तरंग संकुल

"लहर ट्रेन" redirects here. For गणित की अवधारणा, see आवधिक यात्रा लहर.

Not to be confused with तरंग समूह.

प्रसार के बिना एक तरंग संकुल (वास्तविक या काल्पनिक भाग)

प्रसार के साथ एक तरंग संकुल

भौतिकी में तरंग संकुल स्थानीयकृत तरंग क्रिया की एक इकाई के रूप में यात्रा करता है। एक तरंग संकुल का विश्लेषण किया जा सकता है या विभिन्न तरंगों के घटक साइनसोइडल तरंगों के एक अनंत सेट से संश्लेषित किया जाता है। प्रत्येक घटक तरंग घटक और तरंग संकुल समीकरण के समाधान होता है। तरंग समीकरण के आधार पर तरंग संकुल की रूपरेखा स्थिर रहती है या प्रसार के दौरान यह बदल सकती है।

क्वांटम यांत्रिकी तरंग संकुल को एक विशेष महत्व देती है, इसे प्रायिकता आयाम के रूप में व्याख्यायित किया जाता है इसका मानक वर्ग संभाव्यता घनत्व का वर्णन करता है कि किसी विशेष अवस्था में एक कण या कण को ​​​​दी गई स्थिति या गति के लिए मापा जाता है। लहर समीकरण इस स्थिति में श्रोडिंगर समीकरण होता है और इसके आवेदन के माध्यम से मौलिक यांत्रिकी में हैमिल्टनियन यांत्रिकी औपचारिकता की प्रक्रिया के समान क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के समय के विकास को कम करना संभव होता है। श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के प्रसार चरित्र ने श्रोडिंगर समीकरण को खारिज करने में ऐतिहासिक पृष्ठभूमि और विकास श्रोडिंगर की मूल व्याख्या और बोर्न नियम को स्वीकार करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।

लहर के समन्वय प्रतिनिधित्व में भौतिक वस्तु की स्थानीय संभावना की स्थिति संकुल समाधान की स्थिति से निर्दिष्ट होती है। इसके अतिरिक्त स्थानिक तरंग संकुल जितना संकरा होता है उतनी तरंग संकुल की स्थिति बेहतर होती है उतना तरंग के संवेग में प्रसार उतना ही बड़ा होता है। स्थिति में प्रसार और गति में प्रसार के बीच यह वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत की एक विशेषता होती है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

1900 के प्रारंभ में यह स्पष्ट हो गया कि क्लासिकल यांत्रिकी में कुछ बड़ी कमियां थी। आइजैक न्यूटन ने मूल रूप से इस विचार को प्रस्तावित किया था कि प्रकाश असतत संकुल में आता है जिसे उन्होंने कॉर्पसकल कहा था लेकिन कई प्रकाश घटनाओं के तरंग-समान व्यवहार ने वैज्ञानिकों को विद्युत चुंबकत्व के तरंग विवरण का पक्ष लेने के लिए प्रेरित किया था। यह 1930 के दशक तक नहीं था प्रकाश की कण प्रकृति को वास्तव में भौतिकी में व्यापक रूप से स्वीकार किया जाने लगा था। क्वांटम यांत्रिकी का विकास और भ्रमित करने वाले प्रायोगिक परिणामों की व्याख्या करने में इसकी सफलता, इसकी स्वीकृति के मूल में थी। इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के निर्माण में बुनियादी अवधारणाओं में से एक यह है कि प्रकाश असतत बंडलों में आता है जिसे फोटॉन कहा जाता है। एक फोटॉन की ऊर्जा इसकी आवृत्ति होती है

$$E=h\nu .$$

फोटॉन की ऊर्जा प्लैंक स्थिरांक के गुणनफल के बराबर होती है h और इसकी आवृत्ति होती है ν. यह मौलिक भौतिकी में एक समस्या का समाधान है।

20वीं शताब्दी के दौरान क्वांटम यांत्रिकी के विचारों का विकास जारी रहा था। जिसमें सभी घटनाएं और पदार्थ असतत कणों से बनते थे और परस्पर क्रिया करते थे, चूँकि इन कणों को प्रायिकता तरंग द्वारा वर्णित किया गया था। इन संभाव्यता आयामों की गणना के लिए परस्पर स्थान को कम किया जाता है।

