अदिश क्षेत्र सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 15:56, 29 May 2023

सैद्धांतिक भौतिकी में अदिश क्षेत्र सिद्धांत अदिश क्षेत्रों के सापेक्षिक रूप से अपरिवर्तनीय चिरसम्मत क्षेत्र सिद्धांत या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का उल्लेख कर सकता है। किसी भी लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत अदिश क्षेत्र अपरिवर्तनीय होता है।^[1]

प्रकृति में देखा गया एकमात्र मौलिक अदिश क्वांटम क्षेत्र हिग्स क्षेत्र है। हालांकि कई भौतिक घटनाओं के प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत विवरण में अदिश क्वांटम क्षेत्र की विशेषता है। एक उदाहरण 'पाइऑन' है जो वास्तव में एक छद्म अदिश है।^[2]

चूँकि उनमें ध्रुवीकरण की समिश्रताएँ सम्मिलित नहीं होती हैं इसलिए अदिश क्षेत्र प्रायः दूसरे परिमाणीकरण का मूल्यांकन करने के लिए सबसे आसान होते हैं। इस कारण से अदिश क्षेत्र सिद्धांतों का प्रयोग प्रायः नवीन अवधारणाओं और तकनीकों के प्रारम्भिक उद्देश्यों के लिए किया जाता है।^[3] जिसका नियोजित [[मीट्रिक हस्ताक्षर|मापीय चिन्ह $(+, -, -, -)$ ]] है।

चिरसम्मत अदिश क्षेत्र सिद्धांत

इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। अदिश क्षेत्र सिद्धांत का ए.मॉडर्न प्राइमर द्वितीय संस्करण है और यूएसए वेस्टव्यू संस्करण ISBN 0-201-30450-3, सीएच-1 है।

रेखीय सिद्धांत

सबसे सामान्य अदिश क्षेत्र सिद्धांत रेखीय सिद्धांत है। क्षेत्र सिद्धांत के फूरियर रूपांतरण के माध्यम से यह युग्मित दोलक की अनंतता के सामान्य मोड का प्रतिनिधित्व करता है। जहां दोलित्र सूचकांक i की नियमित सीमा x द्वारा निरूपित की जाती है। तब मुक्त आपेक्षिकीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए फलन है:

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}

जहां ${\mathcal {L}}$ लाग्रंगियन घनत्व को $d 4-1 x \equiv dx \cdot dy \cdot dz \equiv dx 1 \cdot dx 2 \cdot dx 3$ के रूप में जाना जाता है। तीन स्थानिक निर्देशांक के लिए $δ ij$ क्रोनकर डेल्टा फलन, $\partial ρ = \partial / \partialx ρ$ और $ρ$ -वें समन्वय फलन के लिए $x ρ$ है।

यह द्विघात फलन का एक उदाहरण है क्योंकि प्रत्येक पद क्षेत्र में द्विघात है, $φ$ कण द्रव्यमान के संदर्भ में इस सिद्धांत के राशित्मक संस्करण में m² के आनुपातिक शब्द को कभी-कभी इसके बाद की व्याख्या के कारण द्रव्यमान शब्द के रूप में जाना जाता है।

इस सिद्धांत के लिए गति का समीकरण उपरोक्त फलन को विस्तृत करके प्राप्त किया जाता है। यह φ में निम्नलिखित रूप रैखिक रूप प्राप्त करता है:

\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,

जहाँ ∇² लाप्लास संक्रियक है। यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण है, जिसकी व्याख्या क्वांटम-यांत्रिक तरंग समीकरण के अतिरिक्त चिरसम्मत क्षेत्र समीकरण के रूप में की जाती है।

अरेखीय सिद्धांत

ऊपर दिए गए रैखिक सिद्धांत का सबसे सामान्य सामान्यीकरण लाग्रंगियन यांत्रिकी में एक अदिश क्षमता $V (Φ)$ ) जोड़ना है, जहां सामान्यतः द्रव्यमान शब्द के अतिरिक्त V $Φ$ में एक बहुपद है। इस प्रकार के सिद्धांत को कभी-कभी अंतःक्रियात्मक कहा जाता है, क्योंकि यूलर-लग्रेंज समीकरण अब अरैखिक है। अर्थात अंतःक्रिया का अर्थ है कि इस प्रकार के सबसे सामान्य सिद्धांत के लिए फलन है:

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -V(\phi )\right]\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}

विस्तार में n कारक प्रस्तुत किए गए हैं क्योंकि वे क्वांटम सिद्धांत के रिचर्ड फेनमैन विस्तार में उपयोगी हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

गति का संगत यूलर-लैग्रेंज समीकरण है:

\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +V'(\phi )=0.

आयामी विश्लेषण और प्रवर्धन

इन अदिश क्षेत्र सिद्धांतों में भौतिक राशियों में लंबाई, समय या द्रव्यमान या तीनों के कुछ संयोजन के आयाम हो सकते हैं।

हालांकि, एक सापेक्षवादी सिद्धांत में समय के आयामों के साथ किसी भी राशि $t$ को प्रकाश की गति $c$ का उपयोग करके आसानी से लंबाई $l = ct$ में परिवर्तित किया जा सकता है। इसी प्रकार कोई भी लम्बाई $l$ प्लैंक स्थिरांक $ħ$ का उपयोग करते हुए एक व्युत्क्रम द्रव्यमान $ħ = lmc$ के बराबर है। प्राकृतिक इकाइयों में समय को लंबाई के रूप में या समय और लंबाई को व्युत्क्रम द्रव्यमान के रूप में माना जाता है।

संक्षेप में, कोई भी किसी भी भौतिक राशि के आयामों के विषय में सोच सकता है। जैसा कि तीनों के अतिरिक्त केवल एक स्वतंत्र आयाम के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। इसे प्रायः राशि का द्रव्यमान आयाम कहा जाता है। प्रत्येक राशि के आयामों को जानने के बाद आयामी स्थिरता के लिए आवश्यक $ħ$ और $c$ की आवश्यक ऊर्जा को पुन: स्थापित करके इस द्रव्यमान आयाम के संदर्भ में प्राकृतिक इकाइयों की अभिव्यक्ति से पारंपरिक आयामों को विशिष्ट रूप से पुनर्स्थापित करने की स्वीकृति प्राप्त होती है।

एक बोधगम्य विशेषता यह है कि यह सिद्धांत चिरसम्मत है और इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि प्लैंक स्थिरांक सिद्धांत का एक भाग कैसा होना चाहिए। यदि वांछित है, तो वास्तव में द्रव्यमान आयामों के अतिरिक्त सिद्धांत को पुनः तैयार किया जा सकता है। हालांकि, यह क्वांटम अदिश क्षेत्र के साथ संबंध को अपेक्षाकृत अस्पष्ट करने की कीमत पर हो सकता है। यह देखते हुए कि किसी के पास द्रव्यमान के आयाम हैं, प्लैंक के स्थिरांक को यहां एक अनिवार्य रूप से अपेक्षाकृत निश्चित संदर्भ राशि के रूप में माना जाता है, जो आवश्यक रूप से परिमाणीकरण से संबद्ध नहीं है। इसलिए द्रव्यमान और व्युत्क्रम लंबाई के बीच परिवर्तित करने के लिए उपयुक्त आयाम हैं।

प्रवर्धन आयाम

चिरसम्मत प्रवर्धन आयाम या द्रव्यमान आयाम $Δ$ , $φ$ को निर्देशांक के पुनर्विक्रय के अंतर्गत क्षेत्र के परिवर्तन का वर्णन करता है:

x\rightarrow \lambda x

\phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.

संक्रियक की इकाइयां $ħ$ की इकाइयों के समान होती हैं और इसलिए संक्रियक में शून्य द्रव्यमान आयाम होता है। यह क्षेत्र $φ$ होने के प्रवर्धन आयाम को प्रयुक्त करता है:

\Delta ={\frac {D-2}{2}}.

अनुमापीय अपरिवर्तनीयता

एक विशिष्ट अर्थ है जिसमें कुछ अदिश क्षेत्र सिद्धांत अनुमापीय रूप से अपरिवर्तनीय हैं। जबकि उपरोक्त सभी फलन शून्य द्रव्यमान आयाम के लिए बनाए गए हैं। प्रवर्धन रूपांतरण के अंतर्गत सभी फलन अपरिवर्तनीय नहीं हैं:

x\rightarrow \lambda x

\phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.

सभी फलन अपरिवर्तनीय नहीं होने का कारण यह है कि सामान्यतः पैरामीटर m और $g n$ को निश्चित राशि के रूप में माना जाता है, जो उपरोक्त परिवर्तन के अंतर्गत पुन: अनुमापीय नहीं किए जाते हैं। अदिश क्षेत्र सिद्धांत के अनुमापीय अपरिवर्तनीयता होने की स्थिति तब स्पष्ट होती है जब संक्रियक में दिखाई देने वाले सभी पैरामीटर आयाम रहित राशि में होते है। दूसरे शब्दों में, एक पैमाना अपरिवर्तनीय सिद्धांत वह है जिसमें सिद्धांत में कोई निश्चित लंबाई का पैमाना (या समतुल्य द्रव्यमान पैमाना) नहीं है।

दिक्-काल आयाम $D$ के साथ अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए एकमात्र आयाम रहित पैरामीटर $g n$ , $n$ = $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}2D⁄(D − 2)$ को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, $D$ = 4 में केवल $g 4$ चिरसम्मत आयाम रहित है। इसलिए $D$ = 4 में एकमात्र चिरसम्मत अनुमापीय-अपरिवर्तनीयता अदिश क्षेत्र सिद्धांत द्रव्यमान रहित $φ$ सिद्धांत है।

हालांकि चिरसम्मत अनुमापीय अपरिवर्तनीयता सामान्य रूप से क्वांटम अनुमापीय अपरिवर्तनीयता का अर्थ नहीं है, क्योंकि यह पुनर्सामान्यीकरण समूह में सम्मिलित है। जिसके लिए नीचे बीटा फलन की चर्चा देखें।

अनुरूप आक्रमण

एक रूपांतरण $x\rightarrow {\tilde {x}}(x)$ यदि परिवर्तन यह संतुष्ट करता है तो इसे अनुरूप समरूपता कहा जाता है:

{\frac {\partial {\tilde {x^{\mu }}}}{\partial x^{\rho }}}{\frac {\partial {\tilde {x^{\nu }}}}{\partial x^{\sigma }}}\eta _{\mu \nu }=\lambda ^{2}(x)\eta _{\rho \sigma }

किसी फलन के लिए $λ (x)$ अनुरूप समूह में उपसमूहों के रूप में आव्यूह $\eta _{\mu \nu }$ (पॉइनकेयर समूह) के दोलक और ऊपर दिए गए प्रवर्धन रूपांतरण (या विस्फारण) भी सम्मिलित हैं। वास्तव में, पिछले खंड में अनुमापीय-अपरिवर्तनीयता सिद्धांत भी अनुरूप-अपरिवर्तनीय हैं।

$φ$ ⁴ सिद्धांत

बड़े पैमाने पर $φ$ ⁴ सिद्धांत अदिश क्षेत्र सिद्धांत में कई रोचक घटनाओं को दर्शाता है।

लाग्रंगियन घनत्व है:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}.

