अपरिवर्तनीय सिद्धांत

अपरिवर्तनीय सिद्धांत सार बीजगणित की एक शाखा है जो कार्यों पर उनके प्रभाव के दृष्टिकोण से बीजगणितीय किस्मों, जैसे वेक्टर रिक्त स्थान पर समूह (गणित) के कार्यों से निपटती है। शास्त्रीय रूप से, सिद्धांत बहुपद कार्यों के स्पष्ट विवरण के प्रश्न से संबंधित है जो किसी दिए गए रैखिक समूह से परिवर्तनों के तहत बदलते नहीं हैं, या अपरिवर्तनीय हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम विशेष रेखीय समूह $SLn$ की क्रिया को n के स्थान पर n मेट्रिसेस द्वारा बाएँ गुणन द्वारा मानते हैं, तो निर्धारक इस क्रिया का एक अपरिवर्तनीय है क्योंकि AX का निर्धारक X के निर्धारक के बराबर होता है, जब A में $SLn$ होता है।

परिचय

होने देना $G$ एक समूह (गणित) हो, और $V$ एक क्षेत्र (गणित) पर एक परिमित आयामी सदिश स्थान $k$ (जो शास्त्रीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत में आमतौर पर जटिल संख्या माना जाता था)। का एक समूह प्रतिनिधित्व $G$ में $V$ एक समूह समरूपता है $\pi :G\to GL(V)$, जो एक समूह क्रिया (गणित) को प्रेरित करता है $G$ पर $V$. अगर $k[V]$ बहुपद फलन का वलय है | बहुपद फलन का स्थान चालू है $V$, फिर समूह की कार्रवाई $G$ पर $V$ पर क्रिया उत्पन्न करता है $k[V]$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा:

$(g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \forall x\in V,g\in G,f\in k[V].$ इस क्रिया के साथ सभी बहुपद कार्यों के उप-स्थान पर विचार करना स्वाभाविक है जो इस समूह क्रिया के तहत अपरिवर्तनीय हैं, दूसरे शब्दों में बहुपदों का सेट जैसे कि $g\cdot f=f$ सभी के लिए $g\in G$. अपरिवर्तनीय बहुपदों के इस स्थान को निरूपित किया जाता है $k[V]^{G}$.

अपरिवर्तनीय सिद्धांत की पहली समस्या: है $k[V]^{G}$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न बीजगणित $k$?

उदाहरण के लिए, अगर $G=SL_{n}$ और $V=M_{n}$ वर्ग मैट्रिसेस का स्थान, और की क्रिया $G$ पर $V$ बाएं गुणन द्वारा दिया जाता है, तब $k[V]^{G}$ निर्धारक द्वारा उत्पन्न एक चर में एक बहुपद अंगूठी के लिए आइसोमोर्फिक है। दूसरे शब्दों में, इस मामले में, प्रत्येक अपरिवर्तनीय बहुपद निर्धारक बहुपद की शक्तियों का एक रैखिक संयोजन है। तो इस मामले में, $k[V]^{G}$ अंततः उत्पन्न होता है $k$.

यदि उत्तर हां है, तो अगला प्रश्न एक न्यूनतम आधार खोजना है, और पूछना है कि क्या आधार तत्वों के बीच बहुपद संबंधों का मॉड्यूल (जिसे सिजीजी (गणित) के रूप में जाना जाता है) अंतिम रूप से उत्पन्न होता है $k[V]$.

परिमित समूहों के अपरिवर्तनीय सिद्धांत का गैलोज़ सिद्धांत के साथ घनिष्ठ संबंध है। पहले प्रमुख परिणामों में से एक सममित कार्यों पर मुख्य प्रमेय था जो सममित समूह के आक्रमणकारियों का वर्णन करता था $S_{n}$ बहुपद अंगूठी पर कार्य करना $R[x_{1},\ldots ,x_{n}$] चरों के क्रमपरिवर्तन द्वारा। अधिक आम तौर पर, शेवेलली-शेफर्ड-टॉड प्रमेय उन परिमित समूहों को दर्शाता है जिनके इनवेरिएंट्स का बीजगणित एक बहुपद अंगूठी है। परिमित समूहों के अपरिवर्तनीय सिद्धांत में आधुनिक शोध प्रभावी परिणामों पर जोर देता है, जैसे जनरेटर की डिग्री पर स्पष्ट सीमाएं। सकारात्मक विशेषता (बीजगणित) का मामला, वैचारिक रूप से मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के करीब, बीजीय टोपोलॉजी के लिंक के साथ सक्रिय अध्ययन का एक क्षेत्र है।