दुनिया की कण-जैसी प्रकृति की एक सदी से अधिक प्रयोग द्वारा पुष्टि की गई है जबकि तरंग जैसी घटना को क्वांटम कणों के तरंग संकुल पहलू के परिणाम के रूप में चित्रित किया गया है। संपूरकता के सिद्धांत के अनुसार तरंग-जैसी और कण-जैसी विशेषताएं कभी भी एक ही समय में अर्थात एक ही प्रयोग में प्रकट नहीं होती है।

मूल व्यवहार

एक केंद्रित संभावित दीवार में आवधिक क्वांटम टनलिंग का अनुभव करने वाले एक अनंत संभावित अच्छी तरह से फंसे एक प्रारंभिक गॉसियन स्थिति की स्थिति स्पेस संभावना घनत्व।

गैर-बड़ा होाने वाला

प्रसार के बिना प्रसार के एक उदाहरण के रूप में क्लासिकल भौतिकी से निम्न तरंग समीकरण के तरंग समाधान पर विचार करता है

$${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\,\nabla ^{2}u,$$

जहाँ c किसी दिए गए माध्यम में तरंग के प्रसार की गति है।

भौतिकी समय परिपाटी का उपयोग करते हुए e^−iωt तरंग समीकरण के समतल-तरंग समाधान होता है

$$u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega t)},$$

जहाँ

$$\omega ^{2}=|\mathbf {k} |^{2}c^{2},$$

और $|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.$ के बीच यह संबंध है ω और k मान्य होता है जो कि समतल तरंग समीकरण का हल होता है। इसे प्रसार संबंध कहा जाता है।

सरल बनाने के लिए केवल एक आयाम में बड़ा होने वाली तरंगों पर विचार करता है। तब सामान्य समाधान होता है

$$u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)},$$

जिसमें हम ले सकते है ω = kc. पहला शब्द सकारात्मक में बड़ा होने वाली लहर का प्रतिनिधित्व करता है x-दिशा चूंकि यह एक कार्य होता है x − ct केवल, दूसरा कार्यकाल का एक कार्य होता है x + ct ऋणात्मक में प्रसारित होने वाली तरंग का प्रतिनिधित्व करता है x-दिशा.

एक तरंग संकुल एक स्थानीय गड़बड़ी होती है जो कई अलग-अलग तरंग रूपों के योग से उत्पन्न करता है। यदि संकुल दृढ़ता से स्थानीयकृत है तो स्थानीयकरण के क्षेत्र में रचनात्मक सुपरपोजिशन और क्षेत्र के बाहर विनाशकारी सुपरपोजिशन की अनुमति देने के लिए अधिक आवृत्तियों की आवश्यकता होती है। मूल समाधानों से एक आयाम में तरंग संकुल के एक सामान्य रूप को व्यक्त किया जाता है

$$u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk.$$

जैसा कि प्लेन-तरंग स्थिति में तरंग संकुल दाईं ओर जाता है ω(k) = kc तब u(x, t) = F(x − ct) और बाईं ओर जाता है ω(k) = −kc तब u(x, t) = F(x + ct).

इस कारण से 1⁄√2π फूरियर रूपांतरण कन्वेंशन से आता है। आयाम A(k) में समतल-तरंग समाधानों के रैखिक सुपरपोजिशन के गुणांक होते है। बदले में इन गुणांकों को एक कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है u(x, t) पर मूल्यांकन किया गया t = 0 उपरोक्त फूरियर रूपांतरण संबंध को उल्टा करता है:

$$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}\,dx.$$

उदाहरण के लिए चुनते है

$$u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},$$

हमे प्राप्त होता है

$$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},$$

और अंत में

$${\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}$$

उपरोक्त एनीमेशन में इस तरंग संकुल के वास्तविक या काल्पनिक भाग का नॉनडिस्पर्सिव प्रसार प्रस्तुत किया गया है।

प्रसार वाला

इसके विपरीत प्रसार के एक उदाहरण के रूप में अब प्रसार (प्रकाशिकी) के साथ के अतिरिक्त श्रोडिंगर समीकरण के समाधान पर विचार करता है (गैर-आयामी 2Δx m और ħ एक के बराबर सेट होता है)

$$i{\partial \psi \over \partial t}=-{\frac {1}{2}}{\nabla ^{2}\psi },$$

प्रसार संबंध उत्पन्न करता है

$$\omega ={\frac {1}{2}}|\mathbf {k} |^{2}.$$

एक बार फिर एक आयाम पर ध्यान केंद्रित करते हुए श्रोडिंगर समीकरण का समाधान प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ मूल स्थान पर स्थानीयकृत एक तरंग संकुल का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है

$${\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}$$

संभाव्यता घनत्व को देखकर इस तरंग संकुल के प्रसार वाले व्यवहार का आभास प्राप्त होता है:

$$|\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.$$

यह स्पष्ट है कि निरंतर समूह वेग के साथ चलते हुए यह प्रसार तरंग संकुल होता है k_o तेजी से डेलोकलाइज़ होता है: इसमें गाऊसी समारोह समय के साथ बढ़ता जाता है √ 1 + 4t² → 2t तो अंततः यह असीमित क्षेत्र में बड़ा हो जाता है।

