अनुरूप समूह: Difference between revisions

Latest revision as of 16:52, 18 May 2023

गणित में, किसी आंतरिक गुणांक स्थान का संरूप समूह, समष्टियों में परिवर्तनों का वह समूह होता है जो परिवर्तन के समय कोणों को संरक्षित करता है। अधिक औपचारिक रूप से कहें तो, यह परिवर्तनों का वह समूह है जो समष्टि के संरूप ज्यामिति को संरक्षित करता है।

कई विशिष्ट संरूप समूह विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं:

संरूपी आयतीय समूह: यदि V द्विघात रूप Q के साथ एक सदिश स्थान है, तो संरूप ऑर्थोगोनल समूह CO(V, Q) V का रैखिक रूपांतरण T का वह समूह है जिसके लिए एक अदिश λ उपलब्ध है। जैसे V में सभी x के लिए :-
$Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)$

एक निश्चित द्विघातीय रूप के लिए, संरूपी आयतीय समूह, आयतीय समूह के गुणक समूह के समान होता है।

गोले का संरूप समूह व्युत्क्रम ज्यामिति द्वारा उत्पन्न होता है। इस समूह को मोबियस समूह के नाम से भी जाना जाता है।
यूक्लिडियन समष्टि में Eⁿ, n > 2, संरूप समूह अति क्षेत्र में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न होता है।
छद्म-यूक्लिडियन समष्टि E^p,q में , संरूप समूह Conf(p, q) ≃ O(p + 1, q + 1) / Z₂^[1] है।

इस प्रकार सभी संरूप समूह ली समूह हैं।

कोण विश्लेषण

यूक्लिडीय ज्यामिति में हम आशा कर सकते हैं कि मानक वृत्ताकार कोण, विशेषणिक होगा, परंतु छद्म-यूक्लिडियन समष्टि में कोण अतिपरवलयिक भी हो सकता है। विशेष आपेक्षिकता के अध्ययन में विभिन्न संदर्भ संरचना, एक स्थिर संदर्भ के संबंध में भिन्न-भिन्न वेग के लिए, एक अतिपरवलयिक कोण से संबंधित होते हैं। लोरेंत्ज़ बूस्ट का वर्णन करने की एक विधिअतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में है जो रैपिडिटीज़ के मध्य अंतर कोण को संरक्षित करता है। इस प्रकार, वे अतिपरवलयिक कोण के संबंध में, संरूप परिवर्तन कोण हैं।

उपयुक्त संरूप समूह उत्पन्न करने की एक विधि सामान्य जटिल समष्टि के संरूप समूह के रूप में मोबियस समूह के चरणों की नकल करना है। छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति वैकल्पिक जटिल समष्टियों द्वारा समर्थित है जहां अंक विभाजित-जटिल संख्याएं या दोहरी संख्याएं अत्यधिक महत्वपूर्ण है। जिस तरह मोबियस समूह को पूर्ण विवरण के लिए रीमैन क्षेत्र, एक कॉम्पैक्ट स्थान की आवश्यकता होती है, उसी तरह वैकल्पिक जटिल समष्टियों को संरूप मानचित्रण के पूर्ण विवरण के लिए संघनन की आवश्यकता होती है। फिर भी, प्रत्येक विषय में संरूप समूह उपयुक्त समष्टि पर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा संदर्भित किया जाता है।^[2]

गणितीय परिभाषा

एक रिमैनियन मैनिफोल्ड $M$ दिए गए संरूप वर्ग $[g]$ के साथ, संरूप समूह ${\text{Conf}}(M)$ तथा संरूप आरेख $M$ का समूह है।

अधिक संक्षेप में कहें तों यह कोण-संरक्षण वाले $M$ मानचित्रों का समूह है। यद्यपि, जब [g] का हस्ताक्षर निश्चित नहीं होता है, तब 'कोण' एक हाइपर-कोण होता है जो संभावित रूप से अविनाशी होता है।

छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए, परिभाषा थोड़ी अलग है।^[3] ${\text{Conf}}(p,q)$ , संबंधी मानक संकुचन से उत्पन्न मेनिफोल्ड का संरूपी समूह है, जो छद्म-यूक्लिडीय समष्टि $\mathbf {E} ^{p,q}$ जिसे कभी-कभी $\mathbb {R} ^{p,q}$ के साथ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के चयन के उपरांत पहचाना जाता है; से उत्पन्न होता है। इस संरूप संघनन का उपयोग करके $S^{p}\times S^{q}$ , में अशक्त बिंदुओं के एक सबमेनफोल्ड $(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\mapsto X=(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )$ को परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस समूह में व्युत्क्रम ज्यामिति सम्मिलित है क्योंकि यह उत्पत्ति को अनंत तक आरेखित करता है, और अनंत को उत्पत्ति के लिए आरेखित करता है।

कॉन्फ (पी, क्यू)

छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए $\mathbb {R} ^{p,q}$ , संरूप समूह का लाई बीजगणित आधार $\{M_{\mu \nu },P_{\mu },K_{\mu },D\}$ निम्नलिखित रूपांतरण संबंधों द्वारा दिया गया है:^[4]

