ट्रिपल बार: Difference between revisions

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Revision as of 19:42, 28 May 2023

ट्रिपल (त्रि) बार या ट्राइबार, ≡, कई, संदर्भ-आधारित अर्थों वाला एक प्रतीक है जो दो अलग-अलग चीजों की समानता को दर्शाता है। इसका मुख्य उपयोग गणित और तार्किक में है। इसमें तीसरी पंक्ति के साथ एक बराबर चिह्न ⟨=⟩ चिह्न दिखाई देता है।

एनकोडिंग

यूनिकोड में ट्रिपल बार वर्ण कोड बिंदु U+2261 ≡ समान (या सर्वांगसम;, या समान;) (U+2261 ≡ IDENTICAL TO (&Congruent;, &equiv;) है।^[1] निकट से संबंधित कोड बिंदु U+2262 ≢ NOT IDENTICAL TO (&nequiv;, &NotCongruent;) के बीच एक स्लैश के साथ एक ही प्रतीक है, जो इसके गणितीय अर्थ की अस्वीकृति दर्शाता है।^[1]

LaTeX गणितीय सूत्रों में, code \equivट्रिपल बार प्रतीक उत्पन्न करता है \not\equivअस्वीकृत ट्रिपल बार प्रतीक का उत्पादन करता है $\not \equiv$ आउटपुट के रूप में है।^[2]

उपयोग

गणित और दर्शन

तार्किक में, इसका प्रयोग दो अलग-अलग लेकिन संबंधित अर्थों के साथ किया जाता है। यह यदि और केवल यदि संयोजी को संदर्भित कर सकता है, जिसे भौतिक तुल्यता भी कहा जाता है।^[3] यह एक बाइनरी ऑपरेशन है जिसका मान सत्य होता है जब इसके दो तर्कों का मान एक दूसरे के समान होता है।^[4] वैकल्पिक रूप से, कुछ ग्रंथों में ⇔ का उपयोग इस अर्थ के साथ किया जाता है, जबकि ≡ का उपयोग तार्किक समकक्षता के उच्च-स्तरीय धातु संबंधी धारणा के लिए किया जाता है, जिसके अनुसार दो सूत्र तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं जब सभी मॉडल (तर्क) उन्हें समान मान देते हैं।^[5] गोटलॉब फ्रेज ने गणितीय सर्वसमिका की अधिक दार्शनिक धारणा के लिए एक ट्रिपल बार का उपयोग किया, जिसमें दो कथन (आवश्यक नहीं कि गणित या औपचारिक तर्क में) समान हों यदि उन्हें अर्थ में बदलाव के बिना एक दूसरे के लिए स्वतंत्र रूप से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।^[6]

गणित में, ट्रिपल बार को कभी-कभी गणितीय सर्वसमिका या समकक्ष संबंध के प्रतीक के रूप में प्रयोग किया जाता है (हालांकि केवल एक ही नहीं; अन्य सामान्य विकल्पों में ~ और ≈ शामिल हैं)।^[7]^[8] विशेष रूप से, ज्यामिति में, इसका उपयोग या तो यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि दो आकृतियाँ सर्वांगसम हैं या वे समरूप हैं^[9] संख्या सिद्धांत में, इसका उपयोग मॉड्यूलर अंकगणित के अर्थ के लिए कार्ल फ्रेडरिक गॉस (जिन्होंने पहली बार 1801 में इस अर्थ के साथ किया था) के साथ शुरू किया गया है: $a\equiv b{\pmod {N}}$ यदि N, a - b को विभाजित करता है।^[10]^[11]

संवर्ग सिद्धांत में, ट्रिपल बार का उपयोग वस्तुओं को एक कम्यूटेटिव आरेख में जोड़ने के लिए किया जा सकता है, यह दर्शाता है कि वे संवर्ग के तीर से जुड़े होने के बजाय वास्तव में एक ही वस्तु हैं।^[12] यह प्रतीक कभी-कभी समीकरणों के लिए एक समान चिह्न के स्थान पर भी प्रयोग किया जाता है जो समीकरण के बाईं ओर प्रतीक को परिभाषित करता है, उन्हें उन समीकरणों के विपरीत करने के लिए जिनमें समीकरण के दोनों पक्षों की शर्तों को पहले ही परिभाषित किया गया था।^[13] इस प्रयोग के लिए एक वैकल्पिक संकेतन सामान्य समानता चिह्न के ऊपर डीईएफ़ अक्षरों को टाइपसेट करना है, $a\mathbin {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} b$ .^[14]