स्वतःस्फूर्त समरूपता विभाजन

इस लाग्रंगियन में रूपांतरण $φ \to - φ$ के अंतर्गत एक ℤ₂ समरूपता है। यह समष्टिटाइम समरूपता के विपरीत आंतरि क समरूपता का एक उदाहरण है।

यदि $m 2$ धनात्मक है, तो क्षमता $V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}$ मूल में एक न्यूनतम है। समाधान φ = 0 ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत स्पष्ट रूप से अपरिवर्तनीय है।

इसके विपरीत यदि $m 2$ ऋणात्मक है, तो कोई भी आसानी से देख सकता है कि क्षमता $\,V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}\!$ दो न्यूनतम हैं। इसे एक दोहरी अच्छी क्षमता के रूप में जाना जाता है, और इस प्रकार के सिद्धांत में सबसे कम ऊर्जा अवस्था (क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक भाषा में निर्वात के रूप में जाना जाता है) फलन ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं हैं वास्तव में यह दो फलन में से प्रत्येक को चित्रित करता है। इस स्थिति में ℤ₂ समरूपता को स्वतः विभाजन कहा जाता है।

गुत्थी समाधान

एक ऋणात्मक $m$ ² के साथ $φ$ ⁴ सिद्धांत का एक किंक समाधान है, जो सॉलिटॉन का एक विहित उदाहरण है। ऐसा समाधान रूप का है:

\phi ({\vec {x}},t)=\pm {\frac {m}{2{\sqrt {\frac {g}{4!}}}}}\tanh \left[{\frac {m(x-x_{0})}{\sqrt {2}}}\right]

जहाँ x स्थानिक चरों में से एक है जिसको $φ$ को $t$ और शेष स्थानिक चरों से स्वतंत्र माना जाता है। समाधान दोहरे फलन की क्षमता के दो अलग-अलग रिक्तिका के बीच प्रक्षेपित करता है। अपरिमित ऊर्जा के विलयन से गुजरे बिना किंक को निरंतर विलयन में रूपांतरण संभव नहीं है और इसी कारण से किंक को D>2 के लिए स्थिर कहा जाता है। अर्थात एक से अधिक स्थानिक आयाम वाले सिद्धांत को समाधान डोमेन वॉल फलन कहा जाता है।

गुत्थी समाधान के साथ अदिश क्षेत्र सिद्धांत का एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण साइन-गॉर्डन सिद्धांत है।

समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत

समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत में अदिश क्षेत्र वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त समिश्र संख्याओं में मान लेता है। समिश्र अदिश क्षेत्र आवेश के साथ घूर्णन 0 कण और प्रतिकण का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य रूप से मानी जाने वाली प्रतिक्रिया रूप है:

{\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial _{\nu }\phi -V(|\phi |^{2})\right]

इसमें U(1) समतुल्य O(2) समरूपता है, जिसके अदिश क्षेत्र के स्थान पर घूमती है $\phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi$ , कुछ वास्तविक चरण कोण के लिए $α$ .

इसमें U(1) समतुल्य O(2) समरूपता है। जो अदिश क्षेत्र के स्थान पर $\phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi$ कुछ वास्तविक फेज कोण α के लिए घूर्णित है।

जहां तक वास्तविक अदिश क्षेत्र की बात है यदि m² ऋणात्मक है तो स्वत: सममिति का विभाजन पाया जाता है। यह गोल्डस्टोन की मैक्सिकन हैट क्षमता को जन्म देता है जो $(\phi )$ अक्ष के विषय में 2π रेडियन द्वारा वास्तविक अदिश क्षेत्र की द्वि-वेल क्षमता का घूर्णन है। समरूपता विभाजन एक उच्च आयाम में होता है, अर्थात निर्वात का चुनाव असतत के अतिरिक्त नियमित U(1) समरूपता को विभाजित करता है। अदिश क्षेत्र के दो घटकों को बड़े पैमाने पर मोड और द्रव्यमान रहित गोल्डस्टोन बोसोन के रूप में पुन: रूपांतरित किया गया है।

O(N) सिद्धांत

समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत को दो वास्तविक क्षेत्रों φ¹ = Re φ और φ² = Im φ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो U(1) = O(2) आंतरिक समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में रूपांतरित होते हैं। हालांकि इस प्रकार के क्षेत्र आंतरिक समरूपता के अंतर्गत एक सदिश के रूप में परिवर्तित होते हैं फिर भी वे लोरेंत्ज़ अदिश होते हैं।

यह O(N) समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित होने वाले N अदिश क्षेत्रों के सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। O(N) अपरिवर्तनीयता अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए सामान्यतः लाग्रंगियन रूप होती है:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \cdot \partial _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi )

उपयुक्त O(N)-अपरिवर्तनीयता आंतरिक उत्पाद का उपयोग करके लाग्रंगियन सिद्धांत को समिश्र सदिश क्षेत्रों के लिए भी व्यक्त किया जा सकता है। अर्थात $\phi \in \mathbb {C} ^{n}$ के लिए जिस स्थिति में सममिति समूह लाई समूह SU(N) है।

गेज-क्षेत्र युग्मक

जब अदिश क्षेत्र सिद्धांत को यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए गेज अपरिवर्तनीय प्रकार से संबद्ध किया जाता है तो अतिसंवाहक के गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत को प्राप्त किया जाता है। उस सिद्धांत के टोपोलॉजिकल सॉलिटॉन एक अतिसंवाहक में चक्रवात के अनुरूप हैं। मैक्सिकन टोपी की न्यूनतम क्षमता अतिसंवाहक के अनुक्रम पैरामीटर के अनुरूप है।

क्वांटम अदिश क्षेत्र सिद्धांत

इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। अदिश क्षेत्र सिद्धांत का ए.मॉडर्न प्राइमर द्वितीय संस्करण है और यूएसए वेस्टव्यू संस्करण ISBN 0-201-30450-3, सीएच-1 है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्षेत्र और उनसे निर्मित सभी प्रेक्षणीयता को हिल्बर्ट समष्टि पर क्वांटम संक्रियकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह हिल्बर्ट समष्टि एक निर्वात स्थिति पर बनाया गया है और गतिशीलता एक क्वांटम हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा नियंत्रित होती है। जो एक धनात्मक-निश्चित संक्रियक है जो निर्वात को नष्ट कर देता है। क्वांटम अदिश क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण विहित परिमाणीकरण लेख में विस्तृत है, जो क्षेत्रों के बीच विहित कम्यूटेशन संबंधों पर निर्भर करता है। अनिवार्य रूप से चिरसम्मत दोलित्र की अनन्तता को अदिश क्षेत्र में इसके (अलग) सामान्य मोड्स के रूप में पुन: व्यवस्थित किया गया है या मानक तरीके से परिमाणित किया गया है। इसलिए संबंधित क्वांटम संक्रियक क्षेत्र संबंधित फ़ॉक समष्टि पर कार्य करने वाले क्वांटम हार्मोनिक दोलित्र की अनंतता का वर्णन करता है।

संक्षेप में आधारित चर क्वांटम क्षेत्र $φ$ और इसकी विहित गति π हैं। ये दोनों संक्रियक-मूल्यवान क्षेत्र हर्मिटियन संक्रियक हैं। स्थानिक बिंदुओं पर x→, y→ और समान समय पर उनके विहित रूपान्तरण संबंध द्वारा दिए गए हैं:

{\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y}}\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=0,\\\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=i\delta \left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}

जबकि मुक्त हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत) ऊपर के समान है:

H=\int d^{3}x\left[{1 \over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}\right].

एक स्थानिक फूरियर :रूपांतरण गति समष्टि क्षेत्रों की ओर जाती है:

{\begin{aligned}{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\phi ({\vec {x}}),\\{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\pi ({\vec {x}})\end{aligned}}

जो रूपांतरण और निर्माण संचालकों का विश्लेषण करते हैं:

{\begin{aligned}a({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}

जहाँ $E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$ .

ये संक्रियक कम्यूटेशन संबंधों को पूरा करते हैं:

{\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=(2\pi )^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}

स्थिति $|0\rangle$ को सभी संक्रियकों द्वारा समाप्त कर दिया जाता है जिसे नग्न वैक्यूम के रूप में पहचाना जाता है और संवेग k→ वाला एक कण निर्वात में $a^{\dagger }({\vec {k}})$ लगाकर बनाया जाता है।

निर्माण संचालकों के सभी संभावित संयोजनों को वैक्यूम में प्रयुक्त करने से संबंधित हिल्बर्ट समष्टि का निर्माण होता है। इस निर्माण को फॉक समष्टि कहा जाता है। हैमिल्टनियन द्वारा निर्वात को नष्ट कर दिया जाता है:

H=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}}),

जहां विक अनुक्रम द्वारा शून्य-बिंदु ऊर्जा को हटा दिया गया है। जिसके लिए विहित परिमाणीकरण देखें।

अंतःक्रिया हैमिल्टनियन को जोड़कर पारस्परिक प्रभाव को सम्मिलित किया जा सकता है। φ⁴ सिद्धांत के लिए यह एक विक अनुक्रमित शब्द g:φ4:/4 हैमिल्टनियन के लिए और x पर एकीकृत करना अंतःक्रिया छवि में इस हैमिल्टनियन से विस्तृत आयाम की गणना की जा सकती है। ये डायसन श्रृंखला के माध्यम से अस्तव्यस्तता सिद्धांत में निर्मित होते हैं जो समय अनुक्रम उत्पाद, या n-कण ग्रीन फलन $\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle$ जैसा डायसन श्रृंखला के लेख में बताया गया है। ग्रीन के फलनों को श्विंगर-डायसन समीकरण के समाधान के रूप में निर्मित फलन से भी प्राप्त किया जा सकता है।

फेनमैन पथ समाकलन

फेनमैन आरेख विस्तार फेनमैन पथ समाकलन सूत्रीकरण से भी प्राप्त किया जा सकता है।^[4] $φ$ में बहुपदों के समय क्रमित निर्वात प्रत्याशा मान जिसे n-कण मे ग्रीन फलन के रूप में जाना जाता है। सभी संभावित क्षेत्रों को एकीकृत करके निर्मित किया जाता है, बिना किसी बाहरी क्षेत्र के निर्वात अपेक्षा मान द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है:

\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.

इन सभी ग्रीन फलानो को निर्मित फलन J(x)φ(x) में घातांक का विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है:

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .

समय को काल्पनिक बनाने के लिए एक विक घूर्णन सिद्धान्त को प्रयुक्त किया जा सकता है। जिसको चिन्ह (++++) में परिवर्तित करना फिर फेनमैन समाकल को यूक्लिडियन समष्टि में एक सांख्यिकीय यांत्रिकी विभाजन फलन में परिवर्तित कर देता है:

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.

सामान्यतः यह नियत संवेग वाले कणों के प्रकीर्णन पर प्रयुक्त होता है, जिस स्थिति में फूरियर रूपांतरण उपयोगी होता है जो निम्न परिवर्तन देता है:

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{g \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.

जहाँ $\delta (x)$ डिराक डेल्टा फलन है।

सामान्यतः इस कार्यात्मक समाकल का मूल्यांकन करने के लिए मानक चाल इसे घातीय कारकों के उत्पाद के रूप में लिखना है:

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].

दूसरे दो घातीय कारकों को घात श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है और इस विस्तार के साहचर्य को क्वार्टिक प्रभाव के फेनमैन आरेख के माध्यम से आरैखिक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। g = 0 के साथ समाकल को अनंत रूप से कई प्राथमिक गॉसियन समाकलन के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है। परिणाम को फेनमैन आरेखों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी गणना निम्नलिखित फेनमैन नियमों का उपयोग करके की जाती है:

प्रत्येक क्षेत्र ~φ(p) के n बिंदु यूक्लिडियन ग्रीन फलन को आरेख में एक बाहरी रेखा (अर्ध-शीर्ष) द्वारा दर्शाया गया है जो गति p के साथ संबद्ध है।
प्रत्येक शीर्ष को गुणक g द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी दिए गए क्रम gk पर n बाहरी रेखाओं और k शीर्षों वाले सभी आरेख इस प्रकार निर्मित होते हैं कि प्रत्येक शीर्ष में प्रवाह संवेग शून्य होता है। प्रत्येक आंतरिक रेखा को प्रचारक 1/(q² + m²) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां q उस रेखा के माध्यम से प्रवाहित गति है।
कोई भी अप्रतिबंधित संवेग सभी मान पर एकीकृत होता है।
परिणाम को एक समरूपता कारक द्वारा विभाजित किया जाता है जो कि इसकी सहसंबद्धता को परिवर्तित किए बिना आरेख की रेखाओं और शीर्षों को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है।
रिक्त समष्टि वाले आरेख को सम्मिलित न करें, जो अतिरिक्त किसी बाहरी रेखा के सम्बद्ध उप आरेख हैं।

अंतिम नियम [0] से विभाजित करने के प्रभाव को ध्यान में रखता है। जो मिन्कोव्स्की-समष्टि फेनमैन नियम के समान हैं। इसके अतिरिक्त प्रत्येक शीर्ष को −ig द्वारा दर्शाया गया है जबकि प्रत्येक आंतरिक रेखा को एक प्रचारकi/(q²−m²+iε) द्वारा दर्शाया गया है, जहां ε शब्द मिन्कोव्स्की-समष्टि गॉसियन समाकल अभिसरण बनाने के लिए आवश्यक छोटे विक आवर्त का प्रतिनिधित्व करता है।

नवीनीकरण

अप्रतिबंधित संवेग पर समाकल, जिसे "लूप समाकलन" कहा जाता है। फेनमैन आरेख में सामान्यतः अलग हो जाते हैं। इसे सामान्यतः पुनर्सामान्यीकरण द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जो लैग्रैन्जियन में अलग-अलग प्रति-अवधि को इस समय से जोड़ने की एक प्रक्रिया है कि मूल लैग्रेंजियन और प्रति-अवधि से निर्मित आरेख परिमित हैं।^[5] प्रक्रिया में एक पुनर्सामान्यीकरण पैमाना प्रस्तुत किया जाता है। जिससे युग्मन स्थिरांक और द्रव्यमान इस पर निर्भर हो जाते हैं।

अनुमापीय λ पर युग्मन स्थिरांक $g$ की निर्भरता $λ$ को बीटा फलन (भौतिकी) $β (g)$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

\beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }}~.

