अपरिवर्तनीय सिद्धांत

अपरिवर्तनीय सिद्धांत सार बीजगणित की शाखा है जो कार्यों पर उनके प्रभाव के दृष्टिकोण से बीजगणितीय किस्मों, जैसे सदिश समष्टि पर समूह (गणित) के कार्यों से निपटती है। मौलिक रूप से, सिद्धांत बहुपद कार्यों के स्पष्ट विवरण के प्रश्न से संबंधित है, जो किसी दिए गए रैखिक समूह से परिवर्तनों के अनुसार बदलते नहीं हैं, या अपरिवर्तनीय हैं। इसी प्रकार उदाहरण के लिए, यदि हम विशेष रेखीय समूह $SLn$ की क्रिया को n के समष्टि पर n मेट्रिसेस द्वारा बाएँ गुणन द्वारा मानते हैं, तो निर्धारक इस क्रिया का अपरिवर्तनीय है क्योंकि AX का निर्धारक X के निर्धारक के बराबर होता है, जब A में $SLn$ होता है।

परिचय

इसी प्रकार मान लीजिये $G$ एक समूह है, और $V$ एक क्षेत्र (गणित) $k$ पर एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि है (जो मौलिक अपरिवर्तनीय सिद्धांत में सामान्यतः जटिल संख्या माना जाता था)। $V$ में $G$ का समूह प्रतिनिधित्व एक समूह समरूपता है, $\pi :G\to GL(V)$ जो $V$ पर $G$ की समूह क्रिया को प्रेरित करता है। इसी प्रकार यदि $k[V]$ पर बहुपद कार्यों की समष्टि है, तो $V$ पर $G$ की समूह क्रिया निम्न सूत्र द्वारा $k[V]$ पर एक क्रिया उत्पन्न करती है:

$(g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \forall x\in V,g\in G,f\in k[V]$

इस क्रिया के साथ सभी बहुपद कार्यों के उप-समष्टि पर विचार करना स्वाभाविक है जो इस समूह क्रिया के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं, दूसरे शब्दों में बहुपदों का सेट जैसे कि $g\cdot f=f$ सभी के लिए $g\in G$, अपरिवर्तनीय बहुपदों के इस समष्टि को $k[V]^{G}$ दर्शाया गया है।

अपरिवर्तनीय सिद्धांत की पहली समस्या: क्या $k[V]^{G}$, $k$ पर एक अंतिम रूप से उत्पन्न बीजगणित है?

इसी प्रकार उदाहरण के लिए, यदि $G=SL_{n}$ और$V=M_{n}$ वर्ग आव्यूहों का समष्टि, और $V$ पर $G$ की क्रिया बाएँ गुणन द्वारा दी गई है, तो $k[V]^{G}$ निर्धारक द्वारा उत्पन्न एक चर में एक बहुपद बीजगणित के लिए समरूप है। दूसरे शब्दों में, इस स्थिति में, प्रत्येक अपरिवर्तनीय बहुपद निर्धारक बहुपद की शक्तियों का एक रैखिक संयोजन है। तो इस प्रकार इस स्थिति में, $k[V]^{G}$ अंतिम रूप से $k$ पर उत्पन्न होता है।

यदि उत्तर हाँ है, तो अगला प्रश्न एक न्यूनतम आधार खोजने का है, और पूछें कि क्या आधार तत्वों के बीच बहुपद संबंधों का मॉड्यूल (सिग्गिस के रूप में जाना जाता है) अंतिम रूप से $k[V]$ पर उत्पन्न होता है।

परिमित समूहों के अपरिवर्तनीय सिद्धांत का गैलोज़ सिद्धांत के साथ घनिष्ठ संबंध है। पहले प्रमुख परिणामों में से सममित कार्यों पर मुख्य प्रमेय था जो सममित समूह के आक्रमणकारियों का वर्णन करता था $S_{n}$ बहुपद रिंग पर कार्य करना $R[x_{1},\ldots ,x_{n}$] चरों के क्रमपरिवर्तन द्वारा अधिक सामान्यतः चेवेली-शेफर्ड-टॉड प्रमेय उन परिमित समूहों को दर्शाता है जिनके अपरिवर्तनीय का बीजगणित बहुपद रिंग है। इसी प्रकार परिमित समूहों के अपरिवर्तनीय सिद्धांत में आधुनिक शोध प्रभावी परिणामों पर जोर देता है, जैसे जनरेटर की घात पर स्पष्ट सीमाएं सकारात्मक विशेषता (बीजगणित) का स्थिति, वैचारिक रूप से मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के निकट, बीजीय टोपोलॉजी के लिंक के साथ सक्रिय अध्ययन का क्षेत्र है।