अनंत समूहों का अपरिवर्तनीय सिद्धांत रेखीय बीजगणित के विकास के साथ विशेष रूप से जुड़ा हुआ है, विशेष रूप से, द्विघात रूपों और निर्धारकों के सिद्धांत। मजबूत परस्पर प्रभाव वाला एक अन्य विषय प्रक्षेपी ज्यामिति था, जहां सामग्री को व्यवस्थित करने में अपरिवर्तनीय सिद्धांत की प्रमुख भूमिका निभाने की उम्मीद थी। इस संबंध का एक मुख्य आकर्षण प्रतीकात्मक पद्धति है। अर्ध-सरल लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत की जड़ें अपरिवर्तनीय सिद्धांत में हैं।

आक्रमणकारियों (1890) के बीजगणित की परिमित पीढ़ी के सवाल पर डेविड हिल्बर्ट के काम के परिणामस्वरूप एक नया गणितीय अनुशासन, अमूर्त बीजगणित का निर्माण हुआ। हिल्बर्ट (1893) के एक बाद के पेपर ने अधिक रचनात्मक और ज्यामितीय तरीकों से समान प्रश्नों को निपटाया, लेकिन डेविड ममफोर्ड ने 1960 के दशक में इन विचारों को जीवन में वापस लाने तक वस्तुतः अज्ञात बने रहे, अपने ज्यामितीय आविष्कार में काफी अधिक सामान्य और आधुनिक रूप में लिखित। ममफोर्ड के प्रभाव के कारण बड़े पैमाने पर, अपरिवर्तनीय सिद्धांत का विषय रेखीय बीजगणितीय समूहों के कार्यों के सिद्धांत को शामिल करने के लिए देखा जाता है, जो कि विविधता और प्रक्षेप्य विविधता किस्मों पर होता है। उन्नीसवीं शताब्दी के शास्त्रीय रचनात्मक और संयोजी तरीकों पर वापस जाने के लिए अपरिवर्तनीय सिद्धांत का एक अलग किनारा, जियान-कार्लो रोटा और उनके स्कूल द्वारा विकसित किया गया है। विचारों के इस चक्र का एक प्रमुख उदाहरण मानक मोनोमियल्स के सिद्धांत द्वारा दिया गया है।

उदाहरण

अपरिवर्तनीय सिद्धांत के सरल उदाहरण एक समूह क्रिया से अपरिवर्तनीय एकपद ्स की गणना से आते हैं। उदाहरण के लिए, पर विचार करें $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$-कार्रवाई चालू $\mathbb {C} [x,y]$ भेजना

${\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}$

तब से $x^{2},xy,y^{2}$ निम्नतम कोटि के एकपदी हैं जो अपरिवर्तनीय हैं, हमारे पास वह है

$\mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}$

यह उदाहरण कई संगणनाओं को करने का आधार बनता है।

उन्नीसवीं सदी की उत्पत्ति

The theory of invariants came into existence about the middle of the nineteenth century somewhat like Minerva: a grown-up virgin, mailed in the shining armor of algebra, she sprang forth from Cayley's Jovian head.

Weyl (1939b, p.489)

केली ने पहली बार अपने ऑन द थ्योरी ऑफ लीनियर ट्रांसफॉर्मेशन (1845) में अपरिवर्तनीय सिद्धांत की स्थापना की। अपने पेपर के उद्घाटन में, केली ने जॉर्ज बूले के 1841 के पेपर का श्रेय दिया, उसी विषय पर एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण पेपर द्वारा जांच का सुझाव दिया गया था ... श्री बोले द्वारा। (बूले का शोध पत्र लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन के एक सामान्य सिद्धांत की प्रदर्शनी था, कैम्ब्रिज मैथमैटिकल जर्नल।) <रेफरी नाम = वोल्फसन 2008 पीपी। 37-46>Wolfson, Paul R. (2008). "जॉर्ज बोले और अपरिवर्तनीय सिद्धांत की उत्पत्ति". Historia Mathematica. Elsevier BV. 35 (1): 37–46. doi:10.1016/j.hm.2007.06.004. ISSN 0315-0860.</ref>

शास्त्रीय रूप से, अपरिवर्तनीय सिद्धांत शब्द रैखिक परिवर्तनों के समूह क्रिया (गणित) के लिए परिवर्तनीय बीजगणितीय रूपों (समतुल्य, सममित टेंसर) के अध्ययन को संदर्भित करता है। उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में यह अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र था। सममित समूह और सममित कार्यों से संबंधित वर्तमान सिद्धांत, क्रमविनिमेय बीजगणित, मॉड्यूलि रिक्त स्थान और झूठ समूहों के प्रतिनिधित्व इस क्षेत्र में निहित हैं।

