बोरेल समुच्चय

गणित में, एक बोरेल सेट एक टोपोलॉजिकल स्पेस में कोई भी सेट होता है जिसे गणनीय संघ (सेट सिद्धांत) , काउंटेबल चौराहा (सेट सिद्धांत) और सापेक्ष पूरक के संचालन के माध्यम से खुला सेट (या समतुल्य, बंद सेट से) से बनाया जा सकता है। . बोरेल सेट का नाम एमिल बोरल उपाय नाम पर रखा गया है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के लिए, X पर सभी बोरेल सेट का संग्रह एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है|σ-बीजगणित, जिसे बोरेल बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। X पर बोरेल बीजगणित सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले सेट (या, समतुल्य, सभी बंद सेट) सम्मिलित हैं।

माप सिद्धांत में बोरेल सेट महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि किसी स्थान के खुले सेटों पर या किसी स्थान के बंद सेटों पर परिभाषित किसी भी माप को उस स्थान के सभी बोरेल सेटों पर भी परिभाषित किया जाना चाहिए। बोरल सेट पर परिभाषित किसी भी माप को बोरेल माप कहा जाता है। बोरेल सेट और संबंधित बोरेल पदानुक्रम भी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं।

कुछ संदर्भों में, बोरेल सेट को खुले सेट के बजाय टोपोलॉजिकल स्पेस के कॉम्पैक्ट सेट द्वारा उत्पन्न होने के लिए परिभाषित किया गया है। दो परिभाषाएँ कई अच्छे व्यवहार वाले स्थानों के लिए समान हैं, जिसमें सभी हॉसडॉर्फ स्पेस σ-कॉम्पैक्ट स्पेस सम्मिलितहैं, लेकिन अधिक पैथोलॉजिकल (गणित) स्पेस में भिन्न हो सकते हैं।

बोरेल सेट

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गणित में, एक बोरेल सेट एक टोपोलॉजिकल स्पेस में कोई भी सेट होता है जिसे काउंटेबल यूनियन, काउंटेबल इंटरसेक्शन और रिलेटिव कॉम्प्लीमेंट के संचालन के माध्यम से ओपन सेट (या समतुल्य, बंद सेट से) से बनाया जा सकता है। बोरेल सेट का नाम एमिल बोरेल के नाम पर रखा गया है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए, एक्स पर सभी बोरेल सेट का संग्रह एक σ-बीजगणित बनाता है, जिसे बोरेल बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। एक्स पर बोरेल बीजगणित सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले सेट (या, समकक्ष, सभी बंद सेट) सम्मिलितहैं।

माप सिद्धांत में बोरेल सेट महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि किसी स्थान के खुले सेटों पर या किसी स्थान के बंद सेटों पर परिभाषित किसी भी माप को उस स्थान के सभी बोरेल सेटों पर भी परिभाषित किया जाना चाहिए। बोरल सेट पर परिभाषित किसी भी माप को बोरेल माप कहा जाता है। बोरेल सेट और संबंधित बोरेल पदानुक्रम भी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं।

कुछ संदर्भों में, बोरेल सेट को खुले सेट के बजाय टोपोलॉजिकल स्पेस के कॉम्पैक्ट सेट द्वारा उत्पन्न होने के लिए परिभाषित किया गया है। दो परिभाषाएँ कई अच्छी तरह से व्यवहार किए गए स्थानों के लिए समान हैं, जिनमें सभी हॉसडॉर्फ σ-कॉम्पैक्ट स्थान सम्मिलितहैं, लेकिन अधिक पैथोलॉजिकल स्थानों में भिन्न हो सकते हैं।

बोरेल बीजगणित उत्पन्न करना

इस मामले में कि एक्स एक मीट्रिक स्थान है, पहले अर्थ में बोरेल बीजगणित को सामान्य रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है।

एक्स के सबसेट के संग्रह टी के लिए (यानी, एक्स के सत्ता स्थापित पी (एक्स) के किसी भी सबसेट के लिए), चलो