विज्ञान

वनस्पति नाम पद्धति में, ट्रिपल बार होमोटाइपिक पर्यायवाची (टैक्सोनॉमी) (जो एक ही प्रकार के नमूने पर आधारित हैं) को दर्शाता है, उन्हें हेटरोटाइपिक समानार्थक (विभिन्न प्रकार के नमूनों पर आधारित) से अलग करने के लिए, जो एक समान चिह्न के साथ चिह्नित हैं।^[15]

रसायन विज्ञान में, ट्रिपल बार का उपयोग परमाणुओं के बीच ट्रिपल बंधन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, HC≡CH एसिटिलीन एसिटिलीन (व्यवस्थित नाम: इथाइन) के लिए एक संक्षिप्त नाम है।^[16]

एप्लिकेशन डिजाइन

मोबाइल एप्लिकेशन, वेबसाइट और सामान्य अनुप्रयोग प्रक्रिया सामग्री डिज़ाइन में, समान प्रतीक को कभी-कभी इंटरफ़ेस तत्व के रूप में उपयोग किया जाता है, जहां इसे हैमबर्गर बटन कहा जाता है। तत्व आमतौर पर इंगित करता है कि तत्व के सक्रिय होने पर वेब नेविगेशन तक पहुँचा जा सकता है; प्रतीक के बारों को शैलीबद्ध मेनू आइटम के रूप में देखा जा सकता है, और इस प्रतीक के कुछ बदलाव इस दृश्य समानता को बढ़ाने के लिए प्रत्येक बार में अधिक बार, या बुलेट बिंदु जोड़ते हैं।^[17] इस प्रतीक का उपयोग 1980 के दशक में ज़ेरॉक्स PARC में विकसित शुरुआती कंप्यूटर इंटरफेस के समय से है।^[18] यह गूगल के मटेरियल डिज़ाइन दिशानिर्देशों का एक प्रायः उपयोग किया जाने वाला घटक है और इन दिशानिर्देशों का पालन करने वाले कई एंड्राइड ऐप्स और वेब ऐप्स हैमबर्गर मेनू का उपयोग करते हैं।

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 New Hart's Rules: The Oxford Style Guide, Oxford University Press, 2014, p. 295, ISBN 978-0-19-957002-7.
↑ Lamport, Leslie (1994), LaTeX: A Document Preparation System (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 43.
↑ Salmon, Merrilee H. (1999), Introduction to the Philosophy of Science, Hackett Publishing, p. 50, ISBN 978-0-87220-450-8.
↑ Hurley, Patrick (2014), A Concise Introduction to Logic (12th ed.), Cengage Learning, p. 338, ISBN 978-1-285-96556-7.
↑ Dube, Rakesh; Pandey, Adesh; Gupta, Ritu (2006), Discrete Structures and Automata Theory, Alpha Science Int'l Ltd., p. 277, ISBN 978-1-84265-256-5.
↑ Weiner, Joan (2013), Frege Explained, Open Court, pp. 37–38, ISBN 978-0-8126-9752-0.
↑ Gallian, Joseph (2009), Contemporary Abstract Algebra (7th ed.), Cengage Learning, p. 16, ISBN 978-0-547-16509-7.
↑ Lambek, J.; Scott, P.J. (1986), Introduction to higher order categorical logic, Cambridge University Press, p. ix, Remark on notation: throughout this book, we frequently, though not exclusively, use the symbol ≡ for definitional equality.
↑ Cajori, Florian (2013), A History of Mathematical Notations, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 418, ISBN 978-0-486-16116-7.
↑ Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert; Schwermer, Joachim (2007), The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, Springer, p. 21, ISBN 978-3-540-34720-0.
↑ Cajori (2013), p. 34.
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↑ Meigs, John; Olmsted, Hubbell (1956), Intermediate analysis: an introduction to the theory of functions of one real variable, Appleton-Century-Crofts, p. vi.
↑ Lamport (1994), p. 50.
↑ "Guidelines for authors" (PDF), Taxon, 62 (1): 211–214, 2013
↑ Olmsted, John; Williams, Gregory M. (1997), Chemistry: The Molecular Science, Jones & Bartlett Learning, p. 86, ISBN 978-0-8151-8450-8
↑ Peterson, Clarissa (2014), Learning Responsive Web Design: A Beginner's Guide, O'Reilly Media, pp. 338–339, ISBN 978-1-4493-6369-7.
↑ Cox, Norm, "The origin of the hamburger icon", Evernote

