कॉमा श्रेणी

गणित में, एक अल्पविराम श्रेणी (एक विशेष स्थिति एक स्लाइस श्रेणी है) श्रेणी सिद्धांत में एक निर्माण है। यह रूपवाद को देखने का एक और विधि प्रदान करता है: केवल एक वर्ग (गणित) की वस्तुओं को एक दूसरे से संबंधित करने के अतिरिक्त, रूपवाद अपने आप में वस्तु बन जाते हैं। यह धारणा 1963 में विलियम लॉवरे एफ डब्ल्यू लॉवरे (लॉवरे, 1963 पृष्ठ 36) द्वारा प्रस्तुत की गई थी।, चूँकि विधि ने ऐसा नहीं किया सामान्यतः कई सालों बाद तक जाना जाता है। कई गणितीय अवधारणाओं को अल्पविराम श्रेणियों के रूप में माना जा सकता है। अल्पविराम श्रेणियां कुछ सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और कोलिमिट के अस्तित्व की आश्वासन भी देती हैं। नाम मूल रूप से लॉवरे द्वारा उपयोग किए जाने वाले नोटेशन से आता है, जिसमें अल्पविराम विराम चिह्न सम्मिलित था। तथापि मानक अंकन बदल गया हो, नाम बना रहता है, क्योंकि एक ऑपरेटर के रूप में अल्पविराम का उपयोग संभावित रूप से भ्रमित करने वाला होता है, और यहां तक ​​कि लॉवरे भी गैर-सूचनात्मक शब्द अल्पविराम श्रेणी को नापसंद करते हैं (लॉवरे, 1963 पृष्ठ 13)।

परिभाषा

सबसे सामान्य अल्पविराम श्रेणी के निर्माण में एक ही कोडोमेन वाले दो ऑपरेटर सम्मिलित होते हैं। अधिकांशतः इनमें से एक में डोमेन 1 (एक-वस्तु वन-मॉर्फिज़्म श्रेणी) होगा। श्रेणी सिद्धांत के कुछ खाते केवल इन विशेष स्थितियों पर विचार करते हैं, किंतु अल्पविराम श्रेणी शब्द वास्तव में बहुत अधिक सामान्य है।

सामान्य रूप

माना कि ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$, और ${\mathcal {C}}$ श्रेणियां हैं, और $S$ और $T$ (स्रोत और लक्ष्य के लिए) कारक हैं:

${\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;S\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;T\;\;} {\mathcal {B}}$

हम निम्नानुसार अल्पविराम श्रेणी $(S\downarrow T)$ बना सकते हैं:

• वस्तु सभी त्रिगुणमय $(A,B,h)$ हैं, जिसमें $A$ एक वस्तु ${\mathcal {A}}$ में है, $B$ एक वस्तु ${\mathcal {B}}$ में है, और $h:S(A)\rightarrow T(B)$ ${\mathcal {C}}$ में आकारिकी है।
• $(A,B,h)$ से $(A',B',h')$ तक आकारिकी सभी जोड़े $(f,g)$ हैं जहाँ $f:A\rightarrow A'$ और $g:B\rightarrow B'$ क्रमशः ${\mathcal {A}}$ और ${\mathcal {B}}$ में रूपवाद हैं, जैसे कि निम्न आरेख कम्यूट करता है:

आकारिकी की रचना$(f',g')\circ (f,g)$ को $(f'\circ f,g'\circ g)$ लेकर की जाती है, जब भी बाद वाला व्यंजक परिभाषित होता है। किसी वस्तु $(A,B,h)$ पर पहचान आकृतिवाद $(\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})$ है।

स्लाइस श्रेणी

Main article: अतिश्रेणी

पहली विशेष स्थिति तब होता है जब ${\mathcal {C}}={\mathcal {A}}$ फ़ंक्टर $S$ पहचान कारक है, और ${\mathcal {B}}={\textbf {1}}$ (एक वस्तु $*$ और एक रूपवाद वाली श्रेणी)। फिर $T(*)=A_{*}$ किसी वस्तु $A_{*}$ के लिए ${\mathcal {A}}$ में है ।