• $T_{\sigma }$ टी के तत्वों के सभी गणनीय संघ बनें
• $T_{\delta }$ T के अवयवों के सभी गणनीय प्रतिच्छेद हों
• $T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.$

अब ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा अनुक्रम जी को परिभाषित करें^m, जहाँ m एक क्रमिक संख्या है, निम्नलिखित तरीके से:

• परिभाषा के आधार मामले के लिए, आइए $G^{0}$ एक्स के खुले उपसमुच्चय का संग्रह हो।
• यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक नहीं है, तो मेरे पास एक ठीक पूर्ववर्ती क्रमसूचक i - 1 है
  $$G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.$$
• यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक है, तो सेट करें
  $$G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.$$

दावा है कि बोरेल बीजगणित जी है^ω₁, जहां ω₁ पहला बेशुमार क्रमसूचक है। अर्थात्, ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके खुले सेटों के वर्ग से बोरेल बीजगणित उत्पन्न किया जा सकता है

$$G\mapsto G_{\delta \sigma }.$$

पहले बेशुमार अध्यादेश के लिए।

इस दावे को साबित करने के लिए, मीट्रिक स्थान में कोई भी खुला सेट बंद सेटों के बढ़ते अनुक्रम का संघ है। विशेष रूप से, सेट मैप्स जी का पूरक^m किसी भी सीमा के लिए अपने आप में क्रमसूचक m; इसके अलावा अगर एम एक बेशुमार सीमा क्रमसूचक है, जी^m गणनीय संघों के अंतर्गत बंद है।

प्रत्येक बोरेल सेट बी के लिए, कुछ गणनीय क्रमिक α है_Bऐसा है कि बी को α पर ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके प्राप्त किया जा सकता है_B. हालाँकि, जैसा कि B सभी बोरेल सेटों में भिन्न होता है, α_Bसभी गणनीय अध्यादेशों में भिन्नता होगी, और इस प्रकार पहला क्रमांक जिस पर सभी बोरेल सेट प्राप्त होते हैं, वह है ω₁, पहला बेशुमार क्रमसूचक।

उदाहरण

एक महत्वपूर्ण उदाहरण, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में, वास्तविक संख्याओं के सेट पर बोरेल बीजगणित है। यह वह बीजगणित है जिस पर बोरेल माप को परिभाषित किया गया है। एक यादृच्छिक चर # वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर को संभाव्यता स्थान पर परिभाषित किया गया है, इसकी संभावना वितरण परिभाषा के अनुसार बोरेल बीजगणित पर भी एक उपाय है।

वास्तविक पर बोरेल बीजगणित आर पर सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी अंतराल (गणित) सम्मिलितहैं।

ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा निर्माण में, यह दिखाया जा सकता है कि, प्रत्येक चरण में, सेट की प्रमुखता, अधिक से अधिक, सातत्य की कार्डिनैलिटी है। तो, बोरेल सेट की कुल संख्या कम या बराबर है

$$\aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.$$

वास्तव में, बोरेल सेटों के संग्रह की कार्डिनैलिटी सातत्य के बराबर है (लेबेसेग मापने योग्य सेटों की संख्या की तुलना में मौजूद है, जो सख्ती से बड़ा है और इसके बराबर है $2^{2^{\aleph _{0}}}$).

मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय

See also: Standard Borel space

एक्स को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। एक्स से जुड़ा 'बोरेल स्पेस' जोड़ी (एक्स, बी) है, जहां बी एक्स के बोरेल सेट का σ-बीजगणित है।

