द्वैत (आदेश सिद्धांत)

For other uses, see दोहरा आदेश (बहुविकल्पी).

आदेश सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, प्रत्येक आंशिक रूप से आदेशित समूह P एक 'दोहरी' (या 'विपरीत') आंशिक रूप से आदेशित समूह को उत्पन्न करता है जिसे अधिकांशतः P^op या P^d द्वारा निरूपित किया जाता है। यह दोहरा क्रम P^op को एक ही समूह के रूप में परिभाषित किया गया है, किन्तु व्युत्क्रम के साथ, जिससे x ≤ y P^op में होल्ड करता है यदि और केवल यदि y ≤ x P में रहता है। यह देखना आसान है कि यह निर्माण, जिसे P के लिए हस्से आरेख को व्युत्क्रम करके दिखाया जा सकता है, वास्तव में आंशिक रूप से क्रम किए गए समूह का उत्पादन करेगा। व्यापक अर्थ में, दो आंशिक रूप से आदेशित समूह को भी दोहरी कहा जाता है यदि वे 'दोहरी समरूपता' हैं, अर्थात यदि एक पासेट दूसरे के दोहरे के लिए आदेश समरूपता है।

इस सरल परिभाषा का महत्व इस तथ्य से उपजा है कि आदेश सिद्धांत की हर परिभाषा और प्रमेय को आसानी से दोहरे क्रम में स्थानांतरित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, यह आदेशित समूह के लिए 'द्वंद्व सिद्धांत' द्वारा कब्जा कर लिया गया है:

यदि एक दिया गया कथन सभी आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह के लिए मान्य है, तो सभी क्रम संबंधों की दिशा को व्युत्क्रम करके और सभी क्रम सैद्धांतिक परिभाषाओं को दोहराकर प्राप्त किया गया इसका दोहरा कथन सभी आंशिक रूप से क्रम किए गए समूह के लिए भी मान्य है।

यदि कोई कथन या परिभाषा उसके द्वैत के तुल्य है तो उसे 'स्वद्वैत' कहा जाता है। ध्यान दें कि दोहरे आदेशों का विचार इतना मौलिक है कि इस नए प्रतीक की कोई पूर्व परिभाषा दिए बिना ≥ के दोहरे क्रम के लिए ≥ लिखते समय यह अधिकांशतः निहित रूप से होता है।

उदाहरण

एक बंधी हुई वितरण जाली, और इसकी दोहरी

स्वाभाविक रूप से, दोहरी अवधारणाओं के लिए बड़ी संख्या में उदाहरण हैं:

• सबसे बड़ा तत्व
• अधिकतम तत्व
• कम से कम ऊपरी सीमा (सुप्रिमा, ∨) और सबसे बड़ी निचली सीमा (इन्फ़िमा, ∧)
• ऊपरी समूह
• आदर्श (आदेश सिद्धांत) और फिल्टर (गणित)
• क्लोजर ऑपरेटर और कर्नेल ऑपरेटर।

स्व-दोहरी धारणाओं के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

• एक (पूर्ण जाली) जाली होना (आदेश)
• कार्यों का मोनोटोनिक कार्य
• वितरणात्मक जाली, जिससे जाली जिसके लिए ∀x, y, z: x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) धारण करता है, वास्तव में वे हैं जिनके लिए दोहरी कथन ∀x, y, z : x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) धारण करता है
• बूलियन बीजगणित (संरचना) होना
• एक आदेश समरूपता होना।

चूंकि आंशिक आदेश एंटीसिमेट्रिक संबंध हैं, केवल वे ही जो स्व-द्वैत हैं, तुल्यता संबंध हैं (किन्तु आंशिक आदेश की धारणा स्व-द्वैत है)।

यह भी देखें

• विपरीत संबंध
• बूलियन बीजगणित विषयों की सूची
• ट्रांसपोज़ ग्राफ
• द्वैत (श्रेणी सिद्धांत), जिनमें से क्रम सिद्धांत में द्वैत एक विशेष मामला है

संदर्भ

• Davey, B.A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1