रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन: Difference between revisions

Latest revision as of 09:42, 26 May 2023

रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन का एनिमेशन, वह टेट्राहेड्रोन भी दिखा रहा है जिससे यह बना है।

चार गेंदें एक-दूसरे को काटकर रेउलेक्स टेट्राहेड्रॉन बनाती हैं।

File:Reuleaux-tetrahedron-ygy.stlरेलेक्स टेट्राहेड्रॉन त्रिज्या s की चार बॉल (गणित) का प्रतिच्छेदन है, जो एक नियमित टेट्राहेड्रोन के वर्टेक्स (ज्यामिति) पर केंद्रित होती है, जिसकी लंबाई s होती है^[1] प्रत्येक शीर्ष पर केन्द्रित गेंद की गोलाकार सतह अन्य तीन शीर्षों से होकर निकलती है, जो रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन के शीर्ष भी बनाते हैं। इस प्रकार प्रत्येक गेंद का केंद्र अन्य तीन गेंदों की सतहों पर होता है। रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन में नियमित टेट्राहेड्रॉन के समान फलक की संरचना होती है, किन्तु घुमावदार चेहरों के साथ: चार कोने, और चार घुमावदार फलक, छह गोलाकार-चाप किनारों से जुड़े होते हैं।

इस आकार को परिभाषित किया गया है और रेलेक्स त्रिकोण के अनुरूप नाम दिया गया है, जो निरंतर चौड़ाई का द्वि-आयामी वक्र है; दोनों आकृतियों का नाम 19वीं शताब्दी के जर्मन इंजीनियर फ्रांज रेलॉक्स के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने मशीनों द्वारा प्रकार की गति को दूसरे में बदलने के विधियों पर अग्रणी काम किया था। गणितीय साहित्य में बार-बार दावा किया जा सकता है कि रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन समान रूप से निरंतर चौड़ाई की सतह है, किन्तु यह सच नहीं है: विपरीत किनारों के दो मध्य बिंदु बड़ी दूरी से अलग होते हैं,

\left({\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\cdot s\approx 1.0249s.

मात्रा और सतह क्षेत्र

रेलॉक्स टेट्राहेड्रॉन का आयतन है^[1]

{\frac {s^{3}}{12}}(3{\sqrt {2}}-49\pi +162\tan ^{-1}{\sqrt {2}}\;\!)={\frac {s^{3}}{12}}\left(32\pi -81\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)+3{\sqrt {2}}\right)\approx 0.422s^{3}.

पृष्ठीय क्षेत्रफल है^[1]

\left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\approx 2.975s^{2}.

मीस्नर बॉडीज

अर्न्स्ट मीस्नर और फ्रेडरिक शिलिंग^[2] गोलाकार चाप के घूर्णन की सतहों के रूप में गठित घुमावदार पैच द्वारा इसके तीन किनारे वाले चापों को बदलकर, स्थिर चौड़ाई की सतह बनाने के लिए रेउलॉक्स टेट्राहेड्रॉन को संशोधित करने का विधि दिखाया। जिसके अनुसार तीन किनारे चापों को प्रतिस्थापित (तीन जिनमें सामान्य शीर्ष या तीन जो त्रिभुज बनाते हैं) किया जाता है परिणामस्वरूप दो गैर-समरूप आकार होते हैं जिन्हें कभी-कभी मीस्नर बॉडी या मीस्नर टेट्राहेड्रा कहा जाता है।^[3]

Unsolved problem in mathematics:

Are the two Meissner tetrahedra the minimum-volume three-dimensional shapes of constant width?

(more unsolved problems in mathematics)

बोनेसेन और फेन्शेल^[4] ने अनुमान लगाया कि मीस्नर टेट्राहेड्रा निरंतर चौड़ाई की न्यूनतम मात्रा वाली त्रि-आयामी आकृतियाँ हैं जो एक अनुमान है जो अभी भी खुला है।^[5] इस समस्या के संबंध में कैंपी कोलेसेंटी और ग्रोन्ची^[6] ने दिखाया कि निरंतर चौड़ाई के साथ क्रांति की न्यूनतम आयतन सतह अपने समरूपता अक्षों में से एक के माध्यम से रेउलेक्स त्रिकोण की क्रांति की सतह है।

