रीमैन वक्रता टेन्सर

अंतर ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, रीमैन कर्वेचर टेन्सर या रीमैन क्रिस्टोफेल टेंसर (बर्नहार्ड रीमैन और एल्विन ब्रूनो क्रिस्टोफर के पश्चात) रीमैनियन कई गुना वक्रता को व्यक्त करने की सबसे सरल विधि हैं। यह रिमेंनियन मैनिफोल्ड (अर्थात यह टेंसर क्षेत्र है) के प्रत्येक बिंदु को टेंसर प्रदान करता है। यह रिमेंनियन मेट्रिक्स का स्थानीय अपरिवर्तनीय होता है जो पथ करने के लिए दूसरे सहसंयोजक व्युत्पन्न की विफलता को मापता है। रिमेंनियन मैनिफोल्ड में शून्य वक्रता होती है यदि और केवल यदि यह सपाट है, अर्थात यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए स्थानीय रूप से आइसोमेट्री को प्रदर्शित करता हैं। इस प्रकार वक्रता टेंसर को किसी भी स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, या वास्तव में किसी भी मैनिफोल्ड को एफाइन यु्ग्मन से लैस किया जाता हैं।

यह सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत, गुरुत्वाकर्षण के आधुनिक सिद्धांत में केंद्रीय गणितीय उपकरण है, और अंतरिक्ष समय की वक्रता सैद्धांतिक रूप से जियोडेसिक विचलन समीकरण के माध्यम से देखी जा सकती है। इस प्रकार वक्रता टेन्सर जैकोबी क्षेत्र द्वारा सटीक रूप से बनाए गए अर्थ में जियोडेसिक के साथ चलने वाले कठोर शरीर द्वारा अनुभव किए गए ज्वारीय बल का प्रतिनिधित्व करता है।

परिभाषा

यहाँ पर (m, g) रिमेंनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड होता हैं, और ${\mathfrak {X}}(M)$ m पर सभी वेक्टर क्षेत्र के स्थान को प्रदर्शित करता हैं। यहाँ पर रीमैन वक्रता टेन्सर को मानचित्र के रूप में परिभाषित करते हैं $R\colon {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा जहाँ $\nabla$ एफ़िन कनेक्शन है:

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$

या समकक्ष

$R(X,Y)=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}$

जहां [X, Y] सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है और $[\nabla _{X},\nabla _{Y}]$ अंतर ऑपरेटरों का कम्यूटेटर है। स्पर्शरेखा सदिशों की प्रत्येक जोड़ी के लिए U, V, R(U, V) कई गुना स्पर्शरेखा स्थान का रैखिक परिवर्तन करता हैं। यह U और V में रैखिक है, और इसलिए टेंसर को परिभाषित करता है। कभी-कभी वक्रता टेंसर को विपरीत चिन्ह के साथ परिभाषित करता हैं।

यदि $X=\partial /\partial x^{i}$ और $Y=\partial /\partial x^{j}$ वेक्टर क्षेत्रों का समन्वय कर रहे हैं और इसलिए सूत्र $[X,Y]=0$ को सरल करता है।

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z.$

वक्रता टेंसर सहसंयोजक व्युत्पन्न की गैर-अनुक्रमिकता को मापता है, और इस तरह यूक्लिडियन अंतरिक्ष के साथ आइसोमेट्री के अस्तित्व के लिए अभिन्नता की स्थिति है (इस संदर्भ में, फ्लैट स्पेस कहा जाता है)। रैखिक परिवर्तन $w\mapsto R(u,v)w$ वक्रता परिवर्तन या एंडोमोर्फिज्म भी कहा जाता है।

वक्रता सूत्र को दूसरे सहसंयोजक व्युत्पन्न के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:

$\nabla _{u,v}^{2}w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{\nabla _{u}v}w$

जो U और V में रैखिक है। फिर:

$R(u,v)=\nabla _{u,v}^{2}-\nabla _{v,u}^{2}$

इस प्रकार गैर-समन्वित वैक्टर U और V के सामान्य स्थितियों में, वक्रता टेंसर दूसरे सहसंयोजक व्युत्पन्न की गैर-अनुक्रमणीयता को मापता है।