${\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {A}}\;\;} {\mathcal {A}}\xleftarrow {\;\;A_{*}\;\;} {\textbf {1}}$

इस स्थिति में, अल्पविराम श्रेणी को $({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})$ लिखा जाता है, और इसे अधिकांशतः$A_{*}$ पर स्लाइस श्रेणी या $A_{*}$ पर वस्तुओं की श्रेणी कहा जाता है। वस्तुएं $(A,*,h)$ को जोड़े$(A,h)$ में सरलीकृत किया जा सकता है, जहाँ $h:A\rightarrow A_{*}$ कभी-कभी $h$ को $\pi _{A}$ से दर्शाया जाता है। एक आकारिकी$(f,\mathrm {id} _{*})$$(A,\pi _{A})$ से $(A',\pi _{A'})$ को स्लाइस श्रेणी में तब एक तीर $f:A\rightarrow A'$ के रूप में सरलीकृत किया जा सकता है, जिससे निम्नलिखित आरेख बना सकते हैं:

कॉस्लाइस श्रेणी

Main article: अतिश्रेणी

स्लाइस श्रेणी के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) अवधारणा एक कोस्लाइस श्रेणी है। यहाँ, ${\mathcal {C}}={\mathcal {B}}$, $S$ डोमेन है ${\textbf {1}}$ और $T$ एक पहचान कारक है।

${\textbf {1}}\xrightarrow {\;\;B_{*}\;\;} {\mathcal {B}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {B}}\;\;} {\mathcal {B}}$

इस स्थिति में, अल्पविराम श्रेणी को अधिकांशतः $(B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})$ लिखा जाता है, जहां $B_{*}=S(*)$ S द्वारा चयनित ${\mathcal {B}}$ की वस्तु है। इसे $B_{*}$, या वस्तुओं की श्रेणी के संबंध में कोस्लिस श्रेणी कहा जाता है। $B_{*}$ के तहत वस्तुएं $(B,\iota _{B})$ $\iota _{B}:B_{*}\rightarrow B$ के साथ जोड़े हैं। $(B,\iota _{B})$ और $(B',\iota _{B'})$ को देखते हुए, कॉसलिस श्रेणी में एक रूपवाद एक नक्शा है $g:B\rightarrow B'$ जो निम्नलिखित आरेख को कम्यूट करता है:

तीर श्रेणी

$S$ और $T$ ${\mathcal {C}}$ पर पहचान कारक हैं (इसलिए ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$)।

${\mathcal {C}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}$

इस स्थिति में, अल्पविराम श्रेणी तीर श्रेणी है ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$. इसकी वस्तुएं रूपवाद हैं ${\mathcal {C}}$, और इसके रूपवाद वर्ग में आ रहे हैं ${\mathcal {C}}$.

अन्य विविधताएं

स्लाइस या कोस्लिस श्रेणी के स्थिति में, पहचान कारक को किसी अन्य कारक से बदला जा सकता है; यह विशेष रूप से आसन्न कारको के अध्ययन में उपयोगी श्रेणियों का एक वर्ग उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, यदि $T$ एक एबेलियन समूह को उसकी बीजगणितीय संरचना में मैप करने वाला अन्यमनस्क फ़ंक्टर है, और $s$ कुछ निश्चित सेट (गणित) है (1 से एक कारक के रूप में माना जाता है), फिर अल्पविराम श्रेणी $(s\downarrow T)$ ऐसी वस्तुएं हैं जो मानचित्र हैं $s$ एक समूह के नीचे एक सेट के लिए यह के बाएं आसन्न से संबंधित है $T$, जो कि फ़ंक्टर है जो उस सेट को अपने आधार के रूप में मुक्त एबेलियन समूह के लिए मैप करता है। विशेष रूप से, $s\rightarrow T(G)$ की प्रारंभिक वस्तु $(s\downarrow T)$ विहित इंजेक्शन है जहाँ $G$, $s$ द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह है।

