हर्स्ट एक्सपोनेंट

हर्स्ट प्रतिपादक का उपयोग काल क्रम की दीर्घकालिक स्मृति के माप के रूप में किया जाता है। यह काल क्रम के स्वत: सहसंबंधों से संबंधित है, और जिस दर पर मूल्यों के जोड़े के बीच अंतराल बढ़ता है, वह घटता है। हर्स्ट प्रतिपादक से जुड़े अध्ययन मूल रूप से नील नदी की अस्थिर बारिश और सूखे की स्थिति के लिए इष्टतम बांध के आकार का निर्धारण करने के व्यावहारिक स्तिथि के लिए जल विज्ञान में विकसित किए गए थे, जो लंबे समय से देखे गए थे। नाम हर्स्ट प्रतिपादक, या हर्स्ट गुणांक, हेरोल्ड एडविन हर्स्ट (1880-1978) से निकला है, जो इन अध्ययनों में प्रमुख शोधकर्ता थे; गुणांक के लिए मानक संकेतन H का उपयोग भी उसके नाम से संबंधित है।

भग्न ज्यामिति में, 'सामान्यीकृत हर्स्ट प्रतिपादक' को H (बहुविकल्पी) या H_q बेनोइट मैंडेलब्रॉट (1924-2010) द्वारा हेरोल्ड एडविन हर्स्ट और लुडविग ओटो होल्डर (1859-1937) दोनों के सम्मान में निरूपित किया गया है। H सीधे भग्न आयाम, डी से संबंधित है, और एक डेटा श्रृंखला 'हल्के या जंगली यादृच्छिकता का एक उपाय है। हर्स्ट प्रतिपादक को निर्भरता का सूचकांक या दीर्घकालिक स्मृति का सूचकांक कहा जाता है। यह एक काल क्रम की सापेक्ष प्रवृत्ति को या तो एक दिशा में या तो दृढ़ता से प्रतिगमन या क्लस्टर करने के लिए मापता है। 0.5-1 की सीमा में एक मान H लंबी अवधि के सकारात्मक स्वतःसंबंध के साथ एक काल क्रम को इंगित करता है, जिसका अर्थ है कि ऑटो-सहसंबंध में क्षय घातांक की तुलना में धीमा है, एक पावर-लॉ टेल के बाद; श्रृंखला के लिए इसका अर्थ है कि एक उच्च मूल्य के बाद एक और उच्च मूल्य होता है और भविष्य में अधिक उच्च मूल्यों की यात्रा होती है। श्रेणी 0 - 0.5 में एक मान आसन्न जोड़े में उच्च और निम्न मानों के बीच लंबी अवधि के स्विचिंग के साथ एक काल क्रम को इंगित करता है, जिसका अर्थ है कि एक एकल उच्च मूल्य के बाद शायद कम मूल्य होगा और उसके बाद का मूल्य होगा उच्च, भविष्य में लंबे समय तक चलने वाले उच्च और निम्न मूल्यों के बीच स्विच करने की प्रवृत्ति के साथ, एक शक्ति नियम का भी पालन करना है। H = 0.5 का मान दीर्घकालिक स्मृति को इंगित करता है। लघु-स्मृति, (पूर्ण) स्वत: सहसंबंधों के साथ शून्य से तीव्रता से क्षय हो रहा है।

परिभाषा

हर्स्ट प्रतिपादक, H, को काल क्रम के समय अवधि के एक फलन के रूप में पुन: मापक्रम किए गए श्रेणी के अनंतस्पर्शी व्यवहार के संदर्भ में परिभाषित किया गया है;

$$\mathbb {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H}{\text{ as }}n\to \infty \,,$$

जहाँ

• $R(n)$ माध्य से पहले $n$ संचयी विचलन की सीमा है
• $S(n)$ प्रथम n मानक विचलन की श्रृंखला (योग) है
• $\mathbb {E} \left[x\right]\,$ अपेक्षित मूल्य है
• $n$ अवलोकन का समय अवधि है (एक काल क्रम में डेटा बिंदुओं की संख्या)
• $C$ एक स्थिरांक है।

भग्न आयाम से संबंध

स्व-समान काल क्रम के लिए, H सीधे भग्न आयाम से संबंधित है, D, जहां 1 <D <2, जैसे कि D = 2 - H। हर्स्ट प्रतिपादक के मान 0 और 1 के बीच भिन्न होते हैं, उच्च मूल्यों के साथ एक निर्बाध प्रवृत्ति, कम अस्थिरता और कम संकेत मिलता है।

