संख्यात्मक एकीकरण

मूल्य के लिए संख्यात्मक सन्निकटन की गणना करने के लिए संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग किया जाता है $S$द्वारा परिभाषित वक्र के अंतर्गत क्षेत्र $f(x)$.

संख्यात्मक विश्लेषण में, संख्यात्मक एकीकरण में एक निश्चित अभिन्न के संख्यात्मक मान की गणना के लिए कलन विधि का एक व्यापक परिवार शामिल होता है, और विस्तार से, कभी-कभी शब्द का उपयोग संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरणों का वर्णन करने के लिए भी किया जाता है। यह लेख निश्चित समाकलों की गणना पर केंद्रित है।

शब्द संख्यात्मक चतुर्भुज (अक्सर चतुर्भुज (गणित) |चतुर्भुज के लिए संक्षिप्त) कमोबेश संख्यात्मक एकीकरण का एक पर्याय है, विशेष रूप से एक-आयामी अभिन्न पर लागू होता है। कुछ लेखक क्यूबचर के रूप में एक से अधिक आयामों पर संख्यात्मक एकीकरण का उल्लेख करते हैं; अन्य उच्च-आयामी एकीकरण को शामिल करने के लिए चतुष्कोण लेते हैं।

संख्यात्मक एकीकरण में मूल समस्या एक निश्चित अभिन्न के अनुमानित समाधान की गणना करना है

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

सटीकता की एक निश्चित डिग्री के लिए। अगर f(x) आयामों की एक छोटी संख्या पर एकीकृत एक सहज कार्य है, और एकीकरण का डोमेन परिबद्ध है, वांछित परिशुद्धता के अभिन्न अंग को अनुमानित करने के लिए कई तरीके हैं।

संख्यात्मक एकीकरण के कारण

संख्यात्मक एकीकरण को अंजाम देने के कई कारण हैं, जैसा कि विश्लेषणात्मक एकीकरण के विपरीत है:

1. समाकलित f(x) केवल कुछ बिंदुओं पर ही जाना जा सकता है, जैसे नमूनाकरण (सांख्यिकी) द्वारा प्राप्त किया गया। इस कारण से कुछ अंतः स्थापित प्रणालियाँ और अन्य कंप्यूटर अनुप्रयोगों को संख्यात्मक एकीकरण की आवश्यकता हो सकती है।
2. इंटीग्रैंड के लिए एक सूत्र ज्ञात हो सकता है, लेकिन एक antiderivative को खोजना मुश्किल या असंभव हो सकता है जो एक प्राथमिक कार्य है। ऐसे समाकलन का एक उदाहरण है f(x) = exp(−x²), जिसका प्रतिपक्षी (त्रुटि फ़ंक्शन, एक स्थिरांक) प्रारंभिक रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
   See also: nonelementary integral
3. सांकेतिक रूप से एक प्रतिपक्षी को खोजना संभव हो सकता है, लेकिन प्रतिपक्षी की गणना करने की तुलना में संख्यात्मक सन्निकटन की गणना करना आसान हो सकता है। यह मामला हो सकता है यदि एंटीडेरिवेटिव को अनंत श्रृंखला या उत्पाद के रूप में दिया जाता है, या यदि इसके मूल्यांकन के लिए एक विशेष फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है जो उपलब्ध नहीं है।

इतिहास

Main article: Quadrature (mathematics)

संख्यात्मक एकीकरण शब्द पहली बार 1915 में डेविड गिब (गणितज्ञ) द्वारा गणितीय प्रयोगशाला के लिए इंटरपोलेशन और न्यूमेरिक इंटीग्रेशन में एक कोर्स के प्रकाशन में दिखाई देता है। चतुर्भुज एक ऐतिहासिक गणितीय शब्द है जिसका अर्थ है क्षेत्रफल की गणना करना। चतुर्भुज की समस्याएं गणितीय विश्लेषण के मुख्य स्रोतों में से एक के रूप में कार्य करती हैं। ग्रीक गणित, पाइथोगोरियनवाद सिद्धांत के अनुसार, क्षेत्र की गणना को ज्यामितीय रूप से एक वर्ग (ज्यामिति) के समान क्षेत्र ("स्क्वायरिंग") के निर्माण की प्रक्रिया के रूप में समझा। इसीलिए इस प्रक्रिया को चतुर्भुज नाम दिया गया। उदाहरण के लिए, वृत्त का एक चतुर्भुज, हिप्पोक्रेट्स का लून, परवलय का चतुर्भुज। यह निर्माण केवल कम्पास और सीधे किनारे के निर्माण के माध्यम से ही किया जाना चाहिए।