{\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}

और अन्य सभी कोष्ठक लुप्त हो रहे हैं। यहाँ

\eta _{\mu \nu }

मिन्कोव्स्की मीट्रिक है।

वास्तव में, यह छद्म बीजगणित लोरेंत्ज़ समूह के ली बीजगणित के लिए एक और स्थान और एक और समय आयाम के साथ समरूपी है, जो ${\mathfrak {conf}}(p,q)\cong {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$ है, यह सरलता से जांचा जा सकता है कि आयाम सहमत हैं या नहीं। एक स्पष्ट समरूपता प्रदर्शित करने के लिए इसे निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया गया है।

{\begin{aligned}&J_{\mu \nu }=M_{\mu \nu }\,,\\&J_{+1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })\,,\\&J_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })\,,\\&J_{-1,0}=D.\end{aligned}}

तब यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि जनित्र

J_{ab}

के साथ

a,b=-1,0,\cdots ,n=p+q

लोरेंत्ज़ समूह का पालन बीजगणित संबंध

{\tilde {\eta }}_{ab}=\operatorname {diag} (-1,+1,-1,\cdots ,-1,+1,\cdots ,+1)

के रूप में करता है।

दो काल-स्थान आयामों में संरूप समूह

द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि या एक-युग्म-एक आयामी समष्टि-समय के लिए, संरूप समरूपता का स्थान अत्यधिक दीर्घ है। भौतिकी में यह कभी-कभी कहा जाता है कि संरूप समूह अनंत-आयामी है, परंतु यह बिल्कुल सत्य नहीं है, जबकि स्थानीय समरूपता का ली बीजगणित अनंत आयामी है, ये आवश्यक रूप से परिभाषित वैश्विक समरूपता के ली समूह तक विस्तारित नहीं होते हैं।

काल-समय आयाम के लिए $n>2$ , स्थानीय संरूप समरूपता सभी वैश्विक समरूपता तक प्रसारित है। $n=2$ के लिए यूक्लिडियन स्थान, एक जटिल समन्वय में परिवर्तन के उपरांत $z=x+iy$ स्थानीय संरूप समरूपता को प्रपत्र के सदिस क्षेत्रों के अनंत आयामी स्थान द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

l_{n}=-z^{n+1}\partial _{z}.

इसलिए द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि की स्थानीय संरूप समरूपता अनंत-आयामी विट बीजगणित के समान है।

काल-समय का संरूप समूह

1908 में, लिवरपूल विश्वविद्यालय के दो युवा शोधकर्ताओं, हैरी बेटमैन और एबेनेज़र कनिंघम ने काल-समय के एक संरूप समूह के विचार को सामने रखा।^[5]^[6]^[7] उन्होंने तर्क दिया कि गतिकी समूह अनिवार्य रूप से संरूप हैं क्योंकि वे काल-समय के द्विघात रूप को संरक्षित करते हैं और ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के समान हैं, यद्यपि एक समदैशिक द्विघात रूप के संबंध में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की स्वतंत्रता शुद्धगतिक गतियों तक ही सीमित नहीं है, बल्कि द्विघात रूप को संरक्षित करने वाले परिवर्तन के लिए स्थानीय रूप से आनुपातिक है। 1910 में हैरी बेटमैन के लेख ने एक परिवर्तन के जैकबियन आव्यूह का अध्ययन किया जो प्रकाश शंकु को संरक्षित करता है और यह दर्शाता है कि इसमें संरूप गुण किसी रूप संरक्षक के समानुपाती थी।^[8] बेटमैन और कनिंघम ने यह प्रदर्शित किया कि यह संरूप समूह मैक्सवेल के समीकरणों को संरचनात्मक रूप से अपरिवर्तनीय छोड़ने वाले परिवर्तनों का सबसे बड़ा समूह है।^[9] काल-समय के संरूप समूह को $C(1,3)$ के द्वारा निरूपित किया गया है ^[10]

इसहाक याग्लोम ने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्या और द्विरूपी संख्या में काल-समय संरूपी परिवर्तन गणित में योगदान दिया है।^[11] चूंकि विभाजित-जटिल संख्याएं और दोहरी संख्याएं वृत्त का निर्माण करती हैं, रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों को विशेषण मानचित्र के रूप में प्रदर्शित होने के लिए वृत्त पर एक प्रक्षेपी रेखा की आवश्यकता होती है।

1914 में लुडविग सिल्बरस्टीन के कार्य के बाद से यह पारंपरिक रहा है कि लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए द्विसंख्याक वृत्त का उपयोग किया जाए। काल-समय संरूप समूह के लिए, उस वृत्त के ऊपर प्रक्षेपी रेखा भिन्नात्मक परिवर्तनों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। काल-समय संरूप समूह के तत्वों को बेटमैन द्वारा गोलाकार तरंग परिवर्तन कहा जाता था। काल-समय द्विघात रूप अध्ययन के विवरणों को ली क्षेत्र ज्यामिति में समाहित कर लिया गया है।

