एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर

Parts of this article or section rely on the reader's knowledge of the complex impedance representation of capacitors and inductors and on knowledge of the frequency domain representation of signals.

एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर या एम-टाइप फ़िल्टर प्रकार का इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर है जिसे छवि प्रतिबाधा पद्धति का उपयोग करके डिज़ाइन किया गया है। 1920 दशक की प्रारंभ में उनका आविष्कार ओटो ज़ोबेल ने किया था। यह फ़िल्टर प्रकार मूल रूप से टेलीफोन बहुसंकेतन के साथ उपयोग के लिए अभिप्रेत था और यह उपस्थित निरन्तर k प्रकार के फ़िल्टर पर सुधार था। जिस मुख्य समस्या का समाधान किया जा रहा था, वह समाप्ति प्रतिबाधाओं में फिल्टर के उत्तम मिलान को प्राप्त करने की आवश्यकता थी। सामान्यतः, छवि विधि द्वारा डिज़ाइन किए गए सभी फ़िल्टर त्रुटिहीन मिलान देने में विफल होते हैं, किंतु एम-टाइप फ़िल्टर पैरामीटर एम के उपयुक्त विकल्प के साथ बड़ा सुधार है। एम-टाइप फिल्टर सेक्शन का लाभ है कि पासबैंड की आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति से स्टॉपबैंड के अंदर क्षीणन के पोल (जटिल विश्लेषण) में तेजी से संक्रमण होता है। इन लाभ के अतिरिक्त, एम-टाइप फिल्टर के साथ खामी है; क्षीणन के ध्रुव के पश्चात आवृत्तियों पर, प्रतिक्रिया फिर से बढ़ने लगती है, और एम-प्रकारों में खराब स्टॉपबैंड अस्वीकृति होती है। इस कारण से, एम-प्रकार अनुभागों का उपयोग करके डिज़ाइन किए गए फ़िल्टर को प्रायः समग्र छवि फ़िल्टर के रूप में डिज़ाइन किया जाता है जिसमें के-प्रकार और एम-प्रकार अनुभागों का मिश्रण होता है और दोनों प्रकारों से इष्टतम प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर एम के विभिन्न मान होते हैं।

Midpoint impedance

The parameter m is given this symbol because of its association with midpoint impedance, a concept used by Zobel in his original treatment of the subject. Midpoint impedance arises in the following way. In this article and most modern textbooks, the starting point is the simple half-section, and more complex filters are built up from this. In Zobel's treatment and that of his contemporaries, the starting point is always the infinite ladder network. A "mid-series" section is derived by "cutting through the middle" of the series impedance Z and results in a T section. The image impedance ZiT is referred to as the mid-series image impedance. Similarly, a "mid-shunt" section is derived by cutting through the middle of the shunt admittance Y and results in a Π section with a mid-shunt image impedance. A "series m-derived section" is shorthand for "mid-series derived ladder type section". This makes it clear that the word series is referring to the ends of the T section being (half) a series component and not as is sometimes thought, because the additional component is in series with the shunt element. Similarly, "shunt m-derived section" is shorthand for "mid-shunt derived ladder type section".

पृष्ठभूमि

ज़ोबेल ने 1920 में प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क का पेटेंट कराया जो, संक्षेप में, जिसे अब एम-टाइप फिल्टर कहा जाता है, की टोपोलॉजी का उपयोग किया जाता है, किंतु ज़ोबेल ने उन्हें इस प्रकार नाम नहीं दिया या छवि विधि द्वारा उनका विश्लेषण नहीं किया। यह 1922 में जॉर्ज एशले कैंपबेल के अपने निरंतर के-टाइप डिज़ाइन के प्रकाशन से पहले का है, जिस पर एम-टाइप फ़िल्टर अर्धरित है। ज़ोबेल ने 1923 में एम-टाइप फिल्टर के छवि विश्लेषण सिद्धांत को प्रकाशित किया। बार लोकप्रिय होने के पश्चात, सामान्य रूप से एम-टाइप फिल्टर और छवि पैरामीटर डिज़ाइन किए गए फ़िल्टर अब संभवतः ही कभी डिज़ाइन किए गए हैं, जिन्हें अधिक उन्नत नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर विधियों द्वारा हटा दिया गया है।

