अनिर्धारित गुणांक की विधि: Difference between revisions

Latest revision as of 11:29, 8 June 2023

गणित में, अनिर्धारित गुणांकों की विधि कुछ गैर-समान सामान्य अंतर समीकरणों और पुनरावृत्ति संबंध के लिए एक विशेष समाधान प्राप्त करने का एक दृष्टिकोण है। यह शून्यकारी विधि द्वारा निकटता से संबंधित है, लेकिन विशेष समाधान का सर्वोत्तम संभव रूप प्राप्त करने के लिए एक विशेष प्रकार के विभेदक प्रचालक (शून्यकारी) का उपयोग करने के अतिरिक्त, एक अंसतज़ या 'अनुमान' उपयुक्त रूप के रूप में किया जाता है, जिसके बाद परिणामी समीकरण को अवकलित करके परीक्षण किया जाता है। जटिल समीकरणों के लिए, शून्यकारी विधि या मापदंडों की भिन्नता प्रदर्शन करने में कम समय लेती है।

अनिर्धारित गुणांक मापदंड की भिन्नता के रूप में सामान्य विधि नहीं है, क्योंकि यह केवल कुछ रूपों का पालन करने वाले अंतर समीकरणों के लिए कार्य करता है, जिसके बाद परिणामी समीकरण को अवकलित करके परीक्षण किया जाता है।।^[1]

विधि का विवरण

इस रूप के एक रैखिक गैर-सजातीय साधारण अंतर समीकरण पर विचार करें,

\sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)

जहाँ

y

,

y^{(i)}

के i-वें व्युत्पन्न को दर्शाता है, और

x

,

c_{i}

के कार्य को दर्शाता है।

जटिल समीकरणों के लिए, शून्यकारी विधि या मापदंडों की भिन्नता प्रदर्शन करने में कम समय लेती है। अनिर्धारित गुणांक की विधि इस ओडीई के समाधान को प्राप्त करने का एक सीधा तरीका प्रदान करती है जब दो मानदंड पूरे होते हैं:^[2]

$c_{i}$ स्थिरांक हैं।
g(x) एक अचर, एक बहुपद फलन, चरघातांकी $e^{\alpha x}$ फलन है, ज्या $\sin {\beta x}$ या $\cos {\beta x}$ कोसाइन कार्य करता है, या परिमित योग और इन फलनों के उत्पाद ( ${\alpha }$ , ${\beta }$ स्थिरांक) कार्य को दर्शाता है।

विधि में सामान्य सजातीय अंतर समीकरण द्वारा $y_{c}$ समाधान प्राप्त करना सम्मिलित है, पूरक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए,

\sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,

और एक विशेष अभिन्न $y_{p}$ रैखिक गैर-सजातीय साधारण अंतर समीकरण के आधार पर $g(x)$ फिर सामान्य समाधान $y$ रैखिक गैर-सजातीय साधारण अंतर समीकरण होगा,

y=y_{c}+y_{p}.

^[3]

यदि $g(x)$ दो फलनों के योग से मिलकर बनता है, $h(x)+w(x)$ और हम $y_{p_{1}}$ कहते हैं, $h(x)$ पर आधारित समाधान है और $y_{p_{2}}$ समाधान पर आधारित $w(x)$ है, फिर एक अध्यारोपण सिद्धांत का उपयोग करके हम कह सकते हैं कि विशेष अभिन्न समाधान $y_{p}$ है^[3]

y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.