ज्यामितीय अर्थ

एक गोलाकार परवलयाकार मैनिफोल्ड में रीमैन कर्वेचर टेंसर का ज्यामितीय अर्थ दिखाने वाला चित्र। तथ्य यह है कि यह स्थानांतरण प्रारंभिक बिंदु पर दो अलग-अलग तीरों को परिभाषित कर सकता है, रीमैन वक्रता टेंसर को जन्म देता है। ऑर्थोगोनल प्रतीक इंगित करता है कि प्रेषित तीरों (या वक्र पर स्पर्शरेखा तीरों) के बीच डॉट उत्पाद (मीट्रिक टेन्सर द्वारा प्रदान किया गया) शून्य है। अंतरिक्ष समतल होने पर दो तीरों के बीच का कोण शून्य होता है और जब स्थान परवलयाकार होता है तो शून्य से अधिक होता है। अंतरिक्ष जितना अधिक परवलयाकार होगा, कोण उतना ही बड़ा होगा।

अनौपचारिक रूप से

एक टेनिस कोर्ट और पृथ्वी की तुलना करके परवलयाकार स्थान के प्रभाव को देख सकते हैं। टेनिस कोर्ट के निचले दाएं कोने से प्रारंभ करें, रैकेट को उत्तर की ओर फैलाकर रखता हैं। फिर कोर्ट की रूपरेखा के चारों ओर घूमते हुए, प्रत्येक चरण पर सुनिश्चित करें कि टेनिस रैकेट उसी ओरिएंटेशन में बनाए रखा जाता है, इसके पिछले पदों के समानांतर रहता हैं। इस लूप के पूरा हो जाने के बाद टेनिस रैकेट अपनी आरंभिक स्थिति के समानांतर हो जाता हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि टेनिस कोर्ट बने होते हैं इसलिए सतह समतल रहती है। इस प्रकार दूसरी ओर पृथ्वी की सतह परवलयाकार होती है: हम पृथ्वी की सतह पर लूप पूरा कर सकते हैं। भूमध्य रेखा से प्रारंभ होकर पृथ्वी की सतह के साथ टेनिस रैकेट उत्तर की ओर इंगित करता हैं। इस संदर्भ में क्षितिज के स्थानीय तल का उपयोग करते हुए यह टेनिस रैकेट से सदैव अपनी पिछली स्थिति के समानांतर रहना चाहिए। इसके लिए पहले उत्तरी ध्रुव पर चलते हैं, इस प्रकार फिर 90 डिग्री मुड़कर भूमध्य रेखा की ओर चलते हैं, और अंत में 90 डिग्री मुड़कर प्रारंभ में वापस कर दिए जाते हैं। चूंकि अब टेनिस रैकेट पीछे की ओर (पूर्व की ओर) इंगित करता हैं। यह प्रक्रिया पथ के साथ वेक्टर के समानांतर पथ के समान रहती है और अंतर यह पहचानता है कि कैसे सीधी दिखाई देने वाली रेखाएं केवल स्थानीय रूप से सीधी होती हैं। इस प्रकार हर बार लूप पूरा होने पर टेनिस रैकेट अपनी प्रारंभिक स्थिति से दूरी और सतह की वक्रता के आधार पर आगे की ओर विक्षेपित हो जाती हैं। इस प्रकार परवलयाकार सतह के साथ पथों की पहचान करना संभव है जहां समांतर पथ कार्य करता है जैसा कि यह समतल स्थान पर करता है। ये अंतरिक्ष के जियोडेसिक हैं, उदाहरण के लिए किसी गोले के बड़े वृत्त का कोई खंड स्थापित नहीं रहता हैं।