प्राचीन बेबीलोनियों ने क्रांतिवृत्त के साथ बृहस्पति (ग्रह) की गति को एकीकृत करने के लिए ट्रैपोज़ाइडल नियम का उपयोग किया।

ज्यामितीय माध्य निकालने की प्राचीन विधि

पक्षों ए और बी के साथ एक आयत के चतुर्भुज के लिए पक्ष के साथ एक वर्ग का निर्माण करना आवश्यक है $x={\sqrt {ab}}$ (ए और बी का ज्यामितीय माध्य)। इस उद्देश्य के लिए निम्नलिखित तथ्य का उपयोग करना संभव है: यदि हम व्यास के रूप में ए और बी के योग के साथ एक वृत्त खींचते हैं, तो ऊंचाई बीएच (उनके कनेक्शन के एक बिंदु से एक वृत्त के साथ पार करने के लिए) उनके ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है। समान ज्यामितीय निर्माण समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज के लिए चतुर्भुज की समस्या को हल करता है।

The area of a segment of a parabola

वक्रीय आकृतियों के लिए चतुर्भुज की समस्याएँ कहीं अधिक कठिन हैं। 19वीं सदी में कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ सर्कल का चतुर्भुज असंभव साबित हुआ था। फिर भी, कुछ आंकड़ों के लिए (उदाहरण के लिए हिप्पोक्रेट्स का लून) एक चतुर्भुज प्रदर्शन किया जा सकता है। आर्किमिडीज द्वारा किए गए गोलाकार सतह के चतुष्कोण और पैराबोला के चतुर्भुज प्राचीन विश्लेषण की सर्वोच्च उपलब्धि बन गए।

• एक गोले की सतह का क्षेत्रफल इस गोले के एक बड़े वृत्त के क्षेत्रफल के चौगुने के बराबर है।
• एक सीधी रेखा द्वारा इससे काटे गए परवलय के एक खंड का क्षेत्रफल इस खंड में खुदे हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल का 4/3 है।

परिणामों के प्रमाण के लिए आर्किमिडीज़ ने कनिडस के यूडोक्सस की थकावट की विधि का उपयोग किया।

मध्ययुगीन यूरोप में चतुर्भुज का मतलब किसी भी विधि से क्षेत्र की गणना करना था। अधिक बार अविभाज्यता की विधि का उपयोग किया जाता था; यह कम कठोर था, लेकिन अधिक सरल और शक्तिशाली था। इसकी मदद से गैलीलियो गैलीली और गाइल्स डे रॉबर्वाल ने एक चक्रज आर्च का क्षेत्र पाया, ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट ने एक अतिशयोक्ति (ओपस जियोमेट्रिकम, 1647) के तहत क्षेत्र की जांच की, और अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा, डी सेंट-विंसेंट के शिष्य और टिप्पणीकार, ने उल्लेख किया लघुगणक से इस क्षेत्र का संबंध।

जॉन वालिस ने इस पद्धति का बीजगणित किया: उन्होंने अपनी अरिथमेटिका इन्फिनिटोरम (1656) श्रृंखला में लिखा था जिसे अब हम निश्चित अभिन्न कहते हैं, और उन्होंने उनके मूल्यों की गणना की। इसहाक बैरो और जेम्स ग्रेगोरी (गणितज्ञ) ने और प्रगति की: कुछ बीजगणितीय वक्रों और सर्पिलों के लिए चतुष्कोण। क्रिस्टियान ह्यूजेंस ने क्रांति के कुछ ठोस का सफलतापूर्वक चतुर्भुज प्रदर्शन किया।