$(s\downarrow T)$ की एक वस्तु को $s$ से $T$ तक आकारिकी या डोमेन $s$ के साथ $T$-संरचित तीर कहा जाता है। $(S\downarrow t)$ की एक वस्तु को $S$ से $t$ या कोडोमेन $t$ के साथ एक $S$ तीर कहा जाता है।

एक और विशेष स्थिति तब होता है जब दोनों $S$ और $T$ डोमेन वाले फंक्‍टर हैं ${\textbf {1}}$. यदि $S(*)=A$ और $T(*)=B$, फिर अल्पविराम श्रेणी $(S\downarrow T)$, लिखा हुआ $(A\downarrow B)$, असतत श्रेणी है जिसकी वस्तुएँ $A$ से $B$ तक आकारिकी हैं।

एक सम्मिलनकर्ता श्रेणी अल्पविराम श्रेणी की एक (गैर-पूर्ण) उपश्रेणी है जहाँ ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$ और $f=g$ ज़रूरत है। कॉमा श्रेणी को इन्सटर के रूप में भी देखा जा सकता है $S\circ \pi _{1}$ और $T\circ \pi _{2}$, जहाँ $\pi _{1}$ और $\pi _{2}$ उत्पाद श्रेणी ${\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}$ में से दो प्रक्षेपण कारक हैं।

गुण

प्रत्येक अल्पविराम श्रेणी के लिए इसमें अन्यमनस्क कारक होते हैं।

• डोमेन कारक , $S\downarrow T\to {\mathcal {A}}$, जो मैप करता है:
  • वस्तुएं: $(A,B,h)\mapsto A$;
  • आकारिकी: $(f,g)\mapsto f$;
• कोडोमेन कार्य , $S\downarrow T\to {\mathcal {B}}$, जो मैप करता है:
  • वस्तुएं: $(A,B,h)\mapsto B$;
  • आकारिकी: $(f,g)\mapsto g$.
• तीर कारक , $S\downarrow T\to {\mathcal {C}}^{\rightarrow }$, जो मैप करता है:
  • वस्तुएं: $(A,B,h)\mapsto h$;
  • आकारिकी: $(f,g)\mapsto (Sf,Tg)$;

