्रह	8.681×10²⁵ kg	1.29×10⁻¹ m	2.56×10⁷ m	9.68×10²⁷ kg/m³
पृथ्वी	5.97×10²⁴ kg	8.87×10⁻³ m	6.37×10⁶ m	2.04×10³⁰ kg/m³
शुक्र	4.867×10²⁴ kg	7.21×10⁻³ m	6.05×10⁶ m	3.10×10³⁰ kg/m³
मंगल ग्रह	6.39×10²³ kg	9.47×10⁻⁴ m	3.39×10⁶ m	1.80×10³² kg/m³
बुध	3.285×10²³ kg	4.87×10⁻⁴ m	2.44×10⁶ m	6.79×10³² kg/m³
चंद्रमा	7.35×10²² kg	1.09×10⁻⁴ m	1.74×10⁶ m	1.35×10³⁴ kg/m³
मनुष्य	70 kg	1.04×10⁻²⁵ m	~5×10⁻¹ m	1.49×10⁷⁶ kg/m³
प्लैंक मास	2.18×10⁻⁸ kg	3.23×10⁻³⁵ m (2 l_P)		1.54×10⁹⁵ kg/m³

व्युत्पत्ति

श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या द्वारा ब्लैक होल वर्गीकरण

ब्लैक होल वर्गीकरण
वर्ग	लगभग। द्रव्यमान	लगभग। त्रिज्या
सुपरमैसिव ब्लैक होल	10⁵–10¹⁰ M_Sun	0.001–400 AU
मध्यवर्ती-द्रव्यमान वाला ब्लैक होल	10³ M_Sun	10³ km ≈ R_Earth
तारकीय ब्लैक होल	10 M_Sun	30 km
माइक्रो ब्लैक होल	up to M_Moon	up to 0.1 mm

कोई भी वस्तु जिसकी त्रिज्या उसके श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या से कम है, उसे ब्लैक होल कहा जाता है। श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या की सतह गैर-घूर्णन निकाय में घटना क्षितिज के रूप में कार्य करती है (एक घूर्णन ब्लैक होल थोड़ा अलग विधि से संचालित होता है)। इस सतह के अंदर के क्षेत्र से न तो प्रकाश और न ही कण बाहर निकल सकते हैं, इसलिए ब्लैक होल नाम दिया गया है।

ब्लैक होल को उनके श्वार्ज़स्चाइल्ड त्रिज्या के आधार पर, या समकक्ष रूप से, उनके घनत्व के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है, जहाँ घनत्व को ब्लैक होल के द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके श्वार्ज़स्चिल्ड क्षेत्र के आयतन से विभाजित होता है। चूंकि श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या रैखिक रूप से द्रव्यमान से संबंधित है, जबकि संलग्न आयतन त्रिज्या की तीसरी शक्ति से मेल खाता है, इसलिए घूमता हुआ ब्लैक होल बड़े ब्लैक होल की तुलना में बहुत अधिक घने होते हैं। सबसे विशाल ब्लैक होल के घटना क्षितिज में परिबद्ध आयतन का औसत घनत्व मुख्य अनुक्रम सितारों की तुलना में कम होता है।

सुपरमैसिव ब्लैक होल

एक अत्यधिक द्रव्यमान वाला काला सुरंग (एसएमबीएच) ब्लैक होल का सबसे बड़ा प्रकार है, चूंकि सैकड़ों-हज़ारों से लेकर अरबों सौर द्रव्यमानों के क्रम में इस तरह की वस्तु को ऐसा कैसे माना जाता है, इस पर कुछ आधिकारिक मानदंड हैं। (21 बिलियन (2.1 × 10¹⁰) M_☉ तक के सुपरमैसिव ब्लैक होल जैसे एनजीसी 4889 का पता लगाया गया है।) ^[15] तारकीय ब्लैक होल के विपरीत, सुपरमैसिव ब्लैक होल में तुलनात्मक रूप से कम औसत घनत्व होता है। (ध्यान दें कि (गैर-घूर्णन) ब्लैक होल अंतरिक्ष में गोलाकार क्षेत्र है जो अपने केंद्र में विलक्षणता को घेरता है; यह स्वयं विलक्षणता नहीं है।) इसे ध्यान में रखते हुए, सुपरमैसिव ब्लैक होल का औसत घनत्व इससे पानी का घनत्व कम हो सकता है

किसी पिंड का श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या उसके द्रव्यमान के समानुपाती होता है और इसलिए उसके आयतन के समानुपाती होता है, यह मानते हुए कि पिंड का द्रव्यमान-घनत्व स्थिर है।^[16] इसके विपरीत, निकाय का भौतिक त्रिज्या इसकी मात्रा के घनमूल के समानुपाती होता है। इसलिए, चूंकि निकाय निश्चित घनत्व पर पदार्थ जमा करता है (इस उदाहरण में, 997 किलोग्राम प्रति घन मीटर किग्रा/मी³, पानी का घनत्व), इसकी श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या इसके भौतिक त्रिज्या की तुलना में अधिक तेजी से बढ़ेगी। जब इस घनत्व का पिंड लगभग 136 मिलियन सौर द्रव्यमान तक बढ़ जाता है (1.36 × 10⁸ M_☉), इसका भौतिक सीमा इसके श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या से आगे निकल जाएगा, और इस प्रकार यह सुपरमैसिव ब्लैक होल का निर्माण करेगा।