[hart-1] 1.0 ^1.1 New Hart's Rules: The Oxford Style Guide, Oxford University Press, 2014, p. 295, ISBN 978-0-19-957002-7.

[2] Lamport, Leslie (1994), LaTeX: A Document Preparation System (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 43.

[3] Salmon, Merrilee H. (1999), Introduction to the Philosophy of Science, Hackett Publishing, p. 50, ISBN 978-0-87220-450-8.

[4] Hurley, Patrick (2014), A Concise Introduction to Logic (12th ed.), Cengage Learning, p. 338, ISBN 978-1-285-96556-7.

[5] Dube, Rakesh; Pandey, Adesh; Gupta, Ritu (2006), Discrete Structures and Automata Theory, Alpha Science Int'l Ltd., p. 277, ISBN 978-1-84265-256-5.

[6] Weiner, Joan (2013), Frege Explained, Open Court, pp. 37–38, ISBN 978-0-8126-9752-0.

[7] Gallian, Joseph (2009), Contemporary Abstract Algebra (7th ed.), Cengage Learning, p. 16, ISBN 978-0-547-16509-7.

[8] Lambek, J.; Scott, P.J. (1986), Introduction to higher order categorical logic, Cambridge University Press, p. ix, Remark on notation: throughout this book, we frequently, though not exclusively, use the symbol ≡ for definitional equality.

[9] Cajori, Florian (2013), A History of Mathematical Notations, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 418, ISBN 978-0-486-16116-7.

[10] Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert; Schwermer, Joachim (2007), The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, Springer, p. 21, ISBN 978-3-540-34720-0.

[11] Cajori (2013), p. 34.

[12] Ganz, Steven E. (2007), Encapsulation of State with Monad Transformers, Ph.D. thesis, Indiana University, p. 25, ISBN 978-0-493-91365-0.

[13] Meigs, John; Olmsted, Hubbell (1956), Intermediate analysis: an introduction to the theory of functions of one real variable, Appleton-Century-Crofts, p. vi.

[14] Lamport (1994), p. 50.

[15] "Guidelines for authors" (PDF), Taxon, 62 (1): 211–214, 2013

[16] Olmsted, John; Williams, Gregory M. (1997), Chemistry: The Molecular Science, Jones & Bartlett Learning, p. 86, ISBN 978-0-8151-8450-8

[17] Peterson, Clarissa (2014), Learning Responsive Web Design: A Beginner's Guide, O'Reilly Media, pp. 338–339, ISBN 978-1-4493-6369-7.

