फ्रैक्टल विश्लेषण: Difference between revisions

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[[ भग्न ]] विश्लेषण [[आंकड़े]] की फ्रैक्टल विशेषताओं का आकलन कर रहा है। इसमें डेटासेट के लिए फ्रैक्टल आयाम और अन्य फ्रैक्टल विशेषताओं को असाइन करने के लिए कई विधियाँ सम्मिलित हैं जो सैद्धांतिक डेटासेट हो सकते हैं, या स्थलाकृति, प्राकृतिक ज्यामितीय वस्तुएं, पारिस्थितिकी और जलीय विज्ञान,<ref name=":2">{{Cite book|title=पारिस्थितिकी और जलीय विज्ञान में फ्रैक्टल्स और मल्टीफ़्रैक्टल्स|last=Seuront|first=Laurent|date=2009-10-12|publisher=CRC Press|isbn=9780849327827|doi = 10.1201/9781420004243}}</ref> सहित घटना से निकाले गए पैटर्न या सिग्नल हो सकते हैं।<ref name=":10">{{Cite journal|last1=Gerges|first1=Firas|last2=Geng|first2=Xiaolong|last3=Nassif|first3=Hani|last4=Boufadel|first4=Michel C.|title=Anisotropic Multifractal Scaling of Mount Lebanon Topography: Approximate Conditioning |date=2021|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X21501127|journal=Fractals|language=en|volume=29|issue=5|pages=2150112–2153322|doi=10.1142/S0218348X21501127|bibcode=2021Fract..2950112G |s2cid=234272453 |issn=0218-348X}}</ref> ध्वनि, बाजार में उतार-चढ़ाव,<ref name="time series2">{{cite book|title=Chaos and order in the capital markets: a new view of cycles, prices, and market volatility|last=Peters|first=Edgar|publisher=Wiley|year=1996|isbn=978-0-471-13938-6|location=New York}}</ref><ref name="mul20042">{{cite journal|last=Mulligan|first=R.|year=2004|title=Fractal analysis of highly volatile markets: an application to technology equities|journal=The Quarterly Review of Economics and Finance|volume=44|pages=155–179|doi=10.1016/S1062-9769(03)00028-0}}</ref><ref name="kam20142">{{cite journal|last=Kamenshchikov|first=S.|year=2014|title=Transport Catastrophe Analysis as an Alternative to a Monofractal Description: Theory and Application to Financial Crisis Time Series|journal=Journal of Chaos|volume=2014|pages=1–8|doi=10.1155/2014/346743|doi-access=free}}</ref> ह्रदय दर,<ref name="heart2">{{Cite journal|last1=Tan|first1=Can Ozan|last2=Cohen|first2=Michael A.|last3=Eckberg|first3=Dwain L.|last4=Taylor|first4=J. Andrew|year=2009|title=Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications|journal=The Journal of Physiology|volume=587|issue=15|pages=3929–3941|doi=10.1113/jphysiol.2009.169219|pmc=2746620|pmid=19528254}}</ref> [[इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राफी]] संकेतों में आवृत्ति डोमेन,<ref name="brain12">{{Cite journal|last1=Zappasodi|first1=Filippo|last2=Olejarczyk|first2=Elzbieta|last3=Marzetti|first3=Laura|last4=Assenza|first4=Giovanni|year=2014|title=तीव्र स्ट्रोक में ईईजी गतिविधि के फ्रैक्टल डायमेंशन सेंस न्यूरोनल इम्पेयरमेंट|journal=PLOS ONE|volume=9|issue=6|pages=3929–3941|bibcode=2014PLoSO...9j0199Z|doi=10.1371/journal.pone.0100199|pmc=4072666|pmid=24967904|doi-access=free}}</ref><ref name="brain22">{{Cite book|last1=Hisonothai|first1=M.|title=2008 30th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society|last2=Nakagawa|first2=M.|year=2008|isbn=978-1-4244-1814-5|volume=2008|pages=3880–3|doi=10.1109/IEMBS.2008.4650057|pmid=19163560|chapter=EEG signal classification method based on fractal features and neural network|journal=Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. Annual International Conference|s2cid=22136019}}</ref> डिजिटल चित्र,<ref>Fractal Analysis of Digital Images http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Fractals.htm</ref> आणविक गति, और डेटा [[विज्ञान]]। फ्रैक्टल विश्लेषण अब विज्ञान के सभी क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite journal|title=Fractals: Complex Geometry, Patterns, and Scaling in Nature and Society|journal=Fractals: An Interdiscipinary Journal on the Complex Geometry of Nature|url=http://www.worldscinet.com/fractals/fractals.shtml|issn=1793-6543}}</ref> फ्रैक्टल विश्लेषण की महत्वपूर्ण सीमा यह है कि अनुभवजन्य रूप से निर्धारित फ्रैक्टल आयाम पर पहुंचने से जरूरी नहीं है कि एक पैटर्न फ्रैक्टल है; किंतु , अन्य भग्न या विशेषताओं पर विचार करना होगा।<ref name="Mandelbrot19832">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=0R2LkE3N7-oC|title=नेचर की फ़्रैक्टर जियोमीट्री|author=Benoît B. Mandelbrot|publisher=Macmillan|year=1983|isbn=978-0-7167-1186-5|access-date=1 February 2012}}</ref> फ्रैक्टल विश्लेषण विभिन्न प्रणालियों की संरचना और कार्य के बारे में हमारे ज्ञान का विस्तार करने और अध्ययन के नए क्षेत्रों का गणितीय मूल्यांकन करने के लिए संभावित उपकरण के रूप में मूल्यवान है। भग्न कलन तैयार किया गया था जो साधारण कलन का सामान्यीकरण है।<ref name="Ali">{{cite book |last= Khalili Golmankhaneh|first= Alireza |date=2022 |title=भग्न पथरी और इसके अनुप्रयोग|url=https://worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/12988#t=aboutBook|location=Singapor |publisher= World Scientific Pub Co Inc|page=328 |doi= 10.1142/12988 |isbn=978-981-126-110-7 |s2cid= 248575991 }}</ref>
[[ भग्न ]] विश्लेषण [[आंकड़े]] की फ्रैक्टल विशेषताओं का आकलन कर रहा है। इसमें डेटासेट के लिए फ्रैक्टल आयाम और अन्य फ्रैक्टल विशेषताओं को असाइन करने के लिए कई विधियाँ सम्मिलित हैं जो सैद्धांतिक डेटासेट हो सकते हैं, या स्थलाकृति, प्राकृतिक ज्यामितीय वस्तुएं, पारिस्थितिकी और जलीय विज्ञान,<ref name=":2">{{Cite book|title=पारिस्थितिकी और जलीय विज्ञान में फ्रैक्टल्स और मल्टीफ़्रैक्टल्स|last=Seuront|first=Laurent|date=2009-10-12|publisher=CRC Press|isbn=9780849327827|doi = 10.1201/9781420004243}}</ref> सहित घटना से निकाले गए पैटर्न या सिग्नल हो सकते हैं।<ref name=":10">{{Cite journal|last1=Gerges|first1=Firas|last2=Geng|first2=Xiaolong|last3=Nassif|first3=Hani|last4=Boufadel|first4=Michel C.|title=Anisotropic Multifractal Scaling of Mount Lebanon Topography: Approximate Conditioning |date=2021|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X21501127|journal=Fractals|language=en|volume=29|issue=5|pages=2150112–2153322|doi=10.1142/S0218348X21501127|bibcode=2021Fract..2950112G |s2cid=234272453 |issn=0218-348X}}</ref> ध्वनि, बाजार में उतार-चढ़ाव,<ref name="time series2">{{cite book|title=Chaos and order in the capital markets: a new view of cycles, prices, and market volatility|last=Peters|first=Edgar|publisher=Wiley|year=1996|isbn=978-0-471-13938-6|location=New York}}</ref><ref name="mul20042">{{cite journal|last=Mulligan|first=R.|year=2004|title=Fractal analysis of highly volatile markets: an application to technology equities|journal=The Quarterly Review of Economics and Finance|volume=44|pages=155–179|doi=10.1016/S1062-9769(03)00028-0}}</ref><ref name="kam20142">{{cite journal|last=Kamenshchikov|first=S.|year=2014|title=Transport Catastrophe Analysis as an Alternative to a Monofractal Description: Theory and Application to Financial Crisis Time Series|journal=Journal of Chaos|volume=2014|pages=1–8|doi=10.1155/2014/346743|doi-access=free}}</ref> ह्रदय दर,<ref name="heart2">{{Cite journal|last1=Tan|first1=Can Ozan|last2=Cohen|first2=Michael A.|last3=Eckberg|first3=Dwain L.|last4=Taylor|first4=J. Andrew|year=2009|title=Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications|journal=The Journal of Physiology|volume=587|issue=15|pages=3929–3941|doi=10.1113/jphysiol.2009.169219|pmc=2746620|pmid=19528254}}</ref> [[इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राफी]] संकेतों में आवृत्ति डोमेन,<ref name="brain12">{{Cite journal|last1=Zappasodi|first1=Filippo|last2=Olejarczyk|first2=Elzbieta|last3=Marzetti|first3=Laura|last4=Assenza|first4=Giovanni|year=2014|title=तीव्र स्ट्रोक में ईईजी गतिविधि के फ्रैक्टल डायमेंशन सेंस न्यूरोनल इम्पेयरमेंट|journal=PLOS ONE|volume=9|issue=6|pages=3929–3941|bibcode=2014PLoSO...9j0199Z|doi=10.1371/journal.pone.0100199|pmc=4072666|pmid=24967904|doi-access=free}}</ref><ref name="brain22">{{Cite book|last1=Hisonothai|first1=M.|title=2008 30th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society|last2=Nakagawa|first2=M.|year=2008|isbn=978-1-4244-1814-5|volume=2008|pages=3880–3|doi=10.1109/IEMBS.2008.4650057|pmid=19163560|chapter=EEG signal classification method based on fractal features and neural network|journal=Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. Annual International Conference|s2cid=22136019}}</ref> डिजिटल चित्र,<ref>Fractal Analysis of Digital Images http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Fractals.htm</ref> आणविक गति, और डेटा [[विज्ञान]]। फ्रैक्टल विश्लेषण अब विज्ञान के सभी क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite journal|title=Fractals: Complex Geometry, Patterns, and Scaling in Nature and Society|journal=Fractals: An Interdiscipinary Journal on the Complex Geometry of Nature|url=http://www.worldscinet.com/fractals/fractals.shtml|issn=1793-6543}}</ref> फ्रैक्टल विश्लेषण की महत्वपूर्ण सीमा यह है कि अनुभवजन्य रूप से निर्धारित फ्रैक्टल आयाम पर पहुंचने से जरूरी नहीं है कि एक पैटर्न फ्रैक्टल है; किंतु , अन्य भग्न या विशेषताओं पर विचार करना होगा।<ref name="Mandelbrot19832">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=0R2LkE3N7-oC|title=नेचर की फ़्रैक्टर जियोमीट्री|author=Benoît B. Mandelbrot|publisher=Macmillan|year=1983|isbn=978-0-7167-1186-5|access-date=1 February 2012}}</ref> फ्रैक्टल विश्लेषण विभिन्न प्रणालियों की संरचना और कार्य के बारे में हमारे ज्ञान का विस्तार करने और अध्ययन के नए क्षेत्रों का गणितीय मूल्यांकन करने के लिए संभावित उपकरण के रूप में मूल्यवान है। भग्न कलन तैयार किया गया था जो साधारण कलन का सामान्यीकरण है।<ref name="Ali">{{cite book |last= Khalili Golmankhaneh|first= Alireza |date=2022 |title=भग्न पथरी और इसके अनुप्रयोग|url=https://worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/12988#t=aboutBook|location=Singapor |publisher= World Scientific Pub Co Inc|page=328 |doi= 10.1142/12988 |isbn=978-981-126-110-7 |s2cid= 248575991 }}</ref>