ऊर्जा पैमाने पर इस निर्भरता को युग्मन पैरामीटर के रूप में जाना जाता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इस व्यवस्थित पैमाने के निर्भरता के सिद्धांत को पुनर्संरचना समूह द्वारा वर्णित किया गया है।

बीटा-फलन की गणना सामान्यतः एक सन्निकटन योजना में की जाती है, सबसे सामान्य रूप से अस्तव्यस्तता सिद्धांत, जहां कोई यह मानता है कि युग्मन स्थिरांक छोटा है। इसके बाद कोई युग्मन पैरामीटर को ऊर्जा में विस्तार कर सकता है। और उच्च-क्रम शर्तों को अपेक्षाकृत कम कर सकता है। इसी फेनमैन आरेख को लूप की संख्या के कारण उच्च लूप योगदान के रूप में भी जाना जाता है।

$φ$ ⁴ सिद्धांत के लिए एक लूप पर β-फलन है:

\beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.

तथ्य यह है कि निम्नतम-क्रम अवधि के सामने संकेत धनात्मक है जो कि यह बताता है कि युग्मन स्थिरांक ऊर्जा के साथ बढ़ता है। यदि यह अनुक्रम बड़े युग्मों पर बना रहता है, तो यह क्वांटम तुच्छता से उत्पन्न होने वाली परिमित ऊर्जा पर लैंडौ ध्रुव की उपस्थिति का संकेत देता है। हालाँकि प्रश्न का उत्तर केवल गैर-विक्षोभ रूप से दिया जा सकता है, क्योंकि इसमें समिश्र युग्मन सम्मिलित है।

एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को तुच्छ कहा जाता है, जब इसके बीटा फलन के माध्यम से गणना किए जाना वाला पुनर्सामान्यीकृत युग्मन शून्य हो जाता है। जब पराबैंगनी कटऑफ़ हटा दी जाती है। जिसके परिणाम स्वरूप प्रचारक एक मुक्त कण बन जाता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत परस्पर क्रिया नहीं करता है।

$φ$ ⁴ सिद्धांत अंतःक्रिया के लिए माइकल आइज़ेनमैन ने सिद्ध किया कि समष्टि समय आयाम $D$ ≥ 5 के लिए सिद्धांत वास्तव में तुच्छ है।^[6] $D$ = 4 के लिए, तुच्छता को अभी तक जटिलता से सिद्ध किया जाना है, लेकिन समस्त गणनाओ ने इसके लिए जटिल प्रमाण प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम तुच्छता का उपयोग हिग्स बॉसन द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने या पूर्वानुमानित करने के लिए भी किया जा सकता है। यह स्पर्शोन्मुख सुरक्षा परिदृश्यों में एक अनुमानित हिग्स द्रव्यमान भी उत्पन्न कर सकता है।^[7]

यह भी देखें

पुनर्सामान्यीकरण
क्वांटम तुच्छता
लैंडौ पोल
अनुमापीय अपरिवर्तनीयता (सीएफटी विवरण)
अदिश विद्युत् गतिकी

↑ i.e., it transforms under the trivial $(0, 0)$ -representation of the Lorentz group, leaving the value of the field at any spacetime point unchanged, in contrast to a vector or tensor field, or more generally, spinor-tensors, whose components undergo a mix under Lorentz transformations. Since particle or field spin by definition is determined by the Lorentz representation under which it transforms, all scalar (and pseudoscalar) fields and particles have spin zero, and are as such bosonic by the spin statistics theorem. See Weinberg 1995, Chapter 5
↑ This means it is not invariant under parity transformations which invert the spatial directions, distinguishing it from a true scalar, which is parity-invariant.See Weinberg 1998, Chapter 19
↑ Brown, Lowell S. (1994). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46946-3. Ch 3.
↑ A general reference for this section is Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second ed.). USA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3.
↑ See the previous reference, or for more detail, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (2006-02-24). Quantum Field Theory. Dover. ISBN 0-07-032071-3.
↑ Aizenman, M. (1981). "Proof of the Triviality of ϕ⁴
_d Field Theory and Some Mean-Field Features of Ising Models for d > 4". Physical Review Letters. 47 (1): 1–4. Bibcode:1981PhRvL..47....1A. doi:10.1103/PhysRevLett.47.1.
↑ Callaway, D. J. E. (1988). "Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?". Physics Reports. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988PhR...167..241C. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7.

संदर्भ

Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 978-0201503975.
Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields. Vol. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.
Weinberg, S. (1998). The Quantum Theory of Fields. Vol. II. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55002-5.
Srednicki, M. (2007). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521864497.
Zinn-Justin, J (2002). Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford University Press. ISBN 978-0198509233.

बाहरी संबंध

The Conceptual Basis of Quantum Field Theory Click on the link for Chap. 3 to find an extensive, simplified introduction to scalars in relativistic quantum mechanics and quantum field theory.

[1] .e., it transforms under the trivial $(0, 0)$ -representation of the Lorentz group, leaving the value of the field at any spacetime point unchanged, in contrast to a vector or tensor field, or more generally, spinor-tensors, whose components undergo a mix under Lorentz transformations. Since particle or field spin by definition is determined by the Lorentz representation under which it transforms, all scalar (and pseudoscalar) fields and particles have spin zero, and are as such bosonic by the spin statistics theorem. See Weinberg 1995, Chapter 5

[2] This means it is not invariant under parity transformations which invert the spatial directions, distinguishing it from a true scalar, which is parity-invariant.See Weinberg 1998, Chapter 19

[3] Brown, Lowell S. (1994). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46946-3. Ch 3.

[4] A general reference for this section is Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second ed.). USA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3.

[5] See the previous reference, or for more detail, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (2006-02-24). Quantum Field Theory. Dover. ISBN 0-07-032071-3.

[Aiz81-6] Aizenman, M. (1981). "Proof of the Triviality of ϕ⁴
_d Field Theory and Some Mean-Field Features of Ising Models for d > 4". Physical Review Letters. 47 (1): 1–4. Bibcode:1981PhRvL..47....1A. doi:10.1103/PhysRevLett.47.1.

[TrivPurs-7] Callaway, D. J. E. (1988). "Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?". Physics Reports. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988PhR...167..241C. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7.

