क्रमविनिमेय बीजगणित

क्रमविनिमेय बीजगणित के अग्रदूतों में से एक, एमी नोथेर का ई. फ़िशर को 1915 का एक पोस्टकार्ड, जो क्रमविनिमेय बीजगणित में उनके काम पर चर्चा कर रहा है।

क्रमविनिमेय बीजगणित, जिसे पूर्व आदर्श सिद्धांत के रूप में जाना जाता था, बीजगणित की वह शाखा है जो क्रमविनिमेय वलयों, उनके आदर्श (वलय सिद्धांत) और ऐसे वलयों पर मॉड्यूल (गणित) का अध्ययन करती है। बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत दोनों क्रमविनिमेय बीजगणित पर निर्मित होते हैं। क्रमविनिमेय वलयों के प्रमुख उदाहरणों में बहुपद वलय सम्मिलित हैं; साधारण पूर्णांक सहित बीजगणितीय पूर्णांक के वलय $\mathbb {Z}$; और p पूर्णांक है।

योजना (गणित) के स्थानीय अध्ययन में क्रमविनिमेय बीजगणित मुख्य तकनीकी उपकरण है।

उन वलयों का अध्ययन जो आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं हैं, गैर क्रमविनिमेय बीजगणित के रूप में जाना जाता है; इसमें वलयाकार सिद्धांत, प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बानाख बीजगणित के परिकलन सम्मिलित है।

समीक्षा

क्रमविनिमेय बीजगणित अनिवार्य रूप से बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में होने वाले वलयो का अध्ययन है।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय डेडेकिंड वलय हैं, जो इसलिए क्रमविनिमेय वलयों का एक महत्वपूर्ण वर्ग है। मॉड्यूलर अंकगणित से संबंधित विचारों ने मूल्यांकन की वलयाकार धारणा को जन्म दिया है। सबवलय्स के लिए बीजगणितीय क्षेत्र के विस्तार के प्रतिबंध ने अभिन्न विस्तार और अभिन्न रूप से बंद डोमेन के साथ-साथ मूल्यांकन वलय के विस्तार के रैमिफिकेशन (गणित) की धारणा को जन्म दिया है।

स्थानीय वलय के स्थानीयकरण की धारणा (विशेष रूप से एक प्रमुख आदर्श के संबंध में स्थानीयकरण, एक तत्व और कुल भागफल की वलय को बदलने में सम्मिलित स्थानीयकरण) क्रमविनिमेय बीजगणित और गैर-कम्यूटेटिव वलयों के सिद्धांत के बीच मुख्य अंतरों में से एक है। . यह विनिमेय वलयों के एक महत्वपूर्ण वर्ग की ओर ले जाता है, स्थानीय वलय जिनमें केवल एक अधिकतम आदर्श होता है। एक क्रमविनिमेय वलय के प्रमुख आदर्शों का समुच्चय स्वाभाविक रूप से एक संस्थानिक क्षेत्र, जरिस्की सांस्थिति से सुसज्जित है। इन सभी धारणाओं का व्यापक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है और योजना सिद्धांत की परिभाषा के लिए मूलभूत तकनीकी उपकरण हैं, ग्रोथेंडिक द्वारा बीजगणितीय ज्यामिति का एक सामान्यीकरण।

क्रमविनिमेय बीजगणित की कई अन्य धारणाएँ बीजगणितीय ज्यामिति में होने वाली ज्यामितीय धारणाओं के प्रतिरूप हैं। यह क्रुल आयाम, प्राथमिक अपघटन, नियमित वलय, कोहेन-मैकाले वलय, गोरेंस्टीन वलय और कई अन्य धारणाओं का मामला है।