व्युत्पत्ति

एम-व्युत्पन्न श्रृंखला सामान्य फ़िल्टर अर्ध खंड

एम-व्युत्पन्न शंट लो-पास फ़िल्टर अर्ध अनुभाग।
$C={\frac {L}{R_{0}^{2}}}$

एम-व्युत्पन्न फिल्टर का बिल्डिंग ब्लॉक, जैसा कि सभी छवि प्रतिबाधा फिल्टर के साथ होता है, एल नेटवर्क है, जिसे अर्ध-खंड कहा जाता है और श्रृंखला विद्युत प्रतिबाधा जेड और शंट प्रवेश वाई से बना है। एम-व्युत्पन्न फिल्टर का व्युत्पन्न है निरंतर k फ़िल्टर। डिज़ाइन का प्रारंभिक बिंदु स्थिर k प्रोटोटाइप से प्राप्त Z और Y के मान हैं और इनके द्वारा दिए गए हैं

$k^{2}={\frac {Z}{Y}}$

जहाँ k फ़िल्टर का नाममात्र प्रतिबाधा है, या R₀. डिज़ाइनर अब Z और Y को स्वेच्छ स्थिरांक m (0 <m <1) से गुणा करता है। एम-व्युत्पन्न खंड दो भिन्न-भिन्न प्रकार के होते हैं; श्रृंखला और शंट। एम-व्युत्पन्न श्रृंखला अर्ध खंड प्राप्त करने के लिए, डिजाइनर प्रतिबाधा निर्धारित करता है जिसे छवि प्रतिबाधा Z बनाने के लिए 1/mY में जोड़ा जाना चाहिए_iT मूल स्थिरांक k खंड की छवि प्रतिबाधा के समान। छवि प्रतिबाधा # व्युत्पत्ति से, आवश्यक अतिरिक्त प्रतिबाधा को दिखाया जा सकता है

${\frac {1-m^{2}}{m}}Z.$

एम-व्युत्पन्न शंट अर्ध अनुभाग प्राप्त करने के लिए, छवि प्रतिबाधा Z बनाने के लिए 1/mZ में प्रवेश जोड़ा जाता है_iΠ मूल आधे खंड की छवि प्रतिबाधा के समान। आवश्यक अतिरिक्त प्रवेश दिखाया जा सकता है

${\frac {1-m^{2}}{m}}Y.$

इन परिपथ की सामान्य व्यवस्था निम्न-पास खंड के विशिष्ट उदाहरण के साथ आरेखों में दाईं ओर दिखाई जाती है।

इस डिजाइन का परिणाम यह है कि एम-व्युत्पन्न अर्ध खंड केवल तरफ के-प्रकार के खंड से मेल खाएगा। इसके अतिरिक्त, m के मान का m-प्रकार का खंड उन पक्षों को छोड़कर m के दूसरे मान के दूसरे m-प्रकार के खंड से मेल नहीं खाएगा जो Z की प्रस्तुत करते हैं_i के-प्रकार का।

ऑपरेटिंग आवृत्ति

दिखाए गए निम्न-पास वाले आधे भाग के लिए, m-प्रकार की कट-ऑफ़ आवृत्ति k-प्रकार के समान होती है और इसके द्वारा दी जाती है

$\omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.$

क्षीणन का ध्रुव होता है;