'''न का सामान्यीकरण है।<ref name="Ali" />'''
'''न का सामान्यीकरण है।<ref name="Ali" />कलन तैयार किया गया था जो साधारण कलन का सामान्यीकरण है।<ref name="Ali" />
 
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== अंतर्निहित सिद्धांत ==
== अंतर्निहित सिद्धांत ==
फ्रैक्टल्स में फ्रैक्टल डायमेंशन होता है, जो [[जटिलता]] का माप है जो उस डिग्री को इंगित करता है जिससे ऑब्जेक्ट उपलब्ध स्थान को भरते हैं।<ref name="Mandelbrot19832" /><ref name=":0">{{Cite journal|last=Mandelbrot|first=B.|s2cid=15662830|date=1967-05-05|title=How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension|journal=Science|volume=156|issue=3775|pages=636–638|doi=10.1126/science.156.3775.636|pmid=17837158|issn=0036-8075|bibcode=1967Sci...156..636M|url=http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/52473}}</ref> फ्रैक्टल डायमेंशन बदलते ऑब्जर्वेशनल [[स्थानिक पैमाना]] के साथ फ्रैक्टल सेट के आकार में बदलाव को मापता है, और [[पूर्णांक]] मानों द्वारा सीमित नहीं है।<ref name=":2" />यह संभव है क्योंकि फ्रैक्टल का छोटा भाग पूरी तरह से मिलता-जुलता है, जो अलग-अलग पैमानों पर समान सांख्यिकी गुणों को दर्शाता है।<ref name="Mandelbrot19832" />इस विशेषता को [[स्केल इनवेरियन]] कहा जाता है, और इसे स्व-समानता या स्व-संबंध के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, बाद वाला [[एनिसोट्रॉपिक]] (दिशा के आधार पर)।<ref name=":2" />भग्न का दृश्य चाहे विस्तृत हो रहा हो या सिकुड़ रहा हो, संरचना वही रहती है और समान रूप से जटिल दिखाई देती है।<ref name="Mandelbrot19832" /><ref name=":0" />भग्न विश्लेषण जटिल प्रणालियों की समझ और लक्षण वर्णन में मदद करने के लिए इन अंतर्निहित गुणों का उपयोग करता है। एकल विशेषता समय पैमाने, या पैटर्न की कमी के कारण फ्रैक्टल्स के उपयोग का विस्तार करना भी संभव है।<ref name=":7">{{Cite journal|last1=Goldberger|first1=Ary L|last2=Peng|first2=C.-K|last3=Lipsitz|first3=Lewis A|date=January 2002|title=What is physiologic complexity and how does it change with aging and disease?|journal=Neurobiology of Aging|volume=23|issue=1|pages=23–26|doi=10.1016/S0197-4580(01)00266-4|pmid=11755014|s2cid=17022186}}</ref>
फ्रैक्टल्स में फ्रैक्टल डायमेंशन होता है, जो [[जटिलता|स्पष्टता]] का माप है जो उस डिग्री को इंगित करता है जिससे ऑब्जेक्ट उपलब्ध स्थान को भरते हैं।<ref name="Mandelbrot19832" /><ref name=":0">{{Cite journal|last=Mandelbrot|first=B.|s2cid=15662830|date=1967-05-05|title=How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension|journal=Science|volume=156|issue=3775|pages=636–638|doi=10.1126/science.156.3775.636|pmid=17837158|issn=0036-8075|bibcode=1967Sci...156..636M|url=http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/52473}}</ref> फ्रैक्टल डायमेंशन बदलते ऑब्जर्वेशनल [[स्थानिक पैमाना|माप]] के साथ फ्रैक्टल सेट के आकार में बदलाव को मापता है, और [[पूर्णांक]] मानों द्वारा सीमित नहीं है।<ref name=":2" /> यह संभव है क्योंकि फ्रैक्टल का छोटा भाग पूरी तरह से मिलता-जुलता है, जो अलग-अलग पैमानों पर समान सांख्यिकी गुणों को दर्शाता है।<ref name="Mandelbrot19832" /> इस विशेषता को [[स्केल इनवेरियन]] कहा जाता है, और इसे स्व-समानता या स्व-संबंध के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, बाद वाला [[एनिसोट्रॉपिक]] रूप से बढ़ाया जाता है (दिशा के आधार पर)।<ref name=":2" /> भग्न का दृश्य चाहे विस्तृत हो रहा हो या सिकुड़ रहा हो, संरचना वही रहती है और समान रूप से जटिल दिखाई देती है।<ref name="Mandelbrot19832" /><ref name=":0" /> भग्न विश्लेषण जटिल प्रणालियों की समझ और लक्षण वर्णन में सहायता करने के लिए इन अंतर्निहित गुणों का उपयोग करता है। एकल विशेषता समय पैमाने, या पैटर्न की कमी के कारण फ्रैक्टल्स के उपयोग का विस्तार करना भी संभव है।<ref name=":7">{{Cite journal|last1=Goldberger|first1=Ary L|last2=Peng|first2=C.-K|last3=Lipsitz|first3=Lewis A|date=January 2002|title=What is physiologic complexity and how does it change with aging and disease?|journal=Neurobiology of Aging|volume=23|issue=1|pages=23–26|doi=10.1016/S0197-4580(01)00266-4|pmid=11755014|s2cid=17022186}}</ref>
 