इतिहास

विषय, जिसे पूर्व आदर्श सिद्धांत के रूप में जाना जाता था, रिचर्ड डेडेकिंड के आदर्श (वलय सिद्धांत) पर काम के साथ शुरू हुआ, जो स्वयं एर्न्स्ट कुम्मेर और लियोपोल्ड क्रोनकर के पूर्व के काम पर आधारित था। बाद में, डेविड हिल्बर्ट ने पूर्व की शब्द संख्या वलय को सामान्य बनाने के लिए वलय शब्द की शुरुआत की। हिल्बर्ट ने जटिल विश्लेषण और शास्त्रीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत जैसी चीजों पर आधारित अधिक ठोस और अभिकलनात्‍मक रूप से उन्मुख तरीकों को बदलने के लिए एक अधिक अमूर्त दृष्टिकोण प्रस्तुत किया। बदले में, हिल्बर्ट ने एम्मी नोथेर को दृढ़ता से प्रभावित किया, जिन्होंने आरोही श्रृंखला की स्थिति के संदर्भ में पूर्व के कई परिणामों को फिर से तैयार किया, जिसे अब नोथेरियन स्थिति के रूप में जाना जाता है। एक और महत्वपूर्ण मील का पत्थर हिल्बर्ट के छात्र एमानुएल लस्कर का काम था, जिन्होंने प्राथमिक आदर्शो को प्रस्तुत किया और लास्कर-नोथेर प्रमेय के पूर्व संस्करण को सिद्ध किया।

एक परिपक्व विषय के रूप में क्रमविनिमेय बीजगणित के जन्म के लिए जिम्मेदार मुख्य व्यक्ति वोल्फगैंग क्रुल थे, जिन्होंने एक वलय के स्थानीयकरण और एक वलय के समापन (वलय सिद्धांत) के साथ-साथ नियमित स्थानीय वलय के मूलभूत विचारों को प्रस्तुत किया। उन्होंने सामान्य मूल्यांकन के वलय और क्रुल के वलय को सम्मिलित करने से सम्बंधित अपने सिद्धांत का विस्तार करने के लिए आगे बढ़ने से पूर्व एक वलय के क्रुल आयाम की अवधारणा की स्थापना की। आज तक, क्रुल के प्रमुख आदर्श प्रमेय को व्यापक रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित में एकल सबसे महत्वपूर्ण मूलभूत प्रमेय माना जाता है। इन परिणामों ने बीजगणितीय ज्यामिति में क्रमविनिमेय बीजगणित की शुरूआत का मार्ग प्रशस्त किया, एक ऐसा विचार जो बाद के इस विषय में क्रांति लाएगा।

क्रमविनिमेय बीजगणित के अधिकांश आधुनिक विकास मॉड्यूल (गणित) पर शक्ति देते हैं। एक वलय R और R-बीजगणित के दोनों आदर्श R-मॉड्यूल के विशेष विषय हैं, इसलिए मॉड्यूल सिद्धांत में आदर्श सिद्धांत और वलय विस्तार के सिद्धांत दोनों सम्मिलित हैं। यद्यपि यह लियोपोल्ड क्रोनकर के काम में पूर्व से ही प्रारंभिक था, मॉड्यूल सिद्धांत का उपयोग करके क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए आधुनिक दृष्टिकोण का श्रेय सामान्यता वोल्फगैंग क्रुल और नोथेर को दिया जाता है।

मुख्य उपकरण और परिणाम

नोथेरियन वलय

Main article: नोथेरियन वलय

गणित में, विशेष रूप से सार बीजगणित के क्षेत्र में जिसे वलय (गणित) के रूप में जाना जाता है, एक नोथेरियन वलय, जिसका नाम एमी नोथर के नाम पर रखा गया है, एक वलय है जिसमें आदर्श (वलय सिद्धांत) के प्रत्येक भरे समुच्चय में अधिकतम तत्व होता है। समतुल्य रूप से, एक वलय नोथेरियन है यदि यह आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है; अर्थात्, कोई भी श्रृंखला दी गई है:

$I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots$

वहाँ एक n उपस्थित है कि:

$I_{n}=I_{n+1}=\cdots$

एक क्रमविनिमेय वलय के लिए नोएदरियन होने के लिए यह पर्याप्त है कि वलय का प्रत्येक प्रधान आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न होता है। (परिणाम आई.एस. कोहेन के कारण है।)