सेंट-विंसेंट और डी सरसा द्वारा अतिपरवलय के चतुर्भुज ने महत्वपूर्ण महत्व का एक नया कार्य (गणित), प्राकृतिक लघुगणक प्रदान किया।

समाकलन गणित के आविष्कार के साथ क्षेत्र गणना के लिए एक सार्वभौमिक विधि आई। इसके जवाब में, 'चतुर्भुज' शब्द पारंपरिक हो गया है, और इसके बजाय एक अविभाज्य निश्चित अभिन्न की आधुनिक वाक्यांश गणना अधिक सामान्य है।

एक आयामी अभिन्न के लिए तरीके

संख्यात्मक एकीकरण विधियों को आम तौर पर अभिन्न का अनुमान लगाने के लिए एकीकृत के मूल्यांकन के संयोजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इंटीग्रैंड का मूल्यांकन बिंदुओं के एक परिमित सेट पर किया जाता है जिसे इंटीग्रेशन पॉइंट कहा जाता है और इन मानों के भारित योग का उपयोग इंटीग्रल को अनुमानित करने के लिए किया जाता है। एकीकरण बिंदु और वजन उपयोग की जाने वाली विशिष्ट विधि और सन्निकटन से आवश्यक सटीकता पर निर्भर करते हैं।

किसी भी संख्यात्मक एकीकरण पद्धति के विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा सन्निकटन त्रुटि के व्यवहार को एकीकृत मूल्यांकनों की संख्या के एक समारोह के रूप में अध्ययन करना है। एक विधि जो कम संख्या में मूल्यांकन के लिए एक छोटी सी त्रुटि उत्पन्न करती है, उसे आमतौर पर बेहतर माना जाता है। इंटीग्रैंड के मूल्यांकन की संख्या कम करने से शामिल अंकगणितीय परिचालनों की संख्या कम हो जाती है, और इसलिए कुल राउंड-ऑफ त्रुटि कम हो जाती है। साथ ही, प्रत्येक मूल्यांकन में समय लगता है, और इंटीग्रैंड मनमाने ढंग से जटिल हो सकता है।

एक 'ब्रूट फ़ोर्स' प्रकार का संख्यात्मक एकीकरण किया जा सकता है, अगर इंटीग्रैंड यथोचित रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है (अर्थात टुकड़ा-टुकड़ा निरंतर कार्य और परिबद्ध भिन्नता), बहुत कम वेतन वृद्धि के साथ इंटीग्रैंड का मूल्यांकन करके।

प्रक्षेप कार्यों के आधार पर चतुर्भुज नियम

चतुर्भुज नियमों का एक बड़ा वर्ग प्रक्षेप कार्यों का निर्माण करके प्राप्त किया जा सकता है जो कि एकीकृत करना आसान है। आमतौर पर ये प्रक्षेपित कार्य बहुपद होते हैं। व्यवहार में, चूँकि बहुत उच्च कोटि के बहुपद बेतहाशा दोलन करते हैं, केवल निम्न कोटि के बहुपदों का उपयोग किया जाता है, आमतौर पर रैखिक और द्विघात।

आयत नियम का चित्रण।

इस प्रकार की सबसे सरल विधि इंटरपोलेटिंग फ़ंक्शन को एक स्थिर फ़ंक्शन (शून्य डिग्री का एक बहुपद) होने देना है जो बिंदु से गुजरता है ${\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}$. इसे मध्यबिंदु नियम या आयत विधि कहते हैं

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).$$

ट्रैपोज़ाइडल नियम का चित्रण।

इंटरपोलेटिंग फ़ंक्शन एक सीधी रेखा हो सकता है (एक affine समारोह, यानी डिग्री 1 का बहुपद)

बिंदुओं से गुजरना $\left(a,f(a)\right)$ और $\left(b,f(b)\right)$. इसे ट्रेपेज़ॉइडल नियम कहा जाता है