उत्पत्ति पर अधिक जानकारी: फ्रैक्टल
उत्पत्ति पर अधिक जानकारी: फ्रैक्टल


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=== पारिस्थितिकी और विकास ===
=== पारिस्थितिकी और विकास ===
सैद्धांतिक फ्रैक्टल वक्रों के विपरीत जिसे आसानी से मापा जा सकता है और अंतर्निहित [[संपत्ति (गणित)]] की गणना की जा सकती है; [[प्रकृति]] प्रणालियाँ विषमता के स्रोत हैं और जटिल स्थान-समय संरचनाएँ उत्पन्न करती हैं जो केवल आंशिक स्व-समानता प्रदर्शित कर सकती हैं।<ref name=":3">{{Citation|last=Frontier|first=Serge|chapter=Applications of Fractal Theory to Ecology|date=1987|pages=335–378|publisher=Springer Berlin Heidelberg|isbn=9783642708824|doi=10.1007/978-3-642-70880-0_9|title=Developments in Numerical Ecology}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Scheuring|first1=István|last2=Riedi|first2=Rudolf H.|date=August 1994|title=वनस्पति पैटर्न के विश्लेषण के लिए मल्टीफ़्रेक्टल्स का अनुप्रयोग|journal=Journal of Vegetation Science|volume=5|issue=4|pages=489–496|doi=10.2307/3235975|jstor=3235975}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Seuront|first1=Laurent|last2=Lagadeuc|first2=Yvan|date=1998|title=Spatio-temporal structure of tidally mixed coastal waters: variability and heterogeneity|journal=Journal of Plankton Research|volume=20|issue=7|pages=1387–1401|doi=10.1093/plankt/20.7.1387|issn=0142-7873|doi-access=free}}</ref> भग्न विश्लेषण का उपयोग करते हुए, यह विश्लेषण करना और पहचानना संभव है कि जटिल पारिस्थितिकी प्रणालियों की विशेषताएं कब बदली जाती हैं क्योंकि भग्न ऐसी प्रणालियों में प्राकृतिक जटिलता को चित्रित करने में सक्षम होते हैं।<ref name=":4">{{Cite journal|last1=Rutherford|first1=Kenneth M.D.|last2=Haskell|first2=Marie J.|last3=Glasbey|first3=Chris|last4=Jones|first4=R.Bryan|last5=Lawrence|first5=Alistair B.|date=September 2003|title=घरेलू मुर्गियों में हल्के तीव्र तनावों के लिए व्यवहार संबंधी प्रतिक्रियाओं का पता लगाया गया उतार-चढ़ाव|journal=Applied Animal Behaviour Science|volume=83|issue=2|pages=125–139|doi=10.1016/S0168-1591(03)00115-1}}</ref> इस प्रकार, भग्न विश्लेषण प्रकृति में पैटर्न की मात्रा निर्धारित करने और इन प्राकृतिक अनुक्रमों से विचलन की पहचान करने में मदद कर सकता है। यह पारिस्थितिक तंत्र की हमारी समग्र समझ में सुधार करने और प्रकृति के कुछ अंतर्निहित संरचनात्मक तंत्रों को प्रकट करने में मदद करता है।<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|last1=Bradbury|first1=Rh|last2=Reichelt|first2=Re|date=1983|title=पारिस्थितिक पैमानों पर एक प्रवाल भित्ति का भग्न आयाम|journal=Marine Ecology Progress Series|volume=10|pages=169–171|doi=10.3354/meps010169|issn=0171-8630|bibcode=1983MEPS...10..169B|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Hastings|first1=Harold M.|last2=Pekelney|first2=Richard|last3=Monticciolo|first3=Richard|last4=Vun Kannon|first4=David|last5=Del Monte|first5=Diane|date=January 1982|title=समय का पैमाना, दृढ़ता और पैचनेस|journal=Biosystems|volume=15|issue=4|pages=281–289|doi=10.1016/0303-2647(82)90043-0|pmid=7165795|issn=0303-2647}}</ref> उदाहरण के लिए, यह पाया गया कि व्यक्तिगत पेड़ के [[जाइलम]] की संरचना जंगल में पेड़ों के स्थानिक वितरण के समान वास्तुकला का पालन करती है, और यह कि जंगल में पेड़ों के वितरण में शाखाओं, स्केलिंग के समान अंतर्निहित भग्न संरचना होती है। वन स्टैंड की संरचना निर्धारित करने के लिए गणितीय रूप से पेड़ों की शाखाओं के पैटर्न का उपयोग करने में सक्षम होने के समान ही।<ref>{{Cite journal|last=West|first=G. B.|s2cid=3140271|date=1997-04-04|title=जीव विज्ञान में एलोमेट्रिक स्केलिंग कानूनों की उत्पत्ति के लिए एक सामान्य मॉडल|journal=Science|volume=276|issue=5309|pages=122–126|doi=10.1126/science.276.5309.122|pmid=9082983}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=West|first1=G. B.|last2=Enquist|first2=B. J.|last3=Brown|first3=J. H.|date=2009-04-28|title=वन संरचना और गतिकी का एक सामान्य मात्रात्मक सिद्धांत|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=106|issue=17|pages=7040–7045|doi=10.1073/pnas.0812294106|issn=0027-8424|pmc=2678466|pmid=19363160|bibcode=2009PNAS..106.7040W|doi-access=free}}</ref> संरचनाओं को समझने के लिए भग्न विश्लेषण का उपयोग, और जैविक प्रणालियों में स्थानिक और लौकिक जटिलता का पहले ही अच्छी तरह से अध्ययन किया जा चुका है और पारिस्थितिक अनुसंधान में इसका उपयोग लगातार बढ़ रहा है।<ref>{{Cite journal|last1=Rieu|first1=Michel|author2-link=Garrison Sposito|last2=Sposito|first2=Garrison|date=1991|title=Fractal Fragmentation, Soil Porosity, and Soil Water Properties: II. Applications|journal=Soil Science Society of America Journal|volume=55|issue=5|pages=1239|doi=10.2136/sssaj1991.03615995005500050007x|issn=0361-5995|bibcode=1991SSASJ..55.1239R}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Morse|first1=D. R.|last2=Lawton|first2=J. H.|last3=Dodson|first3=M. M.|last4=Williamson|first4=M. H.|date=April 1985|title=वनस्पति का भग्न आयाम और आर्थ्रोपॉड शरीर की लंबाई का वितरण|journal=Nature|volume=314|issue=6013|pages=731–733|doi=10.1038/314731a0|issn=0028-0836|bibcode=1985Natur.314..731M|s2cid=4362382}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Li|first1=Xiaoyan|last2=Passow|first2=Uta|last3=Logan|first3=Bruce E|date=January 1998|title=Fractal dimensions of small (15–200 μm) particles in Eastern Pacific coastal waters|journal=Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers|volume=45|issue=1|pages=115–131|doi=10.1016/s0967-0637(97)00058-7|issn=0967-0637}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Lovejoy|first1=S.|last2=Schertzer|first2=D.|date=May 2006|title=मल्टीफ़्रैक्टल, बादल की चमक और बारिश|journal=Journal of Hydrology|volume=322|issue=1–4|pages=59–88|doi=10.1016/j.jhydrol.2005.02.042|bibcode=2006JHyd..322...59L}}</ref> इसके व्यापक उपयोग के बावजूद, यह अभी भी कुछ [[आलोचना]] प्राप्त करता है।<ref>{{Cite journal|last1=Halley|first1=J. M.|last2=Hartley|first2=S.|last3=Kallimanis|first3=A. S.|last4=Kunin|first4=W. E.|last5=Lennon|first5=J. J.|last6=Sgardelis|first6=S. P.|s2cid=6059069|date=2004-02-24|title=पारिस्थितिकी में भग्न पद्धति का उपयोग और दुरुपयोग|journal=Ecology Letters|volume=7|issue=3|pages=254–271|doi=10.1111/j.1461-0248.2004.00568.x|issn=1461-023X}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Bryce|first1=R. M.|last2=Sprague|first2=K. B.|date=December 2012|title=बिगड़े हुए उतार-चढ़ाव के विश्लेषण पर दोबारा गौर करना|journal=Scientific Reports|volume=2|issue=1|pages=315|doi=10.1038/srep00315|pmid=22419991|pmc=3303145|issn=2045-2322|bibcode=2012NatSR...2E.315B}}</ref>