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Contents

चिरसम्मत अदिश क्षेत्र सिद्धांत

रेखीय सिद्धांत

अरेखीय सिद्धांत

आयामी विश्लेषण और प्रवर्धन

प्रवर्धन आयाम

अनुमापीय अपरिवर्तनीयता

अनुरूप आक्रमण

$φ$ ⁴ सिद्धांत

स्वतःस्फूर्त समरूपता विभाजन

गुत्थी समाधान

समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत

O(N) सिद्धांत

गेज-क्षेत्र युग्मक

क्वांटम अदिश क्षेत्र सिद्धांत

फेनमैन पथ समाकलन

नवीनीकरण

यह भी देखें

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संदर्भ

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 {{Short description|Field theory of scalar fields}}
-[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, [[अदिश क्षेत्र|'''अदिश क्षेत्र सिद्धांत''']] अदिश क्षेत्रों के एक सापेक्षिक रूप से अपरिवर्तनीय [[शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत]] या [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] का उल्लेख कर सकता है। किसी भी [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन|लोरेंत्ज़ रूपांतरण]] के अंतर्गत एक अदिश क्षेत्र अपरिवर्तनीय है।<ref>i.e., it transforms under the trivial {{math|[[Representation theory of the Lorentz group#Common representations|(0, 0)]]}}-representation of the Lorentz group, leaving the value of the field at any spacetime point unchanged, in contrast to a [[vector field|vector]] or [[tensor field]], or more generally, spinor-tensors, whose components undergo a mix under Lorentz transformations. Since particle or field spin by definition is determined by the Lorentz representation under which it transforms, all scalar (and pseudoscalar) fields and particles have spin zero, and are as such [[boson]]ic by the [[spin statistics theorem]]. See {{harvnb|Weinberg|1995|loc=Chapter 5}}</ref>
+[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में [[अदिश क्षेत्र|'''अदिश क्षेत्र सिद्धांत''']] अदिश क्षेत्रों के सापेक्षिक रूप से अपरिवर्तनीय [[शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत|चिरसम्मत क्षेत्र सिद्धांत]] या [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] का उल्लेख कर सकता है। किसी भी [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन|लोरेंत्ज़ रूपांतरण]] के अंतर्गत अदिश क्षेत्र अपरिवर्तनीय होता है।<ref>i.e., it transforms under the trivial {{math|[[Representation theory of the Lorentz group#Common representations|(0, 0)]]}}-representation of the Lorentz group, leaving the value of the field at any spacetime point unchanged, in contrast to a [[vector field|vector]] or [[tensor field]], or more generally, spinor-tensors, whose components undergo a mix under Lorentz transformations. Since particle or field spin by definition is determined by the Lorentz representation under which it transforms, all scalar (and pseudoscalar) fields and particles have spin zero, and are as such [[boson]]ic by the [[spin statistics theorem]]. See {{harvnb|Weinberg|1995|loc=Chapter 5}}</ref>
-प्रकृति में देखा गया एकमात्र मौलिक अदिश क्वांटम क्षेत्र हिग्स क्षेत्र है। हालांकि, कई भौतिक घटनाओं के [[प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत]] विवरण में स्केलर क्वांटम क्षेत्र की विशेषता है। एक उदाहरण पिओन है, जो वास्तव में एक [[ छद्म अदिश |छद्म अदिश]] है।<ref>This  means it is not invariant under [[parity transformation]]s which invert the spatial directions, distinguishing it from a true scalar, which is parity-invariant.See {{harvnb|Weinberg|1998|loc=Chapter 19}}</ref>
+प्रकृति में देखा गया एकमात्र मौलिक अदिश क्वांटम क्षेत्र हिग्स क्षेत्र है। हालांकि कई भौतिक घटनाओं के [[प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत]] विवरण में अदिश क्वांटम क्षेत्र की विशेषता है। एक उदाहरण 'पाइऑन' है जो वास्तव में एक [[ छद्म अदिश |छद्म अदिश]] है।<ref>This  means it is not invariant under [[parity transformation]]s which invert the spatial directions, distinguishing it from a true scalar, which is parity-invariant.See {{harvnb|Weinberg|1998|loc=Chapter 19}}</ref>
-चूँकि उनमें ध्रुवीकरण की जटिलताएँ सम्मिलित नहीं हैं, अदिश क्षेत्र प्रायः दूसरे परिमाणीकरण की सराहना करने के लिए सबसे आसान होते हैं। इस कारण से, अदिश क्षेत्र सिद्धांतों का प्रयोग प्रायः नवीन अवधारणाओं और तकनीकों की शुरुआत के उद्देश्यों के लिए किया जाता है।<ref>{{cite book
+चूँकि उनमें ध्रुवीकरण की समिश्रताएँ सम्मिलित नहीं होती हैं इसलिए अदिश क्षेत्र प्रायः दूसरे परिमाणीकरण का मूल्यांकन करने के लिए सबसे आसान होते हैं। इस कारण से अदिश क्षेत्र सिद्धांतों का प्रयोग प्रायः नवीन अवधारणाओं और तकनीकों के प्रारम्भिक उद्देश्यों के लिए किया जाता है।<ref>{{cite book
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-}} Ch 3.</ref>
+}} Ch 3.</ref> जिसका नियोजित [[मीट्रिक हस्ताक्षर|मापीय चिन्ह {{math | (+, −, −, −)}}]] है।
-नीचे नियोजित [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] है {{math | (+, −, −, −)}}.
+== चिरसम्मत अदिश क्षेत्र सिद्धांत ==
+{{further|लाग्रंगियन (क्षेत्र सिद्धांत)}}
-== शास्त्रीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत ==
+इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। अदिश क्षेत्र सिद्धांत का ए.मॉडर्न प्राइमर द्वितीय संस्करण है और यूएसए वेस्टव्यू संस्करण {{isbn|0-201-30450-3}}, सीएच-1 है।
-{{further|Lagrangian (क्षेत्र सिद्धांत)}}
-इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। क्षेत्र सिद्धांत: ए मॉडर्न प्राइमर (द्वितीय संस्करण)। यूएसए: वेस्टव्यू प्रेस। {{isbn|0-201-30450-3}}, अध्याय 1।
+=== [[रेखीय|रेखीय सिद्धांत]] ===
+सबसे सामान्य अदिश क्षेत्र सिद्धांत रेखीय सिद्धांत है। क्षेत्र सिद्धांत के [[फूरियर रूपांतरण]] के माध्यम से यह युग्मित दोलक की अनंतता के सामान्य मोड का प्रतिनिधित्व करता है। जहां दोलित्र सूचकांक '''i''' की नियमित सीमा x द्वारा निरूपित की जाती है। तब मुक्त आपेक्षिकीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए फलन है:
-=== [[रेखीय]] (मुक्त) सिद्धांत ===
-सबसे बुनियादी अदिश क्षेत्र सिद्धांत रेखीय सिद्धांत है। खेतों के [[फूरियर रूपांतरण]] के माध्यम से, यह युग्मित ऑसिलेटर्स की अनंतता के सामान्य मोड का प्रतिनिधित्व करता है जहां ऑसिलेटर इंडेक्स i की निरंतर सीमा अब x द्वारा निरूपित की जाती है। तब मुक्त आपेक्षिकीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए क्रिया है
 :<math>\begin{align}
    \mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \mathcal{L} \\
@@ Line 28: / Line 26: @@
                &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi \partial_j\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2\right],
 \end{align}</math>
-जहां <math>\mathcal{L}</math> [[Lagrangian घनत्व|लाग्रंगियन को घनत्व]] {{math|''d''<sup>4&minus;1</sup>''x'' ≡ ''dx'' ⋅ ''dy'' ⋅ ''dz'' ≡ ''dx''<sup>1</sup> ⋅ ''dx''<sup>2</sup> ⋅ ''dx''<sup>3</sup>}} के रूप में जाना जाता है, तीन स्थानिक निर्देशांक के लिए {{math|''δ<sup>ij</sup>''}} [[क्रोनकर डेल्टा]] फलन है और {{math|''∂''<sub>''ρ''</sub> {{=}} ''∂''/''∂x''<sup>''ρ''</sup>}} {{mvar|''ρ''}}-वें समन्वय {{math|''x''<sup>''ρ''</sup>}}
+जहां <math>\mathcal{L}</math> [[Lagrangian घनत्व|लाग्रंगियन घनत्व]] को {{math|''d''<sup>4&minus;1</sup>''x'' ≡ ''dx'' ⋅ ''dy'' ⋅ ''dz'' ≡ ''dx''<sup>1</sup> ⋅ ''dx''<sup>2</sup> ⋅ ''dx''<sup>3</sup>}} के रूप में जाना जाता है। तीन स्थानिक निर्देशांक के लिए {{math|''δ<sup>ij</sup>''}} [[क्रोनकर डेल्टा]] फलन, {{math|''∂''<sub>''ρ''</sub> {{=}} ''∂''/''∂x''<sup>''ρ''</sup>}} और {{mvar|''ρ''}}-वें समन्वय फलन के लिए {{math|''x''<sup>''ρ''</sup>}} है।
-यह एक द्विघात क्रिया का एक उदाहरण है, क्योंकि प्रत्येक पद क्षेत्र में द्विघात है, {{mvar|φ}} कण द्रव्यमान के संदर्भ में इस सिद्धांत के मात्रात्मक संस्करण में, m<sup>2</sup> के आनुपातिक शब्द को कभी-कभी इसके बाद की व्याख्या के कारण द्रव्यमान शब्द के रूप में जाना जाता है।
+यह द्विघात फलन का एक उदाहरण है क्योंकि प्रत्येक पद क्षेत्र में द्विघात है, {{mvar|φ}} कण द्रव्यमान के संदर्भ में इस सिद्धांत के राशित्मक संस्करण में m<sup>2</sup> के आनुपातिक शब्द को कभी-कभी इसके बाद की व्याख्या के कारण द्रव्यमान शब्द के रूप में जाना जाता है।
-इस सिद्धांत के लिए गति का समीकरण उपरोक्त क्रिया को एक्सट्रीमाइज़ करके प्राप्त किया जाता है। यह φ में निम्नलिखित रूप रैखिक लेता है,
+इस सिद्धांत के लिए गति का समीकरण उपरोक्त फलन को विस्तृत करके प्राप्त किया जाता है। यह φ में निम्नलिखित रूप रैखिक रूप प्राप्त करता है:
 :<math>\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+m^2\phi=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0 ~,</math>
-जहाँ ∇<sup>2</sup> लाप्लास संकारक है। यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण है, जिसकी व्याख्या क्वांटम-यांत्रिक तरंग समीकरण के अतिरिक्त शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण के रूप में की जाती है।
+जहाँ ∇<sup>2</sup> लाप्लास संक्रियक है। यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण है, जिसकी व्याख्या क्वांटम-यांत्रिक तरंग समीकरण के अतिरिक्त चिरसम्मत क्षेत्र समीकरण के रूप में की जाती है।
-=== अरेखीय (बातचीत) सिद्धांत ===
+=== अरेखीय सिद्धांत ===
-ऊपर दिए गए रैखिक सिद्धांत का सबसे सामान्य सामान्यीकरण [[Lagrangian यांत्रिकी|लाग्रंगियन यांत्रिकी]] में एक स्केलर क्षमता {{math|''V''(Φ)}}) जोड़ना है, जहां आम तौर पर, द्रव्यमान शब्द के अतिरिक्त, V {{mvar|Φ}} में एक बहुपद है। इस तरह के सिद्धांत को कभी-कभी अंतःक्रियात्मक कहा जाता है, क्योंकि यूलर-लग्रेंज समीकरण अब अरैखिक है, जो आत्म-बातचीत का अर्थ है। इस तरह के सबसे सामान्य सिद्धांत के लिए क्रिया है
+ऊपर दिए गए रैखिक सिद्धांत का सबसे सामान्य सामान्यीकरण [[Lagrangian यांत्रिकी|लाग्रंगियन यांत्रिकी]] में एक अदिश क्षमता {{math|''V''(Φ)}}) जोड़ना है, जहां सामान्यतः द्रव्यमान शब्द के अतिरिक्त V {{mvar|Φ}} में एक बहुपद है। इस प्रकार के सिद्धांत को कभी-कभी अंतःक्रियात्मक कहा जाता है, क्योंकि यूलर-लग्रेंज समीकरण अब अरैखिक है। अर्थात अंतःक्रिया का अर्थ है कि इस प्रकार के सबसे सामान्य सिद्धांत के लिए फलन है:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 49: / Line 47: @@
                   \right]
 \end{align}</math>
-विस्तार में n कारक पेश किए गए हैं क्योंकि वे क्वांटम सिद्धांत के [[रिचर्ड फेनमैन]] विस्तार में उपयोगी हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।
+विस्तार में n कारक प्रस्तुत किए गए हैं क्योंकि वे क्वांटम सिद्धांत के [[रिचर्ड फेनमैन]] विस्तार में उपयोगी हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।
-गति का संगत यूलर-लैग्रेंज समीकरण अब है:
+गति का संगत यूलर-लैग्रेंज समीकरण है:
 :<math>\eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu\phi + V'(\phi) = \partial^2_t \phi - \nabla^2 \phi + V'(\phi) = 0.</math>
-=== आयामी विश्लेषण और स्केलिंग ===
+=== आयामी विश्लेषण और प्रवर्धन ===
 {{main|प्राकृतिक इकाइयाँ#"प्राकृतिक इकाइयाँ" (कण भौतिकी और ब्रह्माण्ड विज्ञान)}}
-इन अदिश क्षेत्र सिद्धांतों में भौतिक राशियों में लंबाई, समय या द्रव्यमान, या तीनों के कुछ संयोजन के आयाम हो सकते हैं।
+इन अदिश क्षेत्र सिद्धांतों में भौतिक राशियों में लंबाई, समय या द्रव्यमान या तीनों के कुछ संयोजन के आयाम हो सकते हैं।
-हालांकि, एक सापेक्षवादी सिद्धांत में, समय के आयामों के साथ किसी भी मात्रा {{mvar|t}} को प्रकाश की गति, {{mvar|c}} का उपयोग करके आसानी से लंबाई, {{math|''l'' {{=}}''ct''}} में परिवर्तित किया जा सकता है। इसी तरह, कोई भी लम्बाई {{mvar|l}} प्लैंक स्थिरांक, {{mvar|ħ}} का उपयोग करते हुए एक व्युत्क्रम द्रव्यमान,{{math|{{mvar|ħ}}{{=}}''lmc''}} के बराबर है। प्राकृतिक इकाइयों में, एक समय को लंबाई के रूप में, या या तो समय या लंबाई को व्युत्क्रम द्रव्यमान के रूप में माना जाता है।
+हालांकि, एक सापेक्षवादी सिद्धांत में समय के आयामों के साथ किसी भी राशि {{mvar|t}} को प्रकाश की गति {{mvar|c}} का उपयोग करके आसानी से लंबाई {{math|''l'' {{=}}''ct''}} में परिवर्तित किया जा सकता है। इसी प्रकार कोई भी लम्बाई {{mvar|l}} प्लैंक स्थिरांक {{mvar|ħ}} का उपयोग करते हुए एक व्युत्क्रम द्रव्यमान {{math|{{mvar|ħ}}{{=}}''lmc''}} के बराबर है। प्राकृतिक इकाइयों में समय को लंबाई के रूप में या समय और लंबाई को व्युत्क्रम द्रव्यमान के रूप में माना जाता है।
-संक्षेप में, कोई भी किसी भी भौतिक मात्रा के आयामों के बारे में सोच सकता है, जैसा कि तीनों के अतिरिक्त केवल एक स्वतंत्र आयाम के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। इसे प्रायः मात्रा का द्रव्यमान [[शास्त्रीय स्केलिंग आयाम|आयाम]] कहा जाता है। प्रत्येक मात्रा के आयामों को जानने के बाद, आयामी स्थिरता के लिए आवश्यक {{mvar|ħ}} और {{mvar|c}} की आवश्यक शक्तियों को पुन: स्थापित करके इस द्रव्यमान आयाम के संदर्भ में प्राकृतिक इकाइयों की अभिव्यक्ति से पारंपरिक आयामों को विशिष्ट रूप से पुनर्स्थापित करने की अनुमति मिलती है।
+संक्षेप में, कोई भी किसी भी भौतिक राशि के आयामों के विषय में सोच सकता है। जैसा कि तीनों के अतिरिक्त केवल एक स्वतंत्र आयाम के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। इसे प्रायः राशि का द्रव्यमान [[शास्त्रीय स्केलिंग आयाम|आयाम]] कहा जाता है। प्रत्येक राशि के आयामों को जानने के बाद आयामी स्थिरता के लिए आवश्यक {{mvar|ħ}} और {{mvar|c}} की आवश्यक ऊर्जा को पुन: स्थापित करके इस द्रव्यमान आयाम के संदर्भ में प्राकृतिक इकाइयों की अभिव्यक्ति से पारंपरिक आयामों को विशिष्ट रूप से पुनर्स्थापित करने की स्वीकृति प्राप्त होती है।
-एक बोधगम्य आपत्ति यह है कि यह सिद्धांत शास्त्रीय है, और इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि प्लैंक स्थिरांक सिद्धांत का एक हिस्सा कैसे होना चाहिए। यदि वांछित है, तो वास्तव में द्रव्यमान आयामों के बिना सिद्धांत को फिर से तैयार किया जा सकता है: हालांकि, यह क्वांटम स्केलर क्षेत्र के साथ संबंध को थोड़ा अस्पष्ट करने की कीमत पर होगा। यह देखते हुए कि किसी के पास द्रव्यमान के आयाम हैं प्लैंक के स्थिरांक को क्रिया की एक अनिवार्य रूप से मनमाना निश्चित संदर्भ मात्रा के रूप में माना जाता है (जरूरी नहीं कि परिमाणीकरण से जुड़ा हो) इसलिए द्रव्यमान और व्युत्क्रम लंबाई के बीच परिवर्तित करने के लिए उपयुक्त आयामों के साथ।
+एक बोधगम्य विशेषता यह है कि यह सिद्धांत चिरसम्मत है और इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि प्लैंक स्थिरांक सिद्धांत का एक भाग कैसा होना चाहिए। यदि वांछित है, तो वास्तव में द्रव्यमान आयामों के अतिरिक्त सिद्धांत को पुनः तैयार किया जा सकता है। हालांकि, यह क्वांटम अदिश क्षेत्र के साथ संबंध को अपेक्षाकृत अस्पष्ट करने की कीमत पर हो सकता है। यह देखते हुए कि किसी के पास द्रव्यमान के आयाम हैं, प्लैंक के स्थिरांक को यहां एक अनिवार्य रूप से अपेक्षाकृत निश्चित संदर्भ राशि के रूप में माना जाता है, जो आवश्यक रूप से परिमाणीकरण से संबद्ध नहीं है। इसलिए द्रव्यमान और व्युत्क्रम लंबाई के बीच परिवर्तित करने के लिए उपयुक्त आयाम हैं।
-==== स्केलिंग आयाम ====
+==== प्रवर्धन आयाम ====
-क्लासिकल स्केलिंग आयाम, या मास आयाम, {{mvar|Δ}}, {{mvar|φ}} का निर्देशांक के पुनर्विक्रय के अंतर्गत क्षेत्र के परिवर्तन का वर्णन करता है:
+चिरसम्मत प्रवर्धन आयाम या द्रव्यमान आयाम {{mvar|Δ}}, {{mvar|φ}} को निर्देशांक के पुनर्विक्रय के अंतर्गत क्षेत्र के परिवर्तन का वर्णन करता है:
 :<math>x\rightarrow\lambda x</math>
 :<math>\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.</math>
-कार्रवाई की इकाइयां {{mvar|ħ}} की इकाइयों के समान होती हैं, और इसलिए कार्रवाई में शून्य द्रव्यमान आयाम होता है। यह क्षेत्र {{mvar|φ}} होने के स्केलिंग आयाम को ठीक करता है:
+संक्रियक की इकाइयां {{mvar|ħ}} की इकाइयों के समान होती हैं और इसलिए संक्रियक में शून्य द्रव्यमान आयाम होता है। यह क्षेत्र {{mvar|φ}} होने के प्रवर्धन आयाम को प्रयुक्त करता है:
 :<math>\Delta =\frac{D-2}{2}.</math>
-==== [[स्केल इनवेरियन]] ====
+==== [[स्केल इनवेरियन|अनुमापीय अपरिवर्तनीयता]] ====
-एक विशिष्ट अर्थ है जिसमें कुछ स्केलर क्षेत्र सिद्धांत स्केल-अचर हैं। जबकि उपरोक्त सभी क्रियाएं शून्य द्रव्यमान आयाम के लिए बनाई गई हैं, स्केलिंग परिवर्तन के अंतर्गत सभी क्रियाएं अपरिवर्तनीय नहीं हैं
+एक विशिष्ट अर्थ है जिसमें कुछ अदिश क्षेत्र सिद्धांत अनुमापीय रूप से अपरिवर्तनीय हैं। जबकि उपरोक्त सभी फलन शून्य द्रव्यमान आयाम के लिए बनाए गए हैं। प्रवर्धन रूपांतरण के अंतर्गत सभी फलन अपरिवर्तनीय नहीं हैं:
 :<math>x\rightarrow\lambda x </math>
 :<math>\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.</math>
-सभी क्रियाएं अपरिवर्तनीय नहीं होने का कारण यह है कि आम तौर पर पैरामीटर m और {{math|''g''<sub>''n''</sub>}} को निश्चित मात्रा के रूप में माना जाता है, जो उपरोक्त परिवर्तन के अंतर्गत पुन: स्केल नहीं किए जाते हैं। एक स्केलर क्षेत्र सिद्धांत के स्केल अचर होने की स्थिति तब काफी स्पष्ट है: कार्रवाई में दिखाई देने वाले सभी पैरामीटर आयाम रहित मात्रा में होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक स्केल अचर सिद्धांत सिद्धांत में बिना किसी निश्चित लंबाई के पैमाने (या समतुल्य, बड़े पैमाने पर) के बिना एक है।
+सभी फलन अपरिवर्तनीय नहीं होने का कारण यह है कि सामान्यतः पैरामीटर m और {{math|''g''<sub>''n''</sub>}} को निश्चित राशि के रूप में माना जाता है, जो उपरोक्त परिवर्तन के अंतर्गत पुन: अनुमापीय नहीं किए जाते हैं। अदिश क्षेत्र सिद्धांत के अनुमापीय अपरिवर्तनीयता होने की स्थिति तब स्पष्ट होती है जब संक्रियक में दिखाई देने वाले सभी पैरामीटर आयाम रहित राशि में होते है। दूसरे शब्दों में, एक पैमाना अपरिवर्तनीय सिद्धांत वह है जिसमें सिद्धांत में कोई निश्चित लंबाई का पैमाना (या समतुल्य द्रव्यमान पैमाना) नहीं है।
-{{math|''D''}} दिक्-काल आयामों के साथ एक अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए, एकमात्र आयाम रहित पैरामीटर {{math|''g''<sub>''n''</sub>}} {{mvar|n}} = {{math|{{Fraction|2''D''|(''D'' − 2)}} }} को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, {{math|''D''}} = 4 में, केवल {{math|''g''<sub>4</sub>}} क्लासिकल आयामलेस है, और इसलिए {{math|''D''}} = 4 में एकमात्र क्लासिकल स्केल-अचर स्केलर क्षेत्र सिद्धांत मासलेस {{mvar|φ}} सिद्धांत है।
+दिक्-काल आयाम {{math|''D''}} के साथ अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए एकमात्र आयाम रहित पैरामीटर {{math|''g''<sub>''n''</sub>}}, {{mvar|n}} = {{math|{{Fraction|2''D''|(''D'' − 2)}} }} को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, {{math|''D''}} = 4 में केवल {{math|''g''<sub>4</sub>}} चिरसम्मत आयाम रहित है। इसलिए {{math|''D''}} = 4 में एकमात्र चिरसम्मत अनुमापीय-अपरिवर्तनीयता अदिश क्षेत्र सिद्धांत द्रव्यमान रहित {{mvar|φ}} सिद्धांत है।
-क्लासिकल स्केल इनवेरियन, हालांकि, सामान्य रूप से क्वांटम स्केल इनवेरियन का मतलब नहीं है, क्योंकि [[पुनर्सामान्यीकरण समूह]] में सम्मिलित है - नीचे बीटा फलन की चर्चा देखें।
+हालांकि चिरसम्मत अनुमापीय अपरिवर्तनीयता सामान्य रूप से क्वांटम अनुमापीय अपरिवर्तनीयता का अर्थ नहीं है, क्योंकि यह [[पुनर्सामान्यीकरण समूह]] में सम्मिलित है। जिसके लिए नीचे बीटा फलन की चर्चा देखें।
 ==== अनुरूप आक्रमण ====
-एक परिवर्तन
+एक रूपांतरण <math>x\rightarrow \tilde{x}(x)</math> यदि परिवर्तन यह संतुष्ट करता है तो इसे [[अनुरूप समरूपता]] कहा जाता है:
-:<math>x\rightarrow \tilde{x}(x)</math>
-यदि परिवर्तन संतुष्ट करता है तो [[अनुरूप समरूपता]] कहा जाता है
 :<math>\frac{\partial\tilde{x^\mu}}{\partial x^\rho}\frac{\partial\tilde{x^\nu}}{\partial
   x^\sigma}\eta_{\mu\nu}=\lambda^2(x)\eta_{\rho\sigma}</math>
-किसी समारोह के लिए {{math|''λ''(''x'')}}.
+किसी फलन के लिए {{math|''λ''(''x'')}} अनुरूप समूह में उपसमूहों के रूप में आव्यूह <math>\eta_{\mu\nu}</math> (पॉइनकेयर समूह) के [[आइसोमेट्री|दोलक]] और ऊपर दिए गए प्रवर्धन रूपांतरण (या विस्फारण) भी सम्मिलित हैं। वास्तव में, पिछले खंड में अनुमापीय-अपरिवर्तनीयता सिद्धांत भी अनुरूप-अपरिवर्तनीय हैं।
-अनुरूप समूह में उपसमूहों के रूप में मीट्रिक <math>\eta_{\mu\nu}</math> (पॉइनकेयर समूह) के [[आइसोमेट्री]] और ऊपर दिए गए स्केलिंग रूपांतरण (या डिलेटेशन) भी सम्मिलित हैं। वास्तव में, पिछले खंड में स्केल-अचर सिद्धांत भी अनुरूप-अपरिवर्तनीय हैं।
 ==={{mvar|φ}}<sup>4</sup> सिद्धांत ===
 {{See also|क्वार्टिक प्रभाव }}
-बड़े पैमाने पर {{mvar|φ}}<sup>4</sup> सिद्धांत स्केलर क्षेत्र सिद्धांत में कई रोचक घटनाओं को दर्शाता है।
+बड़े पैमाने पर {{mvar|φ}}<sup>4</sup> सिद्धांत अदिश क्षेत्र सिद्धांत में कई रोचक घटनाओं को दर्शाता है।
-लाग्रंगियन घनत्व है
+लाग्रंगियन घनत्व है:
 :<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{4!}\phi^4.</math>
+==== स्वतःस्फूर्त समरूपता विभाजन ====
+{{See also|क्वार्टिक प्रभाव  # सहज समरूपता विभाजन}}
+इस लाग्रंगियन में रूपांतरण {{math|''φ''→ −''φ''}} के अंतर्गत एक ℤ₂ समरूपता है। यह [[स्पेसटाइम समरूपता|समष्टिटाइम समरूपता]] के विपरीत [[आंतरिक समरूपता|आंतरि]][[आंतरिक समरूपता|क समरूपता]] का एक उदाहरण है।
-==== स्वतःस्फूर्त समरूपता टूटना ====
+यदि {{math|''m''<sup>2</sup>}} धनात्मक है, तो क्षमता <math>V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4</math> मूल में एक न्यूनतम है। समाधान φ = 0 ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत स्पष्ट रूप से अपरिवर्तनीय है।
-{{See also|Quartic interaction#Spontaneous symmetry breaking}}
-इस लाग्रंगियन में परिवर्तन {{math|''φ''→ −''φ''}} के अंतर्गत एक ℤ₂ समरूपता है। यह [[स्पेसटाइम समरूपता]] के विपरीत [[आंतरिक समरूपता]] का एक उदाहरण है।
-यदि {{math|''m''<sup>2</sup>}} धनात्मक है, तो क्षमता
-:<math>V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4</math> मूल में एक न्यूनतम है। समाधान φ=0 ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत स्पष्ट रूप से अपरिवर्तनीय है।