एक वलय की आदर्श संरचना को सरल बनाने में भूमिका निभाने के कारण नोथेरियन वलय की धारणा विनिमेयशील और गैर-अनुमेय वलय सिद्धांत दोनों में मौलिक महत्व है। उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र (गणित) पर पूर्णांकों की वलय और बहुपद की वलय दोनों नोथेरियन वलय हैं, और इसके परिणामस्वरूप, लास्कर-नोएदर प्रमेय, क्रुल प्रतिच्छेदन प्रमेय और हिल्बर्ट के आधार प्रमेय जैसे प्रमेय उनके लिए मान्य हैं। इसके अलावा, यदि कोई वलय नोथेरियन है, तो यह प्रमुख आदर्शों पर अवरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है। यह गुण क्रुल आयाम की धारणा से शुरू होने वाले नोथेरियन वलयों के लिए आयाम के एक गहरे सिद्धांत का सुझाव देती है।

हिल्बर्ट की आधार प्रमेय

Main article: हिल्बर्ट की आधार प्रमेय

Theorem —  यदि R एक बाएँ (उत्तर दाएँ) नोथेरियन वलय है, तो बहुपद वलय R [X] भी बाएँ (उत्तर दाएँ) नोथेरियन वलय है

हिल्बर्ट के आधार प्रमेय के कुछ तात्कालिक परिणाम हैं:

1. प्रेरण से हम देखते हैं $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ नोथेरियन भी होंगे।
2. चूंकि कोई भी अफिन वैरायटी $R^{n}$ पर (अर्थात बहुपदों के संग्रह का एक लोकस-समुच्चय) एक आदर्श के ठिकाने के रूप में लिखा जा सकता है ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ और आगे इसके उत्पादक के स्थान के रूप में, यह अनुसरण करता है कि प्रत्येक संबधित विविधता सूक्ष्म रूप से कई बहुपदों का स्थान है - अर्थात अति सूक्ष्म रूप से कई ऊनविम पृष्ठ का प्रतिच्छेदन।
3. यदि $A$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न है $R$-बीजगणित, तो हम उसे जानते हैं $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$, कहां ${\mathfrak {a}}$ एक आदर्श है। आधार प्रमेय का तात्पर्य है ${\mathfrak {a}}$ अंतिम रूप से उत्पन्न होना चाहिए, कहते हैं ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$, अर्थात। $A$ वलय सिद्धांत की शब्दावली है अंतिम रूप से प्रस्तुत बीजगणित।

प्राथमिक अपघटन

Main article: प्राथमिक अपघटन

एक वलय की आदर्श Q को प्राथमिक आदर्श कहा जाता है यदि Q उचित उपसमुच्चय है और जब भी xy ∈ Q, या तो x ∈ Q या yⁿ ∈ Q किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए। 'Z' में, प्राथमिक आदर्श ठीक रूप के आदर्श हैं (p^e) जहां p अभाज्य है और e एक धनात्मक पूर्णांक है। इस प्रकार, (n) का एक प्राथमिक अपघटन (n) को बहुत से प्राथमिक आदर्शों के प्रतिच्छेदन के रूप में प्रस्तुत करने के अनुरूप है।

यहां दिए गए लास्कर-नोथेर प्रमेय को अंकगणित के मौलिक प्रमेय के एक निश्चित सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है:

Lasker-Noether Theorem — लास्कर-नोएदर प्रमेय - माना R एक क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय है और I एक गणितीय आदर्श पद है। फिर I को अलग-अलग मूलक के साथ अंतिम रूप से कई प्राथमिक आदर्शों के प्रतिच्छेदन के रूप में लिखा जा सकता है

$I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}$

सभी i के लिए Qi प्राथमिक और i ≠ j के लिए Rad(Qi) ≠ Rad(Qj) के साथ। इसके अतिरिक्त यदि