मैन रे की पेंटिंग्स में से एक, हेमलेट, मीस्नर टेट्राहेड्रॉन की ली गई तस्वीर पर आधारित थी,^[7] जिसे उन्होंने शेक्सपियर के हेमलेट से योरिक का सिर और ओफेलिया के स्तन दोनों के समान माना था।^[8]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W (2008), Reuleaux Tetrahedron, MathWorld–A Wolfram Web Resource
↑ Meissner, Ernst; Schilling, Friedrich (1912), "Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite", Z. Math. Phys., 60: 92–94
↑ Weber, Christof (2009). "What does this solid have to do with a ball?" (PDF).
↑ Bonnesen, Tommy; Fenchel, Werner (1934), Theorie der konvexen Körper, Springer-Verlag, pp. 127–139
↑ Kawohl, Bernd; Weber, Christof (2011), "Meissner's Mysterious Bodies" (PDF), Mathematical Intelligencer, 33 (3): 94–101, doi:10.1007/s00283-011-9239-y, S2CID 120570093
↑ Campi, Stefano; Colesanti, Andrea; Gronchi, Paolo (1996), "Minimum problems for volumes of convex bodies", Partial Differential Equations and Applications: Collected Papers in Honor of Carlo Pucci, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, no. 177, Marcel Dekker, pp. 43–55, doi:10.1201/9780203744369-7
↑ Swift, Sara (April 20, 2015), "Meaning in Man Ray's Hamlet", Experiment Station, The Phillips Collection.
↑ Dorfman, John (March 2015), "Secret Formulas: Shakespeare and higher mathematics meet in Man Ray's late, great series of paintings, Shakespearean Equations", Art & Antiques, And as for Hamlet, Man Ray himself broke his rule and offered a little commentary: 'The white triangular bulging shape you see in Hamlet reminded me of a white skull"—no doubt referring to the skull of Yorick that Hamlet interrogates in play—"a geometric skull that also looked like Ophelia's breast. So I added a small pink dot at one of the three corners—a little erotical touch, if you will!'

बाहरी संबंध

Lachand-Robert, Thomas; Oudet, Édouard. "Spheroforms".
Weber, Christof. "Bodies of Constant Width". There are also films and even interactive pictures of both Meissner bodies.
Roberts, Patrick. "Spheroform with Tetrahedral Symmetry". Includes 3D pictures and link to mathematical paper showing proof of constant width.

[Weisstein-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W (2008), Reuleaux Tetrahedron, MathWorld–A Wolfram Web Resource

[Meissner-2] Meissner, Ernst; Schilling, Friedrich (1912), "Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite", Z. Math. Phys., 60: 92–94

[weber-3] Weber, Christof (2009). "What does this solid have to do with a ball?" (PDF).

[bonnesen-4] Bonnesen, Tommy; Fenchel, Werner (1934), Theorie der konvexen Körper, Springer-Verlag, pp. 127–139

[5] Kawohl, Bernd; Weber, Christof (2011), "Meissner's Mysterious Bodies" (PDF), Mathematical Intelligencer, 33 (3): 94–101, doi:10.1007/s00283-011-9239-y, S2CID 120570093

[campi-6] Campi, Stefano; Colesanti, Andrea; Gronchi, Paolo (1996), "Minimum problems for volumes of convex bodies", Partial Differential Equations and Applications: Collected Papers in Honor of Carlo Pucci, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, no. 177, Marcel Dekker, pp. 43–55, doi:10.1201/9780203744369-7

[7] Swift, Sara (April 20, 2015), "Meaning in Man Ray's Hamlet", Experiment Station, The Phillips Collection.

[8] Dorfman, John (March 2015), "Secret Formulas: Shakespeare and higher mathematics meet in Man Ray's late, great series of paintings, Shakespearean Equations", Art & Antiques, And as for Hamlet, Man Ray himself broke his rule and offered a little commentary: 'The white triangular bulging shape you see in Hamlet reminded me of a white skull"—no doubt referring to the skull of Yorick that Hamlet interrogates in play—"a geometric skull that also looked like Ophelia's breast. So I added a small pink dot at one of the three corners—a little erotical touch, if you will!'

