एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर

Parts of this article or section rely on the reader's knowledge of the complex impedance representation of capacitors and inductors and on knowledge of the frequency domain representation of signals.

एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर या एम-प्रकार फ़िल्टर का इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर है जिसे छवि प्रतिबाधा पद्धति का उपयोग करके डिज़ाइन किया गया है। 1920 दशक के प्रारंभ में इसका आविष्कार ओटो ज़ोबेल द्वारा किया गया था। यह फ़िल्टर मूल रूप से टेलीफोन बहुसंकेतन के साथ उपयोग के लिए अभिप्रेत था और यह उपस्थित निरन्तर k प्रकार के फ़िल्टर पर सुधार था। जिस मुख्य समस्या का समाधान किया जा रहा था, वह समाप्ति प्रतिबाधाओं में फिल्टर के उत्तम युग्मन को प्राप्त करने की आवश्यकता थी। सामान्यतः, छवि विधि द्वारा डिज़ाइन किए गए सभी फ़िल्टर त्रुटिहीन युग्मन देने में विफल होते हैं, किंतु एम-प्रकार फ़िल्टर पैरामीटर एम के उपयुक्त विकल्प के साथ बड़ा सुधार है। एम-प्रकार फिल्टर अनुभाग का लाभ है कि पासबैंड की आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति से स्टॉपबैंड के अंदर क्षीणन के ध्रुव (जटिल विश्लेषण) तक तीव्रता से संक्रमण होता है। इन लाभ के अतिरिक्त, एम-प्रकार फिल्टर के साथ अवगुण है; क्षीणन के ध्रुव के पश्चात आवृत्तियों पर, प्रतिक्रिया फिर से बढ़ने लगती है, और एम-प्रकारों में व्यर्थ स्टॉपबैंड अस्वीकृति होती है। इस कारण से, एम-प्रकार अनुभागों का उपयोग करके डिज़ाइन किए गए फ़िल्टर को प्रायः के-प्रकार और एम-प्रकार अनुभागों के मिश्रण के साथ मिश्रित फ़िल्टर के रूप में डिज़ाइन किया जाता है और दोनों प्रकारों से इष्टतम प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर एम के विभिन्न मान होते हैं।

मध्यबिंदु प्रतिबाधा

पैरामीटर m को यह प्रतीक मध्यबिंदु प्रतिबाधा के साथ इसके जुड़ाव के कारण दिया गया है, जो इस विषय के अपने मूल उपचार में ज़ोबेल द्वारा उपयोग की जाने वाली अवधारणा है। मध्यबिंदु प्रतिबाधा निम्न प्रकार से उत्पन्न होती है। इस लेख और अधिकांश आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में, प्रारंभिक बिंदु सरल अर्ध -खंड है, और इससे अधिक जटिल फ़िल्टर बनाए गए हैं। ज़ोबेल और उनके समकालीनों के उपचार में, प्रारंभिक बिंदु सदैव अनंत सीढ़ी नेटवर्क होता है। एक "मध्य-श्रृंखला" खंड श्रृंखला प्रतिबाधा Z के "मध्य से काटकर" प्राप्त किया जाता है और इसका परिणाम एक T खंड में होता है। छवि प्रतिबाधा ZiT को मध्य-श्रृंखला छवि प्रतिबाधा कहा जाता है। इसी प्रकार, एक "मिड-शंट" सेक्शन शंट प्रवेश Y के मध्य से काटकर प्राप्त किया जाता है और इसका परिणाम Π सेक्शन के साथ मध्य-शंट छवि प्रतिबाधा होता है। एक "श्रृंखला एम-व्युत्पन्न अनुभाग" "मध्य-श्रृंखला व्युत्पन्न सीढ़ी प्रकार अनुभाग" के लिए आशुलिपि है। इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि शब्द श्रृंखला T खंड के सिरों (आधा) को एक श्रृंखला घटक के रूप में संदर्भित कर रही है और जैसा कि कभी-कभी सोचा जाता है, क्योंकि अतिरिक्त घटक शंट तत्व के साथ श्रृंखला में है। इसी प्रकार, "शंट एम-व्युत्पन्न अनुभाग" "मध्य-शंट व्युत्पन्न सीढ़ी प्रकार अनुभाग" के लिए आशुलिपि है।