ऐसा माना जाता है कि इस तरह के सुपरमैसिव ब्लैक होल तारों के समूह के एकल पतन से तुरंत नहीं बनते हैं। इसके अतिरिक्त वे छोटे, तारकीय-आकार के ब्लैक होल के रूप में जीवन प्रारंभ कर सकते हैं और पदार्थ, या अन्य ब्लैक होल के अभिवृद्धि से बड़े हो सकते हैं।

आकाशगंगा के गांगेय केंद्र में धनु A* की श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या लगभग 12 मिलियन किलोमीटर है। इसका द्रव्यमान लगभग 4.1 million M_☉.है| ^[11]

तारकीय ब्लैक होल

सुपरमैसिव ब्लैक होल की तुलना में तारकीय ब्लैक होल का औसत घनत्व बहुत अधिक होता है। यदि कोई परमाणु घनत्व पर पदार्थ जमा करता है (परमाणु के नाभिक का घनत्व, लगभग 10¹⁸ किलोग्राम प्रति घन मीटर किग्रा/मी³; न्यूट्रॉन स्टार भी इस घनत्व तक पहुँचते हैं), ऐसा संचय अपने स्वयं के श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या के अंदर गिर जाएगा 3 M_☉ और इस प्रकार तारकीय ब्लैक होल होगा।

सूक्ष्म ब्लैक होल

एक छोटे द्रव्यमान में बहुत छोटा स्च्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या होता है। माउंट एवरेस्ट के समान द्रव्यमान^[17]^{[note 2]} का स्च्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या नैनोमीटर से बहुत छोटा है।^{[note 3]} उस आकार पर इसका औसत घनत्व इतना अधिक होगा कि कोई भी ज्ञात तंत्र ऐसी अत्यंत कॉम्पैक्ट वस्तुओं का निर्माण नहीं कर सकता। इस तरह के ब्लैक होल संभवत: महा विस्फोट के ठीक बाद, ब्रह्मांड के विकास के प्रारंभिक चरण में बन सकते हैं, जब घनत्व बहुत अधिक था। इसलिए, इन काल्पनिक लघु ब्लैक होल को मौलिक ब्लैक होल कहा जाता है।

अन्य उपयोग

गुरुत्वीय समय में फैलाव

एक बड़े, धीरे-धीरे घूमने वाले, लगभग गोलाकार पिंड, जैसे कि पृथ्वी या सूर्य के निकट गुरुत्वाकर्षण समय फैलाव को यथोचित रूप से अनुमानित किया जा सकता है:^[18]

{\frac {t_{r}}{t}}={\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}

जहाँ :

t_r गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अंदर रेडियल समन्वय r पर पर्यवेक्षक के लिए बीता हुआ समय है;
t विशाल वस्तु (और इसलिए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के बाहर) से दूर पर्यवेक्षक के लिए बीता हुआ समय है;
r पर्यवेक्षक का रेडियल समन्वय है (जो वस्तु के केंद्र से मौलिक दूरी के अनुरूप है);
$r s$ श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या है।

कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य प्रतिच्छेदन

श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या ( $2GM/c^{2}$ ) और कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य ( $2\pi \hbar /Mc$ ) किसी दिए गए द्रव्यमान के अनुरूप होते हैं जब द्रव्यमान एक प्लैंक द्रव्यमान ( ${\textstyle M={\sqrt {\hbar c/G}}}$ ) के आसपास होता है, जब दोनों प्लैंक लंबाई ( ${\textstyle {\sqrt {\hbar G/c^{3}}}}$ ) के समान क्रम के होते हैं।

ब्लैक होल बनने से पहले घनत्व दिए जाने पर अधिकतम आयतन और त्रिज्या की गणना करना संभव है

श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या समीकरण को अभिव्यक्ति उत्पन्न करने के लिए हेरफेर किया जा सकता है जो इनपुट घनत्व से सबसे बड़ा संभव त्रिज्या देता है जो ब्लैक होल नहीं बनाता है। इनपुट घनत्व के $ρ$ रूप में लेना हुए,

r_{\text{s}}={\sqrt {\frac {3c^{2}}{8\pi G\rho }}}.