सैद्धांतिक फ्रैक्टल वक्रों के विपरीत जिसे आसानी से मापा जा सकता है और अंतर्निहित [[संपत्ति (गणित)]] की गणना की जा सकती है; [[प्रकृति]] प्रणालियाँ विषमता के स्रोत हैं और जटिल स्थान-समय संरचनाएँ उत्पन्न करती हैं जो केवल आंशिक स्व-समानता प्रदर्शित कर सकती हैं।<ref name=":3">{{Citation|last=Frontier|first=Serge|chapter=Applications of Fractal Theory to Ecology|date=1987|pages=335–378|publisher=Springer Berlin Heidelberg|isbn=9783642708824|doi=10.1007/978-3-642-70880-0_9|title=Developments in Numerical Ecology}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Scheuring|first1=István|last2=Riedi|first2=Rudolf H.|date=August 1994|title=वनस्पति पैटर्न के विश्लेषण के लिए मल्टीफ़्रेक्टल्स का अनुप्रयोग|journal=Journal of Vegetation Science|volume=5|issue=4|pages=489–496|doi=10.2307/3235975|jstor=3235975}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Seuront|first1=Laurent|last2=Lagadeuc|first2=Yvan|date=1998|title=Spatio-temporal structure of tidally mixed coastal waters: variability and heterogeneity|journal=Journal of Plankton Research|volume=20|issue=7|pages=1387–1401|doi=10.1093/plankt/20.7.1387|issn=0142-7873|doi-access=free}}</ref> भग्न विश्लेषण का उपयोग करते हुए, यह विश्लेषण करना और पहचानना संभव है कि जटिल पारिस्थितिकी प्रणालियों की विशेषताएं कब बदली जाती हैं क्योंकि भग्न ऐसी प्रणालियों में प्राकृतिक स्पष्टता  को चित्रित करने में सक्षम होते हैं।<ref name=":4">{{Cite journal|last1=Rutherford|first1=Kenneth M.D.|last2=Haskell|first2=Marie J.|last3=Glasbey|first3=Chris|last4=Jones|first4=R.Bryan|last5=Lawrence|first5=Alistair B.|date=September 2003|title=घरेलू मुर्गियों में हल्के तीव्र तनावों के लिए व्यवहार संबंधी प्रतिक्रियाओं का पता लगाया गया उतार-चढ़ाव|journal=Applied Animal Behaviour Science|volume=83|issue=2|pages=125–139|doi=10.1016/S0168-1591(03)00115-1}}</ref> इस प्रकार, भग्न विश्लेषण प्रकृति में पैटर्न की मात्रा निर्धारित करने और इन प्राकृतिक अनुक्रमों से विचलन की पहचान करने में सहायता कर सकता है। यह पारिस्थितिक तंत्र की हमारी समग्र समझ में सुधार करने और प्रकृति के कुछ अंतर्निहित संरचनात्मक तंत्रों को प्रकट करने में सहायता करता है।<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|last1=Bradbury|first1=Rh|last2=Reichelt|first2=Re|date=1983|title=पारिस्थितिक पैमानों पर एक प्रवाल भित्ति का भग्न आयाम|journal=Marine Ecology Progress Series|volume=10|pages=169–171|doi=10.3354/meps010169|issn=0171-8630|bibcode=1983MEPS...10..169B|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Hastings|first1=Harold M.|last2=Pekelney|first2=Richard|last3=Monticciolo|first3=Richard|last4=Vun Kannon|first4=David|last5=Del Monte|first5=Diane|date=January 1982|title=समय का पैमाना, दृढ़ता और पैचनेस|journal=Biosystems|volume=15|issue=4|pages=281–289|doi=10.1016/0303-2647(82)90043-0|pmid=7165795|issn=0303-2647}}</ref> उदाहरण के लिए, यह पाया गया कि व्यक्तिगत पेड़ के [[जाइलम]] की संरचना जंगल में पेड़ों के स्थानिक वितरण के समान वास्तुकला का पालन करती है, और यह कि जंगल में पेड़ों के वितरण में शाखाओं, स्केलिंग के समान अंतर्निहित भग्न संरचना होती है। वन स्टैंड की संरचना निर्धारित करने के लिए गणितीय रूप से पेड़ों की शाखाओं के पैटर्न का उपयोग करने में सक्षम होने के समान ही।<ref>{{Cite journal|last=West|first=G. B.|s2cid=3140271|date=1997-04-04|title=जीव विज्ञान में एलोमेट्रिक स्केलिंग कानूनों की उत्पत्ति के लिए एक सामान्य मॉडल|journal=Science|volume=276|issue=5309|pages=122–126|doi=10.1126/science.276.5309.122|pmid=9082983}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=West|first1=G. B.|last2=Enquist|first2=B. J.|last3=Brown|first3=J. H.|date=2009-04-28|title=वन संरचना और गतिकी का एक सामान्य मात्रात्मक सिद्धांत|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=106|issue=17|pages=7040–7045|doi=10.1073/pnas.0812294106|issn=0027-8424|pmc=2678466|pmid=19363160|bibcode=2009PNAS..106.7040W|doi-access=free}}</ref> संरचनाओं को समझने के लिए भग्न विश्लेषण का उपयोग, और जैविक प्रणालियों में स्थानिक और लौकिक स्पष्टता  का पहले ही अच्छी तरह से अध्ययन किया जा चुका है और पारिस्थितिक अनुसंधान में इसका उपयोग लगातार बढ़ रहा है।<ref>{{Cite journal|last1=Rieu|first1=Michel|author2-link=Garrison Sposito|last2=Sposito|first2=Garrison|date=1991|title=Fractal Fragmentation, Soil Porosity, and Soil Water Properties: II. Applications|journal=Soil Science Society of America Journal|volume=55|issue=5|pages=1239|doi=10.2136/sssaj1991.03615995005500050007x|issn=0361-5995|bibcode=1991SSASJ..55.1239R}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Morse|first1=D. R.|last2=Lawton|first2=J. H.|last3=Dodson|first3=M. M.|last4=Williamson|first4=M. H.|date=April 1985|title=वनस्पति का भग्न आयाम और आर्थ्रोपॉड शरीर की लंबाई का वितरण|journal=Nature|volume=314|issue=6013|pages=731–733|doi=10.1038/314731a0|issn=0028-0836|bibcode=1985Natur.314..731M|s2cid=4362382}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Li|first1=Xiaoyan|last2=Passow|first2=Uta|last3=Logan|first3=Bruce E|date=January 1998|title=Fractal dimensions of small (15–200 μm) particles in Eastern Pacific coastal waters|journal=Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers|volume=45|issue=1|pages=115–131|doi=10.1016/s0967-0637(97)00058-7|issn=0967-0637}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Lovejoy|first1=S.|last2=Schertzer|first2=D.|date=May 2006|title=मल्टीफ़्रैक्टल, बादल की चमक और बारिश|journal=Journal of Hydrology|volume=322|issue=1–4|pages=59–88|doi=10.1016/j.jhydrol.2005.02.042|bibcode=2006JHyd..322...59L}}</ref> इसके व्यापक उपयोग के बावजूद, यह अभी भी कुछ [[आलोचना]] प्राप्त करता है।<ref>{{Cite journal|last1=Halley|first1=J. M.|last2=Hartley|first2=S.|last3=Kallimanis|first3=A. S.|last4=Kunin|first4=W. E.|last5=Lennon|first5=J. J.|last6=Sgardelis|first6=S. P.|s2cid=6059069|date=2004-02-24|title=पारिस्थितिकी में भग्न पद्धति का उपयोग और दुरुपयोग|journal=Ecology Letters|volume=7|issue=3|pages=254–271|doi=10.1111/j.1461-0248.2004.00568.x|issn=1461-023X}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Bryce|first1=R. M.|last2=Sprague|first2=K. B.|date=December 2012|title=बिगड़े हुए उतार-चढ़ाव के विश्लेषण पर दोबारा गौर करना|journal=Scientific Reports|volume=2|issue=1|pages=315|doi=10.1038/srep00315|pmid=22419991|pmc=3303145|issn=2045-2322|bibcode=2012NatSR...2E.315B}}</ref>
==== जानवरों का [[व्यवहार]] ====
==== जानवरों का [[व्यवहार]] ====