-इसके विपरीत यदि {{math|''m''<sup>2</sup>}} ऋणात्मक है, तो कोई आसानी से देख सकता है कि क्षमता
-:<math>\, V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{g}{4!}\phi^4\!</math>
-:दो मिनिमा हैं। इसे एक डबल वेल पोटेंशियल के रूप में जाना जाता है, और इस तरह के सिद्धांत में सबसे कम ऊर्जा वाले राज्य (क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक भाषा में वैकुआ के रूप में जाना जाता है) कार्रवाई के ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं हैं (वास्तव में यह दो वैकुआ में से प्रत्येक को मैप करता है) दूसरे में)। इस मामले में, ℤ₂ समरूपता को अनायास टूटा हुआ कहा जाता है।
+इसके विपरीत यदि {{math|''m''<sup>2</sup>}} ऋणात्मक है, तो कोई भी आसानी से देख सकता है कि क्षमता <math>\, V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{g}{4!}\phi^4\!</math> दो न्यूनतम हैं। इसे एक दोहरी अच्छी क्षमता के रूप में जाना जाता है, और इस प्रकार के सिद्धांत में सबसे कम ऊर्जा अवस्था (क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक भाषा में निर्वात के रूप में जाना जाता है) फलन ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं हैं वास्तव में यह दो फलन में से प्रत्येक को चित्रित करता है। इस स्थिति में ℤ₂ समरूपता को स्वतः विभाजन कहा जाता है।
 === गुत्थी समाधान ===
-एक ऋणात्मक {{mvar|m}}<sup>2</sup> के साथ {{mvar|φ|4}}<sup>4</sup> सिद्धांत का एक किंक समाधान भी है, जो सॉलिटॉन का एक विहित उदाहरण है। ऐसा समाधान रूप का है
+एक ऋणात्मक {{mvar|m}}<sup>2</sup> के साथ {{mvar|φ|4}}<sup>4</sup> सिद्धांत का एक किंक समाधान है, जो सॉलिटॉन का एक विहित उदाहरण है। ऐसा समाधान रूप का है:
 :<math>\phi(\vec{x}, t) = \pm\frac{m}{2\sqrt{\frac{g}{4!}}}\tanh\left[\frac{m(x - x_0)}{\sqrt{2}}\right]</math>
-जहाँ x स्थानिक चरों में से एक है ({{mvar|φ}} को {{mvar|t}} और शेष स्थानिक चरों से स्वतंत्र माना जाता है)। समाधान दोहरे कुएं की क्षमता के दो अलग-अलग रिक्तिका के बीच प्रक्षेपित करता है। अपरिमित ऊर्जा के विलयन से गुजरे बिना किंक को निरंतर विलयन में बदलना संभव नहीं है और इसी कारण से किंक को स्थिर कहा जाता है। D>2 के लिए (यानी, एक से अधिक स्थानिक आयाम वाले सिद्धांत), इस समाधान को [[ डोमेन दीवार |डोमेन]] वॉल कहा जाता है।
+जहाँ x स्थानिक चरों में से एक है जिसको {{mvar|φ}} को {{mvar|t}} और शेष स्थानिक चरों से स्वतंत्र माना जाता है। समाधान दोहरे फलन की क्षमता के दो अलग-अलग रिक्तिका के बीच प्रक्षेपित करता है। अपरिमित ऊर्जा के विलयन से गुजरे बिना किंक को निरंतर विलयन में रूपांतरण संभव नहीं है और इसी कारण से किंक को D>2 के लिए स्थिर कहा जाता है। अर्थात एक से अधिक स्थानिक आयाम वाले सिद्धांत को समाधान [[ डोमेन दीवार |डोमेन वॉल]] फलन कहा जाता है।
-गुत्थी समाधान के साथ एक अदिश क्षेत्र सिद्धांत का एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण [[साइन-गॉर्डन]] सिद्धांत है।
+गुत्थी समाधान के साथ अदिश क्षेत्र सिद्धांत का एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण [[साइन-गॉर्डन]] सिद्धांत है।
-===जटिल अदिश क्षेत्र सिद्धांत===
+===समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत===
-एक जटिल अदिश क्षेत्र सिद्धांत में, अदिश क्षेत्र वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त जटिल संख्याओं में मान लेता है। जटिल अदिश क्षेत्र चार्ज के साथ स्पिन-0 कणों और एंटीपार्टिकल्स का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य रूप से मानी जाने वाली क्रिया रूप लेती है
+समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत में अदिश क्षेत्र वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त समिश्र संख्याओं में मान लेता है। समिश्र अदिश क्षेत्र आवेश के साथ घूर्णन 0 कण और प्रतिकण का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य रूप से मानी जाने वाली प्रतिक्रिया रूप है:
 :<math>\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t
 \mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi
 -V(|\phi|^2)\right]</math>
-इसमें [[U(1)]], समतुल्य O(2) समरूपता है, जिसकी क्रिया क्षेत्र के स्थान पर घूमती है <math>\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi</math>, कुछ वास्तविक चरण कोण के लिए {{mvar|α}}.
+इसमें [[U(1)]] समतुल्य O(2) समरूपता है, जिसके अदिश क्षेत्र के स्थान पर घूमती है <math>\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi</math>, कुछ वास्तविक चरण कोण के लिए {{mvar|α}}.
-जहां तक वास्तविक अदिश क्षेत्र की बात है, यदि m2 ऋणात्मक है तो स्वत: सममिति का टूटना पाया जाता है। यह गोल्डस्टोन की मैक्सिकन हैट क्षमता को जन्म देता है जो <math> (\phi) </math> अक्ष के बारे में 2π रेडियन द्वारा वास्तविक स्केलर क्षेत्र की डबल-वेल क्षमता का घूर्णन है। समरूपता टूटना एक उच्च आयाम में होता है, अर्थात निर्वात का चुनाव असतत के अतिरिक्त निरंतर U(1) समरूपता को तोड़ता है। स्केलर क्षेत्र के दो घटकों को बड़े पैमाने पर मोड और द्रव्यमान रहित [[गोल्डस्टोन बोसोन]] के रूप में पुन: कॉन्फ़िगर किया गया है।
+इसमें [[U(1)]] समतुल्य O(2) समरूपता है। जो अदिश क्षेत्र के स्थान पर <math>\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi</math> कुछ वास्तविक फेज कोण α के लिए घूर्णित है।
-=== हे (एन) सिद्धांत ===
+जहां तक वास्तविक अदिश क्षेत्र की बात है यदि m<sup>2</sup> ऋणात्मक है तो स्वत: सममिति का विभाजन पाया जाता है। यह गोल्डस्टोन की मैक्सिकन हैट क्षमता को जन्म देता है जो <math> (\phi) </math> अक्ष के विषय में 2π रेडियन द्वारा वास्तविक अदिश क्षेत्र की द्वि-वेल क्षमता का घूर्णन है। समरूपता विभाजन एक उच्च आयाम में होता है, अर्थात निर्वात का चुनाव असतत के अतिरिक्त नियमित U(1) समरूपता को विभाजित करता है। अदिश क्षेत्र के दो घटकों को बड़े पैमाने पर मोड और द्रव्यमान रहित [[गोल्डस्टोन बोसोन]] के रूप में पुन: रूपांतरित किया गया है।
+=== ''O''(''N'') सिद्धांत ===
 {{main|सिग्मा मॉडल}}
-जटिल अदिश क्षेत्र सिद्धांत को दो वास्तविक क्षेत्रों, ''φ''<sup>1</sup> = Re ''φ'' और ''φ''<sup>2</sup> = Im ''φ'' के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो U(1) = O(2) आंतरिक समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में रूपांतरित होते हैं। हालांकि इस तरह के क्षेत्र आंतरिक समरूपता के अंतर्गत एक सदिश के रूप में परिवर्तित होते हैं, फिर भी वे लोरेंत्ज़ स्केलर हैं।
+समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत को दो वास्तविक क्षेत्रों ''φ''<sup>1</sup> = Re ''φ'' और ''φ''<sup>2</sup> = Im ''φ'' के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो U(1) = O(2) आंतरिक समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में रूपांतरित होते हैं। हालांकि इस प्रकार के क्षेत्र आंतरिक समरूपता के अंतर्गत एक सदिश के रूप में परिवर्तित होते हैं फिर भी वे लोरेंत्ज़ अदिश होते हैं।
-यह ओ (एन) समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित होने वाले एन स्केलर क्षेत्रों के सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। O(N)-अचर स्केलर क्षेत्र सिद्धांत के लिए लाग्रंगियन आमतौर पर फॉर्म का होता है
+यह ''O''(''N'') समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित होने वाले N अदिश क्षेत्रों के सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। O(N) अपरिवर्तनीयता अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए सामान्यतः लाग्रंगियन रूप होती है:
 :<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\cdot\partial_\nu\phi -V(\phi\cdot\phi)</math>
-उपयुक्त O(N)-अचर आंतरिक उत्पाद का उपयोग करना। सिद्धांत को जटिल सदिश क्षेत्रों के लिए भी व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात <math>\phi\in\Complex^n</math> के लिए जिस स्थिति में सममिति समूह लाई समूह [[SU(N)]] है।
+उपयुक्त O(N)-अपरिवर्तनीयता आंतरिक उत्पाद का उपयोग करके लाग्रंगियन सिद्धांत को समिश्र सदिश क्षेत्रों के लिए भी व्यक्त किया जा सकता है। अर्थात <math>\phi\in\Complex^n</math> के लिए जिस स्थिति में सममिति समूह लाई समूह [[SU(N)]] है।
-=== गेज-क्षेत्र कपलिंग ===
+=== गेज-क्षेत्र युग्मक ===
-जब स्केलर क्षेत्र सिद्धांत को यांग-मिल्स क्रिया के लिए [[गेज अपरिवर्तनीय]] तरीके से जोड़ा जाता है, तो सुपरकंडक्टर्स के गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत को प्राप्त किया जाता है। उस सिद्धांत के [[टोपोलॉजिकल सॉलिटॉन]] एक सुपरकंडक्टर में भंवरों के अनुरूप हैं; मैक्सिकन टोपी की न्यूनतम क्षमता सुपरकंडक्टर के ऑर्डर पैरामीटर से मेल खाती है।
+जब अदिश क्षेत्र सिद्धांत को यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए [[गेज अपरिवर्तनीय]] प्रकार से संबद्ध किया जाता है तो अतिसंवाहक के गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत को प्राप्त किया जाता है। उस सिद्धांत के [[टोपोलॉजिकल सॉलिटॉन]] एक अतिसंवाहक में चक्रवात के अनुरूप हैं। मैक्सिकन टोपी की न्यूनतम क्षमता अतिसंवाहक के अनुक्रम पैरामीटर के अनुरूप है।
-== क्वांटम स्केलर क्षेत्र सिद्धांत ==
+== क्वांटम अदिश क्षेत्र सिद्धांत ==
 {{main|विहित परिमाणीकरण#वास्तविक अदिश क्षेत्र}}
-इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। क्षेत्र सिद्धांत: ए मॉडर्न प्राइमर (द्वितीय संस्करण)। यूएसए: वेस्टव्यू प्रेस। {{isbn|0-201-30450-3}}, च. 4
+इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। अदिश क्षेत्र सिद्धांत का ए.मॉडर्न प्राइमर द्वितीय संस्करण है और यूएसए वेस्टव्यू संस्करण {{isbn|0-201-30450-3}}, सीएच-1 है।
-क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्षेत्र और उनसे निर्मित सभी ऑब्जर्वेबल्स को हिल्बर्ट स्पेस पर क्वांटम संक्रियकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट समष्टि]] एक निर्वात स्थिति पर बनाया गया है, और गतिशीलता एक क्वांटम [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] द्वारा नियंत्रित होती है, जो एक धनात्मक-निश्चित संक्रियक है जो निर्वात को नष्ट कर देता है। क्वांटम स्केलर क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण [[विहित परिमाणीकरण]] लेख में विस्तृत है, जो क्षेत्रों के बीच कैनोनिकल कम्यूटेशन संबंधों पर निर्भर करता है। अनिवार्य रूप से, क्लासिकल ऑसिलेटर्स की अनन्तता को स्केलर क्षेत्र में इसके (डिकॉउल्ड) सामान्य मोड्स के रूप में पुन: व्यवस्थित किया गया है, अब मानक तरीके से परिमाणित किया गया है, इसलिए संबंधित क्वांटम संक्रियक क्षेत्र संबंधित फ़ॉक स्पेस पर कार्य करने वाले क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स की अनंतता का वर्णन करता है।
+क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्षेत्र और उनसे निर्मित सभी प्रेक्षणीयता को हिल्बर्ट समष्टि पर क्वांटम संक्रियकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट समष्टि]] एक निर्वात स्थिति पर बनाया गया है और गतिशीलता एक क्वांटम [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] द्वारा नियंत्रित होती है। जो एक धनात्मक-निश्चित संक्रियक है जो निर्वात को नष्ट कर देता है। क्वांटम अदिश क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण [[विहित परिमाणीकरण]] लेख में विस्तृत है, जो क्षेत्रों के बीच विहित कम्यूटेशन संबंधों पर निर्भर करता है। अनिवार्य रूप से चिरसम्मत दोलित्र की अनन्तता को अदिश क्षेत्र में इसके (अलग) सामान्य मोड्स के रूप में पुन: व्यवस्थित किया गया है या मानक तरीके से परिमाणित किया गया है। इसलिए संबंधित क्वांटम संक्रियक क्षेत्र संबंधित फ़ॉक समष्टि पर कार्य करने वाले क्वांटम हार्मोनिक दोलित्र की अनंतता का वर्णन करता है।
-संक्षेप में, बुनियादी चर क्वांटम क्षेत्र {{mvar|φ}} और इसकी विहित गति π हैं। ये दोनों संक्रियक-मूल्यवान क्षेत्र [[हर्मिटियन ऑपरेटर|हर्मिटियन संक्रियक]] हैं। स्थानिक बिंदुओं पर {{vec|''x''}}, {{vec|''y''}} और समान समय पर, उनके विहित रूपान्तरण संबंध द्वारा दिए गए हैं
+संक्षेप में आधारित चर क्वांटम क्षेत्र {{mvar|φ}} और इसकी विहित गति π हैं। ये दोनों संक्रियक-मूल्यवान क्षेत्र [[हर्मिटियन ऑपरेटर|हर्मिटियन संक्रियक]] हैं। स्थानिक बिंदुओं पर {{vec|''x''}}, {{vec|''y''}} और समान समय पर उनके विहित रूपान्तरण संबंध द्वारा दिए गए हैं:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 153: / Line 144: @@
     \left[\phi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= i \delta\left(\vec{x} - \vec{y}\right),
 \end{align}</math>
-जबकि मुक्त [[हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत)]], ऊपर के समान है,
+जबकि मुक्त [[हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत)]] ऊपर के समान है:
 :<math>H = \int d^3x \left[{1 \over 2}\pi^2 + {1 \over 2}(\nabla \phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2\right].</math>
-एक स्थानिक फूरियर परिवर्तन गति समष्टि क्षेत्रों की ओर जाता है
+एक स्थानिक फूरियर :रूपांतरण गति समष्टि क्षेत्रों की ओर जाती है:
 :<math>\begin{align}
    \widetilde{\phi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x}),\\
     \widetilde{\pi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x})
 \end{align}</math>
-जो संहार और निर्माण संचालकों का संकल्प लेते हैं
+जो रूपांतरण और निर्माण संचालकों का विश्लेषण करते हैं:
 :<math>\begin{align}
             a(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) + i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),\\
     a^\dagger(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) - i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),
 \end{align}</math>
-कहाँ <math>E = \sqrt{k^2 + m^2}</math> .
+जहाँ <math>E = \sqrt{k^2 + m^2}</math> .
-ये संक्रियक कम्यूटेशन संबंधों को पूरा करते हैं
+ये संक्रियक कम्यूटेशन संबंधों को पूरा करते हैं:
 :<math>\begin{align}
    \left[a(\vec{k}_1), a(\vec{k}_2)\right] =
@@ Line 173: / Line 164: @@
              \left[a(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= (2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1 - \vec{k}_2).
 \end{align}</math>
-स्थिति <math>| 0\rangle</math> को सभी संक्रियकों द्वारा समाप्त कर दिया जाता है जिसे नंगे वैक्यूम के रूप में पहचाना जाता है, और संवेग {{vec|''k''}} वाला एक कण निर्वात में <math>a^\dagger(\vec{k})</math> लगाकर बनाया जाता है।
+स्थिति <math>| 0\rangle</math> को सभी संक्रियकों द्वारा समाप्त कर दिया जाता है जिसे नग्न वैक्यूम के रूप में पहचाना जाता है और संवेग {{vec|''k''}} वाला एक कण निर्वात में <math>a^\dagger(\vec{k})</math> लगाकर बनाया जाता है।
-निर्माण संचालकों के सभी संभावित संयोजनों को वैक्यूम में लागू करने से संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का निर्माण होता है: इस निर्माण को फॉक स्पेस कहा जाता है। हैमिल्टनियन द्वारा निर्वात का सत्यानाश कर दिया जाता है:
+निर्माण संचालकों के सभी संभावित संयोजनों को वैक्यूम में प्रयुक्त करने से संबंधित हिल्बर्ट समष्टि का निर्माण होता है। इस निर्माण को फॉक समष्टि कहा जाता है। हैमिल्टनियन द्वारा निर्वात को नष्ट कर दिया जाता है:
 :<math>H = \int {d^3k\over (2\pi)^3}\frac{1}{2} a^\dagger(\vec{k}) a(\vec{k}) , </math>
-जहां विक ऑर्डरिंग द्वारा [[शून्य-बिंदु ऊर्जा]] को हटा दिया गया है। (विहित परिमाणीकरण देखें।)
+जहां विक अनुक्रम द्वारा [[शून्य-बिंदु ऊर्जा]] को हटा दिया गया है। जिसके लिए विहित परिमाणीकरण देखें।
-इंटरेक्शन हैमिल्टनियन जोड़कर इंटरैक्शन को सम्मिलित किया जा सकता है। φ<sup>4</sup> सिद्धांत के लिए, यह एक विक आदेशित शब्द g:φ4:/4! हैमिल्टनियन के लिए, और एक्स पर एकीकृत करना। इंटरेक्शन पिक्चर में इस हैमिल्टनियन से स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड की गणना की जा सकती है। ये [[डायसन श्रृंखला]] के माध्यम से गड़बड़ी सिद्धांत में निर्मित होते हैं, जो समय-आदेशित उत्पाद, या n-कण ग्रीन के कार्य <math>\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle</math> जैसा डायसन सीरीज के लेख में बताया गया है। ग्रीन के कार्यों को श्विंगर-डायसन समीकरण के समाधान के रूप में निर्मित जनरेटिंग फलन से भी प्राप्त किया जा सकता है।
+अंतःक्रिया हैमिल्टनियन को जोड़कर पारस्परिक प्रभाव को सम्मिलित किया जा सकता है। φ<sup>4</sup> सिद्धांत के लिए यह एक विक अनुक्रमित शब्द g:φ4:/4 हैमिल्टनियन के लिए और x पर एकीकृत करना अंतःक्रिया छवि में इस हैमिल्टनियन से विस्तृत आयाम की गणना की जा सकती है। ये [[डायसन श्रृंखला]] के माध्यम से अस्तव्यस्तता सिद्धांत में निर्मित होते हैं जो समय अनुक्रम उत्पाद, या n-कण ग्रीन फलन <math>\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle</math> जैसा [[डायसन श्रृंखला]] के लेख में बताया गया है। ग्रीन के फलनों को श्विंगर-डायसन समीकरण के समाधान के रूप में निर्मित फलन से भी प्राप्त किया जा सकता है।
 {{see also|क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर # हार्मोनिक ऑसिलेटर्स जाली: फोनन}}
-=== फेनमैन पथ अभिन्न ===
+=== फेनमैन पथ समाकलन ===
-[[फेनमैन आरेख]] एक्सपेंशन फेनमैन [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] से भी प्राप्त किया जा सकता है।<ref>A general reference for this section is {{cite book|last=Ramond|first=Pierre|title=Field Theory: A Modern Primer|publisher=Westview Press|location=USA|date=2001-12-21|isbn=0-201-30450-3|edition=Second}}</ref> {{mvar|φ}} में बहुपदों के समय क्रमित निर्वात प्रत्याशा मूल्य, जिसे n-कण ग्रीन के कार्यों के रूप में जाना जाता है, सभी संभावित क्षेत्रों को एकीकृत करके निर्मित किया जाता है, बिना किसी बाहरी क्षेत्र के निर्वात अपेक्षा मान द्वारा सामान्य किया जाता है,
+[[फेनमैन आरेख]] विस्तार फेनमैन [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ समाकलन सूत्रीकरण]] से भी प्राप्त किया जा सकता है।<ref>A general reference for this section is {{cite book|last=Ramond|first=Pierre|title=Field Theory: A Modern Primer|publisher=Westview Press|location=USA|date=2001-12-21|isbn=0-201-30450-3|edition=Second}}</ref> {{mvar|φ}} में बहुपदों के समय क्रमित निर्वात प्रत्याशा मान जिसे n-कण मे ग्रीन फलन के रूप में जाना जाता है। सभी संभावित क्षेत्रों को एकीकृत करके निर्मित किया जाता है, बिना किसी बाहरी क्षेत्र के निर्वात अपेक्षा मान द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है:
 :<math>\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\}|0\rangle =
@@ Line 191: / Line 182: @@
      {\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}.
 </math>
-इन सभी ग्रीन के कार्यों को जनरेटिंग फलन में जे (एक्स) φ (एक्स) में घातांक का विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है
+इन सभी ग्रीन फलानो को निर्मित फलन ''J''(''x'')φ(''x'') में घातांक का विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है:
 :<math>
    Z[J] =
@@ Line 197: / Line 188: @@
      Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} J(x_1) \cdots J(x_n) \langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle.
 </math>
-समय को काल्पनिक बनाने के लिए एक बाती घुमाव लागू किया जा सकता है। हस्ताक्षर को (++++) में बदलना फिर फेनमैन इंटीग्रल को [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन समष्टि]] में एक सांख्यिकीय यांत्रिकी विभाजन समारोह में बदल देता है,
+समय को काल्पनिक बनाने के लिए एक विक घूर्णन सिद्धान्त को प्रयुक्त किया जा सकता है। जिसको चिन्ह (++++) में परिवर्तित करना फिर फेनमैन समाकल को [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन समष्टि]] में एक सांख्यिकीय यांत्रिकी विभाजन फलन में परिवर्तित कर देता है:
 :<math>Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left[{1 \over 2}(\nabla\phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2 + {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right]}.</math>
-आम तौर पर, यह नियत संवेग वाले कणों के प्रकीर्णन पर लागू होता है, जिस स्थिति में, फूरियर रूपांतरण उपयोगी होता है, इसके बदले देता है
+सामान्यतः यह नियत संवेग वाले कणों के प्रकीर्णन पर प्रयुक्त होता है, जिस स्थिति में फूरियर रूपांतरण उपयोगी होता है जो निम्न परिवर्तन देता है:
 :<math>\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi e^{-\int {d^4p \over (2\pi)^4} \left({1\over 2}(p^2+m^2)\tilde\phi^2-\tilde{J}\tilde\phi+{g \over 4!}{\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)}\right)}.</math>
-कहाँ <math>\delta(x)</math> [[डिराक डेल्टा समारोह]] है।
+जहाँ <math>\delta(x)</math> [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा फलन]] है।
-इस [[कार्यात्मक अभिन्न]] का मूल्यांकन करने के लिए मानक चाल इसे घातीय कारकों के उत्पाद के रूप में लिखना है, योजनाबद्ध रूप से,
+सामान्यतः इस [[कार्यात्मक अभिन्न|कार्यात्मक]] समाकल का मूल्यांकन करने के लिए मानक चाल इसे घातीय कारकों के उत्पाद के रूप में लिखना है:
 :<math>\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi \prod_p \left[e^{-(p^2+m^2)\tilde\phi^2/2} e^{-g/4!\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)} e^{\tilde{J}\tilde\phi}\right].</math>
-दूसरे दो घातीय कारकों को शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है, और इस विस्तार के कॉम्बिनेटरिक्स को [[क्वार्टिक इंटरेक्शन]] के [[फेनमैन आरेख]]ों के माध्यम से ग्राफिक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है।
+दूसरे दो घातीय कारकों को घात श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है और इस विस्तार के साहचर्य को [[क्वार्टिक इंटरेक्शन|क्वार्टिक प्रभाव]] के [[फेनमैन आरेख]] के माध्यम से आरैखिक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। g = 0 के साथ समाकल को अनंत रूप से कई प्राथमिक गॉसियन समाकलन के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है। परिणाम को फेनमैन आरेखों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी गणना निम्नलिखित फेनमैन नियमों का उपयोग करके की जाती है:
+* प्रत्येक क्षेत्र {{overset|~|''φ''}}(p) के n बिंदु यूक्लिडियन ग्रीन फलन को आरेख में एक बाहरी रेखा (अर्ध-शीर्ष) द्वारा दर्शाया गया है जो गति p के साथ संबद्ध है।
+* प्रत्येक शीर्ष को गुणक g द्वारा दर्शाया जाता है।