$\omega _{\infty }={\frac {\omega _{c}}{\sqrt {1-m^{2}}}}.$

इससे यह स्पष्ट है कि m के छोटे मान उत्पन्न करेंगे $\omega _{\infty }$ कट-ऑफ आवृत्ति के निकट $\omega _{c}\,\!$ और इसलिए तेज कट-ऑफ होगा। इस कट-ऑफ के अतिरिक्त, यह एम-टाइप की अवांछित स्टॉपबैंड प्रतिक्रिया को कट-ऑफ फ्रीक्वेंसी के निकट लाता है, जिससे इसे पश्चात के वर्गों के साथ फ़िल्टर करना अधिक कठिन हो जाता है। चुने गए मी का मान सामान्यतः इन परस्पर विरोधी आवश्यकताओं के मध्य समझौता है। इंडक्टर्स के अंतर्निहित प्रतिरोध के कारण एम को कितना छोटा बनाया जा सकता है, इसकी व्यावहारिक सीमा भी है। इससे क्षीणन का ध्रुव कम गहरा हो जाता है (अर्थात, यह अब वास्तव में अनंत ध्रुव नहीं है) और कट-ऑफ की ढलान कम खड़ी हो जाती है। यह प्रभाव अधिक चिह्नित हो जाता है $\omega _{\infty }$ के निकट लाया जाता है $\omega _{c}\,\!$, और लगभग 0.2 या उससे कम के मी के साथ प्रतिक्रिया में कोई सुधार होना बंद हो जाता है।

छवि प्रतिबाधा

See also: छवि प्रतिबाधा §  व्युत्पत्ति

एम-व्युत्पन्न प्रोटोटाइप शंट लो-पास फिल्टर जेड_iTm एम के विभिन्न मूल्यों के लिए छवि प्रतिबाधा। कट-ऑफ़ फ़्रीक्वेंसी से नीचे के मान केवल स्पष्टता के लिए दिखाए गए हैं।

छवि प्रतिबाधाओं के लिए निम्नलिखित भाव सभी निम्न-पास प्रोटोटाइप अनुभाग के संदर्भ में हैं। उन्हें नाममात्र प्रतिबाधा आर तक बढ़ाया जाता है₀ = 1, और उन अभिव्यक्तियों में आवृत्तियों को कट-ऑफ आवृत्ति ω तक बढ़ाया जाता है_c = 1.

श्रृंखला खंड

श्रृंखला खंड की छवि प्रतिबाधा इसके द्वारा दी गई है

$Z_{iT}={\sqrt {1-\omega ^{2}}}$

और स्थिर k सेक्शन के समान है

$Z_{i\Pi m}={\frac {1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}.$

शंट सेक्शन

शंट अनुभाग की छवि प्रतिबाधा इसके द्वारा दी गई है

$Z_{i\Pi }={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$

और स्थिर k सेक्शन के समान है

$Z_{iTm}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}}}{1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}}$

जैसा कि के-टाइप सेक्शन के साथ होता है, एम-टाइप लो-पास सेक्शन की छवि प्रतिबाधा कट-ऑफ फ्रीक्वेंसी के नीचे विशुद्ध रूप से वास्तविक होती है और इसके ऊपर विशुद्ध रूप से काल्पनिक होती है। चार्ट से यह देखा जा सकता है कि पासबैंड में निरंतर शुद्ध प्रतिरोध समाप्ति के निकटतम प्रतिबाधा मिलान लगभग m = 0.6 पर होता है।

ट्रांसमिशन पैरामीटर

See also: छवि प्रतिबाधा §  स्थानांतरण फलन

आधे-सेक्शन के लिए एम-व्युत्पन्न लो-पास फ़िल्टर ट्रांसफर फ़ंक्शन

एम-व्युत्पन्न खंड के लिए सामान्य रूप से आधे खंड के लिए संचरण पैरामीटर द्वारा दिया जाता है

$\gamma =\sinh ^{-1}{\frac {mZ}{\sqrt {k^{2}+(1-m^{2})Z^{2}}}}$

और n आधे वर्गों के लिए

$\gamma _{n}=n\gamma \,\!$

लो-पास एल सेक्शन के विशेष उदाहरण के लिए, ट्रांसमिशन पैरामीटर तीन फ्रीक्वेंसी बैंड में भिन्न-भिन्न हल करते हैं।

के लिए $0<\omega <\omega _{c}\,\!$ संचरण दोषरहित है:

$\gamma =\alpha +i\beta =0+i{\frac {1}{2}}\cos ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)$

के लिए $\omega _{c}<\omega <\omega _{\infty }$ संचरण पैरामीटर हैं

$\gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left({\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}-1\right)+i{\frac {\pi }{2}}$