[18] Cox, Norm, "The origin of the hamburger icon", Evernote

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-ट्रिपल बार या ट्राइबर, ≡, कई, संदर्भ-आधारित अर्थों वाला एक प्रतीक है जो दो अलग-अलग चीजों की समानता दर्शाता है। इसका मुख्य उपयोग गणित और तर्कशास्त्र में है। इसमें एक समान चिह्न का आभास होता है{{angbr|1==}} तीसरी पंक्ति के साथ हस्ताक्षर करें।
 == एनकोडिंग ==
-[[यूनिकोड]] में ट्रिपल बार कैरेक्टर कोड पॉइंट है {{unichar|2261|IDENTICAL TO|html=}}.<ref name="hart">{{citation|title=New Hart's Rules: The Oxford Style Guide|publisher=Oxford University Press|year=2014|isbn=978-0-19-957002-7|page=295|url=https://books.google.com/books?id=btb1AwAAQBAJ&pg=PA295}}.</ref> बारीकी से संबंधित कोड बिंदु {{unichar|2262|NOT IDENTICAL TO|html=}} इसके माध्यम से एक स्लैश के साथ एक ही प्रतीक है, जो इसके गणितीय अर्थ को नकारने का संकेत देता है।<ref name="hart" />
+[[यूनिकोड]]  में ट्रिपल बार वर्ण कोड बिंदु U+2261 ≡ समान (या सर्वांगसम;, या समान;) ({{unichar|2261|IDENTICAL TO|html=}} है।<ref name="hart">{{citation|title=New Hart's Rules: The Oxford Style Guide|publisher=Oxford University Press|year=2014|isbn=978-0-19-957002-7|page=295|url=https://books.google.com/books?id=btb1AwAAQBAJ&pg=PA295}}.</ref> निकट से संबंधित कोड बिंदु {{unichar|2262|NOT IDENTICAL TO|html=}} के बीच एक स्लैश के साथ एक ही प्रतीक है, जो इसके गणितीय अर्थ की अस्वीकृति दर्शाता है।<ref name="hart" />
-[[LaTeX]] गणितीय सूत्रों में, code <code>\equiv</code> ट्रिपल बार प्रतीक और पैदा करता है <code>\not\equiv</code> अस्वीकृत ट्रिपल बार प्रतीक का उत्पादन करता है <math>\not\equiv</math> आउटपुट के रूप में।<ref>{{citation|first=Leslie|last=Lamport|authorlink=Leslie Lamport|title=LaTeX: A Document Preparation System|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley|year=1994|page=43}}.</ref>
+LaTeX गणितीय सूत्रों में, code <code>\equiv</code>ट्रिपल बार प्रतीक उत्पन्न करता है <code>\not\equiv</code>अस्वीकृत ट्रिपल बार प्रतीक का उत्पादन करता है <math>\not\equiv</math> आउटपुट के रूप में है।<ref>{{citation|first=Leslie|last=Lamport|authorlink=Leslie Lamport|title=LaTeX: A Document Preparation System|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley|year=1994|page=43}}.</ref>
 == उपयोग ==
 === गणित और दर्शन ===
-[[तर्क]]शास्त्र में, इसका प्रयोग दो अलग-अलग लेकिन संबंधित अर्थों के साथ किया जाता है। यह यदि और केवल यदि संयोजी को संदर्भित कर सकता है, जिसे भौतिक तुल्यता भी कहा जाता है।<ref>{{citation|title=Introduction to the Philosophy of Science|first=Merrilee H.|last=Salmon|publisher=Hackett Publishing|year=1999|isbn=978-0-87220-450-8|page=50|url=https://books.google.com/books?id=Uq7xf0rcCQIC&pg=PA50}}.</ref> यह एक [[बाइनरी ऑपरेशन]] है जिसका मान सत्य होता है जब इसके दो तर्कों का मान एक दूसरे के समान होता है।<ref>{{citation|title=A Concise Introduction to Logic|first=Patrick|last=Hurley|edition=12th|publisher=Cengage Learning|year=2014|isbn=978-1-285-96556-7|page=338|url=https://books.google.com/books?id=qGBQAwAAQBAJ&pg=PT338}}.</ref> वैकल्पिक रूप से, कुछ ग्रंथों में ⇔ का उपयोग इस अर्थ के साथ किया जाता है, जबकि ≡ का उपयोग तार्किक समकक्षता के उच्च-स्तरीय धातु संबंधी धारणा के लिए किया जाता है, जिसके अनुसार दो सूत्र तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं जब सभी [[मॉडल (तर्क)]] उन्हें समान मान देते हैं।