+* किसी दिए गए क्रम gk पर n बाहरी रेखाओं और k शीर्षों वाले सभी आरेख इस प्रकार निर्मित होते हैं कि प्रत्येक शीर्ष में प्रवाह संवेग शून्य होता है। प्रत्येक आंतरिक रेखा को प्रचारक 1/(''q''<sup>2</sup> + ''m''<sup>2</sup>) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां q उस रेखा के माध्यम से प्रवाहित गति है।
+* कोई भी अप्रतिबंधित संवेग सभी मान पर एकीकृत होता है।
+* परिणाम को एक समरूपता कारक द्वारा विभाजित किया जाता है जो कि इसकी सहसंबद्धता को परिवर्तित किए बिना आरेख की रेखाओं और शीर्षों को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है।
+* रिक्त समष्टि वाले आरेख को सम्मिलित न करें, जो अतिरिक्त किसी बाहरी रेखा के सम्बद्ध उप आरेख हैं।
-जी = 0 के साथ अभिन्न को अनंत रूप से कई प्राथमिक गॉसियन इंटीग्रल के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है: परिणाम को फेनमैन आरेखों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी गणना निम्नलिखित फेनमैन नियमों का उपयोग करके की जाती है:
+अंतिम नियम [0] से विभाजित करने के प्रभाव को ध्यान में रखता है। जो मिन्कोव्स्की-समष्टि फेनमैन नियम के समान हैं। इसके अतिरिक्त प्रत्येक शीर्ष को −ig द्वारा दर्शाया गया है जबकि प्रत्येक आंतरिक रेखा को एक प्रचारक''i''/(''q''<sup>2</sup>−''m''<sup>2</sup>+''iε'') द्वारा दर्शाया गया है, जहां ε शब्द मिन्कोव्स्की-समष्टि गॉसियन समाकल अभिसरण बनाने के लिए आवश्यक छोटे विक आवर्त का प्रतिनिधित्व करता है।
-* प्रत्येक क्षेत्र {{overset|~|''φ''}}(पी) एन-पॉइंट यूक्लिडियन ग्रीन के फलन को ग्राफ़ में एक बाहरी रेखा (आधा-किनारे) द्वारा दर्शाया गया है, और गति पी के साथ जुड़ा हुआ है।
-* प्रत्येक शीर्ष को गुणक -g द्वारा दर्शाया जाता है।
-* किसी दिए गए क्रम gk पर, n बाहरी रेखाओं और k शीर्षों वाले सभी आरेख इस प्रकार निर्मित होते हैं कि प्रत्येक शीर्ष में बहने वाला संवेग शून्य होता है। प्रत्येक आंतरिक रेखा को प्रचारक 1/(q2 + m2) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां q उस रेखा के माध्यम से बहने वाली गति है।
-* कोई भी अप्रतिबंधित क्षण सभी मूल्यों पर एकीकृत होते हैं।
-* परिणाम को एक समरूपता कारक द्वारा विभाजित किया जाता है, जो कि इसकी कनेक्टिविटी को बदले बिना ग्राफ़ की रेखाओं और शीर्षों को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है।
-* "वैक्यूम बबल्स" वाले ग्राफ़ को सम्मिलित न करें, जो बिना किसी बाहरी रेखा के जुड़े सबग्राफ हैं।
-अंतिम नियम [0] से विभाजित करने के प्रभाव को ध्यान में रखता है। मिन्कोव्स्की-स्पेस फेनमैन नियम समान हैं, सिवाय इसके कि प्रत्येक शीर्ष को −ig द्वारा दर्शाया गया है जबकि प्रत्येक आंतरिक रेखा को एक प्रचारक i/(q2−m2+iε) द्वारा दर्शाया गया है, जहां ε शब्द छोटे विक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है जो मिन्कोव्स्की स्थान बनाने के लिए आवश्यक है। गॉसियन अभिन्न अभिसरण।
+=== नवीनीकरण ===
+{{main|बीटा फलन (भौतिकी)|पुनर्वितरण समूह}}
-=== नवीनीकरण ===
+अप्रतिबंधित संवेग पर समाकल, जिसे "लूप समाकलन" कहा जाता है। फेनमैन आरेख में सामान्यतः अलग हो जाते हैं। इसे सामान्यतः [[पुनर्सामान्यीकरण]] द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जो लैग्रैन्जियन में अलग-अलग प्रति-अवधि को इस समय से जोड़ने की एक प्रक्रिया है कि मूल लैग्रेंजियन और प्रति-अवधि से निर्मित आरेख परिमित हैं।<ref>See the previous reference, or for more detail, {{cite book|last1=Itzykson|first1=Zuber|last2=Zuber|first2=Jean-Bernard|title=Quantum Field Theory|publisher=Dover|date=2006-02-24|isbn=0-07-032071-3|url-access=registration|url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000itzy}}</ref> प्रक्रिया में एक पुनर्सामान्यीकरण पैमाना प्रस्तुत किया जाता है। जिससे युग्मन स्थिरांक और द्रव्यमान इस पर निर्भर हो जाते हैं।
-{{main|Beta function (physics)|Renormalization group}}
-अप्रतिबंधित संवेग पर समाकल, जिसे "लूप इंटीग्रल" कहा जाता है, फेनमैन ग्राफ में आम तौर पर अलग हो जाते हैं। इसे आम तौर पर [[पुनर्सामान्यीकरण]] द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जो लैग्रैन्जियन में अलग-अलग काउंटर-टर्म्स को इस तरह से जोड़ने की एक प्रक्रिया है कि मूल लैग्रेंजियन और काउंटर-टर्म्स से निर्मित आरेख परिमित हैं।<ref>See the previous reference, or for more detail, {{cite book|last1=Itzykson|first1=Zuber|last2=Zuber|first2=Jean-Bernard|title=Quantum Field Theory|publisher=Dover|date=2006-02-24|isbn=0-07-032071-3|url-access=registration|url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000itzy}}</ref> प्रक्रिया में एक पुनर्सामान्यीकरण पैमाना पेश किया जाना चाहिए, और युग्मन स्थिरांक और द्रव्यमान इस पर निर्भर हो जाते हैं।
-स्केल λ पर युग्मन स्थिरांक {{mvar|g}} की निर्भरता को {{mvar|λ}} [[बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)|बीटा फलन (भौतिकी)]] {{math|''β''(''g'')}} द्वारा परिभाषित किया गया है:
+अनुमापीय λ पर युग्मन स्थिरांक {{mvar|g}} की निर्भरता {{mvar|λ}} को [[बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)|बीटा फलन (भौतिकी)]] {{math|''β''(''g'')}} द्वारा परिभाषित किया गया है:
 :<math>\beta(g) = \lambda\,\frac{\partial g}{\partial \lambda} ~.</math>
-ऊर्जा पैमाने पर इस निर्भरता को "युग्मन पैरामीटर के चलने" के रूप में जाना जाता है, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इस व्यवस्थित पैमाने-निर्भरता के सिद्धांत को पुनर्संरचना समूह द्वारा वर्णित किया गया है।
+ऊर्जा पैमाने पर इस निर्भरता को युग्मन पैरामीटर के रूप में जाना जाता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इस व्यवस्थित पैमाने के निर्भरता के सिद्धांत को पुनर्संरचना समूह द्वारा वर्णित किया गया है।
-बीटा-फ़ंक्शंस की गणना आमतौर पर एक सन्निकटन योजना में की जाती है, सबसे सामान्य रूप से गड़बड़ी सिद्धांत, जहां कोई यह मानता है कि युग्मन स्थिरांक छोटा है। इसके बाद कोई युग्मन पैरामीटर की शक्तियों में विस्तार कर सकता है और उच्च-क्रम शर्तों को कम कर सकता है (इसी [[फेनमैन ग्राफ]] में लूप की संख्या के कारण उच्च लूप योगदान के रूप में भी जाना जाता है)।
+बीटा-फलन की गणना सामान्यतः एक सन्निकटन योजना में की जाती है, सबसे सामान्य रूप से अस्तव्यस्तता सिद्धांत, जहां कोई यह मानता है कि युग्मन स्थिरांक छोटा है। इसके बाद कोई युग्मन पैरामीटर को ऊर्जा में विस्तार कर सकता है। और उच्च-क्रम शर्तों को अपेक्षाकृत कम कर सकता है। इसी [[फेनमैन ग्राफ|फेनमैन आरेख]] को लूप की संख्या के कारण उच्च लूप योगदान के रूप में भी जाना जाता है।
-{{mvar|φ}}<sup>4</sup> सिद्धांत के लिए एक लूप पर β-फलन (पहला पर्टुरबेटिव योगदान) है।
+{{mvar|φ}}<sup>4</sup> सिद्धांत के लिए एक लूप पर β-फलन है:
 :<math>\beta(g) = \frac{3}{16\pi^2}g^2 + O\left(g^3\right) ~.</math>
-तथ्य यह है कि निम्नतम-क्रम अवधि के सामने संकेत धनात्मक है, यह बताता है कि युग्मन स्थिरांक ऊर्जा के साथ बढ़ता है। यदि यह व्यवहार बड़े युग्मों पर बना रहता है, तो यह क्वांटम तुच्छता से उत्पन्न होने वाली परिमित ऊर्जा पर लैंडौ ध्रुव की उपस्थिति का संकेत देगा। हालाँकि, प्रश्न का उत्तर केवल गैर-विक्षोभ रूप से दिया जा सकता है, क्योंकि इसमें मजबूत युग्मन सम्मिलित है।
+तथ्य यह है कि निम्नतम-क्रम अवधि के सामने संकेत धनात्मक है जो कि यह बताता है कि युग्मन स्थिरांक ऊर्जा के साथ बढ़ता है। यदि यह अनुक्रम बड़े युग्मों पर बना रहता है, तो यह क्वांटम तुच्छता से उत्पन्न होने वाली परिमित ऊर्जा पर लैंडौ ध्रुव की उपस्थिति का संकेत देता है। हालाँकि प्रश्न का उत्तर केवल गैर-विक्षोभ रूप से दिया जा सकता है, क्योंकि इसमें समिश्र युग्मन सम्मिलित है।
-एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को तुच्छ कहा जाता है, जब इसके बीटा फलन के माध्यम से गणना की जाने वाली रेनॉर्मलाइज़्ड कपलिंग शून्य हो जाती है, जब पराबैंगनी कटऑफ़ हटा दी जाती है। नतीजतन, प्रचारक एक मुक्त कण बन जाता है और क्षेत्र अब बातचीत नहीं कर रहा है।
+एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को तुच्छ कहा जाता है, जब इसके बीटा फलन के माध्यम से गणना किए जाना वाला पुनर्सामान्यीकृत युग्मन शून्य हो जाता है। जब पराबैंगनी कटऑफ़ हटा दी जाती है। जिसके परिणाम स्वरूप प्रचारक एक मुक्त कण बन जाता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत परस्पर क्रिया नहीं करता है।
-एक {{mvar|φ}}<sup>4</sup> अंतःक्रिया के लिए, [[माइकल आइज़ेनमैन]] ने साबित किया कि समष्टि-समय आयाम {{mvar|D}} ≥ 5 के लिए सिद्धांत वास्तव में तुच्छ है।<ref name="Aiz81">
+{{mvar|φ}}<sup>4</sup> सिद्धांत अंतःक्रिया के लिए [[माइकल आइज़ेनमैन]] ने सिद्ध किया कि समष्टि समय आयाम {{mvar|D}} ≥ 5 के लिए सिद्धांत वास्तव में तुच्छ है।<ref name="Aiz81">
 {{cite journal
   |last=Aizenman|first=M. |author-link=Michael Aizenman
@@ Line 242: / Line 232: @@
   |volume=47
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-}}</ref> {{mvar|D}} = 4 के लिए, तुच्छता को अभी तक सख्ती से सिद्ध किया जाना है, लेकिन जाली संगणनाओं ने इसके लिए मजबूत सबूत प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम तुच्छता का उपयोग [[हिग्स बॉसन]] द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने या भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है। यह स्पर्शोन्मुख सुरक्षा परिदृश्यों में एक अनुमानित हिग्स द्रव्यमान भी पैदा कर सकता है।<ref name="TrivPurs">{{cite journal| author-link=David J E Callaway | first=D. J. E. |last=Callaway | year=1988
+}}</ref> {{mvar|D}} = 4 के लिए, तुच्छता को अभी तक जटिलता से सिद्ध किया जाना है, लेकिन समस्त गणनाओ ने इसके लिए जटिल प्रमाण प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम तुच्छता का उपयोग [[हिग्स बॉसन]] द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने या पूर्वानुमानित करने के लिए भी किया जा सकता है। यह स्पर्शोन्मुख सुरक्षा परिदृश्यों में एक अनुमानित हिग्स द्रव्यमान भी उत्पन्न कर सकता है।<ref name="TrivPurs">{{cite journal| author-link=David J E Callaway | first=D. J. E. |last=Callaway | year=1988
 | title=Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist? | journal=[[Physics Reports]]
 |volume=167 | issue=5 | pages=241–320 | doi=10.1016/0370-1573(88)90008-7
@@ Line 251: / Line 241: @@
 * क्वांटम तुच्छता
 * लैंडौ पोल
-*स्केल इनवेरियन (सीएफटी विवरण)
+*अनुमापीय अपरिवर्तनीयता (सीएफटी विवरण)
-* [[स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक्स|स्केलर विद्युत् गतिकी]]
+* [[स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक्स|अदिश विद्युत् गतिकी]]
 == टिप्पणियाँ ==
@@ Line 268: / Line 258: @@
 ==बाहरी संबंध==
 *[http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/basisqft.pdf The Conceptual Basis of Quantum Field Theory] Click on the link for Chap. 3 to find an extensive, simplified introduction to scalars in relativistic quantum mechanics and quantum field theory.
-[[Category: क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] [[Category: गणितीय भौतिकी]] [[Category: सैद्धांतिक भौतिकी]] [[Category: अदिश]]
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Latest revision as of 15:56, 29 May 2023

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