अधिक सामान्य काल क्रम या बहु-आयामी प्रक्रिया के लिए, हर्स्ट प्रतिपादक और आंशिक आयाम को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, क्योंकि हर्स्ट प्रतिपादक असीमित रूप से लंबी अवधि में संरचना का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि आंशिक आयाम असीमित रूप से छोटी अवधि में संरचना का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रतिपादक का आकलन

साहित्य में दीर्घकालिक स्मृति के कई अनुमानक प्रस्तावित किए गए हैं। मैंडेलब्रॉट और वालिस द्वारा लोकप्रिय तथाकथित पुनर्वर्धित श्रेणी (आर/एस) विश्लेषण सबसे पुराना और सबसे प्रसिद्ध है और हर्स्ट के पिछले जल विज्ञान संबंधी निष्कर्षों पर आधारित है। विकल्प में उतार-चढ़ाव का विश्लेषण, पीरियडोग्राम प्रतिगमन, एकत्रित प्रसरण, स्थानीय व्हिटिल के अनुमानक, तरंगिका विश्लेषण, दोनों समय कार्यछेत्र और आवृत्ति कार्यछेत्र में सम्मिलित हैं।

पुनर्वर्धित श्रेणी (आर/एस) विश्लेषण

हर्स्ट प्रतिपादक का अनुमान लगाने के लिए, पहले अवलोकन के समय अवधि n पर पुनर्वर्धित सीमा की निर्भरता का अनुमान लगाना चाहिए। पूर्ण लंबाई N की एक काल क्रम को लंबाई n = N, N/2, N/4, ... की छोटी काल क्रम की संख्या में विभाजित किया जाता है, फिर औसत रीमापक्रम्ड श्रेणी की गणना n के प्रत्येक मान के लिए की जाती है।

लंबाई की (आंशिक) काल क्रम के लिए $n$, $X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,$, पुनः मापक्रम की गई श्रेणी की गणना निम्न प्रकार से की जाती है:

1. माध्य की गणना करें;
   $$m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,.$$
2. औसत-समायोजित श्रृंखला बनाएं;
   $$Y_{t}=X_{t}-m\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.$$
3. संचयी विचलन श्रृंखला $Z$ की गणना करें;
   $$Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.$$
4. सीमा $R$ की गणना करें;
   $$R(n)=\operatorname {max} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right)-\operatorname {min} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right).$$
5. मानक विचलन $S$ की गणना करें;
   $$S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.$$
6. रीमापक्रम्ड श्रेणी $R(n)/S(n)$ और लंबाई की सभी आंशिक काल क्रम की औसत $n$ की गणना करें

हर्स्ट प्रतिपादक का अनुमान बिजली नियम $\mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}$ को डेटा के लिए उपयुक्त करके लगाया जाता है। यह $\log[R(n)/S(n)]$ के एक फलन के रूप में $\log n$ आलेखन द्वारा किया जा सकता है, और एक सीधी रेखा उपयुक्त करना; रेखा का ढलान $H$ देता है (एक अधिक राजसी दृष्टिकोण शक्ति नियम को अधिकतम-संभावना वाले कार्य प्रणाली में उपयुक्त करता है)। ऐसे लेखाचित्र को रेखा चित्र कहा जाता है। हालाँकि, यह दृष्टिकोण घात-नियम प्रतिपादक के पक्षपाती अनुमानों का उत्पादन करने के लिए जाना जाता है। छोटे के लिए $n$ 0.5 ढलान से महत्वपूर्ण विचलन है। अनीस और लॉयड अनुमानित सैद्धांतिक (यानी, ष्वेत रव के लिए) आर/एस आंकड़े के मान:

$$\mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}$$

जहाँ $\Gamma$ यूलर गामा फलन है। अनीस-लॉयड संशोधित आर/एस हर्स्ट प्रतिपादक की गणना 0.5 प्लस के ढलान $R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]$ के रूप में की जाती है।

विश्वास्यता अंतराल

अब तक के अधिकांश हर्स्ट प्रतिपादक अनुमानकों के लिए कोई विषम वितरण सिद्धांत प्राप्त नहीं किया गया है। हालाँकि, वेरोन स्वोत्थान (सांख्यिकी) का उपयोग दो सबसे लोकप्रिय तरीकों के विश्वास्यता अंतराल के लिए अनुमानित कार्यात्मक रूपों को प्राप्त करने के लिए किया जाता है, अर्थात, अनीस-लॉयड द्वारा संशोधित आर/एस विश्लेषण के लिए:

स्तर	निम्न परिबंध	उपरिसीमा
90%	0.5 − exp(−7.35 log(log M) + 4.06)	exp(−7.07 log(log M) + 3.75) + 0.5
95%	0.5 − exp(−7.33 log(log M) + 4.21)	exp(−7.20 log(log M) + 4.04) + 0.5
99%	0.5 − exp(−7.19 log(log M) + 4.34)	exp(−7.51 log(log M) + 4.58) + 0.5

और Detrended उतार-चढ़ाव विश्लेषण के लिए:

स्तर	निम्न परिबंध	उपरिसीमा
90%	0.5 − exp(−2.99 log M + 4.45)	exp(−3.09 log M + 4.57) + 0.5
95%	0.5 − exp(−2.93 log M + 4.45)	exp(−3.10 log M + 4.77) + 0.5
99%	0.5 − exp(−2.67 log M + 4.06)	exp(−3.19 log M + 5.28) + 0.5

यहाँ $M=\log _{2}N$ और $N$ श्रृंखला की लंबाई है। दोनों ही स्तिथियों में केवल लंबाई की उपश्रेणी $n>50$ हर्स्ट प्रतिपादक का आकलन करने के लिए विचार किया गया; छोटी लंबाई की उपश्रेणियाँ R/S अनुमानों के उच्च विचरण की ओर ले जाती हैं।

सामान्यीकृत प्रतिपादक

बुनियादी हर्स्ट प्रतिपादक परिवर्तनों के अपेक्षित आकार से संबंधित हो सकता है, टिप्पणियों के बीच अंतराल के एक फलन के रूप में, जैसा कि E(|X)_t+τ-X_t|²) द्वारा मापा जाता है। गुणांक के सामान्यीकृत रूप के लिए, यहाँ घातांक को एक अधिक सामान्य शब्द से बदल दिया जाता है, जिसे q द्वारा निरूपित किया जाता है।

H के आकलन के लिए कई तरह की तकनीकें उपस्थित हैं, हालांकि अनुमान की सटीकता का आकलन करना एक जटिल परिस्थिति सकती है। गणितीय रूप से, एक तकनीक में, हर्स्ट प्रतिपादक का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है :

$$H_{q}=H(q),$$

एक काल क्रम के लिए

$$g(t),t=1,2,\dots$$

इसके बीजगणितीय संरचना कार्यों $S_{q}$ ($\tau$) के प्रवर्धन गुणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है :

$$S_{q}=\langle |g(t+\tau )-g(t)|^{q}\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},$$

जहाँ $q>0$, $\tau$ समयांतर है और औसतीकरण टाइम विंडो के ऊपर है

$$t\gg \tau ,$$

सामान्यतः प्रणाली का सबसे बड़ा समय मापक्रम है।

व्यावहारिक रूप से, प्रकृति में, समय की कोई सीमा नहीं है, और इस प्रकार H गैर-नियतात्मक है क्योंकि यह केवल देखे गए डेटा के आधार पर अनुमान लगाया जा सकता है; उदाहरण के लिए, शेयर बाज़ार तालिका में अब तक देखी गई सबसे नाटकीय दैनिक वृद्धि किसी बाद के दिनों में हमेशा पार हो सकती है। उपरोक्त गणितीय आकलन तकनीक में, फलन H(q) मापक्रम $\tau$ पर औसत सामान्यीकृत अस्थिरता के बारे में जानकारी सम्मिलित है (केवल q = 1, 2 का उपयोग अस्थिरता को परिभाषित करने के लिए किया जाता है)। विशेष रूप से, H1 प्रतिपादक प्रवृत्ति के लगातार H₁ > 1⁄2 या एंटीपर्सिस्टेंट H₁ < 1⁄2 व्यवहार को इंगित करता है।