गति रूपरेखा A(k) अपरिवर्तनीय होती है। प्रायिकता धारा होती है

$$j=\rho v={\frac {1}{2i}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})=\rho \left(k_{0}+{\frac {4t(x-k_{0}t)}{1+4t^{2}}}\right).$$

क्वांटम यांत्रिकी में गाऊसी तरंग संकुल

1डी समतल तरंगों (नीला) का अध्यारोपण जो एक क्वांटम गॉसियन तरंग संकुल (लाल) बनाता है जो बड़ा होते समय दाईं ओर बड़ा होता है। नीले बिंदु प्रत्येक समतल तरंग के चरण वेग का अनुसरण करते है जबकि लाल रेखा केंद्रीय समूह वेग का अनुसरण करती है।

एक केंद्रित संभावित दीवार में आवधिक क्वांटम टनलिंग का अनुभव करने वाले एक अनंत संभावित अच्छी तरह से फंस गए प्रारंभिक गॉसियन स्थिति की स्थिति स्पेस संभावना घनत्व।

1डी गॉसियन तरंग संकुल जटिल विमान में दिखाया गया है a=2 और k=4

उपरोक्त बड़ा होाने वाला गॉसियन तरंग संकुल असामान्य और केवल मूल पर केंद्रित होता है इसके अतिरिक्त t=0 अब 3डी में लिखा जा सकता है और मानक इकाइयों में होता है:

$$\psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},$$

जहाँ a एक धनात्मक वास्तविक संख्या होती है और तरंग संकुल की चौड़ाई का वर्ग होता है

$$a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2}.$$

तरंग संख्या के संदर्भ में फूरियर रूपांतरण भी गॉसियन होता है t=0 के-वेक्टर उलटा होता है

$$1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2},$$

जिससे कि

$$\Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,$$

अर्थात यह अनिश्चितता के संबंध को संतृप्त करता है

$$\psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.$$

प्रत्येक तरंग केवल समय में चरण-घूर्णन करती है जिससे कि समय पर निर्भर फूरियर-रूपांतरित समाधान होता है

${\begin{aligned}\Psi (\mathbf {k} ,t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}e^{-iEt/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2-i(\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2m)t/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.\end{aligned}}$

उलटा फूरियर रूपांतरण अभी भी गॉसियन होता है लेकिन अब पैरामीटर है a जटिल हो जाता है और एक समग्र सामान्यीकरण कारक होता है।

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left({a \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m)}}.$

इसका अभिन्न अंग Ψ सभी जगह अपरिवर्तनीय होता है क्योंकि यह आंतरिक उत्पाद होता है Ψ शून्य ऊर्जा की स्थिति के साथ जो अनंत तरंग दैर्ध्य वाली एक तरंग होती है जो निरंतर कार्य करती है। किसी भी स्वदेशी के लिए η(x) आंतरिक उत्पाद होता है

$$\langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,$$

केवल समय में सरल विधि से परिवर्तन होता है: इसका चरण ऊर्जा द्वारा निर्धारित आवृत्ति के साथ घूमता है η. जब η में शून्य ऊर्जा होती है अनंत दैर्ध्य तरंग की तरह यह बिल्कुल भी नहीं बदलती है।

अभिन्न ∫ |Ψ|²d³r भी अपरिवर्तनीय होती है जो प्रायिकता के संरक्षण का कथन होती है। स्पष्ट रूप से

$P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},$

जिसमें √a की चौड़ाई होती है P(r) पर t = 0, r मूल बिंदु से दूरी होती है, कण की गति शून्य होती है, और समय मूल t = 0 मनमाने ढंग से चुनता है।

गॉसियन की चौड़ाई रोचक मात्रा होती है जिसे संभाव्यता घनत्व से पढ़ा जा सकता है |Ψ|²

$${\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}}.$$

यह चौड़ाई अंततः समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है जैसे ħt/(m√a) तरंग-संकुल प्रसार का संकेत देता है।