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right).$$

सिम्पसन के शासन का चित्रण।

इनमें से किसी एक नियम के लिए, हम अंतराल को तोड़कर अधिक सटीक अनुमान लगा सकते हैं $[a,b]$ किसी संख्या में $n$ उपअंतरालों का, प्रत्येक उपअंतराल के लिए एक सन्निकटन की गणना करना, फिर सभी परिणामों को जोड़ना। इसे मिश्रित नियम, विस्तारित नियम या पुनरावृत्त नियम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, समग्र ट्रैपेज़ॉयडल नियम के रूप में कहा जा सकता है

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),$$

जहां उपअंतरालों का रूप होता है $[a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],$ साथ ${\textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$ और $k=0,\ldots ,n-1.$ यहाँ हमने समान लंबाई के उपअंतरालों का उपयोग किया $h$ लेकिन अलग-अलग लंबाई के अंतराल का भी उपयोग किया जा सकता है $\left(h_{k}\right)_{k}$.

बहुपदों के साथ इंटरपोलेशन का मूल्यांकन समान दूरी वाले बिंदुओं पर किया जाता है $[a,b]$ न्यूटन-कोट्स सूत्र उत्पन्न करता है, जिनमें से आयत नियम और ट्रैपोज़ाइडल नियम उदाहरण हैं। सिम्पसन का नियम, जो क्रम 2 के बहुपद पर आधारित है, न्यूटन-कोट्स सूत्र भी है।

समान दूरी वाले बिंदुओं के साथ चतुर्भुज नियम नेस्टिंग की बहुत सुविधाजनक संपत्ति है। उप-विभाजित प्रत्येक अंतराल के साथ संबंधित नियम में सभी वर्तमान बिंदु शामिल हैं, इसलिए उन एकीकृत मूल्यों का पुन: उपयोग किया जा सकता है।

यदि हम प्रक्षेप बिंदुओं के बीच के अंतराल को अलग-अलग करने की अनुमति देते हैं, तो हम गौसियन चतुर्भुज सूत्र जैसे चतुर्भुज सूत्रों का एक और समूह पाते हैं। एक गॉसियन चतुर्भुज नियम आमतौर पर न्यूटन-कोट्स नियम की तुलना में अधिक सटीक होता है जो फ़ंक्शन मूल्यांकनों की समान संख्या का उपयोग करता है, यदि इंटीग्रैंड चिकना कार्य है (यानी, यदि यह पर्याप्त रूप से भिन्न है)। अलग-अलग अंतरालों के साथ अन्य चतुर्भुज विधियों में क्लेंशॉ-कर्टिस चतुर्भुज (जिसे फ़ेज़र चतुर्भुज भी कहा जाता है) विधियाँ शामिल हैं, जो घोंसला बनाती हैं।

गॉसियन चतुष्कोण नियम नेस्ट नहीं करते हैं, लेकिन संबंधित गॉस-क्रोनरोड द्विघात सूत्र करते हैं।

सामान्यीकृत मध्यबिंदु नियम सूत्र

एक सामान्यीकृत मध्यबिंदु नियम सूत्र किसके द्वारा दिया जाता है

$$\int _{0}^{1}f(x)\,dx=\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {\left({-1}\right)^{n}+1}{{\left(2M\right)^{n+1}}\left({n+1}\right)!}}{{\left.f^{(n)}(x)\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}}$$

या

$$\int _{0}^{1}{f(x)\,dx}=\lim _{N\to \infty }\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{N}{{\frac {\left({-1}\right)^{n}+1}{{{\left({2M}\right)}^{n+1}}\left({n+1}\right)!}}{\left.f^{(n)}(x)\right|_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}},$$

कहाँ $f^{(n)}(x)$ अर्थ है $n$-वें व्युत्पन्न। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन $M=1$ और

$$f(x)={\frac {\theta }{1+\theta ^{2}x^{2}}}$$

सामान्यीकृत मध्यबिंदु नियम सूत्र में, हम व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का एक समीकरण प्राप्त करते हैं

$$\tan ^{-1}(\theta )=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{\left(1+2i/\theta \right)^{2n-1}}}-{\frac {1}{\left(1-2i/\theta \right)^{2n-1}}}\right)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {a_{n}\left(\theta \right)}{a_{n}^{2}\left(\theta \right)+b_{n}^{2}\left(\theta \right)}}},$$