पशु व्यवहार में पैटर्न स्थानिक और लौकिक पैमानों पर भग्न गुण प्रदर्शित करते हैं।<ref name=":8" />फ्रैक्टल विश्लेषण जानवरों के व्यवहार को समझने में मदद करता है और कैसे वे अंतरिक्ष और समय में कई पैमानों पर अपने वातावरण के साथ बातचीत करते हैं।<ref name=":2" />अपने संबंधित वातावरण में विभिन्न पशु आंदोलन हस्ताक्षरों को स्थानिक रूप से गैर-रैखिक भग्न पैटर्न प्रदर्शित करने के लिए पाया गया है।<ref>{{Cite journal|last1=Catalan|first1=Jordi|last2=Marrasé|first2=Cèlia|last3=Pueyo|first3=Salvador|last4=Peters|first4=Francesc|last5=Bartumeus|first5=Frederic|date=2003-10-28|title=Helical Lévy walks: Adjusting searching statistics to resource availability in microzooplankton|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=100|issue=22|pages=12771–12775|doi=10.1073/pnas.2137243100|issn=0027-8424|pmc=240693|pmid=14566048|bibcode=2003PNAS..10012771B|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Garcia|first1=F.|last2=Carrère|first2=P.|last3=Soussana|first3=J.F.|last4=Baumont|first4=R.|date=September 2005|title=भेड़ों के चरने वाले विषम स्वरों के भग्न पथों के भग्न विश्लेषण द्वारा विशेषता|journal=Applied Animal Behaviour Science|volume=93|issue=1–2|pages=19–37|doi=10.1016/j.applanim.2005.01.001}}</ref> इसने पारिस्थितिक व्याख्याओं को उत्पन्न किया है जैसे लेवी फ्लाइट फोर्जिंग परिकल्पना | लेवी फ्लाइट फोर्जिंग परिकल्पना, जो कुछ प्रजातियों के लिए पशु आंदोलन का अधिक सटीक वर्णन साबित हुई है।<ref>{{Cite journal|last1=Humphries|first1=N. E.|last2=Weimerskirch|first2=H.|last3=Queiroz|first3=N.|last4=Southall|first4=E. J.|last5=Sims|first5=D. W.|date=2012-05-08|title=सीटू में दर्ज की गई जैविक लेवी उड़ानों की फोर्जिंग सफलता|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=109|issue=19|pages=7169–7174|doi=10.1073/pnas.1121201109|issn=0027-8424|pmc=3358854|pmid=22529349|bibcode=2012PNAS..109.7169H|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Raposo|first1=E P|last2=Buldyrev|first2=S V|last3=da Luz|first3=M G E|last4=Viswanathan|first4=G M|last5=Stanley|first5=H E|date=2009-10-30|title=Lévy flights and random searches|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|volume=42|issue=43|pages=434003|doi=10.1088/1751-8113/42/43/434003|issn=1751-8113|bibcode=2009JPhA...42Q4003R|s2cid=13887492 }}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Viswanathan|first1=G.M|last2=Afanasyev|first2=V|last3=Buldyrev|first3=Sergey V|last4=Havlin|first4=Shlomo|last5=da Luz|first5=M.G.E|last6=Raposo|first6=E.P|last7=Stanley|first7=H.Eugene|date=June 2001|title=Lévy flights search patterns of biological organisms|journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications|volume=295|issue=1–2|pages=85–88|doi=10.1016/S0378-4371(01)00057-7|bibcode=2001PhyA..295...85V}}</ref>
पशु व्यवहार में पैटर्न स्थानिक और लौकिक पैमानों पर भग्न गुण प्रदर्शित करते हैं।<ref name=":8" />फ्रैक्टल विश्लेषण जानवरों के व्यवहार को समझने में सहायता करता है और कैसे वे अंतरिक्ष और समय में कई पैमानों पर अपने वातावरण के साथ बातचीत करते हैं।<ref name=":2" />अपने संबंधित वातावरण में विभिन्न पशु आंदोलन हस्ताक्षरों को स्थानिक रूप से गैर-रैखिक भग्न पैटर्न प्रदर्शित करने के लिए पाया गया है।<ref>{{Cite journal|last1=Catalan|first1=Jordi|last2=Marrasé|first2=Cèlia|last3=Pueyo|first3=Salvador|last4=Peters|first4=Francesc|last5=Bartumeus|first5=Frederic|date=2003-10-28|title=Helical Lévy walks: Adjusting searching statistics to resource availability in microzooplankton|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=100|issue=22|pages=12771–12775|doi=10.1073/pnas.2137243100|issn=0027-8424|pmc=240693|pmid=14566048|bibcode=2003PNAS..10012771B|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Garcia|first1=F.|last2=Carrère|first2=P.|last3=Soussana|first3=J.F.|last4=Baumont|first4=R.|date=September 2005|title=भेड़ों के चरने वाले विषम स्वरों के भग्न पथों के भग्न विश्लेषण द्वारा विशेषता|journal=Applied Animal Behaviour Science|volume=93|issue=1–2|pages=19–37|doi=10.1016/j.applanim.2005.01.001}}</ref> इसने पारिस्थितिक व्याख्याओं को उत्पन्न किया है जैसे लेवी फ्लाइट फोर्जिंग परिकल्पना | लेवी फ्लाइट फोर्जिंग परिकल्पना, जो कुछ प्रजातियों के लिए पशु आंदोलन का अधिक सटीक वर्णन साबित हुई है।<ref>{{Cite journal|last1=Humphries|first1=N. E.|last2=Weimerskirch|first2=H.|last3=Queiroz|first3=N.|last4=Southall|first4=E. J.|last5=Sims|first5=D. W.|date=2012-05-08|title=सीटू में दर्ज की गई जैविक लेवी उड़ानों की फोर्जिंग सफलता|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=109|issue=19|pages=7169–7174|doi=10.1073/pnas.1121201109|issn=0027-8424|pmc=3358854|pmid=22529349|bibcode=2012PNAS..109.7169H|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Raposo|first1=E P|last2=Buldyrev|first2=S V|last3=da Luz|first3=M G E|last4=Viswanathan|first4=G M|last5=Stanley|first5=H E|date=2009-10-30|title=Lévy flights and random searches|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|volume=42|issue=43|pages=434003|doi=10.1088/1751-8113/42/43/434003|issn=1751-8113|bibcode=2009JPhA...42Q4003R|s2cid=13887492 }}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Viswanathan|first1=G.M|last2=Afanasyev|first2=V|last3=Buldyrev|first3=Sergey V|last4=Havlin|first4=Shlomo|last5=da Luz|first5=M.G.E|last6=Raposo|first6=E.P|last7=Stanley|first7=H.Eugene|date=June 2001|title=Lévy flights search patterns of biological organisms|journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications|volume=295|issue=1–2|pages=85–88|doi=10.1016/S0378-4371(01)00057-7|bibcode=2001PhyA..295...85V}}</ref>
भग्न समय में स्थानिक पैटर्न और पशु व्यवहार अनुक्रमों में इष्टतम जटिलता सीमा होती है, जिसे स्पेक्ट्रम पर होमोस्टैटिक स्थिति के रूप में माना जा सकता है जहां जटिलता अनुक्रम नियमित रूप से गिरना चाहिए। जटिलता में वृद्धि या हानि, या तो उनके व्यवहार पैटर्न में अधिक रूढ़िवादी या इसके विपरीत अधिक यादृच्छिक हो जाना, यह दर्शाता है कि व्यक्ति की कार्यक्षमता में परिवर्तन हुआ है।<ref name=":7" /><ref name=":5">{{Cite journal|last=MacIntosh|first=Andrew James Jonathan|date=2014|title=फ्रैक्टल प्राइमेट|journal=Primate Research|volume=30|issue=1|pages=95–119|doi=10.2354/psj.30.011|issn=1880-2117|doi-access=free}}</ref> फ्रैक्टल विश्लेषण का उपयोग करके, पशु व्यवहार के आंदोलन अनुक्रमिक जटिलता की जांच करना और यह निर्धारित करना संभव है कि क्या व्यक्ति अपनी इष्टतम सीमा से विचलन का अनुभव कर रहे हैं, जो स्थिति में बदलाव का सुझाव दे रहा है।<ref name=":1">{{Cite journal|last1=Burgunder|first1=Jade|last2=Petrželková|first2=Klára J.|last3=Modrý|first3=David|last4=Kato|first4=Akiko|last5=MacIntosh|first5=Andrew J.J.|date=August 2018|title=Fractal measures in activity patterns: Do gastrointestinal parasites affect the complexity of sheep behaviour?|journal=Applied Animal Behaviour Science|volume=205|pages=44–53|doi=10.1016/j.applanim.2018.05.014|s2cid=53475196 }}</ref><ref name=":9">{{Cite journal|last1=MacIntosh|first1=A. J. J.|last2=Alados|first2=C. L.|last3=Huffman|first3=M. A.