$I=\bigcap _{i=1}^{k}P_{i}$

i ≠ j के लिए रेड Rad(Pi) ≠ Rad(Pj) के साथ I का अपघटन है, और I के दोनों अपघटन अपरिवर्तनीय हैं (जिसका अर्थ है कि {Q1, ..., Qt} या {P1, ... Pk}, I के प्रतिछेदन समीकरण का कोई उचित उप समुच्चय नहीं होगा ), t = k और (संभवतः Qi को फिर से क्रमांकित करने के बाद) Rad(Qi) = Rad(Pi) सभी i के लिए।

I के किसी भी प्राथमिक अपघटन के लिए, सभी मूलक का समुच्चय, अर्थात समुच्चय {Rad(Q₁), ..., Rad(Q_t)} लस्कर-नोथेर प्रमेय द्वारा समान रहता है। वास्तव में, यह पता चला है कि (नोथेरियन वलय के लिए) समुच्चय मॉड्यूल R/I का संबद्ध अभाज्य संख्या है; अर्थात्, R/I के सभी विनाशक (वलय सिद्धांत) का समुच्चय (R पर एक मॉड्यूल के रूप में देखा गया) जो प्रमुख हैं।

स्थानीयकरण

Main article: स्थानीयकरण (बीजगणित)

स्थानीयकरण (बीजगणित) किसी दिए गए वलय या मॉड्यूल में भाजक का परिचय कराने का एक औपचारिक तरीका है। यही है, यह उपस्थिता से एक नया वलय/मॉड्यूल प्रस्तुत करता है ताकि इसमें बीजगणितीय अंश हो

${\frac {m}{s}}$.

जहां हर R के दिए गए उपसमुच्चय S की सीमाओं के मध्य हैं । मूल प्ररूप संबंधी उदाहरण पूर्णांक के वलय 'Z' से तर्कसंगत संख्याओं के वलय 'Q' का निर्माण है।

समापन

Main article: समापन (वलय सिद्धांत)

एक समापन (वलय सिद्धांत) वलय (गणित) और मॉड्यूल (गणित) पर कई संबंधित तथ्यों में से एक है जिसके परिणामस्वरूप पूर्ण संस्थानिक वलय और मॉड्यूल होते हैं। पूर्णता एक वलय के स्थानीयकरण के समान है, और साथ में वे विनिमयिक वलयों के विश्लेषण में सबसे मूलभूत उपकरणों में से हैं। पूर्ण क्रमविनिमेय वलयों में सामान्य वलयों की तुलना में सरल संरचना होती है और हेन्सेल की प्रमेय उन पर लागू होती है।

प्रमुख आदर्शों पर ज़ारिस्की सांस्थिति

Main article: ज़ारिस्की सांस्थिति

ज़ारिस्की सांस्थिति एक वलय के स्पेक्ट्रम (प्राइम आइडियल्स के समुच्चय) पर एक संस्थानिक क्षेत्र को परिभाषित करती है। इस सूत्रीकरण में, ज़ारिस्की-बंद समुच्चयों को समुच्चय माना जाता है

$V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\}$

जहाँ A एक नियत क्रमविनिमेय वलय है और I एक गुणज है। इसे शास्त्रीय ज़ारिस्की सांस्थिति के अनुरूप परिभाषित किया गया है, जहां एफ़िन क्षेत्र में बंद समुच्चय बहुपद समीकरणों द्वारा परिभाषित होते हैं। शास्त्रीय चित्र के साथ संबंध देखने के लिए, ध्यान दें कि बहुपदों के किसी भी समुच्चय S के लिए (बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर), यह हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज़ से अनुसरण करता है कि V(S) के बिंदु (पुराने अर्थ में) वास्तव में ट्यूपल्स हैं(a₁, ..., a_n) ऐसा है कि (x₁ - a₁, ..., x_n - a_n) में S सम्मिलित है; इसके अलावा, ये अधिक से अधिक आदर्श हैं और कमजोर नलस्टेलेंसैट्स द्वारा, किसी भी एफ़िन समन्वय वलय का आदर्श अधिकतम है यदि और केवल यदि यह इस रूप का है। इस प्रकार, V(S) अधिकतम आदर्शों के समान है जिसमें S उपस्थित है। ग्रोथेंडिक के नवाचार को परिभाषित करने में नवीनता सभी प्रमुख आदर्शों के साथ अधिकतम आदर्शों को बदलना था; इस सूत्रीकरण में एक वलय के स्पेक्ट्रम में एक बंद समुच्चय की परिभाषा के लिए इस अवलोकन को सामान्य बनाना स्वाभाविक है।

उदाहरण

क्रमविनिमेय बीजगणित में मूलभूत उदाहरण पूर्णांकों $\mathbb {Z}$ का वलय है अभाज्यो का अस्तित्व और अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय ने नोथेरियन वलय और प्राथमिक अपघटन जैसी अवधारणाओं की नींव रखी।

अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण हैं:

• बहुपद के वलय $R[x_{1},...,x_{n}]$
• पी-एडिक पूर्णांक
• बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय।

बीजगणितीय ज्यामिति के साथ संबंध

क्रमविनिमेय बीजगणित (बहुपद के वलय और उनके भागफल के रूप में, बीजगणितीय किस्मों की परिभाषा में प्रयुक्त) सदैव बीजगणितीय ज्यामिति का एक भाग रहा है। यद्यपि, 1950 के दशक के अंत में, बीजगणितीय प्रारूपों को एक योजना (गणित) की अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक की अवधारणा में सम्मिलित किया गया था। उनकी स्थानीय वस्तुएँ एफाइन स्कीम या प्राइम स्पेक्ट्रा हैं, जो स्थानीय रूप से वलय वाले स्थान हैं, जो एक श्रेणी बनाते हैं जो कि विनिमेयशील एकीकृत वलय की श्रेणी के लिए विरोधी सममिति (दोहरी) है, जो एफाइन बीजगणितीय किस्मों की श्रेणी के बीच द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) का विस्तार करती है। क्षेत्र k, और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न कम k-बीजगणित की श्रेणी ग्लूइंग ज़रिस्की सांस्थिति के साथ है; कोई स्थानीय रूप से चक्राकार रिक्त स्थान की श्रेणी के भीतर गोंद कर सकता है, लेकिन योनेदा एम्बेडिंग का उपयोग करते हुए, एफाइन योजनाओं की श्रेणी पर समुच्चय के प्रीशेव की अधिक सार श्रेणी के भीतर भी समुच्चय-सैद्धांतिक अर्थ में ज़ारिस्की सांस्थिति को फिर ग्रोथेंडिक सांस्थिति के अर्थ में ज़ारिस्की सांस्थिति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ग्रोथेंडिक ने क्रूड ज़ारिस्की सांस्थिति की तुलना में अधिक विदेशी लेकिन ज्यामितीय रूप से बेहतर और अधिक संवेदनशील उदाहरणों को ध्यान में रखते हुए ग्रोथेंडिक सांस्थिति प्रस्तुत की, अर्थात् एटेल सांस्थिति, और दोहरे बेड़े की ग्रोथेंडिक सांस्थिति: एफपीपीएफ और एफपीक्यूसी। आजकल कुछ अन्य उदाहरण प्रमुख हो गए हैं, जिनमें निस्नेविच सांस्थिति भी सम्मिलित है। इसके अलावा ढेरों को ग्रोथेंडिक के अर्थ में स्टैक के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, आमतौर पर कुछ अतिरिक्त प्रतिनिधित्व स्थितियों के साथ, आर्टिन स्टैक और इससे भी बेहतर, डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक, दोनों को अक्सर बीजगणितीय स्टैक कहा जाता है।

यह भी देखें

• क्रमविनिमेय बीजगणित विषयों की सूची
• क्रमविनिमेय बीजगणित की शब्दावली
• मिश्रित विनिमेयशील बीजगणित
• ग्रोबनेर आधार
• सजातीय बीजगणित

संदर्भ

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