<ref>{{citation|title=Discrete Structures and Automata Theory|first1=Rakesh|last1=Dube|first2=Adesh|last2=Pandey|first3=Ritu|last3=Gupta|publisher=Alpha Science Int'l Ltd.|year=2006|isbn=978-1-84265-256-5|page=277|url=https://books.google.com/books?id=jd_6ynlwez0C&pg=RA7-PT41}}.</ref> [[भगवान फ्रीज का शुक्र है]] ने पहचान की एक अधिक दार्शनिक धारणा के लिए एक ट्रिपल बार का इस्तेमाल किया, जिसमें दो कथन (जरूरी नहीं कि गणित या औपचारिक तर्क में) समान हों, अगर उन्हें अर्थ के परिवर्तन के बिना एक-दूसरे के लिए स्वतंत्र रूप से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।<ref>{{citation|title=Frege Explained|first=Joan|last=Weiner|author-link= Joan Weiner |publisher=Open Court|year=2013|isbn=978-0-8126-9752-0|pages=37–38|url=https://books.google.com/books?id=SZN6e6xEOVwC&pg=PT37}}.</ref>
+तार्किक में, इसका प्रयोग दो अलग-अलग लेकिन संबंधित अर्थों के साथ किया जाता है। यह यदि और केवल यदि संयोजी को संदर्भित कर सकता है, जिसे भौतिक तुल्यता भी कहा जाता है।<ref>{{citation|title=Introduction to the Philosophy of Science|first=Merrilee H.|last=Salmon|publisher=Hackett Publishing|year=1999|isbn=978-0-87220-450-8|page=50|url=https://books.google.com/books?id=Uq7xf0rcCQIC&pg=PA50}}.</ref> यह एक [[बाइनरी ऑपरेशन]] है जिसका मान सत्य होता है जब इसके दो तर्कों का मान एक दूसरे के समान होता है।<ref>{{citation|title=A Concise Introduction to Logic|first=Patrick|last=Hurley|edition=12th|publisher=Cengage Learning|year=2014|isbn=978-1-285-96556-7|page=338|url=https://books.google.com/books?id=qGBQAwAAQBAJ&pg=PT338}}.</ref> वैकल्पिक रूप से, कुछ ग्रंथों में ⇔ का उपयोग इस अर्थ के साथ किया जाता है, जबकि ≡ का उपयोग तार्किक समकक्षता के उच्च-स्तरीय धातु संबंधी धारणा के लिए किया जाता है, जिसके अनुसार दो सूत्र तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं जब सभी [[मॉडल (तर्क)]] उन्हें समान मान देते हैं।<ref>{{citation|title=Discrete Structures and Automata Theory|first1=Rakesh|last1=Dube|first2=Adesh|last2=Pandey|first3=Ritu|last3=Gupta|publisher=Alpha Science Int'l Ltd.|year=2006|isbn=978-1-84265-256-5|page=277|url=https://books.google.com/books?id=jd_6ynlwez0C&pg=RA7-PT41}}.</ref> गोटलॉब फ्रेज ने गणितीय सर्वसमिका की अधिक दार्शनिक धारणा के लिए एक ट्रिपल बार का उपयोग किया, जिसमें दो कथन (आवश्यक नहीं कि गणित या औपचारिक तर्क में) समान हों यदि उन्हें अर्थ में बदलाव के बिना एक दूसरे के लिए स्वतंत्र रूप से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।<ref>{{citation|title=Frege Explained|first=Joan|last=Weiner|author-link= Joan Weiner |publisher=Open Court|year=2013|isbn=978-0-8126-9752-0|pages=37–38|url=https://books.google.com/books?id=SZN6e6xEOVwC&pg=PT37}}.</ref>
-गणित में, ट्रिपल बार को कभी-कभी [[पहचान (गणित)]] या समकक्ष संबंध के प्रतीक के रूप में प्रयोग किया जाता है (हालांकि केवल एक ही नहीं; अन्य सामान्य विकल्पों में ~ और ≈ शामिल हैं)।<ref>{{citation|title=Contemporary Abstract Algebra|first=Joseph|last=Gallian|edition=7th|publisher=Cengage Learning|year=2009|isbn=978-0-547-16509-7|page=16|url=https://books.google.com/books?id=CnH3mlOKpsMC&pg=PA16}}.</ref><ref>{{citation|publisher=[[Cambridge University Press]]|date=1986|first1=J.|last1=Lambek|first2=P.J.