|date=2011-10-07|title=Fractal analysis of behaviour in a wild primate: behavioural complexity in health and disease|journal=Journal of the Royal Society Interface|volume=8|issue=63|pages=1497–1509|doi=10.1098/rsif.2011.0049|issn=1742-5689|pmc=3163426|pmid=21429908}}</ref> उदाहरण के लिए, घरेलू मुर्गियों के कल्याण का आकलन करने के लिए इसका उपयोग किया गया है,<ref name=":4" />मानव गड़बड़ी के जवाब में बॉटलनोज़ डॉल्फ़िन में तनाव,<ref>{{Cite journal|last1=Cribb|first1=Nardi|last2=Seuront|first2=Laurent|date=September 2016|title=Changes in the behavioural complexity of bottlenose dolphins along a gradient of anthropogenically-impacted environments in South Australian coastal waters: Implications for conservation and management strategies|journal=Journal of Experimental Marine Biology and Ecology|volume=482|pages=118–127|doi=10.1016/j.jembe.2016.03.020|issn=0022-0981}}</ref> और जापानी मकाक में परजीवी संक्रमण<ref name=":9" />और भेड़।<ref name=":1" />अनुसंधान बहुत ही जटिल संबंधों को सरल और परिमाणित करके व्यवहारिक पारिस्थितिकी के क्षेत्र को आगे बढ़ा रहा है।<ref name=":6">{{Cite journal|last1=Bradbury|first1=J. W.|last2=Vehrencamp|first2=S. L.|date=2014-05-01|title=जटिलता और व्यवहार पारिस्थितिकी|journal=Behavioral Ecology|volume=25|issue=3|pages=435–442|doi=10.1093/beheco/aru014|issn=1045-2249|doi-access=free}}</ref> जब पशु कल्याण और संरक्षण जीव विज्ञान की बात आती है, फ्रैक्टल विश्लेषण पशु व्यवहार पर तनाव के संभावित स्रोतों की पहचान करना संभव बनाता है, ऐसे तनाव जो शास्त्रीय व्यवहार अनुसंधान के माध्यम से हमेशा स्पष्ट नहीं हो सकते हैं।<ref name=":4" /><ref>{{Cite journal|last1=Alados|first1=C.L.|last2=Escos|first2=J.M.|last3=Emlen|first3=J.M.|s2cid=53184132|date=February 1996|title=Fractal structure of sequential behaviour patterns: an indicator of stress|journal=Animal Behaviour|volume=51|issue=2|pages=437–443|doi=10.1006/anbe.1996.0040}}</ref><ref>{{Cite journal|url=https://www.ingentaconnect.com/contentone/ufaw/aw/2004/00000013/a00101s1/art00014|title=पशु कल्याण के संकेतक के रूप में पशु व्यवहार का फ्रैक्टल विश्लेषण|last1=Rutherford|first1=K. M. D.|last2=Haskell|first2=M. J.|date=February 2004|journal=Animal Welfare|access-date=2019-03-27|last3=Glasbey|first3=C.|last4=Jones|first4=R. B.|last5=Lawrence|first5=A. B.|volume=13 |issue=1 |pages=99–103 |doi=10.1017/S0962728600014433 |s2cid=146350786 }}</ref>
भग्न समय में स्थानिक पैटर्न और पशु व्यवहार अनुक्रमों में इष्टतम स्पष्टता  सीमा होती है, जिसे स्पेक्ट्रम पर होमोस्टैटिक स्थिति के रूप में माना जा सकता है जहां स्पष्टता  अनुक्रम नियमित रूप से गिरना चाहिए। स्पष्टता  में वृद्धि या हानि, या तो उनके व्यवहार पैटर्न में अधिक रूढ़िवादी या इसके विपरीत अधिक यादृच्छिक हो जाना, यह दर्शाता है कि व्यक्ति की कार्यक्षमता में परिवर्तन हुआ है।<ref name=":7" /><ref name=":5">{{Cite journal|last=MacIntosh|first=Andrew James Jonathan|date=2014|title=फ्रैक्टल प्राइमेट|journal=Primate Research|volume=30|issue=1|pages=95–119|doi=10.2354/psj.30.011|issn=1880-2117|doi-access=free}}</ref> फ्रैक्टल विश्लेषण का उपयोग करके, पशु व्यवहार के आंदोलन अनुक्रमिक स्पष्टता  की जांच करना और यह निर्धारित करना संभव है कि क्या व्यक्ति अपनी इष्टतम सीमा से विचलन का अनुभव कर रहे हैं, जो स्थिति में बदलाव का सुझाव दे रहा है।<ref name=":1">{{Cite journal|last1=Burgunder|first1=Jade|last2=Petrželková|first2=Klára J.|last3=Modrý|first3=David|last4=Kato|first4=Akiko|last5=MacIntosh|first5=Andrew J.J.|date=August 2018|title=Fractal measures in activity patterns: Do gastrointestinal parasites affect the complexity of sheep behaviour?|journal=Applied Animal Behaviour Science|volume=205|pages=44–53|doi=10.1016/j.applanim.2018.05.014|s2cid=53475196 }}</ref><ref name=":9">{{Cite journal|last1=MacIntosh|first1=A. J. J.|last2=Alados|first2=C. L.|last3=Huffman|first3=M. A.|date=2011-10-07|title=Fractal analysis of behaviour in a wild primate: behavioural complexity in health and disease|journal=Journal of the Royal Society Interface|volume=8|issue=63|pages=1497–1509|doi=10.1098/rsif.2011.0049|issn=1742-5689|pmc=3163426|pmid=21429908}}</ref> उदाहरण के लिए, घरेलू मुर्गियों के कल्याण का आकलन करने के लिए इसका उपयोग किया गया है,<ref name=":4" />मानव गड़बड़ी के जवाब में बॉटलनोज़ डॉल्फ़िन में तनाव,<ref>{{Cite journal|last1=Cribb|first1=Nardi|last2=Seuront|first2=Laurent|date=September 2016|title=Changes in the behavioural complexity of bottlenose dolphins along a gradient of anthropogenically-impacted environments in South Australian coastal waters: Implications for conservation and management strategies|journal=Journal of Experimental Marine Biology and Ecology|volume=482|pages=118–127|doi=10.1016/j.jembe.2016.03.020|issn=0022-0981}}</ref> और जापानी मकाक में परजीवी संक्रमण<ref name=":9" />और भेड़।<ref name=":1" />अनुसंधान बहुत ही जटिल संबंधों को सरल और परिमाणित करके व्यवहारिक पारिस्थितिकी के क्षेत्र को आगे बढ़ा रहा है।<ref name=":6">{{Cite journal|last1=Bradbury|first1=J. W.|last2=Vehrencamp|first2=S. L.|date=2014-05-01|title=जटिलता और व्यवहार पारिस्थितिकी|journal=Behavioral Ecology|volume=25|issue=3|pages=435–442|doi=10.1093/beheco/aru014|issn=1045-2249|doi-access=free}}</ref> जब पशु कल्याण और संरक्षण जीव विज्ञान की बात आती है, फ्रैक्टल विश्लेषण पशु व्यवहार पर तनाव के संभावित स्रोतों की पहचान करना संभव बनाता है, ऐसे तनाव जो शास्त्रीय व्यवहार अनुसंधान के माध्यम से हमेशा स्पष्ट नहीं हो सकते हैं।<ref name=":4" /><ref>{{Cite journal|last1=Alados|first1=C.L.|last2=Escos|first2=J.M.|last3=Emlen|first3=J.M.|s2cid=53184132|date=February 1996|title=Fractal structure of sequential behaviour patterns: an indicator of stress|journal=Animal Behaviour|volume=51|issue=2|pages=437–443|doi=10.1006/anbe.1996.0040}}</ref><ref>{{Cite journal|url=https://www.ingentaconnect.com/contentone/ufaw/aw/2004/00000013/a00101s1/art00014|title=पशु कल्याण के संकेतक के रूप में पशु व्यवहार का फ्रैक्टल विश्लेषण|last1=Rutherford|first1=K. M. D.|last2=Haskell|first2=M. J.|date=February 2004|journal=Animal Welfare|access-date=2019-03-27|last3=Glasbey|first3=C.|last4=Jones|first4=R. B.|last5=Lawrence|first5=A. B.|volume=13 |issue=1 |pages=99–103 |doi=10.1017/S0962728600014433 |s2cid=146350786 }}</ref>
यह दृष्टिकोण शास्त्रीय व्यवहार मापन की तुलना में अधिक उद्देश्यपूर्ण है, जैसे कि [[आवृत्ति]]|आवृत्ति-आधारित अवलोकन जो व्यवहार की गणना द्वारा सीमित हैं, लेकिन व्यवहार के अंतर्निहित कारण में तल्लीन करने में सक्षम हैं।<ref name=":5" />फ्रैक्टल विश्लेषण का अन्य महत्वपूर्ण लाभ [[वन्यजीव]]ों के स्वास्थ्य की निगरानी करने की क्षमता और आक्रामक माप के बिना उनके प्राकृतिक आवासों में मुक्त-पशु आबादी है।
यह दृष्टिकोण शास्त्रीय व्यवहार मापन की तुलना में अधिक उद्देश्यपूर्ण है, जैसे कि [[आवृत्ति]]|आवृत्ति-आधारित अवलोकन जो व्यवहार की गणना द्वारा सीमित हैं, लेकिन व्यवहार के अंतर्निहित कारण में तल्लीन करने में सक्षम हैं।<ref name=":5" />फ्रैक्टल विश्लेषण का अन्य महत्वपूर्ण लाभ [[वन्यजीव]]ों के स्वास्थ्य की निगरानी करने की क्षमता और आक्रामक माप के बिना उनके प्राकृतिक आवासों में मुक्त-पशु आबादी है।