कहाँ $i={\sqrt {-1}}$ काल्पनिक इकाई है और

$${\begin{aligned}a_{1}(\theta )&={\frac {2}{\theta }},\\b_{1}(\theta )&=1,\\a_{n}(\theta )&=\left(1-{\frac {4}{\theta ^{2}}}\right)\,a_{n-1}(\theta )+{\frac {4}{\theta }}\,b_{n-1}(\theta ),\\b_{n}(\theta )&=\left(1-{\frac {4}{\theta ^{2}}}\right)\,b_{n-1}(\theta )-{\frac {4}{\theta }}\,a_{n-1}(\theta ).\end{aligned}}$$

चूंकि प्रत्येक विषम पर $n$ पूर्णांक का अंश बन जाता है $(-1)^{n}+1=0$, सामान्यीकृत मध्यबिंदु नियम सूत्र को पुनर्गठित किया जा सकता है

$$\int _{0}^{1}f(x)\,dx=2\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{{\left(2M\right)^{2n+1}}\left({2n+1}\right)!}}{{\left.f^{(2n)}(x)\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}}\,\,.$$

गणित कोड का निम्न उदाहरण उलटा स्पर्शरेखा और इसके सन्निकटन के बीच के अंतर को दर्शाने वाला प्लॉट उत्पन्न करता है $M=5$ और $N=10$:

f[theta_, x_] := theta/(1 + theta^2 * x^2);

aTan[theta_, M_, nMax_] := 
    2*Sum[(Function[x, Evaluate[D[f[theta, x], {x, 2*n}]]][(m - 1/2)/
        M])/((2*n + 1)!*(2*M)^(2*n + 1)), {m, 1, M}, {n, 0, nMax}];

Plot[{ArcTan[theta] - aTan[theta, 5, 10]}, {theta, -Pi, Pi}, 
 PlotRange -> All]

एक समारोह के लिए $g(t)$ अंतराल पर परिभाषित $(a,b)$, इसका अभिन्न अंग है

$$\int _{a}^{b}g(t)\,dt=\int _{0}^{b-a}g(\tau +a)\,d\tau =(b-a)\int _{0}^{1}g((b-a)x+a)\,dx.$$

इसलिए, हम यह मानकर उपरोक्त सामान्यीकृत मध्यबिंदु एकीकरण सूत्र लागू कर सकते हैं $f(x)=(b-a)\,g((b-a)x+a)$.

अनुकूली एल्गोरिदम

Main article: Adaptive quadrature

यदि f(x) के सभी बिंदुओं पर कई डेरिवेटिव नहीं हैं, या यदि डेरिवेटिव बड़े हो जाते हैं, तो गॉसियन चतुर्भुज अक्सर अपर्याप्त होता है। इस मामले में, निम्न के जैसा एक एल्गोरिदम बेहतर प्रदर्शन करेगा:

def calculate_definite_integral_of_f(f, initial_step_size) -> float:
    """
    This algorithm calculates the definite integral of a function
    from 0 to 1, adaptively, by choosing smaller steps near
    problematic points.
    """
    x = 0.0
    h = initial_step_size
    accumulator = 0.0
    while x < 1.0:
        if x + h > 1.0:
            h = 1.0 - x  # At end of unit interval, adjust last step to end at 1.
        if error_too_big_in_quadrature_of_f_over_range(f, [x, x + h]):
            h = make_h_smaller(h)
        else:
            accumulator += quadrature_of_f_over_range(f, [x, x + h])
            x += h
            if error_too_small_in_quadrature_of_over_range(f, [x, x + h]):
                h = make_h_larger(h)  # Avoid wasting time on tiny steps.
    return accumulator