भौतिक विज्ञान में दिखाई गई निरंतर रुचि पर टिप्पणी करते हुए, ए.ओ. बरुत ने 1985 में लिखा, संरूप समूह में रुचि के प्रमुख कारणों में से एक यह है कि यह संभवतः पोंकारे समूह वाले दीर्घ समूहों में सबसे महत्वपूर्ण है।^[12]

यह भी देखें

संरूप नक्शा
संरूप समरूपता

संदर्भ

↑ Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय. Oxford University Press. p. 140. ISBN 9780191085789.
↑ Tsurusaburo Takasu (1941) "Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie", 2, Proceedings of the Imperial Academy 17(8): 330–8, link from Project Euclid, MR14282
↑ Schottenloher, Martin (2008). अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का एक गणितीय परिचय (PDF). Springer Science & Business Media. p. 23. ISBN 978-3540686255.
↑ Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pierre; Sénéchal, David (1997). अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत. New York: Springer. ISBN 9780387947853.
↑ Bateman, Harry (1908). "ज्यामितीय प्रकाशिकी के लिए चार आयामों और उनके अनुप्रयोगों के स्थान के अनुरूप परिवर्तन" . Proceedings of the London Mathematical Society. 7: 70–89. doi:10.1112/plms/s2-7.1.70.
↑ Bateman, Harry (1910). "विद्युतगतिकी समीकरणों का परिवर्तन" . Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 223–264. doi:10.1112/plms/s2-8.1.223.
↑ Cunningham, Ebenezer (1910). "इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सापेक्षता का सिद्धांत और उसका विस्तार" . Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 77–98. doi:10.1112/plms/s2-8.1.77.
↑ Warwick, Andrew (2003). Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics. Chicago: University of Chicago Press. pp. 416–24. ISBN 0-226-87375-7.
↑ Robert Gilmore (1994) [1974] Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications, page 349, Robert E. Krieger Publishing ISBN 0-89464-759-8 MR1275599
↑ Boris Kosyakov (2007) Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields, page 216, Springer books via Google Books
↑ Isaak Yaglom (1979) A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis, Springer, ISBN 0387-90332-1, MR520230
↑ A. O. Barut & H.-D. Doebner (1985) Conformal groups and Related Symmetries: Physical Results and Mathematical Background, Lecture Notes in Physics #261 Springer books, see preface for quotation

अग्रिम पठन

Kobayashi, S. (1972). Transformation Groups in Differential Geometry. Classics in Mathematics. Springer. ISBN 3-540-58659-8. OCLC 31374337.
Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.
Peter Scherk (1960) "Some Concepts of Conformal Geometry", American Mathematical Monthly 67(1): 1−30 doi:10.2307/2308920
Martin Schottenloher, The conformal group, chapter 2 of A mathematical introduction to conformal field theory, 2008 (pdf)
page on conformal groups

[1] Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय. Oxford University Press. p. 140. ISBN 9780191085789.

[2] Tsurusaburo Takasu (1941) "Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie", 2, Proceedings of the Imperial Academy 17(8): 330–8, link from Project Euclid, MR14282

[3] Schottenloher, Martin (2008). अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का एक गणितीय परिचय (PDF). Springer Science & Business Media. p. 23. ISBN 978-3540686255.

[cft-4] Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pierre; Sénéchal, David (1997). अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत. New York: Springer. ISBN 9780387947853.

[5] Bateman, Harry (1908). "ज्यामितीय प्रकाशिकी के लिए चार आयामों और उनके अनुप्रयोगों के स्थान के अनुरूप परिवर्तन" . Proceedings of the London Mathematical Society. 7: 70–89. doi:10.1112/plms/s2-7.1.70.

[6] Bateman, Harry (1910). "विद्युतगतिकी समीकरणों का परिवर्तन" . Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 223–264. doi:10.1112/plms/s2-8.1.223.

[7] Cunningham, Ebenezer (1910). "इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सापेक्षता का सिद्धांत और उसका विस्तार" . Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 77–98. doi:10.1112/plms/s2-8.1.77.

[8] Warwick, Andrew (2003). Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics. Chicago: University of Chicago Press. pp. 416–24. ISBN 0-226-87375-7.

[9] Robert Gilmore (1994) [1974] Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications, page 349, Robert E. Krieger Publishing ISBN 0-89464-759-8 MR1275599

[10] Boris Kosyakov (2007) Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields, page 216, Springer books via Google Books

[11] Isaak Yaglom (1979) A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis, Springer, ISBN 0387-90332-1, MR520230

[12] A. O. Barut & H.-D. Doebner (1985) Conformal groups and Related Symmetries: Physical Results and Mathematical Background, Lecture Notes in Physics #261 Springer books, see preface for quotation