Revision as of 17:34, 9 May 2023

भग्न विश्लेषण आंकड़े की फ्रैक्टल विशेषताओं का आकलन कर रहा है। इसमें डेटासेट के लिए फ्रैक्टल आयाम और अन्य फ्रैक्टल विशेषताओं को असाइन करने के लिए कई विधियाँ सम्मिलित हैं जो सैद्धांतिक डेटासेट हो सकते हैं, या स्थलाकृति, प्राकृतिक ज्यामितीय वस्तुएं, पारिस्थितिकी और जलीय विज्ञान,[1] सहित घटना से निकाले गए पैटर्न या सिग्नल हो सकते हैं।[2] ध्वनि, बाजार में उतार-चढ़ाव,[3][4][5] ह्रदय दर,[6] इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राफी संकेतों में आवृत्ति डोमेन,[7][8] डिजिटल चित्र,[9] आणविक गति, और डेटा विज्ञान। फ्रैक्टल विश्लेषण अब विज्ञान के सभी क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।[10] फ्रैक्टल विश्लेषण की महत्वपूर्ण सीमा यह है कि अनुभवजन्य रूप से निर्धारित फ्रैक्टल आयाम पर पहुंचने से जरूरी नहीं है कि एक पैटर्न फ्रैक्टल है; किंतु , अन्य भग्न या विशेषताओं पर विचार करना होगा।[11] फ्रैक्टल विश्लेषण विभिन्न प्रणालियों की संरचना और कार्य के बारे में हमारे ज्ञान का विस्तार करने और अध्ययन के नए क्षेत्रों का गणितीय मूल्यांकन करने के लिए संभावित उपकरण के रूप में मूल्यवान है। भग्न कलन तैयार किया गया था जो साधारण कलन का सामान्यीकरण है।[12]

न का सामान्यीकरण है।[12]कलन तैयार किया गया था जो साधारण कलन का सामान्यीकरण है।[12]

अंतर्निहित सिद्धांत

फ्रैक्टल्स में फ्रैक्टल डायमेंशन होता है, जो स्पष्टता का माप है जो उस डिग्री को इंगित करता है जिससे ऑब्जेक्ट उपलब्ध स्थान को भरते हैं।[11][13] फ्रैक्टल डायमेंशन बदलते ऑब्जर्वेशनल माप के साथ फ्रैक्टल सेट के आकार में बदलाव को मापता है, और पूर्णांक मानों द्वारा सीमित नहीं है।[1] यह संभव है क्योंकि फ्रैक्टल का छोटा भाग पूरी तरह से मिलता-जुलता है, जो अलग-अलग पैमानों पर समान सांख्यिकी गुणों को दर्शाता है।[11] इस विशेषता को स्केल इनवेरियन कहा जाता है, और इसे स्व-समानता या स्व-संबंध के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, बाद वाला एनिसोट्रॉपिक रूप से बढ़ाया जाता है (दिशा के आधार पर)।[1] भग्न का दृश्य चाहे विस्तृत हो रहा हो या सिकुड़ रहा हो, संरचना वही रहती है और समान रूप से जटिल दिखाई देती है।[11][13] भग्न विश्लेषण जटिल प्रणालियों की समझ और लक्षण वर्णन में सहायता करने के लिए इन अंतर्निहित गुणों का उपयोग करता है। एकल विशेषता समय पैमाने, या पैटर्न की कमी के कारण फ्रैक्टल्स के उपयोग का विस्तार करना भी संभव है।[14]