उदाहरण के लिए, पानी का घनत्व है 1000 kg/m³. इसका मतलब है कि ब्लैक होल बनाए बिना आपके पास पानी की सबसे बड़ी मात्रा 400 920 754 किमी (लगभग 2.67 खगोलीय इकाई) का सीमा होगा।

यह भी देखें

ब्लैक होल, सामान्य सर्वेक्षण
चंद्रशेखर लिमिट, ब्लैक होल निर्माण के लिए दूसरी आवश्यकता
जॉन मिशेल

प्रकार के आधार पर ब्लैक होल का वर्गीकरण:

श्वार्जस्चिल्ड ब्लैक होल
घूर्णन ब्लैक होल
आवेशित ब्लैक होल | आवेशित ब्लैक होल या न्यूमैन ब्लैक होल और केर-न्यूमैन ब्लैक होल

द्रव्यमान द्वारा ब्लैक होल का वर्गीकरण:

माइक्रो ब्लैक होल और अतिरिक्त आयामी ब्लैक होल
प्लैंक लंबाई
प्राइमर्डियल ब्लैक होल, बिग बैंग का काल्पनिक अवशेष
तारकीय ब्लैक होल, जो या तो स्थिर ब्लैक होल या घूमता हुआ ब्लैक होल हो सकता है
सुपरमैसिव ब्लैक होल, जो या तो स्थिर ब्लैक होल या घूमता हुआ ब्लैक होल हो सकता है
दृश्यमान ब्रह्मांड, यदि इसका घनत्व फ्रीडमैन समीकरण #घनत्व पैरामीटर है, ब्लैक होल ब्रह्माण्ड विज्ञान के रूप में
वर्चुअल ब्लैक होल

↑ In geometrized unit systems, G and c are both taken to be unity, which reduces this equation to $r_{\text{s}}=2M$ .
↑ Using these values,^[17] one can calculate a mass estimate of 6.3715×10¹⁴ kg.
↑ One can calculate the Schwarzschild radius: 2 × 6.6738×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻² × 6.3715×10¹⁴ kg / (299792458 m⋅s⁻¹)² = 9.46×10⁻¹³ m = 9.46×10⁻⁴ nm.

संदर्भ

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[1] In geometrized unit systems, G and c are both taken to be unity, which reduces this equation to $r_{\text{s}}=2M$ .

[19] Using these values,^[17] one can calculate a mass estimate of 6.3715×10¹⁴ kg.

[20] One can calculate the Schwarzschild radius: 2 × 6.6738×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻² × 6.3715×10¹⁴ kg / (299792458 m⋅s⁻¹)² = 9.46×10⁻¹³ m = 9.46×10⁻⁴ nm.

[2] Kutner, Marc (2003). Astronomy: A Physical Perspective. Cambridge University Press. p. 148. ISBN 9780521529273.

[3] Guidry, Mike (2019-01-03). Modern General Relativity: Black Holes, Gravitational Waves, and Cosmology (in English). Cambridge University Press. p. 92. ISBN 978-1-107-19789-3.

[4] K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 189.

[5] K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 424.

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v t e Black holes
Outline
Types	BTZ black hole Schwarzschild Rotating Charged Virtual Kugelblitz Supermassive Primordial Direct collapse Rogue Malament-Hogarth spacetime
Size	Micro Extremal Electron Stellar Microquasar Intermediate-mass Supermassive Active galactic nucleus Quasar LQG Blazar OVV Radio-Quiet Radio-Loud
Formation	Stellar evolution Gravitational collapse Neutron star Related links Tolman–Oppenheimer–Volkoff limit White dwarf Related links Supernova Micronova Hypernova Related links Gamma-ray burst Binary black hole Quark star Quasi-star Dark matter star X-ray binary
Properties	Astrophysical jet Gravitational singularity Ring singularity Theorems Event horizon Photon sphere Innermost stable circular orbit Ergosphere Penrose process Blandford–Znajek process Accretion disk Hawking radiation Gravitational lens Microlens Bondi accretion M–sigma relation Quasi-periodic oscillation Thermodynamics Bekenstein bound Bousso's holographic bound Immirzi parameter Schwarzschild radius Spaghettification
Issues	Black hole complementarity Information paradox Cosmic censorship ER = EPR Final parsec problem Firewall (physics) Holographic principle No-hair theorem
Metrics	Schwarzschild (Derivation) Kerr Reissner–Nordström Kerr–Newman Hayward
Alternatives	Nonsingular black hole models Black star Dark star Dark-energy star Gravastar Magnetospheric eternally collapsing object Planck star Q star Fuzzball
Analogs	Optical black hole Sonic black hole
Lists	Black holes Most massive Nearest Quasars Microquasars
Related	Outline of black holes Black Hole Initiative Black hole starship Big Bang Big Bounce Compact star Exotic star Quark star Preon star Gravitational waves Gamma-ray burst progenitors Gravity well Hypercompact stellar system Membrane paradigm Naked singularity Quasi-star Rossi X-ray Timing Explorer Superluminal motion Timeline of black hole physics White hole Wormhole Tidal disruption event Planet Nine
Notable	Cygnus X-1 XTE J1650-500 XTE J1118+480 A0620-00 SDSS J150243.09+111557.3 Sagittarius A* Centaurus A Phoenix Cluster PKS 1302-102 OJ 287 SDSS J0849+1114 TON 618 MS 0735.6+7421 NeVe 1 Hercules A 3C 273 Q0906+6930 Markarian 501 ULAS J1342+0928 PSO J030947.49+271757.31 P172+18
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