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 == [[कोण]] विश्लेषण ==
-यूक्लिडियन ज्यामिति में मानक वृत्ताकार कोण की विशेषता होने की उम्मीद की जा सकती है, लेकिन छद्म-यूक्लिडियन समष्टि में [[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण]] भी होता है। विशेष आपेक्षिकता के अध्ययन में विभिन्न फ्रेम ऑफ रेफरेंस, एक रेस्ट फ्रेम के संबंध में अलग-अलग वेग के लिए, [[ तेज़ी ]], एक हाइपरबॉलिक कोण से संबंधित होते हैं। [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] का वर्णन करने का एक तरीका [[ अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन ]] के रूप में है जो रैपिडिटीज़ के बीच अंतर कोण को संरक्षित करता है। इस प्रकार, वे अतिशयोक्तिपूर्ण कोण के संबंध में संरूप परिवर्तन #वैकल्पिक कोण हैं।
+यूक्लिडीय ज्यामिति में हम आशा कर सकते हैं कि मानक वृत्ताकार कोण, विशेषणिक होगा, परंतु छद्म-यूक्लिडियन समष्टि में कोण  [[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण|अतिपरवलयिक]] भी हो सकता है। विशेष आपेक्षिकता के अध्ययन में विभिन्न संदर्भ संरचना, एक स्थिर संदर्भ के संबंध में भिन्न-भिन्न वेग के लिए, एक अतिपरवलयिक कोण से संबंधित होते हैं। [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] का वर्णन करने की एक विधि[[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण|अतिपरवलयिक]] घूर्णन के रूप में है जो रैपिडिटीज़ के मध्य अंतर कोण को संरक्षित करता है। इस प्रकार, वे [[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण|अतिपरवलयिक]] कोण के संबंध में, संरूप परिवर्तन कोण हैं।
-उपयुक्त संरूप समूह उत्पन्न करने का एक तरीका सामान्य [[जटिल विमान]] के संरूप समूह के रूप में मोबियस समूह के कदमों की नकल करना है। छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति वैकल्पिक जटिल विमानों द्वारा समर्थित है जहां अंक [[विभाजित-जटिल संख्या]]एं या [[दोहरी संख्या]]एं हैं। जिस तरह मोबियस समूह को पूर्ण विवरण के लिए [[रीमैन क्षेत्र]], एक [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] की आवश्यकता होती है, उसी तरह वैकल्पिक जटिल विमानों को संरूप मानचित्रण के पूर्ण विवरण के लिए कॉम्पैक्टिफिकेशन की आवश्यकता होती है। फिर भी, प्रत्येक मामले में संरूप समूह उपयुक्त विमान पर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा दिया जाता है।<ref> Tsurusaburo Takasu (1941) [http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195578674 "Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie", 2], [[Japan Academy|Proceedings of the Imperial Academy]] 17(8): 330–8, link from [[Project Euclid]], {{mr|id=14282}}</ref>
+उपयुक्त संरूप समूह उत्पन्न करने की एक विधि सामान्य [[जटिल विमान|जटिल समष्टि]] के संरूप समूह के रूप में मोबियस समूह के चरणों की नकल करना है। छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति वैकल्पिक जटिल समष्टियों द्वारा समर्थित है जहां अंक [[विभाजित-जटिल संख्या]]एं या [[दोहरी संख्या]]एं अत्यधिक महत्वपूर्ण है। जिस तरह मोबियस समूह को पूर्ण विवरण के लिए [[रीमैन क्षेत्र]], एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट स्थान]] की आवश्यकता होती है, उसी तरह वैकल्पिक जटिल समष्टियों को संरूप मानचित्रण के पूर्ण विवरण के लिए संघनन की आवश्यकता होती है। फिर भी, प्रत्येक विषय में संरूप समूह उपयुक्त समष्टि पर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा संदर्भित किया जाता है।<ref> Tsurusaburo Takasu (1941) [http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195578674 "Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie", 2], [[Japan Academy|Proceedings of the Imperial Academy]] 17(8): 330–8, link from [[Project Euclid]], {{mr|id=14282}}</ref>
 == गणितीय परिभाषा ==
-एक (स्यूडो-[[ रीमैनियन कई गुना ]]-) रिमैनियन मैनिफोल्ड दिया गया <math>M</math> [[अनुरूप वर्ग|संरूप वर्ग]] के साथ <math>[g]</math>, संरूप समूह <math>\text{Conf}(M)</math> संरूप नक्शों का समूह है <math>M</math> खुद को।
+एक रिमैनियन मैनिफोल्ड <math>M</math> दिए गए [[अनुरूप वर्ग|संरूप वर्ग]] <math>[g]</math> के साथ, संरूप समूह <math>\text{Conf}(M)</math> तथा संरूप आरेख <math>M</math> का समूह है।
-अधिक संक्षेप में, यह कोण-संरक्षण वाले चिकने नक्शों का समूह है <math>M</math> खुद को। हालांकि, जब के हस्ताक्षर <math>[g]</math> निश्चित नहीं है, 'कोण' एक अति-कोण है जो संभावित रूप से अनंत है।
+अधिक संक्षेप में कहें तों यह कोण-संरक्षण वाले <math>M</math> मानचित्रों का समूह है। यद्यपि, जब [g] का हस्ताक्षर निश्चित नहीं होता है, तब 'कोण' एक हाइपर-कोण होता है जो संभावित रूप से अविनाशी होता है।
-छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए, परिभाषा थोड़ी अलग है।<ref>{{cite book |first=Martin|last=Schottenloher|year=2008 |title=अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का एक गणितीय परिचय|publisher=Springer Science & Business Media|page=23 |isbn=978-3540686255|url=https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/02_978-3-540-68625-5_Ch02_23-08-08.pdf }}</ref> <math>\text{Conf}(p,q)</math> छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के [[अनुरूप संघनन|संरूप संघनन]] से उत्पन्न होने वाली कई गुना संरूप समूह है <math>\mathbf{E}^{p, q}</math> (कभी-कभी इसके साथ पहचाना जाता है <math>\mathbb{R}^{p,q}</math> ऑर्थोनॉर्मल आधार के चुनाव के बाद)। इस संरूप संघनन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है <math>S^p\times S^q</math>, में अशक्त बिंदुओं के एक सबमेनफोल्ड के रूप में माना जाता है <math>\mathbb{R}^{p+1, q+1}</math> समावेशन द्वारा <math>(\mathbf{x}, \mathbf{t})\mapsto X = (\mathbf{x}, \mathbf{t})</math> (कहाँ <math>X</math> एकल स्पेसटाइम वेक्टर के रूप में माना जाता है)। संरूप कॉम्पैक्टिफिकेशन तब है <math>S^p\times S^q</math> पहचान किए गए 'एंटीपोडल पॉइंट्स' के साथ। यह समष्टि को प्रोजेक्टिवाइज़ करने से होता है <math>\mathbb{R}^{p+1,q+1}</math>. अगर <math>N^{p,q}</math> संरूप संघनन है, तो <math>\text{Conf}(p,q) := \text{Conf}(N^{p,q})</math>. विशेष रूप से, इस समूह में इनवर्सिव ज्योमेट्री#सर्कल इनवर्जन शामिल है <math>\mathbb{R}^{p,q}</math>, जो कि नक्शा नहीं है <math>\mathbb{R}^{p,q}</math> खुद के लिए क्योंकि यह उत्पत्ति को अनंत तक मैप करता है, और अनंत को उत्पत्ति के लिए मैप करता है।
+छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए, परिभाषा थोड़ी अलग है।<ref>{{cite book |first=Martin|last=Schottenloher|year=2008 |title=अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का एक गणितीय परिचय|publisher=Springer Science & Business Media|page=23 |isbn=978-3540686255|url=https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/02_978-3-540-68625-5_Ch02_23-08-08.pdf }}</ref><math>\text{Conf}(p,q)</math>, संबंधी मानक संकुचन से उत्पन्न मेनिफोल्ड का संरूपी समूह है, जो छद्म-यूक्लिडीय समष्टि <math>\mathbf{E}^{p, q}</math> जिसे कभी-कभी <math>\mathbb{R}^{p,q}</math> के साथ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के चयन के उपरांत पहचाना जाता है; से उत्पन्न होता है। इस संरूप संघनन का उपयोग करके <math>S^p\times S^q</math>, में अशक्त बिंदुओं के एक सबमेनफोल्ड <math>(\mathbf{x}, \mathbf{t})\mapsto X = (\mathbf{x}, \mathbf{t})</math> को परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस समूह में व्युत्क्रम ज्यामिति सम्मिलित है क्योंकि यह उत्पत्ति को अनंत तक आरेखित करता है, और अनंत को उत्पत्ति के लिए आरेखित करता है।
 == कॉन्फ (पी, क्यू) ==
-छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए <math>\mathbb{R}^{p,q}</math>, संरूप समूह का लाई बीजगणित आधार द्वारा दिया गया है <math>\{M_{\mu\nu}, P_\mu, K_\mu, D\}</math> निम्नलिखित रूपांतरण संबंधों के साथ:<ref name="cft">{{cite book |last1=Di Francesco |first1=Philippe |last2=Mathieu |first2=Pierre |last3=Sénéchal |first3=David |title=अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत|date=1997 |publisher=Springer |location=New York |isbn=9780387947853}}</ref>
+छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए <math>\mathbb{R}^{p,q}</math>, संरूप समूह का लाई बीजगणित आधार <math>\{M_{\mu\nu}, P_\mu, K_\mu, D\}</math> निम्नलिखित रूपांतरण संबंधों द्वारा दिया गया है:<ref name="cft">{{cite book |last1=Di Francesco |first1=Philippe |last2=Mathieu |first2=Pierre |last3=Sénéchal |first3=David |title=अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत|date=1997 |publisher=Springer |location=New York |isbn=9780387947853}}</ref>
 <math display = block>\begin{align} &[D,K_\mu]= -iK_\mu \,, \\
 &[D,P_\mu]= iP_\mu \,, \\
@@ Line 35: / Line 35: @@
 और अन्य सभी कोष्ठक लुप्त हो रहे हैं। यहाँ <math>\eta_{\mu\nu}</math> [[मिन्कोव्स्की मीट्रिक]] है।
-वास्तव में, यह झूठ बीजगणित लोरेंत्ज़ समूह के झूठ बीजगणित के लिए एक और स्थान और एक और समय आयाम के साथ समरूप है, जो है, <math>\mathfrak{conf}(p,q) \cong \mathfrak{so}(p+1, q+1)</math>. यह आसानी से जांचा जा सकता है कि आयाम सहमत हैं। एक स्पष्ट समरूपता प्रदर्शित करने के लिए, परिभाषित करें