पृष्ठभूमि

ज़ोबेल ने 1920 में प्रतिबाधा युग्मन नेटवर्क का पेटेंट कराया,जो संक्षेप में, जिसे अब एम-प्रकार फिल्टर कहा जाता है, जिसमे टोपोलॉजी का उपयोग किया जाता है, किंतु ज़ोबेल ने उन्हें ऐसा नाम नहीं दिया या छवि विधि द्वारा उनका विश्लेषण नहीं किया। यह 1922 में जॉर्ज एशले कैंपबेल के अपने निरंतर के-प्रकार डिज़ाइन के प्रकाशन से पूर्व का है, जिस पर एम-प्रकार फ़िल्टर आधारित है। ज़ोबेल ने 1923 में एम-प्रकार फिल्टर के छवि विश्लेषण सिद्धांत को प्रकाशित किया। एक बार लोकप्रिय होने के पश्चात, सामान्य रूप से एम-प्रकार फिल्टर और छवि पैरामीटर डिज़ाइन अब संभवतः कभी डिज़ाइन किए गए हैं, जिन्हें अधिक उन्नत नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर विधियों द्वारा विस्थापित कर दिया गया है।

व्युत्पत्ति

एम-व्युत्पन्न श्रृंखला सामान्य फ़िल्टर अर्ध अनुभाग

एम-व्युत्पन्न शंट लो-पास फ़िल्टर अर्ध अनुभाग।
$C={\frac {L}{R_{0}^{2}}}$

एम-व्युत्पन्न फिल्टर का बिल्डिंग ब्लॉक, जैसा कि सभी छवि प्रतिबाधा फिल्टर के साथ होता है, L नेटवर्क है, जिसे अर्ध-खंड कहा जाता है और श्रृंखला विद्युत प्रतिबाधा Z और शंट प्रवेश Y से बना है। एम-व्युत्पन्न फिल्टर का व्युत्पन्न है और निरंतर k का फ़िल्टर हैं। डिज़ाइन का प्रारंभिक बिंदु स्थिर k प्रोटोटाइप से प्राप्त Z और Y के मान हैं और इनके द्वारा दिए गए हैं

$k^{2}={\frac {Z}{Y}}$

जहाँ k फ़िल्टर का नाममात्र प्रतिबाधा है, या R₀ डिज़ाइनर अब Z और Y को स्वेच्छ स्थिरांक m (0 <m <1) से गुणा करता है। एम-व्युत्पन्न खंड दो भिन्न-भिन्न प्रकार के होते हैं; श्रृंखला और शंट। एम-व्युत्पन्न श्रृंखला अर्ध खंड प्राप्त करने के लिए, डिजाइनर प्रतिबाधा को निर्धारित करता है जिसे छवि प्रतिबाधा Z_iT को मूल स्थिर k खंड की छवि प्रतिबाधा के समान बनाने के लिए 1/mY में जोड़ा जाना चाहिए। छवि प्रतिबाधा के सामान्य सूत्र से, आवश्यक अतिरिक्त प्रतिबाधा को दिखाया जा सकता है:

${\frac {1-m^{2}}{m}}Z.$

एम-व्युत्पन्न शंट अर्ध अनुभाग प्राप्त करने के लिए, छवि प्रतिबाधा Z_iΠ को मूल अर्ध खंड की छवि प्रतिबाधा के समान बनाने के लिए 1/mZ में प्रवेश जोड़ा जाता है। आवश्यक अतिरिक्त प्रवेश दिखाया जा सकता है

${\frac {1-m^{2}}{m}}Y.$

इन परिपथ की सामान्य व्यवस्था निम्न-पास खंड के विशिष्ट उदाहरण के साथ आरेखों में दाईं ओर दिखाई जाती है।

इस डिजाइन का परिणाम यह है कि एम-व्युत्पन्न अर्ध खंड केवल एक ओर के-प्रकार के खंड से युग्मित होता है। इसके अतिरिक्त, m के मान का m-प्रकार का खंड m के दूसरे मान के खंड से युग्मित होता है। अतिरिक्त उन पक्षों के जो k-प्रकार के Z_i को प्रस्तुत करते हैं।

ऑपरेटिंग आवृत्ति

दिखाए गए निम्न-पास वाले अर्ध भाग के लिए, m-प्रकार की कट-ऑफ़ आवृत्ति k-प्रकार के समान होती है और इसके द्वारा दी जाती है:

$\omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.$

क्षीणन का ध्रुव होता है;

$\omega _{\infty }={\frac {\omega _{c}}{\sqrt {1-m^{2}}}}.$

इससे यह स्पष्ट है कि m के छोटे मान उत्पन्न होते है $\omega _{\infty }$ कट-ऑफ आवृत्ति के पास $\omega _{c}\,\!$ इसलिए तीव्र कट-ऑफ होगा। इस कट-ऑफ के अतिरिक्त, यह एम-प्रकार की अवांछित स्टॉपबैंड प्रतिक्रिया को कट-ऑफ आवृत्ति के पास लाता है, जिससे इसे पश्चात के वर्गों के साथ फ़िल्टर करना अधिक कठिन हो जाता है। चयन किये गए m का मान सामान्यतः इन परस्पर विरोधी आवश्यकताओं के मध्य निराकरण होता है। कुचालक के अंतर्निहित प्रतिरोध के कारण एम को कितना छोटा बनाया जा सकता है, इसकी व्यावहारिक सीमा भी है। इससे क्षीणन का ध्रुव कम गहरा हो जाता है (अर्थात, यह अब वास्तव में अनंत ध्रुव नहीं है) और कट-ऑफ की ढलान कम खड़ी हो जाती है। यह प्रभाव अधिक चिह्नित हो जाता है $\omega _{\infty }$ के पास लाया जाता है $\omega _{c}\,\!$, लगभग 0.2 या उससे कम m के साथ प्रतिक्रिया में सुधार होना बंद हो जाता है।

छवि प्रतिबाधा

See also: छवि प्रतिबाधा §  व्युत्पत्ति

एम-व्युत्पन्न प्रोटोप्रकार शंट लो-पास फिल्टर Z_iTm एम के विभिन्न मूल्यों के लिए छवि प्रतिबाधा हैं। कट-ऑफ़ आवृत्ति से नीचे के मान केवल स्पष्टता के लिए दिखाए गए हैं।

छवि प्रतिबाधाओं के लिए निम्नलिखित भाव सभी निम्न-पास प्रोटोटाइप अनुभाग के संदर्भ में हैं। उन्हें नाममात्र प्रतिबाधा R₀ = 1, तक बढ़ाया जाता है और उन अभिव्यक्तियों में आवृत्तियों को कट-ऑफ आवृत्ति ω_c = 1 तक बढ़ाया जाता है।

श्रृंखला खंड

श्रृंखला खंड की छवि प्रतिबाधा इसके द्वारा दी गई है

$Z_{iT}={\sqrt {1-\omega ^{2}}}$

और स्थिर k अनुभाग के समान है:

$Z_{i\Pi m}={\frac {1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}.$

शंट अनुभाग

शंट अनुभाग की छवि प्रतिबाधा इसके द्वारा दी गई है

$Z_{i\Pi }={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$

और स्थिर k अनुभाग के समान है:

$Z_{iTm}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}}}{1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}}$

जैसा कि के-प्रकार अनुभाग के साथ होता है, एम-प्रकार निम्न-पास अनुभाग की छवि प्रतिबाधा कट-ऑफ आवृत्ति के नीचे विशुद्ध रूप से वास्तविक होती है और इसके ऊपर विशुद्ध रूप से काल्पनिक होती है। चार्ट से यह देखा जा सकता है कि पासबैंड में निरंतर शुद्ध प्रतिरोध समाप्ति के निकटतम प्रतिबाधा युग्मन लगभग m = 0.6 पर होता है।

ट्रांसमिशन पैरामीटर

See also: छवि प्रतिबाधा §  स्थानांतरण फलन

अर्ध-अनुभाग के लिए एम-व्युत्पन्न लो-पास फ़िल्टर ट्रांसफर फ़ंक्शन

एम-व्युत्पन्न खंड के लिए सामान्य रूप से अर्ध खंड के लिए संचरण पैरामीटर द्वारा दिया जाता है:

$\gamma =\sinh ^{-1}{\frac {mZ}{\sqrt {k^{2}+(1-m^{2})Z^{2}}}}$

और n अर्ध वर्गों के लिए है:

$\gamma _{n}=n\gamma \,\!$

निम्न-पास L अनुभाग के विशेष उदाहरण के लिए, ट्रांसमिशन पैरामीटर तीन आवृत्ति बैंड में भिन्न-भिन्न समाधान करते हैं।