इस प्रकार गणित में परवलयाकार स्थान की अवधारणा संवादात्मक उपयोग से भिन्न है। उदाहरण के लिए, यदि उपरोक्त प्रक्रिया को सिलेंडर पर पूरा किया गया था, तो यह पाया जाएगा कि यह समग्र रूप से परवलयाकार नहीं है क्योंकि सिलेंडर के चारों ओर की वक्रता सिलेंडर के साथ समतलता के साथ निरस्त हो जाती है, यह गॉसियन वक्रता और गॉस के प्रमेय एग्रेगियम का परिणाम है। इसका परिचित उदाहरण फ़्लॉपी पिज़्ज़ा स्लाइस है जो अपनी चौड़ाई के साथ परवलयाकार होने पर अपनी लंबाई के साथ कठोर रहती हैं।

रीमैन कर्वेचर टेंसर आंतरिक वक्रता के माप को कैप्चर करने की विधि है। जब आप इसे इसके घटकों के संदर्भ में लिखते हैं (जैसे सदिश के घटकों को लिखना), तो इसमें आंशिक डेरिवेटिव के योगों और उत्पादों की बहु-आयामी सरणी होती है (उनमें से कुछ आंशिक डेरिवेटिव को कैप्चरिंग के समान माना जा सकता है। परवलयाकार सतह पर सीधी रेखाओं में चलने वाले व्यक्ति पर लगाई गई वक्रता पर निर्भर करता हैं)।

औपचारिक रूप से

जब यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वेक्टर पाश के चारों ओर समानांतर ले जाया जाता है, तो यह अपनी मूल स्थिति में लौटने के पश्चात फिर से प्रारंभिक दिशा में इंगित होती हैं। चूंकि यह मान सामान्य स्थितियों में नहीं होती है। रीमैन कर्वेचर टेन्सर सीधे सामान्य रीमैनियन मैनिफोल्ड में इसकी विफलता को मापता है। इस विफलता को कई गुना गैर-पवित्रता के रूप में जाना जाता है।

यहाँ पर $x_{t}$ रीमैनियन कई गुना में वक्र $M$ बनाता हैं जिसके द्वारा $\tau _{x_{t}}:T_{x_{0}}M\to T_{x_{t}}M$ को निरूपित करते हैं जिसके साथ में समानांतर पथ मानचित्र $x_{t}$ पर निर्भर करता हैं। समांतर पथ मानचित्र सहसंयोजक व्युत्पन्न से संबंधित किया जाता हैं।

$\nabla _{{\dot {x}}_{0}}Y=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(Y_{x_{0}}-\tau _{x_{h}}^{-1}\left(Y_{x_{h}}\right)\right)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(\tau _{x_{t}}Y\right)\right|_{t=0}$

प्रत्येक वेक्टर क्षेत्र के लिए $Y$ वक्र के साथ परिभाषित करते हैं।

इस प्रकार लगता है कि $X$ और $Y$ सदिश क्षेत्रों की जोड़ी है। इन क्षेत्रों में से प्रत्येक के पड़ोस में डिफियोमोर्फिज्म के पैरामीटर समूह उत्पन्न करता है। इसे $x_{0}$ द्वारा निरूपित करते हैं जहाँ $\tau _{tX}$ और $\tau _{tY}$, क्रमशः, $X$ और $Y$ समय के लिए $t$ के प्रवाह के साथ समानांतर पथ प्रदर्शित करता हैं। इस वेक्टर के समानांतर पथ $Z\in T_{x_{0}}M$ पक्षों के साथ चतुर्भुज के चारों ओर $tY$, $sX$, $-tY$, $-sX$ द्वारा दिया गया है।

$\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z.$

इस प्रकार वापसी के लिए समानांतर पथ की विफलता $Z$ को मापती है, जहाँ स्पर्शरेखा स्थान में अपनी मूल स्थिति में $T_{x_{0}}M$ को प्रदर्शित करता हैं जिसमें पाश $s,t\to 0$ के सिकोड़ना तथा इस विचलन का अतिसूक्ष्म विवरण देता है:

$\left.{\frac {d}{ds}}{\frac {d}{dt}}\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z\right|_{s=t=0}=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)Z=R(X,Y)Z$