के लिए $\omega _{\infty }<\omega <\infty$ संचरण पैरामीटर हैं

$\gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)+i0$

प्रोटोटाइप परिवर्तन

छवि प्रतिबाधा, क्षीणन और चरण परिवर्तन के दिखाए गए प्लॉट निम्न-पास प्रोटोटाइप फ़िल्टर अनुभाग के प्लॉट हैं। प्रोटोटाइप में ω की कट-ऑफ आवृत्ति होती है_c = 1 रेड/एस और नाममात्र प्रतिबाधा आर₀ = 1 Ω. यह फिल्टर हाफ-सेक्शन द्वारा निर्मित होता है जहां L = 1 हेनरी और C = 1 फैराड होता है। यह प्रोटोटाइप प्रोटोटाइप फिल्टर # इम्पीडेंस स्केलिंग और प्रोटोटाइप फिल्टर # वांछित मूल्यों के लिए फ्रीक्वेंसी स्केलिंग हो सकता है। लो-पास प्रोटोटाइप भी उपयुक्त प्रोटोटाइप फिल्टर # बैंडफॉर्म ट्रांसफॉर्मेशन के आवेदन द्वारा उच्च-पास, बैंड-पास या बैंड-स्टॉप प्रकारों में परिवर्तन (ज्यामिति) हो सकता है।

कैस्केडिंग सेक्शन

समग्र छवि फ़िल्टर बनाने के लिए कई एल आधे-सेक्शन को कैस्केड किया जा सकता है। इन संयोजनों में समान प्रतिबाधा हमेशा समान का सामना करना चाहिए। इसलिए दो सर्किट हैं जो दो समान एल अर्ध-सेक्शन के साथ बन सकते हैं। जहां जेड_iT Z का सामना करता है_iT, खंड कहा जाता है Π अनुभाग। जहां जेड_iΠ Z का सामना करता है_iΠ गठित अनुभाग टी अनुभाग है। इनमें से किसी में आधे-अधूरे हिस्सों को जोड़ने से लैडर नेटवर्क बनता है जो श्रृंखला या शंट तत्वों के साथ शुरू और समाप्त हो सकता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि छवि विधि द्वारा भविष्यवाणी की गई फ़िल्टर की विशेषताएँ केवल तभी त्रुटिहीन होती हैं जब अनुभाग को उसकी छवि प्रतिबाधा के साथ समाप्त किया जाता है। यह आम तौर पर किसी भी छोर पर उन वर्गों के बारे में सच नहीं है जो आम तौर पर निश्चित प्रतिरोध के साथ समाप्त होते हैं। अनुभाग फ़िल्टर के अंत से जितना आगे होगा, भविष्यवाणी उतनी ही त्रुटिहीन होगी क्योंकि समापन प्रतिबाधाओं के प्रभाव को बीच वाले वर्गों द्वारा छिपाया जाता है। फ़िल्टर के सिरों पर m = 0.6 के साथ अर्ध अर्ध भाग प्रदान करना सामान्य है क्योंकि यह मान सबसे सपाट Z देता है_i पासबैंड में और इसलिए प्रतिरोधक समाप्ति के लिए सबसे अच्छा मैच।

Image filter sections
	Unbalanced L Half section T Section Π Section Ladder network
	Balanced C Half-section H Section Box Section Ladder network X Section (mid-T-Derived) X Section (mid-Π-Derived)
N.B. Textbooks and design drawings usually show the unbalanced implementations, but in telecoms it is often required to convert the design to the balanced implementation when used with balanced lines.

यह भी देखें

• छवि प्रतिबाधा
• निरंतर k फ़िल्टर
• जनरल एमएन-टाइप इमेज फिल्टर|जनरल एम_n-टाइप इमेज फिल्टर
• mm'-टाइप फिल्टर
• समग्र छवि फ़िल्टर

ग्रन्थसूची

• Mathaei, Young, Jones Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures McGraw-Hill 1964 (1980 edition is ISBN 0-89006-099-1).
• For a simpler treatment of the analysis see,

• Ghosh, Smarajit, Network Theory: Analysis and Synthesis, Prentice Hall of India, pp. 564–569 2005 ISBN 81-203-2638-5.