एल्गोरिथम के कुछ विवरणों पर सावधानीपूर्वक विचार करने की आवश्यकता है। कई मामलों के लिए, फ़ंक्शन f(x) के लिए एक अंतराल पर चतुर्भुज से त्रुटि का अनुमान लगाना स्पष्ट नहीं है। एक लोकप्रिय समाधान द्विघात के दो अलग-अलग नियमों का उपयोग करना है, और द्विघात से त्रुटि के अनुमान के रूप में उनके अंतर का उपयोग करना है। दूसरी समस्या यह तय करना है कि बहुत बड़ा या बहुत छोटा क्या दर्शाता है। बहुत बड़े के लिए एक स्थानीय मानदंड यह है कि चतुर्भुज त्रुटि t ⋅ h से बड़ी नहीं होनी चाहिए जहां t, एक वास्तविक संख्या, वह सहनशीलता है जिसे हम वैश्विक त्रुटि के लिए सेट करना चाहते हैं। फिर से, यदि एच पहले से ही छोटा है, तो यह चतुर्भुज त्रुटि स्पष्ट रूप से बड़ी होने पर भी इसे छोटा करने के लिए उपयुक्त नहीं हो सकता है। एक वैश्विक मानदंड यह है कि सभी अंतरालों पर त्रुटियों का योग टी से कम होना चाहिए। इस प्रकार के त्रुटि विश्लेषण को आमतौर पर पश्चवर्ती कहा जाता है क्योंकि हम सन्निकटन की गणना करने के बाद त्रुटि की गणना करते हैं।

अनुकूली चतुर्भुज के लिए ह्यूरिस्टिक्स पर फोर्सिथे एट अल द्वारा चर्चा की गई है। (धारा 5.4)।

एक्सट्रपलेशन के तरीके

न्यूटन-कोट्स फ़ार्मुलों के चतुर्भुज नियम की सटीकता | न्यूटन-कोट्स प्रकार आम तौर पर मूल्यांकन बिंदुओं की संख्या का एक कार्य है। परिणाम आमतौर पर अधिक सटीक होता है क्योंकि मूल्यांकन बिंदुओं की संख्या बढ़ जाती है, या, समकक्ष, बिंदुओं के बीच चरण आकार की चौड़ाई कम हो जाती है। यह पूछना स्वाभाविक है कि यदि चरण के आकार को शून्य तक पहुंचने दिया जाए तो परिणाम क्या होगा। रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन जैसे श्रृंखला त्वरण विधियों का उपयोग करके परिणाम को दो या दो से अधिक गैर-शून्य चरण आकारों से एक्सट्रपलेशन करके इसका उत्तर दिया जा सकता है। एक्सट्रपलेशन फ़ंक्शन एक बहुपद या तर्कसंगत फ़ंक्शन हो सकता है। एक्सट्रपलेशन विधियों को स्टॉयर और बुलिरश (धारा 3.4) द्वारा अधिक विस्तार से वर्णित किया गया है और क्वाडपैक लाइब्रेरी में कई रूटीन में लागू किया गया है।

रूढ़िवादी (प्राथमिकता) त्रुटि अनुमान

होने देना $f$ एक बाउंड फर्स्ट डेरिवेटिव ओवर है $[a,b],$ अर्थात। $f\in C^{1}([a,b]).$ औसत मूल्य प्रमेय के लिए $f,$ कहाँ $x\in [a,b),$ देता है

$$(x-a)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a),$$

कुछ के लिए $\xi _{x}\in (a,x]$ इस पर निर्भर करते हुए $x$.