विशेष अभिन्न के विशिष्ट रूप

विशेष समाकल ज्ञात करने के लिए हमें इसके रूप का 'अनुमान' लगाने की आवश्यकता है, जिसमें कुछ गुणांकों को हल करने के लिए चरों के रूप में छोड़ दिया गया है। यह पूरक फलन के पहले व्युत्पन्न का रूप लेता है। नीचे कुछ विशिष्ट फलनों की तालिका और उनके लिए अनुमान लगाने का समाधान दिया गया है।

X का फलन	y के लिए प्रारूप
$ke^{ax}\!$	$Ce^{ax}\!$
$kx^{n},\;n=0,1,2,\ldots \!$	$\sum _{i=0}^{n}K_{i}x^{i}\!$
$k\cos(ax){\text{ or }}k\sin(ax)\!$	$K\cos(ax)+M\sin(ax)\!$
$ke^{ax}\cos(bx){\text{ or }}ke^{ax}\sin(bx)\!$	$e^{ax}(K\cos(bx)+M\sin(bx))\!$
$\left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)\cos(bx){\text{ or }}\ \left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\!$	$\left(\sum _{i=0}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=0}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)$
$\left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\cos(bx){\text{ or }}\left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\sin(bx)\!$	$e^{ax}\left(\left(\sum _{i=0}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=0}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\right)$

यदि y के लिए उपरोक्त विशेष समाकल में एक शब्द सजातीय समाधान में प्रकट होता है, तो समाधान को स्वतंत्र बनाने के लिए x की पर्याप्त दीर्घ घात से गुणा करना आवश्यक है। यदि उपरोक्त तालिका में x का फलन पदों का योग है, तो y के संगत पदों के योग का उपयोग करके विशेष समाकल का अनुमान लगाया जा सकता है। विशेष समाकल ज्ञात करने के लिए हमें इसके रूप का 'अनुमान' लगाने की आवश्यकता है, जिसमें कुछ गुणांकों को हल करने के लिए चरों के रूप में छोड़ दिया गया है।^[1]

उदाहरण

उदाहरण 1

समीकरण का विशेष समाकल ज्ञात कीजिए

y''+y=t\cos t.

दाईं ओर t cos t का रूप है

P_{n}e^{\alpha t}\cos {\beta t}

n = 2, α = 0, और β = 1 के साथ,

चूँकि α + iβ = i अभिलाक्षणिक समीकरण का सरल मूल है

\lambda ^{2}+1=0

हमें प्रारूप के एक विशेष समाकल का प्रयास करना चाहिए

{\begin{aligned}y_{p}&=t\left[F_{1}(t)e^{\alpha t}\cos {\beta t}+G_{1}(t)e^{\alpha t}\sin {\beta t}\right]\\&=t\left[F_{1}(t)\cos t+G_{1}(t)\sin t\right]\\&=t\left[\left(A_{0}t+A_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t+B_{1}\right)\sin t\right]\\&=\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t.\end{aligned}}

y_p को प्रतिस्थापित करना अंतर समीकरण में,

\begin{aligned} t \cos t & = y_{p}^{″} + y_{p} \\ = {[(A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) \sin t]}^{″} + [(A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) \sin t] \\ = [2 A_{0} \cos t + 2 (2 A_{0} t + A_{1}) (- \sin t) + (A_{0} t^{2} + A_{1} t) (- \cos t) + 2 B_{0} \sin t + 2 (2 B_{0} t + B_{1}) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) (- \sin t)] \\ + [(A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} \end{aligned}

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,

{\begin{cases}1=4B_{0}\\0=2A_{0}+2B_{1}\\0=-4A_{0}\\0=-2A_{1}+2B_{0}\end{cases}}

जिसका समाधान है

A_{0}=0,\quad A_{1}=B_{0}={\frac {1}{4}},\quad B_{1}=0.

हमारे पास तब एक विशेष अभिन्न है

y_{p}={\frac {1}{4}}t\cos t+{\frac {1}{4}}t^{2}\sin t.

उदाहरण 2

निम्नलिखित रैखिक असमघात अवकल समीकरण पर विचार कीजिए:

{\frac {dy}{dx}}=y+e^{x}.