अनंत समूहों का अपरिवर्तनीय सिद्धांत रेखीय बीजगणित के विकास के साथ विशेष रूप से जुड़ा हुआ है, विशेष रूप से, द्विघात रूपों और निर्धारकों के सिद्धांत। मजबूत परस्पर प्रभाव वाला अन्य विषय प्रक्षेपी ज्यामिति था, जहां सामग्री को व्यवस्थित करने में अपरिवर्तनीय सिद्धांत की प्रमुख भूमिका निभाने की अपेक्षा थी। इस संबंध का मुख्य आकर्षण प्रतीकात्मक पद्धति है। इसी प्रकार अर्ध-सरल लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत की जड़ें अपरिवर्तनीय सिद्धांत में हैं।

आक्रमणकारियों (1890) के बीजगणित की परिमित पीढ़ी के सवाल पर डेविड हिल्बर्ट के काम के परिणामस्वरूप नवीनतम गणितीय अनुशासन, अमूर्त बीजगणित का निर्माण हुआ था। हिल्बर्ट (1893) के बाद के पेपर ने अधिक रचनात्मक और ज्यामितीय विधियों से समान प्रश्नों को निपटाया, लेकिन डेविड ममफोर्ड ने 1960 के दशक में इन विचारों को जीवन में वापस लाने तक वस्तुतः अज्ञात बने रहे, अपने ज्यामितीय आविष्कार में बहुत अधिक सामान्य और आधुनिक रूप में लिखित ममफोर्ड के प्रभाव के कारण बड़े पैमाने पर, अपरिवर्तनीय सिद्धांत का विषय रेखीय बीजगणितीय समूहों के कार्यों के सिद्धांत को सम्मलित करने के लिए देखा जाता है, जो कि विविधता और प्रक्षेप्य विविधता किस्मों पर होता है। उन्नीसवीं शताब्दी के मौलिक रचनात्मक और संयोजी विधियों पर वापस जाने के लिए अपरिवर्तनीय सिद्धांत का भिन्न किनारा, जियान-कार्लो रोटा और उनके स्कूल द्वारा विकसित किया गया है। इसी प्रकार विचारों के इस चक्र का प्रमुख उदाहरण मानक मोनोमियल्स के सिद्धांत द्वारा दिया गया है।

उदाहरण

अपरिवर्तनीय सिद्धांत के सरल उदाहरण एक समूह क्रिया से अपरिवर्तनीय एकपदीयों की गणना से आते हैं। उदाहरण के लिए, $\mathbb {C} [x,y]$ भेजने पर $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -क्रिया पर विचार करें

${\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}$

फिर, चूँकि $x^{2},xy,y^{2}$ निम्नतम कोटि के एकपदी हैं जो अपरिवर्तनीय हैं, हमारे पास वह है

$\mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}$

यह उदाहरण कई संगणनाओं को करने का आधार बनता है।

उन्नीसवीं सदी की उत्पत्ति

The theory of invariants came into existence about the middle of the nineteenth century somewhat like Minerva: a grown-up virgin, mailed in the shining armor of algebra, she sprang forth from Cayley's Jovian head.

Weyl (1939b, p.489)

केली ने पहली बार अपने "ऑन द थ्योरी ऑफ लीनियर ट्रांसफॉर्मेशन" (1845) में अपरिवर्तनीय सिद्धांत की स्थापना की थी। अपने पेपर के उद्घाटन में, केली ने जॉर्ज बोले के 1841 के एक पेपर का श्रेय दिया, "मुझे उसी विषय पर एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण पेपर द्वारा ... श्री बोले द्वारा जांच का सुझाव दिया गया था।" (बोले का शोधपत्र रैखिक परिवर्तनों के एक सामान्य सिद्धांत की प्रदर्शनी, कैम्ब्रिज मैथमैटिकल जर्नल था।)