अगर हम इसमें एकीकृत करते हैं $x$ से $a$ को $b$ दोनों पक्षों पर और निरपेक्ष मान लेते हैं, हम प्राप्त करते हैं

$$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(\xi _{x})\,dx\right|.$$

हम निरपेक्ष मान को समाकलन में लाकर, और शब्द को प्रतिस्थापित करके दाहिनी ओर के समाकलन का अनुमान लगा सकते हैं $f'$ एक ऊपरी सीमा द्वारा

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|\leq {(b-a)^{2} \over 2}\sup _{a\leq x\leq b}\left|f'(x)\right|,$

(1)

जहां अंतिम का अनुमान लगाने के लिए इस्तेमाल किया गया था।

इसलिए, यदि हम अभिन्न का अनुमान लगाते हैं ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ एक-आयामी इंटीग्रल के लिए #तरीकों द्वारा $(b-a)f(a)$ हमारी त्रुटि के दाहिने हाथ की ओर से अधिक नहीं है 1. हम इसे रीमैन राशि#परिभाषा के लिए एक त्रुटि विश्लेषण में परिवर्तित कर सकते हैं, जिसकी ऊपरी सीमा होती है

$${\frac {n^{-1}}{2}}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|$$

उस विशेष सन्निकटन की त्रुटि अवधि के लिए। (ध्यान दें कि यह ठीक वही त्रुटि है जिसकी गणना हमने उदाहरण के लिए की थी $f(x)=x$।) अधिक डेरिवेटिव का उपयोग करके, और चतुर्भुज को ट्वीक करके, हम f के लिए टेलर श्रृंखला (शेष अवधि के साथ आंशिक योग का उपयोग करके) का उपयोग करके एक समान त्रुटि विश्लेषण कर सकते हैं। यह त्रुटि विश्लेषण त्रुटि पर सख्त ऊपरी सीमा देता है, यदि एफ के डेरिवेटिव उपलब्ध हैं।

कंप्यूटर प्रमाण और सत्यापित गणना करने के लिए इस एकीकरण विधि को अंतराल अंकगणित के साथ जोड़ा जा सकता है।

अनंत अंतरालों पर समाकलन

असीम अंतरालों पर अनुमानित एकीकरण के लिए कई विधियाँ मौजूद हैं। मानक तकनीक में विशेष रूप से व्युत्पन्न चतुर्भुज नियम शामिल होते हैं, जैसे गॉस-हर्माइट चतुर्भुज संपूर्ण वास्तविक रेखा पर अभिन्न अंग के लिए और सकारात्मक वास्तविक पर अभिन्न अंग के लिए गॉस-लगुएरे चतुर्भुज। मोंटे कार्लो विधियों का भी उपयोग किया जा सकता है, या परिमित अंतराल में चर का परिवर्तन; जैसे, पूरी लाइन के लिए कोई भी इस्तेमाल कर सकता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt,$$

और अर्ध-अनंत अंतराल के लिए कोई भी उपयोग कर सकता है

$${\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},\end{aligned}}$$

संभव परिवर्तनों के रूप में।

बहुआयामी अभिन्न

अब तक जिन चतुष्कोण नियमों की चर्चा की गई है, वे सभी एक-आयामी समाकलन की गणना के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। एकाधिक आयामों में इंटीग्रल की गणना करने के लिए, फ़ुबिनी के प्रमेय (टेन्सर उत्पाद नियम) को लागू करके एकाधिक इंटीग्रल को बार-बार एक-आयामी इंटीग्रल के रूप में वाक्यांश देना है। आयामों की संख्या बढ़ने पर इस दृष्टिकोण को घातीय वृद्धि के लिए फ़ंक्शन मूल्यांकन की आवश्यकता होती है। आयामीता के इस तथाकथित अभिशाप को दूर करने के लिए तीन तरीकों को जाना जाता है।

स्ट्राउड द्वारा मोनोग्राफ में विभिन्न भार कार्यों के लिए बहुआयामी क्यूबचर एकीकरण नियम बनाने के लिए कई अतिरिक्त तकनीकें दी गई हैं। हेस्से एट अल द्वारा क्षेत्र पर एकीकरण की समीक्षा की गई है। (2015)।

मोंटे कार्लो

Main article: Monte Carlo integration

मोंटे कार्लो विधियाँ और अर्ध-मोंटे कार्लो विधियाँ बहु-आयामी अभिन्न पर लागू करना आसान है। वे एक-आयामी तरीकों का उपयोग करके बार-बार एकीकरण की तुलना में फ़ंक्शन मूल्यांकन की समान संख्या के लिए अधिक सटीकता प्राप्त कर सकते हैं।