BRW के लिए (भूरा रव, $1/f^{2}$) मिलता है

$$H_{q}={\frac {1}{2}},$$

और गुलाबी रव के लिए ($1/f$)

$$H_{q}=0.$$

सफेद रव के लिए हर्स्ट प्रतिपादक आयाम निर्भर है, और 1D और 2D के लिए यह है

$$H_{q}^{1D}={\frac {1}{2}},\quad H_{q}^{2D}=-1.$$

लोकप्रिय लेवी स्थिर प्रक्रियाओं और मापदण्ड α के साथ छोटा लेवी प्रक्रियाओं के लिए यह पाया गया है

$$H_{q}=q/\alpha ,$$

के लिए $q<\alpha$ है, और $H_{q}=1$ के लिए $q\geq \alpha$ है। मल्टीफ़्रैक्टल डिट्रेंडेड अस्थिरता विश्लेषण $H(q)$ गैर-स्थिर काल क्रम से अनुमान लगाने का एक तरीका है। जब $H(q)$ q का एक गैर-रैखिक कार्य है काल क्रम एक मल्टीफ़्रैक्टल प्रणाली है।

नोट

उपरोक्त परिभाषा में दो अलग-अलग आवश्यकताओं को एक साथ मिलाया जाता है जैसे कि वे एक हों। यहां दो स्वतंत्र आवश्यकताएं हैं: (i) स्थिर वेतन वृद्धि, वितरण में x(t+T)-x(t)=x(T)-x(0)। यह वह स्थिति है जो लंबे समय तक स्वसंबंध उत्पन्न करती है। (ii) स्टोचैस्टिक प्रक्रिया की स्व-समानता तब विचरण प्रवर्धन उत्पन्न करती है, लेकिन लंबे समय तक स्मृति के लिए इसकी आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, दोनों मार्कोव प्रक्रियाएं (यानी, स्मृति-मुक्त प्रक्रियाएं) और 1-बिंदु घनत्व (सरल औसत) के स्तर पर आंशिक ब्राउनियन गति मापक्रम, लेकिन न तो जोड़ी सहसंबंध के स्तर पर या, तदनुसार, 2-बिंदु संभाव्यता घनत्व है।

एक कुशल बाजार के लिए एक मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत) की स्थिति की आवश्यकता होती है, और जब तक भिन्नता रैखिक नहीं होती है, तब तक यह गैर-स्थिर वेतन वृद्धि, x(t+T)-x(t)≠x(T)-x(0) उत्पन्न करता है। जोड़ी सहसंबंधों के स्तर पर मार्टिंगेल्स मार्कोवियन हैं, जिसका अर्थ है कि जोड़ी सहसंबंधों का उपयोग मार्टिंगेल बाजार को मात देने के लिए नहीं किया जा सकता है। दूसरी ओर, नॉनलाइनियर विचरण के साथ स्थिर वेतन वृद्धि, भिन्नात्मक ब्राउनियन गति की लंबी अवधि की जोड़ी स्मृति को प्रेरित करती है जो जोड़ी सहसंबंधों के स्तर पर बाजार को हरा देगी। ऐसा बाजार आवश्यक रूप से कुशल से बहुत दूर होगा।

हर्स्ट प्रतिपादक के माध्यम से आर्थिक काल क्रम का विश्लेषण पुनर्वर्धित श्रेणी और डिट्रेंडेड उतार-चढ़ाव विश्लेषण का उपयोग इकोनोफिजिसिस्ट ए.एफ. बारिविएरा द्वारा किया जाता है। यह पत्र दीर्घकालिक स्मृति के समय के बदलते चरित्र और इस प्रकार सूचनात्मक दक्षता का अध्ययन करता है।

डीएनए में दीर्घकालिक स्मृति की जांच के लिए हर्स्ट प्रतिपादक भी लागू किया गया है, और फोटोनिक ऊर्जा अंतराल सामग्री है।

यह भी देखें

• दीर्घकालिक स्मृति
• विषम प्रसार
• पुनर्विक्रय सीमा
• डेट्रेड उतार-चढ़ाव विश्लेषण

कार्यान्वयन

• हर्स्ट प्रतिपादक के आर/एस, डीएफए, पीरियडोग्राम रिग्रेशन और वेवलेट अनुमानों की गणना के लिए मैटलैब कोड और उनके संबंधित कॉन्फिडेंस इंटरवल आरईपीईसी से उपलब्ध है: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• पायथन में आर/एस का कार्यान्वयन: https://github.com/Mottl/hurst और पायथन में डीएफए और एमएफडीएफए: https://github.com/LRydin/MFDFA
• वास्तविक हर्स्ट और जटिल हर्स्ट की गणना के लिए मैटलैब कोड: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• ऐसा करने के लिए एक्सेल शीट का भी इस्तेमाल किया जा सकता है: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator