प्राथमिक आदर्श

गणित में, विशेष रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित में, क्रमविनिमेय वलय A के समुचित आदर्श (वलय सिद्धांत) Q को प्राथमिक आदर्श कहा जाता है यदि मान लीजिये xy, Q का अवयव है तब x या yⁿ भी Q का अवयव है, इस प्रकार से कुछ n > 0 के लिए। उदाहरण के लिए, पूर्णांक Z के वलय में, (pⁿ) एक प्राथमिक आदर्श है यदि p एक अभाज्य संख्या है।

इस प्रकार से क्रमविनिमेय वलय सिद्धांत में प्राथमिक आदर्शों की धारणा महत्वपूर्ण है क्योंकि नोथेरियन वलय के प्रत्येक आदर्श में प्राथमिक अपघटन होता है, अर्थात, इसे सीमित रूप से अनेक प्राथमिक आदर्शों के प्रतिच्छेदन के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार के परिणाम को लास्कर-नोएथर प्रमेय के रूप में जाना जाता है। फलस्वरूप, नोथेरियन वलय का अपरिवर्तनीय आदर्श प्राथमिक है।

चूंकि प्राथमिक आदर्शों को गैर-विनिमेय वलयों में सामान्यीकृत करने की विभिन्न विधियाँ उपस्तिथ हैं, किन्तु इस विषय का अध्ययन प्रायः क्रमविनिमेय वलय के लिए किया जाता है। इसलिए, इस लेख में दिए गए वलय को पहचान के साथ क्रमविनिमेय वलय माना जाता है।

उदाहरण और गुण

• परिभाषा को अधिक सममित विधि से दोहराया जा सकता है: आदर्श ${\mathfrak {q}}$ प्राथमिक है यदि, जब भी $xy\in {\mathfrak {q}}$, हमारे पास $x\in {\mathfrak {q}}$ या $y\in {\mathfrak {q}}$ या $x,y\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}$. (जहाँ ${\sqrt {\mathfrak {q}}}$ के आदर्श के मूलांक ${\mathfrak {q}}$ को दर्शाता है .)
• R का आदर्श Q प्राथमिक है यदि और केवल यदि R/Q में प्रत्येक शून्य भाजक शून्य है। (इसकी तुलना अभाज्य आदर्शों के स्तिथि से करें, जहां P अभाज्य है यदि और केवल यदि R/P में प्रत्येक शून्य भाजक वास्तव में शून्य है।)
• कोई भी अभाज्य आदर्श प्राथमिक होता है, और इसके अतिरिक्त आदर्श तभी अभाज्य होता है जब वह प्राथमिक और अर्धप्रधान आदर्श हो ( जिसे क्रमविनिमेय स्तिथि में आदर्श का मूलांक भी कहा जाता है)।
• इस प्रकार से प्रत्येक प्राथमिक आदर्श मौलिक आदर्श है।
• यदि Q प्राथमिक आदर्श है, तो Q के आदर्श का मूलांक आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्श P है, और इस आदर्श को Q का संबद्ध प्रमुख आदर्श कहा जाता है। इस स्थिति में, Q को 'P-प्राथमिक' कहा जाता है।
  • दूसरी ओर, आदर्श जिसका मूलांक अभाज्य है, आवश्यक रूप से प्राथमिक नहीं है: उदाहरण के लिए, यदि $R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})$, ${\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})$, और ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}$, तब ${\mathfrak {p}}$ प्रधान है और ${\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}$, किन्तु हमारे पास है ${\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}$, ${\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}$, और ${\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}$ सभी n > 0 के लिए, इसलिए ${\mathfrak {q}}$ प्राथमिक नहीं है. का प्राथमिक अपघटन ${\mathfrak {q}}$ है $({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})$; जहाँ $({\overline {x}})$ है ${\mathfrak {p}}$-प्राथमिक और $({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})$ है $({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})$-प्राथमिक है।
    • चूंकि , आदर्श जिसका मूलांक अधिकतम है, प्राथमिक है।
    • मौलिक P के साथ प्रत्येक आदर्श Q सबसे छोटे P-प्राथमिक आदर्श में समाहित होता है: सभी अवयव a ऐसे होते हैं कि कुछ ax ∈ Q के लिए x ∉ P। Pⁿ युक्त सबसे छोटे P-प्राथमिक आदर्श को P की nth प्रमुख आदर्श की प्रतीकात्मक पॉवर कहा जाता है।
• यदि P अधिकतम अभाज्य आदर्श है, तो P की पॉवर वाला कोई भी आदर्श P-प्राथमिक है। सभी P-प्राथमिक आदर्शों में P की पॉवरस होना आवश्यक नहीं है, किन्तु कम से कम उनमें P की पॉवर होती है; उदाहरण के लिए आदर्श (x, y²) वलय k[x, y] में आदर्श P = (x, y) के लिए P-प्राथमिक है, किन्तु यह P की पॉवर नहीं है, चूंकि इसमें P² सम्मिलित है।
• यदि A नोथेरियन वलय है और P प्रमुख आदर्श है, तो कर्नेल $A\to A_{P}$, A से P पर A की वलय के स्थानीयकरण तक का मानचित्र, सभी पी-प्राथमिक आदर्शों का प्रतिच्छेदन है।
• ${\mathfrak {p}}$-प्राथमिक आदर्शों का एक सीमित गैर-रिक्त उत्पाद ${\mathfrak {p}}$-प्राथमिक है, किन्तु ${\mathfrak {p}}$-प्राथमिक आदर्शों का एक अनंत उत्पाद ${\mathfrak {p}}$-प्राथमिक नहीं हो सकता है; इस प्रकार से उदाहरण के लिए, अधिकतम आदर्श $\cap _{n>0}{\mathfrak {m}}^{n}=0$ ( क्रल प्रतिच्छेदन प्रमेय) के साथ एक नोथेरियन स्थानीय वलय में जहां प्रत्येक ${\mathfrak {m}}^{n}$,में ${\mathfrak {m}}$-प्राथमिक, है, इस प्रकार से उदाहरण के लिए स्थानीय वलय $K[x,y]/\langle x^{2},xy\rangle$ के अधिकतम (और इसलिए अभाज्य और इसलिए प्राथमिक) आदर्श $m=\langle x,y\rangle$ का अनंत उत्पाद प्राप्त होता है शून्य आदर्श, जो इस स्तिथि में प्राथमिक नहीं है (क्योंकि शून्य भाजक $y$ शून्यप्रबल नहीं है)। वास्तव में, नोथेरियन वलय में, ${\mathfrak {p}}$-प्राथमिक आदर्श $Q_{i}$ का एक गैर-रिक्त उत्पाद $n>0$ प्राथमिक है यदि और केवल तभी जब कुछ पूर्णांक ${\mathfrak {p}}^{n}\subset \cap _{i}Q_{i}$ उपस्तिथ है

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Primary ideal at Encyclopaedia of Mathematics