जॉर्ज मैके ने बोरेल स्पेस को कुछ अलग तरीके से परिभाषित किया, यह लिखते हुए कि यह एक विशिष्ट σ-क्षेत्र के सबसेट के साथ एक सेट है जिसे इसके बोरेल सेट कहा जाता है। हालांकि, आधुनिक उपयोग विशिष्ट उप-बीजगणित को औसत दर्जे का सेट और ऐसे रिक्त स्थान को मापने योग्य स्थान कहते हैं। इस भेद का कारण यह है कि बोरेल सेट खुले सेट (एक टोपोलॉजिकल स्पेस) द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित हैं, जबकि मैके की परिभाषा एक मनमाना σ-बीजगणित से लैस सेट को संदर्भित करती है। अंतर्निहित स्थान पर टोपोलॉजी के किसी भी विकल्प के लिए मापने योग्य स्थान मौजूद हैं जो बोरेल स्थान नहीं हैं। मापने योग्य स्थान एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं जिसमें आकारिकी मापने योग्य स्थानों के बीच मापने योग्य कार्य होते हैं। एक समारोह $f:X\rightarrow Y$ मापने योग्य कार्य है यदि यह मापने योग्य सेट को ठहराना करता है, यानी, वाई में सभी मापने योग्य सेट बी के लिए, सेट $f^{-1}(B)$ X में मापने योग्य है।

'प्रमेय'। X को एक पोलिश स्थान होने दें, यानी एक टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि X पर एक मेट्रिक (गणित) d है जो X की टोपोलॉजी को परिभाषित करता है और जो X को एक पूर्ण वियोज्य स्पेस मेट्रिक स्पेस बनाता है। तब एक्स वियोज्य स्थान के रूप में से एक के लिए समरूपी है

1. 'आर',
2. 'जेड',
3. एक परिमित स्थान।

(यह परिणाम महरम के प्रमेय की याद दिलाता है।)

बोरेल रिक्त स्थान के रूप में माना जाता है, वास्तविक रेखा 'आर', एक गणनीय सेट के साथ 'आर' का संघ, और 'आर'ⁿ आइसोमोर्फिक हैं।

एक मानक बोरेल स्थान एक पोलिश स्थान से जुड़ा बोरेल स्थान है। एक मानक बोरेल स्थान को इसकी प्रमुखता द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक चित्रित किया जाता है, और किसी भी बेशुमार मानक बोरेल स्थान में सातत्य की प्रमुखता होती है।

पोलिश स्थानों के सबसेट के लिए, बोरेल सेट को उन सेटों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो पोलिश रिक्त स्थान पर परिभाषित निरंतर इंजेक्शन मानचित्रों की श्रेणी हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि निरंतर गैर-इंजेक्शन मानचित्र की सीमा बोरेल होने में विफल हो सकती है। विश्लेषणात्मक सेट देखें।

एक मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक प्रायिकता माप इसे एक मानक प्रायिकता स्थान में बदल देता है।

गैर-बोरेल सेट

वास्तविक के एक उपसमुच्चय का एक उदाहरण जो गैर-बोरेल है, निकोलाई लुज़िन के कारण, नीचे वर्णित है। इसके विपरीत, एक गैर-मापने योग्य सेट का उदाहरण प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, हालांकि इसका अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।

प्रत्येक अपरिमेय संख्या का एक अनंत निरंतर अंश द्वारा एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}$

कहाँ $a_{0}$ कुछ पूर्णांक और अन्य सभी संख्याएँ हैं $a_{k}$ सकारात्मक पूर्णांक हैं। होने देना $A$ अनुक्रमों के संगत सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय हो $(a_{0},a_{1},\dots )$ निम्नलिखित संपत्ति के साथ: एक अनंत अनुक्रम मौजूद है $(a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )$ जैसे कि प्रत्येक तत्व अगले तत्व का विभाजक है। यह सेट $A$ बोरेल नहीं है। वास्तव में, यह विश्लेषणात्मक समुच्चय है, और विश्लेषणात्मक समुच्चय की श्रेणी में पूर्ण है। अधिक जानकारी के लिए वर्णनात्मक सेट सिद्धांत और अलेक्जेंडर एस केक्रिस द्वारा पुस्तक देखें, विशेष रूप से पृष्ठ 209 पर व्यायाम (27.2), पृष्ठ 169 पर परिभाषा (22.9), और पृष्ठ 14 पर व्यायाम (3.4) (ii)।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जबकि $A$ जेडएफ में निर्माण किया जा सकता है, यह अकेले जेडएफ में गैर-बोरेल साबित नहीं हो सकता। वास्तव में, यह ZF के अनुरूप है $\mathbb {R}$ गणनीय सेटों का एक गणनीय संघ है, ताकि कोई भी उपसमुच्चय $\mathbb {R}$ बोरेल सेट है।