अधिक विस्तार में, आयाम n के परिमित-विम सदिश समष्टि V दिए जाने पर हम सममित बीजगणित S(S) पर विचार कर सकते हैं।^r(V)) V पर घात r वाले बहुपदों का और GL(V) की उस पर क्रिया। जीएल (वी), या एसएल (वी) के प्रतिनिधित्व के सापेक्ष इनवेरिएंट्स पर विचार करना वास्तव में अधिक सटीक है, अगर हम इनवेरिएंट्स के बारे में बात करने जा रहे हैं: ऐसा इसलिए है क्योंकि पहचान का एक स्केलर मल्टीपल रैंक आर के टेंसर पर कार्य करेगा। S(V) में अदिश की r-वें शक्ति 'वजन' के माध्यम से। बिंदु तब इनवेरिएंट I (एस) के सबलजेब्रा को परिभाषित करने के लिए है^r(V)) कार्रवाई के लिए। शास्त्रीय भाषा में, हम n-आरी r-ics के अपरिवर्तनीयों को देख रहे हैं, जहां n, V का आयाम है। (यह S(V) पर GL(V) के आविष्कारों को खोजने के समान नहीं है); यह एक दिलचस्प नहीं है समस्या के रूप में केवल ऐसे अपरिवर्तनीय स्थिरांक हैं।) जिस मामले का सबसे अधिक अध्ययन किया गया था वह बाइनरी रूपों के अपरिवर्तनीय था जहां n = 2।

अन्य कार्यों में फेलिक्स क्लेन का परिमित समूह क्रियाओं के अपरिवर्तनीय छल्ले की गणना करना शामिल था $\mathbf {C} ^{2}$ (बाइनरी पॉलीहेड्रल समूह, एडीई वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत); ये डु वैल विलक्षणता के निर्देशांक वलय हैं।

Like the Arabian phoenix rising out of its ashes, the theory of invariants, pronounced dead at the turn of the century, is once again at the forefront of mathematics.

Kung & Rota (1984, p.27)

डेविड हिल्बर्ट का काम, यह साबित करते हुए कि I(V) को कई मामलों में सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किया गया था, लगभग कई दशकों तक शास्त्रीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत को समाप्त कर दिया, हालांकि इस विषय में शास्त्रीय युग अल्फ्रेड यंग (गणितज्ञ) के अंतिम प्रकाशनों तक जारी रहा। 50 से अधिक वर्षों के बाद। विशेष उद्देश्यों के लिए स्पष्ट गणना आधुनिक समय में ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए शियोडा, बाइनरी ऑक्टेविक्स के साथ)।

हिल्बर्ट के प्रमेय

Hilbert (1890) ने सिद्ध किया कि यदि V जटिल बीजगणितीय समूह G = SL का एक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व है_n(सी) तो बहुपद आर = एस (वी) की अंगूठी पर अभिनय करने वाले जी के इनवेरिएंट की अंगूठी अंततः उत्पन्न होती है। उनके सबूत ने रेनॉल्ड्स ऑपरेटर ρ को आर से आर तक इस्तेमाल किया^जी गुणों के साथ

• ρ(1) = 1
• ρ(ए + बी) = ρ(ए) + ρ(बी)
• ρ(ab) = a ρ(b) जब भी a एक अपरिवर्तनीय हो।

हिल्बर्ट ने स्पष्ट रूप से केली की ओमेगा प्रक्रिया Ω का उपयोग करते हुए रेनॉल्ड्स ऑपरेटर का निर्माण किया, हालांकि अब अप्रत्यक्ष रूप से ρ का निर्माण करना अधिक सामान्य है: कॉम्पैक्ट समूह जी के लिए, रेनॉल्ड्स ऑपरेटर को जी पर औसत लेकर दिया जाता है, और गैर-कॉम्पैक्ट रिडक्टिव समूह हो सकते हैं Weyl की एकात्मक चाल का उपयोग करके कॉम्पैक्ट समूहों के मामले में कम किया गया।

रेनॉल्ड्स ऑपरेटर को देखते हुए, हिल्बर्ट का प्रमेय निम्नानुसार सिद्ध होता है। वलय R एक बहुपद वलय है इसलिए अंशों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, और आदर्श I को धनात्मक अंशों के सजातीय आक्रमणकारियों द्वारा उत्पन्न आदर्श के रूप में परिभाषित किया गया है। हिल्बर्ट के आधार प्रमेय द्वारा आदर्श I सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है (एक आदर्श के रूप में)। इसलिए, मैं जी के अंतिम रूप से कई अपरिवर्तनीयों द्वारा उत्पन्न होता हूं (क्योंकि अगर हमें कोई भी - संभवतः अनंत - सबसेट एस दिया जाता है जो एक अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श I उत्पन्न करता है, तो मैं पहले से ही एस के कुछ परिमित उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है)। चलो मैं₁,...,मैं_n G जनरेटिंग I (एक आदर्श के रूप में) के आक्रमणकारियों का एक परिमित सेट हो। मुख्य विचार यह दिखाना है कि ये वलय R उत्पन्न करते हैं^G invariants का। मान लीजिए कि x डिग्री d > 0 का कुछ सजातीय अपरिवर्तनीय है। तब