उपयोग के उदाहरण

कुछ उल्लेखनीय श्रेणियां

अल्पविराम श्रेणियों के संदर्भ में कई दिलचस्प श्रेणियों की स्वाभाविक परिभाषा है।

• नुकीले सेटों की श्रेणी अल्पविराम श्रेणी है, $\scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}$ साथ $\scriptstyle {\bullet }$ किसी भी सिंगलटन सेट का चयन करना (फंक्टर का चयन करना), और $\scriptstyle {\mathbf {Set} }$ (पहचान कारक) सेट की श्रेणी इस श्रेणी का प्रत्येक वस्तु सेट के कुछ तत्व का चयन करने वाले कार्य के साथ एक सेट है: बेसपॉइंट मोर्फिज्म सेट पर कार्य होते हैं जो बेसपॉइंट्स को बेसपॉइंट्स को मैप करते हैं। इसी प्रकार कोई भी पॉइंटेड स्पेस $\scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )}$ की श्रेणी बना सकता है.
• रिंग के ऊपर साहचर्य बीजगणित की श्रेणी $R$ कॉसलिस श्रेणी है $\scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring} )}$, किसी भी अंगूठी समरूपता के बाद से $f:R\to S$ सहयोगी को प्रेरित करता है $R$-बीजगणित संरचना पर $S$, और इसके विपरीत मोर्फिज़्म तब मानचित्र $h:S\to T$ होते हैं जो आरेख को कम्यूट करते हैं।।
• ग्राफ (असतत गणित) की श्रेणी $\scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}$,है साथ $\scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }$ कार्यकर्ता एक सेट ले रहा है $s$ को $s\times s$. वस्तुएं $(a,b,f)$ फिर दो सेट और एक कार्य से मिलकर बनता है; $a$ एक अनुक्रमण सेट है, $b$ नोड्स का एक सेट है, और $f:a\rightarrow (b\times b)$ $a$ के $b$ तत्वों के जोड़े चुनता है से प्रत्येक इनपुट के लिए वह है, $f$ सेट से कुछ किनारों को चुनता है $b\times b$ संभावित किनारों की इस श्रेणी में एक रूपवाद दो कार्यों से बना है, एक अनुक्रमण सेट पर और एक नोड सेट पर उन्हें उपरोक्त सामान्य परिभाषा के अनुसार सहमत होना चाहिए, जिसका अर्थ है $(g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')$ संतुष्ट करना चाहिए $f'\circ g=D(h)\circ f$. दूसरे शब्दों में, इंडेक्सिंग सेट के एक निश्चित तत्व के अनुरूप किनारे, अनुवादित होने पर, अनुवादित इंडेक्स के किनारे के समान होना चाहिए।
• अल्पविराम श्रेणियों के संदर्भ में कई वृद्धि या लेबलिंग संचालन व्यक्त किए जा सकते हैं। होने देना $S$ प्रत्येक ग्राफ को उसके किनारों के सेट तक ले जाने वाला फ़ंक्टर बनें, और दें $A$ हो (एक फंक्टर चयन) कुछ विशेष सेट: फिर $(S\downarrow A)$ ग्राफ़ की श्रेणी है जिसके किनारों को के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है $A$. अल्पविराम श्रेणी के इस रूप को अधिकांशतः वस्तु कहा जाता है $S$-ऊपर $A$- ऊपर की वस्तुओं से निकटता से संबंधित $A$ऊपर चर्चा की यहाँ, प्रत्येक वस्तु रूप लेती है $(B,\pi _{B})$, जहाँ $B$ एक ग्राफ है और $\pi _{B}$ के किनारों से एक कार्य $B$ को $A$. ग्राफ़ के नोड्स को अनिवार्य रूप से उसी तरह लेबल किया जा सकता है।
• एक श्रेणी को स्थानीय रूप से कार्तीय बंद कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक टुकड़ा कार्तीय बंद है (स्लाइस की धारणा के लिए ऊपर देखें)। स्थानीय रूप से कार्तीय बंद श्रेणियां निर्भर प्रकार के सिद्धांत की वर्गीकरण श्रेणी हैं।

सीमाएं और सार्वभौम आकारिकी

अल्पविराम श्रेणियों में सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और सीमा (श्रेणी सिद्धांत) विरासत में मिल सकती है। यदि ${\mathcal {A}}$ और ${\mathcal {B}}$ पूरी श्रेणी हैं, $T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ एक सीमा (श्रेणी सिद्धांत)

या सीमा का संरक्षण है, और $S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ एक अन्य कारक है (आवश्यक रूप से निरंतर नहीं), फिर अल्पविराम श्रेणी $(S\downarrow T)$ उत्पादित पूर्ण है, और प्रक्षेपण कारक $(S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}$ और $(S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}$ निरंतर हैं। इसी प्रकार यदि ${\mathcal {A}}$ और ${\mathcal {B}}$ अपूर्ण हैं, और $S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ सीमा है (श्रेणी सिद्धांत) या सीमा का संरक्षण, फिर $(S\downarrow T)$ सह-पूर्ण है, और प्रक्षेपण कारक सह-सतत हैं।

उदाहरण के लिए, ध्यान दें कि अल्पविराम श्रेणी के रूप में रेखांकन की श्रेणी के उपरोक्त निर्माण में, सेट की श्रेणी पूर्ण और सह-पूर्ण है, और पहचान कारक निरंतर और निरंतर है। इस प्रकार, रेखांकन की श्रेणी पूर्ण और पूर्ण है।