उपयोगी मोंटे कार्लो विधियों का एक बड़ा वर्ग तथाकथित मार्कोव चेन मोंटे कार्लो एल्गोरिदम है, जिसमें मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम और गिब्स नमूनाकरण शामिल हैं।

विरल ग्रिड

विरल ग्रिड मूल रूप से उच्च-आयामी कार्यों के चतुर्भुज के लिए स्मोलियाक द्वारा विकसित किए गए थे। विधि हमेशा एक आयामी चतुर्भुज नियम पर आधारित होती है, लेकिन अविभाज्य परिणामों का अधिक परिष्कृत संयोजन करती है। हालांकि, जबकि टेन्सर उत्पाद नियम गारंटी देता है कि सभी क्यूबचर बिंदुओं का वजन सकारात्मक होगा यदि चतुर्भुज बिंदुओं का वजन सकारात्मक था, स्मोलियाक का नियम यह गारंटी नहीं देता है कि सभी वजन सकारात्मक होंगे।

बायेसियन चतुर्भुज

बायेसियन चतुर्भुज कंप्यूटिंग इंटीग्रल की संख्यात्मक समस्या के लिए एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण है और संभाव्य संख्यात्मक के क्षेत्र में आता है। यह गॉसियन प्रक्रिया पश्च विचरण के रूप में अभिव्यक्त अभिन्न के समाधान पर अनिश्चितता का पूर्ण संचालन प्रदान कर सकता है।

अंतर समीकरणों के साथ संबंध

अभिन्न के मूल्यांकन की समस्या

$F(x)=\int _{a}^{x}f(u)\,du$

कलन के मौलिक प्रमेय के पहले भाग को लागू करके एक साधारण अंतर समीकरण के लिए एक प्रारंभिक मूल्य समस्या को कम किया जा सकता है। उपर्युक्त के दोनों पक्षों को तर्क x के संबंध में अवकलित करके, यह देखा जाता है कि फलन F संतुष्ट करता है

${\frac {dF(x)}{dx}}=f(x),\quad F(a)=0.$

सामान्य अंतर समीकरणों के लिए विकसित पद्धतियां, जैसे रनगे-कुट्टा पद्धतियां, पुनर्कथित समस्या पर लागू की जा सकती हैं और इस प्रकार समाकल का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग की जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण के लिए लागू मानक चौथे क्रम रनगे-कुट्टा विधि ऊपर से सिम्पसन के नियम का उत्पादन करती है।

अंतर समीकरण $F'(x)=f(x)$ इसका एक विशेष रूप है: दाहिनी ओर केवल स्वतंत्र चर होता है (यहाँ $x$) और आश्रित चर नहीं (यहाँ $F$). यह सिद्धांत और एल्गोरिदम को काफी सरल करता है। इस प्रकार इंटीग्रल के मूल्यांकन की समस्या का अपने आप में सबसे अच्छा अध्ययन किया जाता है।

यह भी देखें

• साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके
• ट्रंकेशन त्रुटि (संख्यात्मक एकीकरण)
• क्लेंशॉ-कर्टिस चतुष्कोण
• गॉस-क्रोनरोड चतुर्भुज
• रीमैन योग या रीमैन इंटीग्रल
• ट्रेपेज़ॉइडल नियम
• रोमबर्ग की विधि
• तन्ह-सिंह चतुष्कोण
• कोई नहीं प्राथमिक अभिन्न

संदर्भ

• Philip J. Davis and Philip Rabinowitz, Methods of Numerical Integration.
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 5.)
• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007), "Chapter 4. Integration of Functions", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Josef Stoer and Roland Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Chapter 3.)
• Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach, New York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0,

बाहरी संबंध

• Integration: Background, Simulations, etc. at Holistic Numerical Methods Institute
• Lobatto Quadrature from Wolfram Mathworld
• Lobatto quadrature formula from Encyclopedia of Mathematics
• Implementations of many quadrature and cubature formulae within the free Tracker Component Library.
• SageMath Online Integrator