जहाँ $R$ रीमैन वक्रता टेन्सर है।

समन्वय अभिव्यक्ति

टेंसर इंडेक्स नोटेशन में परिवर्तित होने पर, रीमैन वक्रता टेन्सर द्वारा दिया जाता है

$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }\left(R\left(\partial _{\mu },\partial _{\nu }\right)\partial _{\sigma }\right)$

जहाँ $\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ समन्वय वेक्टर क्षेत्र हैं। उपरोक्त अभिव्यक्ति क्रिस्टोफेल प्रतीकों का उपयोग करके लिखी जा सकती है:

$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }$

(रिमानियन ज्यामिति में सूत्रों की सूची भी देखें)।

रीमैन वक्रता टेन्सर भी कोवेक्टर $A_{\nu }$ के सहसंयोजक व्युत्पन्न का कम्यूटेटर है:

$A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma },$

कनेक्शन के बाद से (गणित) $\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \mu }$ वलय रहित है, जिसका अर्थ है कि वलय टेंसर $\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }-\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \mu }$ विलुप्त हो जाता है।

इस सूत्र को अधिकांशतःरिक्की पहचान कहा जाता है। यह रीमैन वक्रता टेन्सर के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो और टुल्लियो लेवी-सिविता या लेवी-सिविता द्वारा उपयोग की जाने वाली मौलिक विधि है। इस प्रकार, मात्राओं के समुच्चय का टेन्सर वर्ण $R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }$ सिद्ध होता है।

इस पहचान को मनमाना टेंसरों के दो सहसंयोजक डेरिवेटिव के लिए कम्यूटेटर प्राप्त करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है

${\begin{aligned}&\nabla _{\delta }\nabla _{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\nabla _{\gamma }\nabla _{\delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\[3pt]={}&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\ldots +R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\ldots -R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\end{aligned}}$

यह सूत्र बिना परिवर्तन के टेन्सर घनत्व पर भी लागू होता है, क्योंकि लेवी सिटीवा (जेनेरिक नहीं) युग्मन के लिए मिलता है:

$\nabla _{\mu }\left({\sqrt {g}}\right)\equiv \left({\sqrt {g}}\right)_{;\mu }=0,$ जहाँ

$g=\left|\det \left(g_{\mu \nu }\right)\right|.$

कभी-कभी विशुद्ध रूप से सहसंयोजक संस्करण को परिभाषित करना भी सुविधाजनक होता है

$R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }R^{\zeta }{}_{\sigma \mu \nu }.$

समरूपता और पहचान

रीमैन वक्रता टेन्सर में निम्नलिखित समरूपताएँ और सर्वसमिकाएँ हैं:

तिरछा समरूपता	$R(u,v)=-R(v,u)$	$R_{abcd}=-R_{abdc}\Leftrightarrow R_{ab(cd)}=0$
तिरछा समरूपता	$\langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle$	$R_{abcd}=-R_{bacd}\Leftrightarrow R_{(ab)cd}=0$
पहली (बीजगणितीय) बियांची पहचान	$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0$	$R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0\Leftrightarrow R_{a[bcd]}=0$
इंटरचेंज समरूपता	$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle$	$R_{abcd}=R_{cdab}$
दूसरी (अंतर) बियांची पहचान	$\left(\nabla _{u}R\right)(v,w)+\left(\nabla _{v}R\right)(w,u)+\left(\nabla _{w}R\right)(u,v)=0$	$R_{abcd;e}+R_{abde;c}+R_{abec;d}=0\Leftrightarrow R_{ab[cd;e]}=0$

जहां कोष्ठक $\langle ,\rangle$ मीट्रिक टेंसर द्वारा प्रेरित स्पर्शरेखा स्थान पर आंतरिक उत्पाद को संदर्भित करता है और सूचकांकों पर कोष्ठक और कोष्ठक क्रमशः एंटीसिमेट्रिक टेंसर और सममित टेंसर ऑपरेटर्स को दर्शाते हैं। यदि गैर-शून्य वलय वाला टेंसर है, तो बियांची की पहचान में वलय वाला टेंसर सम्मिलित है।