+वास्तव में, यह छद्म बीजगणित लोरेंत्ज़ समूह के ली बीजगणित के लिए एक और स्थान और एक और समय आयाम के साथ समरूपी है, जो <math>\mathfrak{conf}(p,q) \cong \mathfrak{so}(p+1, q+1)</math> है, यह सरलता से जांचा जा सकता है कि आयाम सहमत हैं या नहीं। एक स्पष्ट समरूपता प्रदर्शित करने के लिए इसे निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया गया है।
 <math display = block>
 \begin{align} &J_{\mu\nu} = M_{\mu\nu} \,, \\
@@ Line 42: / Line 42: @@
 &J_{-1, 0} = D.
 \end{align}</math>
-तब यह दिखाया जा सकता है कि जनरेटर <math>J_{ab}</math> साथ <math>a, b = -1, 0, \cdots, n = p+q</math> लोरेंत्ज़ समूह का पालन करें#मीट्रिक के साथ बीजगणित संबंध <math>\tilde \eta_{ab} = \operatorname{diag}(-1, +1, -1, \cdots, -1, +1, \cdots, +1)</math>.
+तब यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि जनित्र <math>J_{ab}</math> के साथ <math>a, b = -1, 0, \cdots, n = p+q</math> लोरेंत्ज़ समूह का पालन बीजगणित संबंध <math>\tilde \eta_{ab} = \operatorname{diag}(-1, +1, -1, \cdots, -1, +1, \cdots, +1)</math> के रूप में करता है।
-== दो स्पेसटाइम आयामों में संरूप समूह ==
+== दो काल-स्थान आयामों में संरूप समूह ==
-द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि या एक-प्लस-एक आयामी समष्टि-समय के लिए, संरूप समरूपता का स्थान बहुत बड़ा है। भौतिकी में यह कभी-कभी कहा जाता है कि संरूप समूह अनंत-आयामी है, लेकिन यह बिल्कुल सही नहीं है, जबकि स्थानीय समरूपता का झूठ बीजगणित अनंत आयामी है, ये आवश्यक रूप से अच्छी तरह से परिभाषित वैश्विक समरूपता के झूठ समूह तक विस्तारित नहीं होते हैं।
+द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि या एक-युग्म-एक आयामी समष्टि-समय के लिए, संरूप समरूपता का स्थान अत्यधिक दीर्घ है। भौतिकी में यह कभी-कभी कहा जाता है कि संरूप समूह अनंत-आयामी है, परंतु यह बिल्कुल सत्य नहीं है, जबकि स्थानीय समरूपता का ली बीजगणित अनंत आयामी है, ये आवश्यक रूप से परिभाषित वैश्विक समरूपता के ली समूह तक विस्तारित नहीं होते हैं।
-स्पेसटाइम आयाम के लिए <math>n > 2</math>, स्थानीय संरूप समरूपता सभी वैश्विक समरूपता तक फैली हुई है। के लिए <math>n = 2</math> यूक्लिडियन स्थान, एक जटिल समन्वय में बदलने के बाद <math>z = x + iy</math> स्थानीय संरूप समरूपता को प्रपत्र के वेक्टर क्षेत्रों के अनंत आयामी स्थान द्वारा वर्णित किया गया है
+काल-समय आयाम के लिए <math>n > 2</math>, स्थानीय संरूप समरूपता सभी वैश्विक समरूपता तक प्रसारित है। <math>n = 2</math> के लिए यूक्लिडियन स्थान, एक जटिल समन्वय में परिवर्तन के उपरांत <math>z = x + iy</math> स्थानीय संरूप समरूपता को प्रपत्र के सदिस क्षेत्रों के अनंत आयामी स्थान द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
 <math display = block>l_n = -z^{n+1}\partial_z.</math>
-इसलिए 2d यूक्लिडियन समष्टि की स्थानीय संरूप समरूपता अनंत-आयामी [[विट बीजगणित]] है।
+इसलिए द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि की स्थानीय संरूप समरूपता अनंत-आयामी [[विट बीजगणित]] के समान है।
-== स्पेसटाइम का संरूप समूह<!--'Conformal group of space-time' and 'Conformal group of spacetime' redirect here--> ==
+== काल-समय का संरूप समूह ==
-में, [[लिवरपूल विश्वविद्यालय]] के दो युवा शोधकर्ताओं, [[हैरी बेटमैन]] और [[एबेनेज़र कनिंघम]] ने स्पेसटाइम के एक संरूप समूह के विचार को सामने रखा।<!--boldface per WP:R#PLA--><ref>{{Cite journal|author=Bateman, Harry|author-link=Harry Bateman|year=1908|title=ज्यामितीय प्रकाशिकी के लिए चार आयामों और उनके अनुप्रयोगों के स्थान के अनुरूप परिवर्तन|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=7|pages=70–89|doi=10.1112/plms/s2-7.1.70 |title-link=s:en:The Conformal Transformations of a Space of Four Dimensions and their Applications to Geometrical Optics}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Bateman, Harry|year=1910|title=विद्युतगतिकी समीकरणों का परिवर्तन|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=8|pages=223–264|doi=10.1112/plms/s2-8.1.223|title-link=s:en:The Transformation of the Electrodynamical Equations}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Cunningham, Ebenezer|author-link=Ebenezer Cunningham|year=1910|title=इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सापेक्षता का सिद्धांत और उसका