यह ऊपर के पहले उदाहरण की तरह है, तो समाधान को स्वतंत्र बनाने के लिए x की पर्याप्त दीर्घ घात से गुणा करना आवश्यक है। इसके बावजूद इसके कि गैर-समान भाग ( $e^{x}$ ) सजातीय भाग के सामान्य समाधान के लिए रैखिक रूप ( $c_{1}e^{x}$ ) से स्वतंत्र नहीं है; परिणाम स्वरुप, हमें अपने अनुमान को x की पर्याप्त दीर्घ घात से गुणा करना होगा जिससे कि इसे रैखिक रूप से स्वतंत्र बनाया जा सके।

यहाँ हमारा अनुमान बन जाता है:

y_{p}=Axe^{x}.

यह ऊपर के पहले उदाहरण की तरह है, तो समाधान को स्वतंत्र बनाने के लिए x की पर्याप्त दीर्घ घात से गुणा करना आवश्यक है। इस फलन और इसके व्युत्पन्न को अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करके, A के लिए हल किया जा सकता है:

{\frac {d}{dx}}\left(Axe^{x}\right)=Axe^{x}+e^{x}

Axe^{x}+Ae^{x}=Axe^{x}+e^{x}

A=1.

तो, इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है:

y=c_{1}e^{x}+xe^{x}.

उदाहरण 3

समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए:

{\frac {dy}{dt}}=t^{2}-y

$t^{2}$ डिग्री 2 का बहुपद है, इसलिए हम उसी रूप का उपयोग करके एक समाधान को प्राप्त करता है,

y_{p}=At^{2}+Bt+C,

इस विशेष फलन को मूल समीकरण उत्पत्ति में संलग्नित करना,

2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C),

2At+B=(1-A)t^{2}-Bt-C,

(A-1)t^{2}+(2A+B)t+(B+C)=0.

जो निर्गत करता है:

A-1=0,\quad 2A+B=0,\quad B+C=0.

स्थिरांकों को हल करने पर हमें मिलता है:

y_{p}=t^{2}-2t+2

सामान्य समाधान को हल करने के लिए,

y=y_{p}+y_{c}

जहाँ $y_{c}$ सजातीय समाधान है, इसलिए $y_{c}=c_{1}e^{-t}$ सामान्य समाधान है:

y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Ralph P. Grimaldi (2000). "Nonhomogeneous Recurrence Relations". Section 3.3.3 of Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. ISBN 0-8493-0149-1.
↑ Zill, Dennis G., Warren S. Wright (2014). उन्नत इंजीनियरिंग गणित. Jones and Bartlett. p. 125. ISBN 978-1-4496-7977-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ ^3.0 ^3.1 Dennis G. Zill (14 May 2008). डिफरेंशियल इक्वेशन में पहला कोर्स. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

Boyce, W. E.; DiPrima, R. C. (1986). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83824-1.
Riley, K. F.; Bence, S. J. (2010). Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1985). Ordinary Differential Equations. Dover. ISBN 978-0-486-64940-5.
de Oliveira, O. R. B. (2013). "A formula substituting the undetermined coefficients and the annihilator methods". Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 44 (3): 462–468. arXiv:1110.4425. Bibcode:2013IJMES..44..462R. doi:10.1080/0020739X.2012.714496. S2CID 55834468.

[Grimaldi-1] 1.0 ^1.1 Ralph P. Grimaldi (2000). "Nonhomogeneous Recurrence Relations". Section 3.3.3 of Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. ISBN 0-8493-0149-1.