|last2=Scott|page=ix|title=Introduction to higher order categorical logic|quote=Remark on notation: throughout this book, we frequently, though not exclusively, use the symbol ≡ for definitional equality.}}</ref> विशेष रूप से, [[ज्यामिति]] में, इसका उपयोग या तो यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि दो आंकड़े [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] हैं या वे समान हैं।<ref>{{citation|title=A History of Mathematical Notations|series=Dover Books on Mathematics|first=Florian|last=Cajori|authorlink=Florian Cajori|publisher=Courier Dover Publications|year=2013|isbn=978-0-486-16116-7|page=418|url=https://books.google.com/books?id=_byqAAAAQBAJ&pg=PA418}}.</ref> संख्या सिद्धांत में, इसका उपयोग [[मॉड्यूलर अंकगणित]] के अर्थ के लिए [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] (जिन्होंने पहली बार 1801 में इस अर्थ के साथ किया था) के साथ शुरू किया गया है: <math>a \equiv b \pmod N</math> यदि N, a - b को विभाजित करता है।<ref>{{citation|title=The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae|first1=Catherine|last1=Goldstein|authorlink=Catherine Goldstein|first2=Norbert|last2=Schappacher|first3= Joachim|last3= Schwermer|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-34720-0|page=21|url=https://books.google.com/books?id=IUFTcOsMTysC&pg=PA21}}.</ref><ref>{{harvtxt|Cajori|2013}}, [https://books.google.com/books?id=_byqAAAAQBAJ&pg=PA34 p.&nbsp;34].</ref>
-[[श्रेणी सिद्धांत]] में, ट्रिपल बार का उपयोग वस्तुओं को एक कम्यूटेटिव आरेख में जोड़ने के लिए किया जा सकता है, यह दर्शाता है कि वे श्रेणी के तीर से जुड़े होने के बजाय वास्तव में एक ही वस्तु हैं।<ref>{{citation|title=Encapsulation of State with Monad Transformers|first=Steven E.|last=Ganz|series=Ph.D. thesis, Indiana University|year=2007|isbn=978-0-493-91365-0|page=25|url=https://books.google.com/books?id=Mb9dShHum4gC&pg=PA25}}.</ref>
+गणित में, ट्रिपल बार को कभी-कभी [[पहचान (गणित)|गणितीय सर्वसमिका]] या समकक्ष संबंध के प्रतीक के रूप में प्रयोग किया जाता है (हालांकि केवल एक ही नहीं; अन्य सामान्य विकल्पों में ~ और ≈ शामिल हैं)।<ref>{{citation|title=Contemporary Abstract Algebra|first=Joseph|last=Gallian|edition=7th|publisher=Cengage Learning|year=2009|isbn=978-0-547-16509-7|page=16|url=https://books.google.com/books?id=CnH3mlOKpsMC&pg=PA16}}.</ref><ref>{{citation|publisher=[[Cambridge University Press]]|date=1986|first1=J.|last1=Lambek|first2=P.J.|last2=Scott|page=ix|title=Introduction to higher order categorical logic|quote=Remark on notation: throughout this book, we frequently, though not exclusively, use the symbol ≡ for definitional equality.}}</ref> विशेष रूप से, ज्यामिति में, इसका उपयोग या तो यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि दो आकृतियाँ सर्वांगसम हैं या वे समरूप हैं<ref>{{citation|title=A History of Mathematical Notations|series=Dover Books on Mathematics|first=Florian|last=Cajori|authorlink=Florian Cajori|publisher=Courier Dover Publications|year=2013|isbn=978-0-486-16116-7|page=418|url=https://books.google.com/books?id=_byqAAAAQBAJ&pg=PA418}}.</ref> संख्या सिद्धांत में, इसका उपयोग [[मॉड्यूलर अंकगणित]] के अर्थ के लिए [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] (जिन्होंने पहली बार 1801 में इस अर्थ के साथ किया था) के साथ शुरू किया गया है: <math>a \equiv b \pmod N</math> यदि N, a - b को विभाजित करता है।