विस्तार|journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=8|pages=77–98|doi=10.1112/plms/s2-8.1.77|title-link=s:en:इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सापेक्षता का सिद्धांत और उसका विस्तार}}</ref> उन्होंने तर्क दिया कि [[गतिकी]] समूह अनिवार्य रूप से संरूप हैं क्योंकि वे स्पेसटाइम के द्विघात रूप को संरक्षित करते हैं और [[ऑर्थोगोनल परिवर्तन]]ों के समान हैं, हालांकि एक [[आइसोट्रोपिक द्विघात रूप]] के संबंध में। एक [[विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्र की स्वतंत्रता कीनेमेटिक गतियों तक ही सीमित नहीं है, बल्कि द्विघात रूप को संरक्षित करने वाले परिवर्तन के लिए स्थानीय रूप से आनुपातिक होने की आवश्यकता है। 1910 में हैरी बेटमैन के पेपर ने एक परिवर्तन के [[ जैकबियन मैट्रिक्स ]] का अध्ययन किया जो [[प्रकाश शंकु]] को संरक्षित करता है और यह दर्शाता है कि इसमें संरूप संपत्ति (एक फार्म प्रेज़रवर के समानुपाती) थी।<ref>{{cite book |author=Warwick, Andrew |title=Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics |url=https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw |url-access=registration |publisher=[[University of Chicago Press]] |location=Chicago |year=2003 |pages=[https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw/page/416 416–24] |isbn=0-226-87375-7 }}</ref> बेटमैन और कनिंघम ने दिखाया कि यह संरूप समूह मैक्सवेल के समीकरणों को संरचनात्मक रूप से अपरिवर्तनीय छोड़ने वाले परिवर्तनों का सबसे बड़ा समूह है।<ref>Robert Gilmore (1994) [1974] ''Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications'', page 349, Robert E. Krieger Publishing {{ISBN|0-89464-759-8}} {{mr|id=1275599}}</ref> स्पेसटाइम के संरूप समूह को निरूपित किया गया है {{math|C(1,3)}}<ref>Boris Kosyakov (2007) [https://books.google.com/books?id=ttuO8-_D_oUC&pg=PA216 Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields], page 216, [[Springer books]] via [[Google Books]]</ref>
+में, [[लिवरपूल विश्वविद्यालय]] के दो युवा शोधकर्ताओं, [[हैरी बेटमैन]] और [[एबेनेज़र कनिंघम]] ने काल-समय के एक संरूप समूह के विचार को सामने रखा।<ref>{{Cite journal|author=Bateman, Harry|author-link=Harry Bateman|year=1908|title=ज्यामितीय प्रकाशिकी के लिए चार आयामों और उनके अनुप्रयोगों के स्थान के अनुरूप परिवर्तन|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=7|pages=70–89|doi=10.1112/plms/s2-7.1.70 |title-link=s:en:The Conformal Transformations of a Space of Four Dimensions and their Applications to Geometrical Optics}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Bateman, Harry|year=1910|title=विद्युतगतिकी समीकरणों का परिवर्तन|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=8|pages=223–264|doi=10.1112/plms/s2-8.1.223|title-link=s:en:The Transformation of the Electrodynamical Equations}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Cunningham, Ebenezer|author-link=Ebenezer Cunningham|year=1910|title=इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सापेक्षता का सिद्धांत और उसका विस्तार|journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=8|pages=77–98|doi=10.1112/plms/s2-8.1.77|title-link=s:en:इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सापेक्षता का सिद्धांत और उसका विस्तार}}</ref> उन्होंने तर्क दिया कि [[गतिकी]] समूह अनिवार्य रूप से संरूप हैं क्योंकि वे काल-समय के द्विघात रूप को संरक्षित करते हैं और [[ऑर्थोगोनल परिवर्तन|ऑर्थोगोनल परिवर्त]]नों के समान हैं, यद्यपि एक [[आइसोट्रोपिक द्विघात रूप|समदैशिक द्विघात रूप]] के संबंध में एक [[विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्र की स्वतंत्रता  शुद्धगतिक गतियों तक ही सीमित नहीं है, बल्कि द्विघात रूप को संरक्षित करने वाले परिवर्तन के लिए स्थानीय रूप से आनुपातिक है। 1910 में हैरी बेटमैन के लेख ने एक परिवर्तन के [[ जैकबियन मैट्रिक्स |जैकबियन आव्यूह]] का अध्ययन किया जो [[प्रकाश शंकु]] को संरक्षित करता है और यह दर्शाता है कि इसमें संरूप गुण किसी रूप संरक्षक के समानुपाती थी।<ref>{{cite book |author=Warwick, Andrew |title=Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics |url=https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw |url-access=registration |publisher=[[University of Chicago Press]] |location=Chicago |year=2003 |pages=[https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw/page/416 416–24] |isbn=0-226-87375-7 }}</ref> बेटमैन और कनिंघम ने यह प्रदर्शित किया कि यह संरूप समूह मैक्सवेल के समीकरणों को संरचनात्मक रूप से अपरिवर्तनीय छोड़ने वाले परिवर्तनों का सबसे बड़ा समूह है।