उत्पत्ति पर अधिक जानकारी: फ्रैक्टल

भग्न विश्लेषण के प्रकार

विभिन्न प्रकार के भग्न विश्लेषण हैं, जिनमें बॉक्स की गिनती , कमी, द्रव्यमान विधियाँ और बहु-विश्लेषण विश्लेषण सम्मिलित हैं।[2][3][11]सभी प्रकार के भग्न विश्लेषणों की सामान्य विशेषता नमूना की आवश्यकता है जिसके विरुद्ध आउटपुट का आकलन किया जाता है।[15] इन्हें इस उद्देश्य के लिए उपयुक्त बेंचमार्क पैटर्न उत्पन्न करने में सक्षम विभिन्न प्रकार के फ्रैक्टल जनरेटिंग सॉफ्टवेयर के साथ प्राप्त किया जा सकता है, जो आम तौर पर फ्रैक्टल कला को प्रस्तुत करने के लिए डिज़ाइन किए गए सॉफ़्टवेयर से भिन्न होते हैं। अन्य प्रकारों में सम्मिलित उतार-चढ़ाव का विश्लेषण और हर्स्ट निरपेक्ष मूल्य पद्धति सम्मिलित है, जो हर्स्ट एक्सपोनेंट का अनुमान लगाते हैं।[16] परिणामों की तुलना करने और किसी के निष्कर्षों की मजबूती बढ़ाने के लिए एक से अधिक दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव दिया गया है।

अनुप्रयोग

पारिस्थितिकी और विकास

सैद्धांतिक फ्रैक्टल वक्रों के विपरीत जिसे आसानी से मापा जा सकता है और अंतर्निहित संपत्ति (गणित) की गणना की जा सकती है; प्रकृति प्रणालियाँ विषमता के स्रोत हैं और जटिल स्थान-समय संरचनाएँ उत्पन्न करती हैं जो केवल आंशिक स्व-समानता प्रदर्शित कर सकती हैं।[17][18][19] भग्न विश्लेषण का उपयोग करते हुए, यह विश्लेषण करना और पहचानना संभव है कि जटिल पारिस्थितिकी प्रणालियों की विशेषताएं कब बदली जाती हैं क्योंकि भग्न ऐसी प्रणालियों में प्राकृतिक स्पष्टता को चित्रित करने में सक्षम होते हैं।[20] इस प्रकार, भग्न विश्लेषण प्रकृति में पैटर्न की मात्रा निर्धारित करने और इन प्राकृतिक अनुक्रमों से विचलन की पहचान करने में सहायता कर सकता है। यह पारिस्थितिक तंत्र की हमारी समग्र समझ में सुधार करने और प्रकृति के कुछ अंतर्निहित संरचनात्मक तंत्रों को प्रकट करने में सहायता करता है।[13][21][22] उदाहरण के लिए, यह पाया गया कि व्यक्तिगत पेड़ के जाइलम की संरचना जंगल में पेड़ों के स्थानिक वितरण के समान वास्तुकला का पालन करती है, और यह कि जंगल में पेड़ों के वितरण में शाखाओं, स्केलिंग के समान अंतर्निहित भग्न संरचना होती है। वन स्टैंड की संरचना निर्धारित करने के लिए गणितीय रूप से पेड़ों की शाखाओं के पैटर्न का उपयोग करने में सक्षम होने के समान ही।[23][24] संरचनाओं को समझने के लिए भग्न विश्लेषण का उपयोग, और जैविक प्रणालियों में स्थानिक और लौकिक स्पष्टता का पहले ही अच्छी तरह से अध्ययन किया जा चुका है और पारिस्थितिक अनुसंधान में इसका उपयोग लगातार बढ़ रहा है।[25][26][27][28] इसके व्यापक उपयोग के बावजूद, यह अभी भी कुछ आलोचना प्राप्त करता है।[29][30]

जानवरों का व्यवहार

पशु व्यवहार में पैटर्न स्थानिक और लौकिक पैमानों पर भग्न गुण प्रदर्शित करते हैं।[16]फ्रैक्टल विश्लेषण जानवरों के व्यवहार को समझने में सहायता करता है और कैसे वे अंतरिक्ष और समय में कई पैमानों पर अपने वातावरण के साथ बातचीत करते हैं।[1]अपने संबंधित वातावरण में विभिन्न पशु आंदोलन हस्ताक्षरों को स्थानिक रूप से गैर-रैखिक भग्न पैटर्न प्रदर्शित करने के लिए पाया गया है।[31][32] इसने पारिस्थितिक व्याख्याओं को उत्पन्न किया है जैसे लेवी फ्लाइट फोर्जिंग परिकल्पना | लेवी फ्लाइट फोर्जिंग परिकल्पना, जो कुछ प्रजातियों के लिए पशु आंदोलन का अधिक सटीक वर्णन साबित हुई है।[33][34][35] भग्न समय में स्थानिक पैटर्न और पशु व्यवहार अनुक्रमों में इष्टतम स्पष्टता सीमा होती है, जिसे स्पेक्ट्रम पर होमोस्टैटिक स्थिति के रूप में माना जा सकता है जहां स्पष्टता अनुक्रम नियमित रूप से गिरना चाहिए। स्पष्टता में वृद्धि या हानि, या तो उनके व्यवहार पैटर्न में अधिक रूढ़िवादी या इसके विपरीत अधिक यादृच्छिक हो जाना, यह दर्शाता है कि व्यक्ति की कार्यक्षमता में परिवर्तन हुआ है।[14][36] फ्रैक्टल विश्लेषण का उपयोग करके, पशु व्यवहार के आंदोलन अनुक्रमिक स्पष्टता की जांच करना और यह निर्धारित करना संभव है कि क्या व्यक्ति अपनी इष्टतम सीमा से विचलन का अनुभव कर रहे हैं, जो स्थिति में बदलाव का सुझाव दे रहा है।[37][38] उदाहरण के लिए, घरेलू मुर्गियों के कल्याण का आकलन करने के लिए इसका उपयोग किया गया है,[20]मानव गड़बड़ी के जवाब में बॉटलनोज़ डॉल्फ़िन में तनाव,[39] और जापानी मकाक में परजीवी संक्रमण[38]और भेड़।[37]अनुसंधान बहुत ही जटिल संबंधों को सरल और परिमाणित करके व्यवहारिक पारिस्थितिकी के क्षेत्र को आगे बढ़ा रहा है।[40] जब पशु कल्याण और संरक्षण जीव विज्ञान की बात आती है, फ्रैक्टल विश्लेषण पशु व्यवहार पर तनाव के संभावित स्रोतों की पहचान करना संभव बनाता है, ऐसे तनाव जो शास्त्रीय व्यवहार अनुसंधान के माध्यम से हमेशा स्पष्ट नहीं हो सकते हैं।[20][41][42] यह दृष्टिकोण शास्त्रीय व्यवहार मापन की तुलना में अधिक उद्देश्यपूर्ण है, जैसे कि आवृत्ति|आवृत्ति-आधारित अवलोकन जो व्यवहार की गणना द्वारा सीमित हैं, लेकिन व्यवहार के अंतर्निहित कारण में तल्लीन करने में सक्षम हैं।[36]फ्रैक्टल विश्लेषण का अन्य महत्वपूर्ण लाभ वन्यजीवों के स्वास्थ्य की निगरानी करने की क्षमता और आक्रामक माप के बिना उनके प्राकृतिक आवासों में मुक्त-पशु आबादी है।

अनुप्रयोगों में सम्मिलित हैं

भग्न विश्लेषण के अनुप्रयोगों में सम्मिलित हैं:[43]

  • फ्रैक्टल कैलकुलेशन[12]

यह भी देखें

संदर्भ

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