एक्स = ए₁i₁ + ... + ए_ni_n

कुछ के लिए ए_j वलय R में क्योंकि x आदर्श I में है। हम मान सकते हैं कि a_j डिग्री d − deg i का सजातीय है_j प्रत्येक जे के लिए (अन्यथा, हम ए को प्रतिस्थापित करते हैं_j डिग्री डी - डिग्री आई के अपने सजातीय घटक द्वारा_j; यदि हम प्रत्येक j के लिए ऐसा करते हैं, तो समीकरण x = a₁i₁ + ... + ए_ni_n मान्य रहेगा)। अब, रेनॉल्ड्स ऑपरेटर को x = a पर लागू करना₁i₁ + ... + ए_ni_n देता है

एक्स = ρ (ए₁)मैं₁ + ... + पी(ए_n)मैं_n

अब हम यह दिखाने जा रहे हैं कि x i द्वारा उत्पन्न R-बीजगणित में स्थित है₁,...,मैं_n.

सबसे पहले, हम इसे उस स्थिति में करते हैं जब तत्व ρ(a_k) सभी के पास d से कम डिग्री है। इस मामले में, वे सभी i द्वारा उत्पन्न आर-बीजगणित में हैं₁,...,मैं_n (हमारी प्रेरण धारणा द्वारा)। इसलिए, x इस R-बीजगणित में भी है (क्योंकि x = ρ(a₁)मैं₁ + ... + पी(ए_n)मैं_n).

सामान्य स्थिति में, हम यह सुनिश्चित नहीं कर सकते कि तत्व ρ(a_k) सभी के पास d से कम डिग्री है। लेकिन हम प्रत्येक ρ(a_k) डिग्री d - डिग्री i के अपने सजातीय घटक द्वारा_j. परिणामस्वरूप, ये संशोधित ρ(a_k) अभी भी जी-इनवेरिएंट हैं (क्योंकि जी-इनवेरिएंट का प्रत्येक सजातीय घटक एक जी-इनवेरिएंट है) और डिग्री डी से कम है (डिग्री i के बाद से)_k > 0). समीकरण x = ρ(ए₁)मैं₁ + ... + पी(ए_n)मैं_n हमारे संशोधित ρ(a_k), तो हम फिर से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि x i द्वारा उत्पन्न R-बीजगणित में निहित है₁,...,मैं_n.

इसलिए, डिग्री पर प्रेरण द्वारा, आर के सभी तत्व^G i द्वारा उत्पन्न R-बीजगणित में हैं₁,...,मैं_n.

ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत

ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत का आधुनिक सूत्रीकरण डेविड ममफोर्ड के कारण है, और समूह क्रिया द्वारा एक भागफल के निर्माण पर जोर देता है जिसे अपने समन्वय रिंग के माध्यम से अपरिवर्तनीय जानकारी प्राप्त करनी चाहिए। यह एक सूक्ष्म सिद्धांत है, जिसमें कुछ 'बुरी' कक्षाओं को छोड़कर दूसरों की 'अच्छे' कक्षाओं से पहचान कर सफलता प्राप्त की जाती है। एक अलग विकास में अपरिवर्तनीय सिद्धांत की प्रतीकात्मक पद्धति, एक स्पष्ट रूप से हेयुरिस्टिक कॉम्बिनेटरियल नोटेशन का पुनर्वास किया गया है।

एक प्रेरणा बीजगणितीय ज्यामिति में मॉड्यूलि रिक्त स्थान का निर्माण करना था, जो चिह्नित वस्तुओं को पैरामीट्रिज करने वाली योजनाओं के भागफल के रूप में था। 1970 और 1980 के दशक में सिद्धांत विकसित हुआ सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति और इक्विवैरिएंट टोपोलॉजी के साथ इंटरैक्शन, और अंतर ज्यामिति में ऑब्जेक्ट्स के मॉडुली स्पेस बनाने के लिए इस्तेमाल किया गया था, जैसे कि एक पल और मोनोपोल (गणित)।

यह भी देखें

• ग्राम प्रमेय
• परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
• मोलियन श्रृंखला
• अपरिवर्तनीय (गणित)
• एक द्विआधारी रूप का अपरिवर्तनीय
• अपरिवर्तनीय उपाय
• अपरिवर्तनीय सिद्धांत का पहला और दूसरा मौलिक प्रमेय

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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