<ref>Robert Gilmore (1994) [1974] ''Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications'', page 349, Robert E. Krieger Publishing {{ISBN|0-89464-759-8}} {{mr|id=1275599}}</ref> काल-समय के संरूप समूह को {{math|C(1,3)}} के द्वारा निरूपित किया गया है <ref>Boris Kosyakov (2007) [https://books.google.com/books?id=ttuO8-_D_oUC&pg=PA216 Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields], page 216, [[Springer books]] via [[Google Books]]</ref>
-[[इसहाक याग्लोम]] ने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर|स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स और ड्यूल नंबर्स में स्पेसटाइम कन्फर्मल ट्रांसफॉर्मेशन के गणित में योगदान दिया है।<ref>[[Isaak Yaglom]] (1979) ''A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis'', Springer, {{ISBN|0387-90332-1}}, {{MathSciNet|id=520230}}</ref> चूंकि विभाजित-जटिल संख्याएं और दोहरी संख्याएं [[अंगूठी (गणित)]] बनाती हैं, फ़ील्ड (गणित) नहीं, रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों को विशेषण मानचित्रण होने के लिए अंगूठी पर एक प्रक्षेपी रेखा की आवश्यकता होती है।
-में [[ लुडविग सिल्बरस्टीन ]] के काम के बाद से यह पारंपरिक रहा है कि लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए [[biquaternion]] की अंगूठी का उपयोग किया जाए। स्पेसटाइम संरूप समूह के लिए, उस अंगूठी [[रिंग के ऊपर प्रोजेक्टिव लाइन]] भिन्नात्मक परिवर्तनों पर विचार करना पर्याप्त है। स्पेसटाइम संरूप समूह के तत्वों को बेटमैन द्वारा [[गोलाकार तरंग परिवर्तन]] कहा जाता था। स्पेसटाइम द्विघात रूप अध्ययन के विवरणों को [[झूठ क्षेत्र ज्यामिति]] में समाहित कर लिया गया है।
+[[इसहाक याग्लोम]] ने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्या और द्विरूपी संख्या में काल-समय संरूपी परिवर्तन गणित में योगदान दिया है।<ref>[[Isaak Yaglom]] (1979) ''A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis'', Springer, {{ISBN|0387-90332-1}}, {{MathSciNet|id=520230}}</ref> चूंकि विभाजित-जटिल संख्याएं और दोहरी संख्याएं [[अंगूठी (गणित)|वृत्त]] का निर्माण करती हैं, रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों को विशेषण मानचित्र के रूप में प्रदर्शित होने के लिए वृत्त पर एक प्रक्षेपी रेखा की आवश्यकता होती है।
+में [[ लुडविग सिल्बरस्टीन | लुडविग सिल्बरस्टीन]] के कार्य के बाद से यह पारंपरिक रहा है कि लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए [[biquaternion|द्विसंख्याक]] वृत्त  का उपयोग किया जाए। काल-समय संरूप समूह के लिए, उस वृत्त [[रिंग के ऊपर प्रोजेक्टिव लाइन|के ऊपर प्रक्षेपी रेखा]] भिन्नात्मक परिवर्तनों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। काल-समय संरूप समूह के तत्वों को बेटमैन द्वारा [[गोलाकार तरंग परिवर्तन]] कहा जाता था। काल-समय द्विघात रूप अध्ययन के विवरणों को [[झूठ क्षेत्र ज्यामिति|ली क्षेत्र ज्यामिति]] में समाहित कर लिया गया है।
+भौतिक विज्ञान में दिखाई गई निरंतर रुचि पर टिप्पणी करते हुए, ए.ओ. बरुत ने 1985 में लिखा, संरूप समूह में रुचि के प्रमुख कारणों में से एक यह है कि यह संभवतः पोंकारे समूह वाले दीर्घ समूहों में सबसे महत्वपूर्ण है।<ref>[[A. O. Barut]] & H.-D. Doebner (1985) ''Conformal groups and Related Symmetries: Physical Results and Mathematical Background'', [[Lecture Notes in Physics]] #261 [[Springer books]], see preface for quotation</ref>
-भौतिक विज्ञान में दिखाई गई निरंतर रुचि पर टिप्पणी करते हुए, ए.ओ. बरुत ने 1985 में लिखा, संरूप समूह में रुचि के प्रमुख कारणों में से एक यह है कि यह संभवतः पोंकारे समूह वाले बड़े समूहों में सबसे महत्वपूर्ण है।<ref>[[A. O. Barut]] & H.-D. Doebner (1985) ''Conformal groups and Related Symmetries: Physical Results and Mathematical Background'', [[Lecture Notes in Physics]] #261 [[Springer books]], see preface for quotation</ref>
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 * Martin Schottenloher, The conformal group, chapter 2 of A mathematical introduction to conformal field theory, 2008 ([http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/02_978-3-540-68625-5_Ch02_23-08-08.pdf pdf])
 * [https://ncatlab.org/nlab/show/conformal+group|nLab page on conformal groups]
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