मौलिक रूप से, अपरिवर्तनीय सिद्धांत शब्द रैखिक परिवर्तनों के समूह क्रिया (गणित) के लिए परिवर्तनीय बीजगणितीय रूपों (समतुल्य, सममित टेंसर) के अध्ययन को संदर्भित करता है। उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में यह अध्ययन का प्रमुख क्षेत्र था। सममित समूह और सममित कार्यों से संबंधित वर्तमान सिद्धांत, क्रमविनिमेय बीजगणित, मॉड्यूलि रिक्त समष्टि और झूठ समूहों के प्रतिनिधित्व इस क्षेत्र में निहित हैं।

अधिक विस्तार में, आयाम n के एक परिमित-आयामी सदिश अंतरिक्ष V दिए जाने पर हम V पर घात r के बहुपदों के सममित बीजगणित S(S^r(V)) और GL(V) की कार्रवाई पर विचार कर सकते हैं। जीएल (वी), या एसएल (वी) के प्रतिनिधित्व के सापेक्ष अपरिवर्तनीय पर विचार करना वास्तव में अधिक उपयुक्त है, यदि हम अपरिवर्तनीय के बारे में बात करने जा रहे हैं: ऐसा इसलिए है क्योंकि पहचान का एक स्केलर मल्टीपल रैंक आर के टेंसर पर कार्य करेगा। S(V) में अदिश की r-वें शक्ति 'वजन' के माध्यम से, बिंदु तब कार्रवाई के लिए अपरिवर्तनीय (Sr(V)) के सबलजेब्रा को परिभाषित करने के लिए है। हम मौलिक भाषा में, n-ary r-ics के अपरिवर्तनों को देख रहे हैं, जहाँ n, V का आयाम है। (यह एस (वी) पर जीएल (वी) के अपरिवर्तनीय खोजने जैसा नहीं है; यह एक रोचक समस्या है क्योंकि केवल ऐसे अपरिवर्तनीय स्थिरांक हैं।) जिस स्थिति का सबसे अधिक अध्ययन किया गया जहां n = 2 था, वह द्विआधारी रूपों का अपरिवर्तनीय था।

अन्य कार्यों में फेलिक्स क्लेन का $\mathbf {C} ^{2}$ (बाइनरी पॉलीहेड्रल समूह, एडीई वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत) पर परिमित समूह क्रियाओं के अपरिवर्तनीय रिंगों की गणना करना सम्मलित है; ये डु वैल विलक्षणता के निर्देशांक वलय हैं।

Like the Arabian phoenix rising out of its ashes, the theory of invariants, pronounced dead at the turn of the century, is once again at the forefront of mathematics.

Kung & Rota (1984, p.27)

डेविड हिल्बर्ट का काम, यह सिद्ध करते हुए कि I(V) को कई स्थितियों में सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किया गया था, इसी प्रकार लगभग कई दशकों तक मौलिक अपरिवर्तनीय सिद्धांत को समाप्त कर दिया, चूंकि इस विषय में मौलिक युग 50 से अधिक अल्फ्रेड यंग (गणितज्ञ) के अंतिम प्रकाशनों तक जारी रहा सालों बाद, विशेष उद्देश्यों के लिए (उदाहरण के लिए शियोडा, बाइनरी ऑक्टेविक्स के साथ) स्पष्ट गणना आधुनिक समय में ज्ञात हैं।

हिल्बर्ट के प्रमेय

हिल्बर्ट (1890) ने सिद्ध किया कि यदि V जटिल बीजगणितीय समूह G = SLn(C) का एक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व है, तो बहुपदों R = S(V) के वलय पर कार्य करने वाले G के अपरिवर्तकों का वलय सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है। उनके प्रमाण ने गुणों के साथ रेनॉल्ड्स ऑपरेटर ρ को R से R^G तक उपयोग किया गया,