एक विशेष कोलिमिट या एक सीमा से एक सार्वभौमिक संपत्ति की धारणा को अल्पविराम श्रेणी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अनिवार्य रूप से, हम एक श्रेणी बनाते हैं जिसकी वस्तुएँ शंकु हैं, और जहाँ सीमित शंकु एक अंतिम वस्तु है; फिर, सीमा के लिए प्रत्येक सार्वभौमिक रूपवाद टर्मिनल वस्तु के लिए सिर्फ आकारिकी है। यह दोहरे स्थिति में काम करता है, जिसमें प्रारंभिक वस्तु वाले कोकोन की एक श्रेणी होती है। उदाहरण के लिए, चलो ${\mathcal {C}}$ के साथ एक श्रेणी हो $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ प्रत्येक वस्तु को लेने वाला $c$ को $(c,c)$ और प्रत्येक तीर $f$ को $(f,f)$. से एक सार्वभौमिक रूपवाद $(a,b)$ को $F$ किसी वस्तु की परिभाषा के अनुसार होता है $(c,c)$ और आकृतिवाद $\rho :(a,b)\rightarrow (c,c)$ सार्वभौमिक संपत्ति के साथ कि किसी भी रूपवाद के लिए $\rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)$ एक अद्वितीय रूपवाद है $\sigma :c\rightarrow d$ साथ $F(\sigma )\circ \rho =\rho '$. दूसरे शब्दों में, यह अल्पविराम श्रेणी में एक वस्तु है $((a,b)\downarrow F)$ उस श्रेणी में किसी अन्य वस्तु के लिए आकारिकी होना; यह प्रारंभिक है। यह उत्पाद को परिभाषित करने में कार्य करता है ${\mathcal {C}}$, जब यह उपस्थित है।

संयोजन

लॉवरे ने दिखाया कि कार्यकर्ता $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ और $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ यदि और केवल अल्पविराम श्रेणियां हैं, तो सहायक कारक हैं $(F\downarrow id_{\mathcal {D}})$ और $(id_{\mathcal {C}}\downarrow G)$, साथ $id_{\mathcal {D}}$ और $id_{\mathcal {C}}$, ${\mathcal {D}}$ और ${\mathcal {C}}$ पहचान कारक क्रमशः चालू हैं , आइसोमोर्फिक हैं, और अल्पविराम श्रेणी में समकक्ष तत्वों ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$ को उसी तत्व पर प्रक्षेपित किया जा सकता है . यह सेट को सम्मिलित किए बिना संयोजनों को वर्णित करने की अनुमति देता है, और वास्तव में अल्पविराम श्रेणियों को प्रारंभ करने के लिए मूल प्रेरणा थी।

प्राकृतिक परिवर्तन

यदि $S,T$ के डोमेन समान हैं, तो आरेख जो $S\downarrow T$ में आकारिकी को $A=B,A'=B',f=g$ के साथ परिभाषित करता है, आरेख के समान है जो एक प्राकृतिक परिवर्तन $S\to T$ को परिभाषित करता है दो धारणाओं के बीच का अंतर यह है कि एक प्राकृतिक रूपांतरण रूप $S(A)\to T(A)$ के आकारिकी का एक विशेष संग्रह है, जबकि अल्पविराम श्रेणी की वस्तुओं में सभी आकारिकी सम्मिलित हैं इस प्रकार का रूप अल्पविराम श्रेणी के लिए एक फ़ंक्टर आकारिकी के उस विशेष संग्रह का चयन करता है। यह एस.ए. हक द्वारा एक अवलोकन द्वारा संक्षेप में वर्णित है कि एक प्राकृतिक परिवर्तन $\eta :S\to T$$S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$ एक से मेल खाता है ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$जो प्रत्येक वस्तु $A$ को $(A,A,\eta _{A})$ से मैप करता है और प्रत्येक आकारिकी को $f=g$ से $(f,g)$ मैप करता है। यह प्राकृतिक परिवर्तनों $S\to T$ और ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$ के बीच एक विशेषण पत्राचार है जो $S\downarrow T$ से दोनों अन्यमनस्क कारको के खंड हैं।

करता है दो धारणाओं के बीच का अंतर यह है कि एक प्राकृतिक रूपांतरण रूप $S(A)\to T(A)$ के आकारिकी का एक विशेष संग्रह है, जबकि अल्पविराम श्रेणी की वस्तुओं में सभी आकारिकी सम्मिलित हैं इस प्रकार का रूप अल्पविराम श्रेणी के

संदर्भ

• Comma category at the nLab
• Lawvere, W (1963). "Functorial semantics of algebraic theories" and "Some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories". http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

बाहरी संबंध

• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, रूपवाद, categories, functors, natural transformations, universal properties.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.