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 {{short description|Shape formed by intersecting four balls}}
 [[Image:ReuleauxTetrahedron Animation.gif|frame|right|रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन का एनिमेशन, वह टेट्राहेड्रोन भी दिखा रहा है जिससे यह बना है।]]
-[[Image:Reuleaux-tetrahedron-intersection.png|thumb|चार गेंदें एक-दूसरे को काटकर एक रेउलेक्स टेट्राहेड्रॉन बनाती हैं।]]
+[[Image:Reuleaux-tetrahedron-intersection.png|thumb|चार गेंदें एक-दूसरे को काटकर रेउलेक्स टेट्राहेड्रॉन बनाती हैं।]]
-[[File:Reuleaux-tetrahedron-ygy.stl|thumb|रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन]]Reuleaux टेट्राहेड्रॉन त्रिज्या ''s'' की चार बॉल (गणित) का प्रतिच्छेदन है, जो पार्श्व लंबाई ''s'' के साथ एक नियमित [[ चतुर्पाश्वीय ]] के [[वर्टेक्स (ज्यामिति)]] पर केंद्रित है।<ref name=Weisstein/>प्रत्येक शीर्ष पर केन्द्रित गेंद की गोलाकार सतह अन्य तीन शीर्षों से होकर गुजरती है, जो रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन के शीर्ष भी बनाते हैं। इस प्रकार प्रत्येक गेंद का केंद्र अन्य तीन गेंदों की सतहों पर होता है। रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन में नियमित टेट्राहेड्रॉन के समान चेहरे की संरचना होती है, लेकिन घुमावदार चेहरों के साथ: चार कोने, और चार घुमावदार चेहरे, छह गोलाकार-चाप किनारों से जुड़े होते हैं।
+[[File:Reuleaux-tetrahedron-ygy.stl|thumb|रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन]]'''रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन''' त्रिज्या ''s'' की चार बॉल (गणित) का प्रतिच्छेदन है, जो एक नियमित [[ चतुर्पाश्वीय |टेट्राहेड्रोन]] के [[वर्टेक्स (ज्यामिति)]] पर केंद्रित होती है, जिसकी लंबाई s होती है<ref name=Weisstein/> प्रत्येक शीर्ष पर केन्द्रित गेंद की गोलाकार सतह अन्य तीन शीर्षों से होकर निकलती है, जो रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन के शीर्ष भी बनाते हैं। इस प्रकार प्रत्येक गेंद का केंद्र अन्य तीन गेंदों की सतहों पर होता है। रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन में नियमित टेट्राहेड्रॉन के समान फलक की संरचना होती है, किन्तु घुमावदार चेहरों के साथ: चार कोने, और चार घुमावदार फलक, छह गोलाकार-चाप किनारों से जुड़े होते हैं।
-इस आकार को परिभाषित किया गया है और Reuleaux त्रिकोण के अनुरूप नाम दिया गया है, जो निरंतर चौड़ाई का द्वि-आयामी वक्र है; दोनों आकृतियों का नाम 19वीं सदी के एक जर्मन इंजीनियर [[फ्रांज रेलॉक्स]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने मशीनों द्वारा एक प्रकार की गति को दूसरे में बदलने के तरीकों पर अग्रणी काम किया था। गणितीय साहित्य में बार-बार दावा किया जा सकता है कि रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन समान रूप से [[निरंतर चौड़ाई की सतह]] है, लेकिन यह सच नहीं है: विपरीत किनारों के दो मध्य बिंदु एक बड़ी दूरी से अलग होते हैं,
+इस आकार को परिभाषित किया गया है और रेलेक्स त्रिकोण के अनुरूप नाम दिया गया है, जो निरंतर चौड़ाई का द्वि-आयामी वक्र है; दोनों आकृतियों का नाम 19वीं शताब्दी के जर्मन इंजीनियर [[फ्रांज रेलॉक्स]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने मशीनों द्वारा प्रकार की गति को दूसरे में बदलने के विधियों पर अग्रणी काम किया था। गणितीय साहित्य में बार-बार दावा किया जा सकता है कि रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन समान रूप से [[निरंतर चौड़ाई की सतह]] है, किन्तु यह सच नहीं है: विपरीत किनारों के दो मध्य बिंदु बड़ी दूरी से अलग होते हैं,
 :<math>\left(\sqrt3 - \frac{\sqrt2}2 \right) \cdot s\approx 1.0249s.</math>
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 == मीस्नर बॉडीज ==
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-[[Category: यूक्लिडियन ठोस ज्यामिति]] [[Category: ज्यामितीय आकार]] [[Category: लगातार चौड़ाई]]
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