<ref>{{citation|title=The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae|first1=Catherine|last1=Goldstein|authorlink=Catherine Goldstein|first2=Norbert|last2=Schappacher|first3= Joachim|last3= Schwermer|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-34720-0|page=21|url=https://books.google.com/books?id=IUFTcOsMTysC&pg=PA21}}.</ref><ref>{{harvtxt|Cajori|2013}}, [https://books.google.com/books?id=_byqAAAAQBAJ&pg=PA34 p.&nbsp;34].</ref>
+[[श्रेणी सिद्धांत|संवर्ग सिद्धांत]] में, ट्रिपल बार का उपयोग वस्तुओं को एक कम्यूटेटिव आरेख में जोड़ने के लिए किया जा सकता है, यह दर्शाता है कि वे संवर्ग के तीर से जुड़े होने के बजाय वास्तव में एक ही वस्तु हैं।<ref>{{citation|title=Encapsulation of State with Monad Transformers|first=Steven E.|last=Ganz|series=Ph.D. thesis, Indiana University|year=2007|isbn=978-0-493-91365-0|page=25|url=https://books.google.com/books?id=Mb9dShHum4gC&pg=PA25}}.</ref>
 यह प्रतीक कभी-कभी समीकरणों के लिए एक समान चिह्न के स्थान पर भी प्रयोग किया जाता है जो समीकरण के बाईं ओर प्रतीक को परिभाषित करता है, उन्हें उन समीकरणों के विपरीत करने के लिए जिनमें समीकरण के दोनों पक्षों की शर्तों को पहले ही परिभाषित किया गया था।<ref>{{citation|title=Intermediate analysis: an introduction to the theory of functions of one real variable|first1=John|last1=Meigs|first2=Hubbell|last2=Olmsted|publisher=Appleton-Century-Crofts|year=1956|page=vi}}.</ref> इस प्रयोग के लिए एक वैकल्पिक संकेतन सामान्य समानता चिह्न के ऊपर डीईएफ़ अक्षरों को टाइपसेट करना है, <math>a\mathbin{\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}}b</math>.<ref>{{harvtxt|Lamport|1994}}, p.&nbsp;50.</ref>
+=== विज्ञान ===
+वनस्पति नाम पद्धति में, ट्रिपल बार होमोटाइपिक पर्यायवाची (टैक्सोनॉमी) (जो एक ही प्रकार के नमूने पर आधारित हैं) को दर्शाता है, उन्हें हेटरोटाइपिक समानार्थक (विभिन्न प्रकार के नमूनों पर आधारित) से अलग करने के लिए, जो एक समान चिह्न के साथ चिह्नित हैं।<ref>{{citation |year=2013 |title=Guidelines for authors |journal=[[Taxon (journal)|Taxon]] |volume=62 |issue=1 |pages=211–214 |url=http://www.iapt-taxon.org/files/guidelines_authors.pdf }}</ref>
-=== विज्ञान ===
+[[रसायन विज्ञान]] में, ट्रिपल बार का उपयोग परमाणुओं के बीच [[ ट्रिपल बंधन |ट्रिपल बंधन]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, HC≡CH [[एसिटिलीन]] एसिटिलीन (व्यवस्थित नाम: इथाइन) के लिए एक संक्षिप्त नाम है।<ref>{{citation|title=Chemistry: The Molecular Science|first1=John|last1=Olmsted|first2=Gregory M.|last2=Williams|publisher=Jones & Bartlett Learning|year=1997|isbn=978-0-8151-8450-8|page=86|url=https://books.google.com/books?id=1vnk6J8knKkC&pg=PA86}}</ref>
-[[वानस्पतिक नामकरण]] में, ट्रिपल बार होमोटाइपिक पर्यायवाची (टैक्सोनॉमी) (जो एक ही प्रकार के नमूने पर आधारित हैं) को दर्शाता है, उन्हें हेटरोटाइपिक समानार्थक (विभिन्न प्रकार के नमूनों पर आधारित) से अलग करने के लिए, जो एक समान चिह्न के साथ चिह्नित हैं।<ref>{{citation |year=2013 |title=Guidelines for authors |journal=[[Taxon (journal)|Taxon]] |volume=62 |issue=1 |pages=211–214 |url=http://www.iapt-taxon.org/files/guidelines_authors.pdf }}</ref>