एक अन्य गैर-बोरेल सेट एक उलटी छवि है $f^{-1}[0]$ समता फ़ंक्शन का # अनंत समता फ़ंक्शन $f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}$. हालाँकि, यह अस्तित्व का प्रमाण है (पसंद के स्वयंसिद्ध के माध्यम से), स्पष्ट उदाहरण नहीं।

वैकल्पिक गैर-समतुल्य परिभाषाएँ

पॉल हेल्मोस के अनुसार, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस के एक उपसमुच्चय को बोरेल सेट कहा जाता है यदि यह सबसे छोटे सिग्मा-रिंग | σ-रिंग से संबंधित होता है जिसमें सभी कॉम्पैक्ट सेट होते हैं।

नॉरबर्ग और वर्वाट टोपोलॉजिकल स्पेस के बोरेल बीजगणित को फिर से परिभाषित करें $X$ के रूप में $\sigma$-बीजगणित इसके खुले उपसमुच्चयों और इसके कॉम्पैक्ट संतृप्त सेटों द्वारा उत्पन्न होता है। यह परिभाषा उस मामले में अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त है जहां $X$ हॉसडॉर्फ नहीं है। यह सामान्य परिभाषा के साथ मेल खाता है यदि $X$ दूसरा गणनीय है या यदि प्रत्येक कॉम्पैक्ट संतृप्त सबसेट बंद है (जो कि विशेष रूप से मामला है $X$ हॉसडॉर्फ है)।

यह भी देखें

• Borel hierarchy
• Borel isomorphism
• Baire set
• Cylindrical σ-algebra
• Descriptive set theory
• Polish space

संदर्भ

• William Arveson, An Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, 1981. (See Chapter 3 for an excellent exposition of Polish topology)
• Richard Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Measure theory. D. van Nostrand Co. See especially Sect. 51 "Borel sets and Baire sets".
• Halsey Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995 (Graduate texts in Math., vol. 156)

बाहरी संबंध

• "Borel set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Formal definition of Borel Sets in the Mizar system, and the list of theorems Archived 2020-06-01 at the Wayback Machine that have been formally proved about it.
• Weisstein, Eric W. "Borel Set". MathWorld.

Lightface		Boldface
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (sometimes the same as Δ0 1)		Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (if defined)
Δ0 1 = recursive		Δ0 1 = clopen
Σ0 1 = recursively enumerable	Π0 1 = co-recursively enumerable	Σ0 1 = G = open	Π0 1 = F = closed
Δ0 2		Δ0 2
Σ0 2	Π0 2	Σ0 2 = Fσ	Π0 2 = Gδ
Δ0 3		Δ0 3
Σ0 3	Π0 3	Σ0 3 = Gδσ	Π0 3 = Fσδ
⋮		⋮
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = arithmetical		Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = boldface arithmetical
⋮		⋮
Δ0 α (α recursive)		Δ0 α (α countable)
Σ0 α	Π0 α	Σ0 α	Π0 α
⋮		⋮
Σ0 ωCK 1 = Π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ1 1 = hyperarithmetical		Σ0 ω1 = Π0 ω1 = Δ0 ω1 = Δ1 1 = B = Borel
Σ1 1 = lightface analytic	Π1 1 = lightface coanalytic	Σ1 1 = A = analytic	Π1 1 = CA = coanalytic
Δ1 2		Δ1 2
Σ1 2	Π1 2	Σ1 2 = PCA	Π1 2 = CPCA
Δ1 3		Δ1 3
Σ1 3	Π1 3	Σ1 3 = PCPCA	Π1 3 = CPCPCA
⋮		⋮
Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = analytical		Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = P = projective
⋮		⋮