पहली (बीजगणितीय) बियांची पहचान ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो द्वारा खोजी गई थी, लेकिन इसे अधिकांशतःपहली बियांची पहचान या बीजगणितीय बियांची पहचान कहा जाता है, क्योंकि यह अंतर लुइगी बियांची पहचान के समान दिखता है।

पहली तीन सर्वसमिकाएं वक्रता टेन्सर की सममितियों की पूरी सूची बनाती हैं, अर्थात किसी भी टेन्सर को दिया गया है जो उपरोक्त सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करता है, किसी बिंदु पर इस तरह के वक्रता टेन्सर के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड पाया जा सकता है। सरल गणना दर्शाती है कि ऐसा टेंसर है $n^{2}\left(n^{2}-1\right)/12$ स्वतंत्र घटक। इन्हीं से इंटरचेंज समरूपता का अनुसरण होता है। बीजगणितीय समरूपता भी कहने के बराबर है कि R विभाजन 2 + 2 के अनुरूप युवा समरूपता की छवि से संबंधित है।

एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर सहसंयोजक व्युत्पन्न होता है $\nabla _{u}R$ और बियानची पहचान (अधिकांशतःदूसरी बियानची पहचान या अंतर बियानची पहचान कहा जाता है) तालिका में अंतिम पहचान का रूप लेती है।

रिक्की वक्रता

रिक्की वक्रता टेन्सर रीमैन टेन्सर के पहले और तीसरे सूचकांकों का टेन्सर_संकुचन है।

$\underbrace {R_{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv \underbrace {R^{c}{}_{acb}} _{\text{Riemann}}=g^{cd}\underbrace {R_{cadb}} _{\text{Riemann}}$

विशेष स्थिति

सतह

द्वि-आयामी सतह (टोपोलॉजी) के लिए, बियांची पहचान का अर्थ है कि रीमैन टेंसर में केवल स्वतंत्र घटक है, जिसका अर्थ है कि रिक्की अदिश रीमैन टेंसर को पूर्ण रूप से निर्धारित करता है। इस प्रकार रीमैन टेंसर के लिए केवल मान्य अभिव्यक्ति है जो आवश्यक समरूपता में फिट बैठती है:

$R_{abcd}=f(R)\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right)$

और मीट्रिक के साथ दो बार अनुबंध करके हम स्पष्ट रूप पाते हैं:

$R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right),$

जहाँ $g_{ab}$ मीट्रिक टेंसर है और $K=R/2$ गॉसियन वक्रता नामक फ़ंक्शन है और A, B, C और D मान 1 या 2 लेते हैं। रीमैन टेन्सर में केवल कार्यात्मक रूप से स्वतंत्र घटक है। इस प्रकार गॉसियन वक्रता सतह के अनुभागीय वक्रता के साथ मेल खाती है। यह 2-मेनिफोल्ड की स्केलर वक्रता का ठीक आधा है, जबकि सतह का रिक्की वक्रता टेन्सर सरल रूप से दिया गया है

$R_{ab}=Kg_{ab}.$

अंतरिक्ष रूप

एक रीमैनियन मैनिफोल्ड अंतरिक्ष रूप है यदि इसका अनुभागीय वक्रता स्थिर K के बराबर है। अंतरिक्ष रूप का रीमैन टेंसर द्वारा दिया गया है

$R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right).$

इसके विपरीत, आयाम 2 को छोड़कर, यदि किसी रिमेंनियन मैनिफोल्ड की वक्रता में कुछ फ़ंक्शन K के लिए यह रूप है, तो बियांची की पहचान का अर्थ है कि K स्थिर है और इस प्रकार कई गुना (स्थानीय रूप से) अंतरिक्ष रूप है।

यह भी देखें

• सामान्य सापेक्षता के गणित का परिचय
• रिक्की अपघटन
• रीमानियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता
• रिक्की वक्रता

संदर्भ

• Lee, John M. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-3-319-91754-2.
• Besse, A.L. (1987), Einstein Manifolds, Springer, ISBN 0-387-15279-2
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, vol. 1, Interscience
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0