-[[रसायन विज्ञान]] में, ट्रिपल बार का उपयोग परमाणुओं के बीच [[ ट्रिपल बंधन ]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एचसी≡सीएच [[एसिटिलीन]] के लिए एक सामान्य आशुलिपि है<ref>{{citation|title=Chemistry: The Molecular Science|first1=John|last1=Olmsted|first2=Gregory M.|last2=Williams|publisher=Jones & Bartlett Learning|year=1997|isbn=978-0-8151-8450-8|page=86|url=https://books.google.com/books?id=1vnk6J8knKkC&pg=PA86}}</ref> (व्यवस्थित नाम: एथाइन)।
 === एप्लिकेशन डिजाइन ===
-{{See also|Hamburger button}}[[मोबाइल एप्लिकेशन]], [[वेबसाइट]] और सामान्य [[अनुप्रयोग प्रक्रिया सामग्री]] डिज़ाइन में, समान प्रतीक को कभी-कभी इंटरफ़ेस तत्व के रूप में उपयोग किया जाता है, जहां इसे [[हैमबर्गर बटन]] कहा जाता है। तत्व आमतौर पर इंगित करता है कि तत्व के सक्रिय होने पर [[वेब नेविगेशन]] तक पहुँचा जा सकता है; प्रतीक के बारों को शैलीबद्ध मेनू आइटम के रूप में देखा जा सकता है, और इस प्रतीक के कुछ बदलाव इस दृश्य समानता को बढ़ाने के लिए प्रत्येक बार में अधिक बार, या बुलेट बिंदु जोड़ते हैं।<ref>{{citation|title=Learning Responsive Web Design: A Beginner's Guide|first=Clarissa|last=Peterson|publisher=O'Reilly Media|year=2014|isbn=978-1-4493-6369-7|pages=338–339|url=https://books.google.com/books?id=ULTIAwAAQBAJ&pg=PA338}}.</ref> इस प्रतीक का उपयोग 1980 के दशक में [[ज़ेरॉक्स PARC]] में विकसित शुरुआती कंप्यूटर इंटरफेस के समय से है।<ref>{{citation|last1=Cox|first1=Norm|title=The origin of the hamburger icon|url=https://www.evernote.com/shard/s207/sh/022f2237-4b4f-4096-87f2-053acd228c2d/ede2672bc3f39a1b0232f84e01ca0a83|website=Evernote}}</ref> यह टेक्स्ट औचित्य को इंगित करने के लिए अक्सर उपयोग किए जाने वाले आइकन के समान भी होता है। यह Google|Google के [[सामग्री डिजाइन]] दिशानिर्देशों का एक अक्सर उपयोग किया जाने वाला घटक है और इन दिशानिर्देशों का पालन करने वाले कई [[Android (ऑपरेटिंग सिस्टम)]] ऐप और वेब ऐप हैमबर्गर मेनू का उपयोग करते हैं।
+{{See also|हैम्बर्गर बटन}}[[मोबाइल एप्लिकेशन]], [[वेबसाइट]] और सामान्य [[अनुप्रयोग प्रक्रिया सामग्री]] डिज़ाइन में, समान प्रतीक को कभी-कभी इंटरफ़ेस तत्व के रूप में उपयोग किया जाता है, जहां इसे [[हैमबर्गर बटन]] कहा जाता है। तत्व आमतौर पर इंगित करता है कि तत्व के सक्रिय होने पर [[वेब नेविगेशन]] तक पहुँचा जा सकता है; प्रतीक के बारों को शैलीबद्ध मेनू आइटम के रूप में देखा जा सकता है, और इस प्रतीक के कुछ बदलाव इस दृश्य समानता को बढ़ाने के लिए प्रत्येक बार में अधिक बार, या बुलेट बिंदु जोड़ते हैं।<ref>{{citation|title=Learning Responsive Web Design: A Beginner's Guide|first=Clarissa|last=Peterson|publisher=O'Reilly Media|year=2014|isbn=978-1-4493-6369-7|pages=338–339|url=https://books.google.com/books?id=ULTIAwAAQBAJ&pg=PA338}}.</ref> इस प्रतीक का उपयोग 1980 के दशक में [[ज़ेरॉक्स PARC]] में विकसित शुरुआती कंप्यूटर इंटरफेस के समय से है।<ref>{{citation|last1=Cox|first1=Norm|title=The origin of the hamburger icon|url=https://www.evernote.com/shard/s207/sh/022f2237-4b4f-4096-87f2-053acd228c2d/ede2672bc3f39a1b0232f84e01ca0a83|website=Evernote}}</ref> यह गूगल के मटेरियल डिज़ाइन दिशानिर्देशों का एक प्रायः उपयोग किया जाने वाला घटक है और इन दिशानिर्देशों का पालन करने वाले कई एंड्राइड ऐप्स और वेब ऐप्स हैमबर्गर मेनू का उपयोग करते हैं।
 ==संदर्भ==
-{{wiktionary}}
 {{reflist|30em}}
-{{Common logical symbols}}
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