अनुरूप समतल गुण

ऊपरी कई गुना सपाट है। निचला वाला नहीं है, लेकिन यह पहले वाले के अनुरूप है

A ([[स्यूडो-रीमैनियन कई गुना ]]-) रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से समतल है यदि प्रत्येक बिंदु में पड़ोस है जिसे अनुरूप परिवर्तन द्वारा फ्लैट मैनिफोल्ड में मैप किया जा सकता है।

व्यवहार में, मीट्रिक टेंसर $g$ कई गुना $M$ फ्लैट मीट्रिक के अनुरूप होना चाहिए $\eta$, यानी, जियोडेसिक सभी बिंदुओं में बनाए रखता है $M$ कोणों को एक से दूसरे में जाने के साथ-साथ अशक्त भू-भौतिकी को अपरिवर्तित रखते हुए, इसका मतलब है कि एक समारोह मौजूद है $\lambda (x)$ ऐसा है कि $g(x)=\lambda ^{2}(x)\,\eta$, कहाँ $\lambda (x)$ Conformal_geometry#Conformal_manifolds और के रूप में जाना जाता है $x$ कई गुना पर एक बिंदु है।

अधिक औपचारिक रूप से, चलो $(M,g)$ एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड बनें। तब $(M,g)$ यदि प्रत्येक बिंदु के लिए अनुरूप रूप से सपाट है $x$ में $M$, एक पड़ोस मौजूद है $U$ का $x$ और एक चिकना कार्य $f$ पर परिभाषित $U$ ऐसा है कि $(U,e^{2f}g)$ फ्लैट मैनिफोल्ड है (यानी रीमैन वक्रता टेन्सर ऑफ $e^{2f}g$ पर गायब हो जाता है $U$). कार्यक्रम $f$ सभी पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है $M$.

कुछ लेखकों ने केवल कुछ बिंदुओं को संदर्भित करते हुए स्थानीय रूप से फ्लैट की परिभाषा का उपयोग किया है $x$ पर $M$ और जिस मामले में संबंध सभी के लिए मान्य है, उसके लिए कंफर्मली फ्लैट की परिभाषा सुरक्षित रखें $x$ पर $M$.

उदाहरण

• निरंतर वक्रता अनुभागीय वक्रता के साथ हर कई गुना समान रूप से सपाट है।
• प्रत्येक 2-आयामी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से सपाट है।** दो आयामी गोलाकार निर्देशांक का रेखा तत्व, जैसे कि भौगोलिक समन्वय प्रणाली में उपयोग किया जाता है,

  $ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,$, मीट्रिक टेंसर है $g_{ik}={\begin{bmatrix}1&0\\0&sin^{2}\theta \end{bmatrix}}$ और समतल नहीं है, लेकिन त्रिविम प्रक्षेपण के साथ अनुरूप कारक का उपयोग करके समतल स्थान पर मैप किया जा सकता है $2 \over (1+r^{2})$, कहाँ $r$ समतल स्थान की उत्पत्ति से दूरी है, प्राप्त

  $ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,={\frac {4}{(1+r^{2})^{2}}}(dx^{2}+dy^{2})$.

• एक 3-आयामी छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड अनुरूप रूप से सपाट है अगर और केवल अगर कपास टेंसर गायब हो जाता है।
• एन ≥ 4 के लिए एक एन-डायमेंशनल स्यूडो-रिमैनियन मैनिफोल्ड कंफर्मली फ्लैट है अगर और केवल अगर वेइल टेंसर गायब हो जाता है।
• हर कॉम्पैक्ट जगह , बस जुड़ा हुआ है, अनुरूप रूप से यूक्लिडियन रीमैनियन मैनिफोल्ड एएन-क्षेत्र के अनुरूप है।

• स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन उस क्षेत्र के लिए एक समन्वय प्रणाली प्रदान करता है जिसमें अनुरूप सपाटता स्पष्ट होती है, क्योंकि मीट्रिक फ्लैट के समानुपाती होता है।

• सामान्य सापेक्षता में अनुरूप रूप से फ्लैट मैनिफोल्ड का अक्सर उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए फ्रीडमैन-लेमेट्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक का वर्णन करने के लिए। हालांकि यह भी दिखाया गया था कि केर स्पेसटाइम के अनुरूप फ्लैट स्लाइस नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, क्रुस्कल-सजेकेरेस निर्देशांक | क्रुस्कल-शेकेरेस निर्देशांक में रेखा तत्व होता है

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv\,du$ मीट्रिक टेंसर के साथ $g_{ik}={\begin{bmatrix}0&1-{\frac {2GM}{r}}\\1-{\frac {2GM}{r}}&0\end{bmatrix}}$ और इसलिए समतल नहीं है। लेकिन परिवर्तनों के साथ $t=(v+u)/2$ और $x=(v-u)/2$ : बन जाता है

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)(dt^{2}-dx^{2})$ मीट्रिक टेंसर के साथ $g_{ik}={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{r}}&0\\0&-1+{\frac {2GM}{r}}\end{bmatrix}}$,

जो समतल मीट्रिक गुणा अनुरूप कारक है $1-{\frac {2GM}{r}}$.

यह भी देखें

• वेइल-शौटेन प्रमेय
• अनुरूप ज्यामिति
• यामाबे समस्या