$0<\omega <\omega _{c}\,\!$ के लिए संचरण दोषरहित है:

$\gamma =\alpha +i\beta =0+i{\frac {1}{2}}\cos ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)$

$\omega _{c}<\omega <\omega _{\infty }$ के लिए संचरण पैरामीटर हैं:

$\gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left({\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}-1\right)+i{\frac {\pi }{2}}$

$\omega _{\infty }<\omega <\infty$ के लिए संचरण पैरामीटर हैं:

$\gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)+i0$

प्रोटोटाइप परिवर्तन

छवि प्रतिबाधा, क्षीणन और चरण परिवर्तन में दिखाए गए प्लॉट निम्न-पास प्रोटोटाइप फ़िल्टर अनुभाग के प्लॉट हैं। प्रोटोटाइप में ω_c = 1 की कट-ऑफ आवृत्ति और नाममात्र प्रतिबाधा R₀ = 1 Ω है। यह फिल्टर अर्ध-अनुभाग द्वारा निर्मित होता है जहां L = 1 हेनरी और C = 1 फैराड होता है। इस प्रोटोटाइप को प्रतिबाधा स्केल किया जा सकता है और आवृत्ति को वांछित मानों तक बढ़ाया जा सकता है। निम्न-पास प्रोटोटाइप को उपयुक्त आवृत्ति परिवर्तनों के अनुप्रयोग द्वारा उच्च-पास, बैंड-पास या बैंड-स्टॉप प्रकारों में भी रूपांतरित किया जा सकता है।

कैस्केडिंग अनुभाग

समग्र छवि फ़िल्टर बनाने के लिए कई L अर्ध-अनुभाग को कैस्केड किया जा सकता है। इन संयोजनों में सदैव समान प्रतिबाधा का सामना करना चाहिए। इसलिए दो परिपथ हैं जो दो समान L अर्ध-अनुभाग के साथ बन सकते हैं। जहां Z_iT का सामना Z_iT से होता है, वहाँ अनुभाग को Πअनुभाग कहा जाता है। जहां Z_iΠ का सामना Z_iΠ से होता है, वहाँ बनने वाला अनुभाग T अनुभाग है। इनमें से किसी अर्ध-अपूर्ण भागों को जोड़ने से लैडर नेटवर्क बनता है जो श्रृंखला या शंट तत्वों के साथ प्रारंभ और समाप्त हो सकता है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि छवि विधि द्वारा भविष्यवाणी की गई फ़िल्टर की विशेषताएँ केवल तभी त्रुटिहीन होती हैं जब अनुभाग को उसकी छवि प्रतिबाधा के साथ समाप्त किया जाता है। यह सामान्यतः किसी भी सिरे पर उन वर्गों के बारे में सत्य नहीं है जो सामान्यतः निश्चित प्रतिरोध के साथ समाप्त होते हैं। अनुभाग फ़िल्टर के अंत से जितना आगे होगा, भविष्यवाणी उतनी ही त्रुटिहीन होगी क्योंकि समापन प्रतिबाधाओं के प्रभाव को मध्य वाले वर्गों द्वारा छिपाया जाता है। फ़िल्टर के सिरों पर m = 0.6 के साथ अर्ध भाग प्रदान करना सामान्य है क्योंकि यह मान पासबैंड में समतल Z_iदेता है और इसलिए प्रतिरोधक समाप्ति के लिए सबसे उत्तम युग्मित होता है।

Image filter sections
	Unbalanced L Half section T Section Π Section Ladder network
	Balanced C Half-section H Section Box Section Ladder network X Section (mid-T-Derived) X Section (mid-Π-Derived)
N.B. Textbooks and design drawings usually show the unbalanced implementations, but in telecoms it is often required to convert the design to the balanced implementation when used with balanced lines.

यह भी देखें

• छवि प्रतिबाधा
• निरंतर k फ़िल्टर
• सामान्य M_n-प्रकार छवि फ़िल्टर
• mm'-प्रकार फिल्टर
• समग्र छवि फ़िल्टर

ग्रन्थसूची

• Mathaei, Young, Jones Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures McGraw-Hill 1964 (1980 edition is ISBN 0-89006-099-1).
• For a simpler treatment of the analysis see,

• Ghosh, Smarajit, Network Theory: Analysis and Synthesis, Prentice Hall of India, pp. 564–569 2005 ISBN 81-203-2638-5.