[2] Zill, Dennis G., Warren S. Wright (2014). उन्नत इंजीनियरिंग गणित. Jones and Bartlett. p. 125. ISBN 978-1-4496-7977-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Zill2008-3] 3.0 ^3.1 Dennis G. Zill (14 May 2008). डिफरेंशियल इक्वेशन में पहला कोर्स. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

[1]

[2]

[3]

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 :जहाँ <math>y</math>, <math>y^{(i)}</math> के i-वें व्युत्पन्न को दर्शाता है, और <math>x</math>, <math>c_i</math> के कार्य को दर्शाता है।
-अनिर्धारित गुणांक की विधि इस ओडीई के समाधान को प्राप्त करने का एक सीधा तरीका प्रदान करती है जब दो मानदंड पूरे होते हैं:<ref>{{Cite book|last=Zill, Dennis G., Warren S. Wright|title=उन्नत इंजीनियरिंग गणित|publisher=Jones and Bartlett|year=2014|isbn=978-1-4496-7977-4|pages=125}}</ref>
+जटिल समीकरणों के लिए, शून्यकारी विधि या [[मापदंडों की भिन्नता]] प्रदर्शन करने में कम समय लेती है। अनिर्धारित गुणांक की विधि इस ओडीई के समाधान को प्राप्त करने का एक सीधा तरीका प्रदान करती है जब दो मानदंड पूरे होते हैं:<ref>{{Cite book|last=Zill, Dennis G., Warren S. Wright|title=उन्नत इंजीनियरिंग गणित|publisher=Jones and Bartlett|year=2014|isbn=978-1-4496-7977-4|pages=125}}</ref>
 # <math>c_i</math> स्थिरांक हैं।
 # g(x) एक अचर, एक बहुपद फलन, चरघातांकी <math>e^{\alpha x}</math> फलन है, ज्या <math>\sin{\beta x}</math> या <math>\cos{\beta x}</math> कोसाइन कार्य करता है, या परिमित योग और इन फलनों के उत्पाद (<math>{\alpha}</math>, <math>{\beta}</math> स्थिरांक) कार्य को दर्शाता है।
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 <math>e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)</math>
 |}
-यदि y के लिए उपरोक्त विशेष समाकल में एक शब्द सजातीय समाधान में प्रकट होता है, तो समाधान को स्वतंत्र बनाने के लिए x की पर्याप्त दीर्घ घात से गुणा करना आवश्यक है। यदि उपरोक्त तालिका में x का फलन पदों का योग है, तो y के संगत पदों के योग का उपयोग करके विशेष समाकल का अनुमान लगाया जा सकता है।<ref name="Grimaldi"/>
+यदि y के लिए उपरोक्त विशेष समाकल में एक शब्द सजातीय समाधान में प्रकट होता है, तो समाधान को स्वतंत्र बनाने के लिए x की पर्याप्त दीर्घ घात से गुणा करना आवश्यक है। यदि उपरोक्त तालिका में x का फलन पदों का योग है, तो y के संगत पदों के योग का उपयोग करके विशेष समाकल का अनुमान लगाया जा सकता है। विशेष समाकल ज्ञात करने के लिए हमें इसके रूप का 'अनुमान' लगाने की आवश्यकता है, जिसमें कुछ गुणांकों को हल करने के लिए चरों के रूप में छोड़ दिया गया है।<ref name="Grimaldi"/>
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 :<math>y_p = A x e^x.</math>
-इस फलन और इसके व्युत्पन्न को अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करके, A के लिए हल किया जा सकता है:
+यह ऊपर के पहले उदाहरण की तरह है, तो समाधान को स्वतंत्र बनाने के लिए x की पर्याप्त दीर्घ घात से गुणा करना आवश्यक है। इस फलन और इसके व्युत्पन्न को अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करके, A के लिए हल किया जा सकता है:
 :<math>\frac{d}{dx} \left( A x e^x \right) = A x e^x + e^x</math>
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 * {{cite journal | last1 = de Oliveira | first1 = O. R. B. | year = 2013 | title = A formula substituting the undetermined coefficients and the annihilator methods | doi = 10.1080/0020739X.2012.714496 | journal = Int. J. Math. Educ. Sci. Technol | volume = 44 | issue = 3| pages = 462–468 | arxiv = 1110.4425 | bibcode = 2013IJMES..44..462R | s2cid = 55834468 }}
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