• ρ(1) = 1
• ρ(a + b) = ρ(a) + ρ(b)
• ρ(ab) = a ρ(b) जब भी a एक अपरिवर्तनीय है।

हिल्बर्ट ने स्पष्ट रूप से केली की ओमेगा प्रक्रिया Ω का उपयोग करते हुए रेनॉल्ड्स ऑपरेटर का निर्माण किया, चूंकि अब अप्रत्यक्ष रूप से ρ का निर्माण करना अधिक सामान्य है: कॉम्पैक्ट समूह G के लिए, रेनॉल्ड्स ऑपरेटर को जी पर औसत लेकर दिया जाता है, और गैर-कॉम्पैक्ट रिडक्टिव समूह हो सकते हैं वेल की एकात्मक ट्रिक का उपयोग करके कॉम्पैक्ट समूहों के स्थिति में कम किया गया है।

रेनॉल्ड्स ऑपरेटर को देखते हुए, हिल्बर्ट का प्रमेय निम्नानुसार सिद्ध होता है। वलय R एक बहुपद वलय है इसलिए अंशों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, और आदर्श को धनात्मक अंशों के सजातीय आक्रमणकारियों द्वारा उत्पन्न आदर्श के रूप में परिभाषित किया गया है। हिल्बर्ट के आधार प्रमेय द्वारा आदर्श सूक्ष्म रूप से (एक आदर्श के रूप में) उत्पन्न होता है। इसलिए, मैं G के अंतिम रूप से कई अपरिवर्तनीयों द्वारा उत्पन्न होते है (क्योंकि यदि हमें कोई भी - संभवतः अनंत - सबसेट एस दिया जाता है, जो एक अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श उत्पन्न करता है, तो मैं पहले से ही एस के कुछ परिमित उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न होते है)। मान लीजिये i1,...,in G उत्पन्न करने वाले (एक आदर्श के रूप में) के अपरिवर्तनीय सेट होने दें, मुख्य विचार यह दिखाना है कि ये अपरिवर्तनीय के रिंग R^G उत्पन्न करते हैं। मान लीजिए कि x घात d> 0 का कुछ सजातीय अपरिवर्तनीय है। तब,

x = a₁i₁ + ... + a_ni_n

वलय R में कुछ a_j के लिए क्योंकि x आदर्श I में है। हम मान सकते हैं कि aj प्रत्येक j के लिए घात d − deg i_j का सजातीय है (अन्यथा, हम a_j को घात d − deg i_j के समरूप घटक से प्रतिस्थापित करते हैं; यदि हम प्रत्येक j के लिए ऐसा करते हैं, तो समीकरण x = a₁i₁ + ... + a_ni_n ऐन वैध रहेगा), अब रेनॉल्ड्स संकारक को x = a₁i₁ + ... + a_ni_n पर लागू करने पर प्राप्त होता है,

x = ρ(a₁)i₁ + ... + ρ(a_n)i_n

अब हम यह दिखाने जा रहे हैं कि i₁,...,i_n द्वारा उत्पन्न R-बीजगणित में स्थित है।

इसी प्रकार सबसे पहले, हम इसे उस स्थिति में करते हैं जब सभी तत्वों ρ(a_k) की घात d से कम होती है। इस स्थिति में, वे सभी i1,...,in (हमारी प्रेरण धारणा) द्वारा उत्पन्न आर-बीजगणित में हैं। इसलिए, x इस R-बीजगणित में भी (क्योंकि x = ρ(a1)i1 + ... + ρ(an)in) है।

सामान्य स्थिति में, हम यह सुनिश्चित नहीं कर सकते हैं कि सभी तत्वों ρ(a_k) की घात d से कम है। लेकिन हम प्रत्येक ρ(a_k) को घात d − deg i_j के समरूप घटक से बदल सकते हैं। परिणाम स्वरुप, ये संशोधित ρ (एके) अभी भी G-अपरिवर्तनीय हैं (क्योंकि G-अपरिवर्तनीय का प्रत्येक सजातीय घटक एक जी-अपरिवर्तनीय है) और d से कम घात (deg i_k > 0 के बाद से) है। समीकरण x = ρ(a₁)i₁ + ... + ρ(a_n)i_n अभी भी हमारे संशोधित ρ(a_k) के लिए मान्य है, इसलिए हम फिर से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि x i1,...,in द्वारा उत्पन्न R-बीजगणित में निहित है।

इसलिए, इसी प्रकार घात पर प्रेरण द्वारा, R^G के सभी तत्व i1,...,in द्वारा उत्पन्न आर-बीजगणित में हैं।

ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत

ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत का आधुनिक सूत्रीकरण डेविड ममफोर्ड के कारण है, और समूह क्रिया द्वारा भागफल के निर्माण पर जोर देता है जिसे अपने समन्वय रिंग के माध्यम से अपरिवर्तनीय जानकारी प्राप्त करनी चाहिए, यह सूक्ष्म सिद्धांत है, जिसमें कुछ 'बुरी' कक्षाओं को छोड़कर दूसरों की 'अच्छे' कक्षाओं से पहचान कर सफलता प्राप्त की जाती है। भिन्न विकास में अपरिवर्तनीय सिद्धांत की प्रतीकात्मक पद्धति, स्पष्ट रूप से हेयुरिस्टिक कॉम्बिनेटरियल अंकन का पुनर्वास किया गया है।

एक प्रेरणा बीजगणितीय ज्यामिति में मॉड्यूलि रिक्त स्थान का निर्माण करना था, जो चिह्नित वस्तुओं को पैरामीट्रिज करने वाली योजनाओं के भागफल के रूप में था। 1970 और 1980 के दशक में इस सिद्धांत ने सिम्पलेक्टिक ज्यामिति और इक्विवेरिएंट टोपोलॉजी के साथ अंतःक्रियाओं को विकसित किया, और इन्स्टैन्टॉन और मोनोपोल (गणित) जैसे अंतर ज्यामिति में वस्तुओं के मॉडुलि स्पेस बनाने के लिए उपयोग किया गया था।

यह भी देखें

• ग्राम प्रमेय
• परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
• मोलियन श्रृंखला
• अपरिवर्तनीय (गणित)
• एक द्विआधारी रूप का अपरिवर्तनीय
• अपरिवर्तनीय उपाय
• अपरिवर्तनीय सिद्धांत का पहला और दूसरा मौलिक प्रमेय

संदर्भ

• Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1970), "Invariant theory, old and new", Advances in Mathematics, 4: 1–80, doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0, ISSN 0001-8708, MR 0255525 Reprinted as Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1971), "Invariant theory, old and new", Advances in Mathematics, Boston, MA: Academic Press, 4: 1–80, doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0, ISBN 978-0-12-215540-6, MR 0279102
• Dolgachev, Igor (2003), Lectures on invariant theory, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 296, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511615436, ISBN 978-0-521-52548-0, MR 2004511
• Grace, J. H.; Young, Alfred (1903), The algebra of invariants, Cambridge: Cambridge University Press
• Grosshans, Frank D. (1997), Algebraic homogeneous spaces and invariant theory, New York: Springer, ISBN 3-540-63628-5
• Kung, Joseph P. S.; Rota, Gian-Carlo (1984), "The invariant theory of binary forms", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 10 (1): 27–85, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15188-7, ISSN 0002-9904, MR 0722856
• Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen, 36 (4): 473–534, doi:10.1007/BF01208503, ISSN 0025-5831
• Hilbert, D. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme (On Full Invariant Systems)", Math. Annalen, 42 (3): 313, doi:10.1007/BF01444162
• Neusel, Mara D.; Smith, Larry (2002), Invariant Theory of Finite Groups, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2916-5 A recent resource for learning about modular invariants of finite groups.
• Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2 An undergraduate level introduction to the classical theory of invariants of binary forms, including the Omega process starting at page 87.
• Popov, V.L. (2001) [1994], "Invariants, theory of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Springer, T. A. (1977), Invariant Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-08242-5 An older but still useful survey.
• Sturmfels, Bernd (1993), Algorithms in Invariant Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-82445-6 A beautiful introduction to the theory of invariants of finite groups and techniques for computing them using Gröbner bases.
• Weyl, Hermann (1939), The Classical Groups. Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255
• Weyl, Hermann (1939b), "Invariants", Duke Mathematical Journal, 5 (3): 489–502, doi:10.1215/S0012-7094-39-00540-5, ISSN 0012-7094, MR 0000030

बाहरी संबंध

• H. Kraft, C. Procesi, Classical Invariant Theory, a Primer
• V. L. Popov, E. B. Vinberg, ``Invariant Theory", in Algebraic geometry. IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55 (translated from 1989 Russian edition) Springer-Verlag, Berlin, 1994; vi+284 pp.; ISBN 3-540-54682-0