उदाहरण के लिए यदि एक इलेक्ट्रॉन तरंग संकुल प्रारंभ में परमाणु आयामों के क्षेत्र में स्थानीयकृत होता है (अर्थात 10⁻¹⁰ मी) तो संकुल की चौड़ाई लगभग दोगुनी हो जाती है 10⁻¹⁶। स्पष्ट रूप से कण तरंग संकुल वास्तव में बहुत तेजी से बड़ा होता है: उदाहरण के लिए 1 ms चौड़ाई लगभग एक किलोमीटर होती है।

यह रैखिक वृद्धि गति अनिश्चितता का प्रतिबिंब होता है: तरंग संकुल एक संकीर्ण तक ही सीमित होता है Δx = √a/2 और इसलिए एक गति होती है जो अनिश्चित होती है ħ/√2a इसके वेग में प्रसार ħ/m√2a और इस प्रकार भविष्य की स्थिति में ħt /m√2a. अनिश्चितता का संबंध तब एक सख्त असमानता होता है जब तक वास्तव में संतृप्ति से बहुत दूर नही होती है प्रारंभिक अनिश्चितता ΔxΔp = ħ/2 अब के गुणक से बढ़ जाता है ħt/ma (बड़े के लिए t होता है)

हवादार लहर ट्रेन

उपरोक्त गाऊसी तरंग संकुल के विपरीत यह देखा गया है कि वह एक विशेष लहर हवादार कार्यों के आधार पर आकार को बनाए रखते हुए प्रसार के बिना स्वतंत्र रूप से प्रचार करता है। यह एक बल क्षेत्र की अनुपस्थिति के बिना रुकता है: ψ = Ai(B(x − B³t²)) exp(iB³t(x − 2B³t²/3)). (सरलता के लिए ħ = 1 m = 1/2 और B एक स्थिरांक है cf. आयामीकरण।)

के लिए समय विकास का छोटा दृश्य फेज स्पेस में हवादार फ्रंट। (एनिमेट करने के लिए क्लिक करें।)

फिर भी इस बल-मुक्त स्थिति में एरेनफेस्ट के प्रमेय के साथ कोई असंगति नही होतीं है क्योंकि स्थिति गैर-सामान्यीकरण योग्य होता है और एक अपरिभाषित (अनंत) होती है। इसे परिभाषित किया जा सकता है ⟨p⟩ = 0

चरण स्थान में यह इस तरंगट्रेन की शुद्ध अवस्था विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण में स्पष्ट है जिसका x और p में आकार समय बढ़ने के साथ अपरिवर्तनीय होता है लेकिन जिनकी विशेषताएं परबोलस को तेज करने में दाईं ओर बढ़ती है B(x − B³t²) + (p/B − tB²)² = 0

$$W(x,p;t)=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)={1 \over 2^{1/3}\pi B}~\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(Bx+{p^{2} \over B^{2}}-2Bpt\right)\right).$$

सभी को एकीकृत करके प्राप्त संवेग वितरण पर ध्यान देता है x स्थिर रहता है। चूँकि यह विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण गणितीय गुण होता है यह स्पष्ट होता है कि तरंग कार्य स्वयं सामान्य नही होती है।

2018 में इज़राइली जर्मन और अमेरिकी विश्वविद्यालयों के शोधकर्ताओं के सहयोग से हवादार तरंग संकुलों को गति देने के क्यूबिक चरण का पहला प्रायोगिक अवलोकन प्राप्त किया गया था।

मुक्त प्रचारक

गाऊसी तरंग संकुल समाधान की संकीर्ण-चौड़ाई सीमा पर चर्चा की गई मुक्त प्रचारक मुक्त कण और हार्मोनिक ऑसीलेटर का प्रचारकर्ता है K. अन्य अंतर समीकरणों के लिए इसे सामान्यतः ग्रीन का कार्य कहा जाता है लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में फूरियर रूपांतरण के समय के लिए ग्रीन के कार्य का नाम आरक्षित करना पारंपरिक होता है K.

सरलता के लिए एक आयाम पर लौटता है m और ħ को एक के बराबर सेट करता है जब a अपरिमित मात्रा है ε गॉसियन प्रारंभिक स्थिति को पुनर्विभाजित करता है जिससे कि इसका अभिन्न होती है

$$\psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,$$

एक डायराक डेल्टा घटक बन जाता है δ(x) जिससे कि इसका समय विकास होता है

$$K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2it+\varepsilon }\,$$

प्रचारक देता है।

एक बहुत ही संकीर्ण प्रारंभिक तरंग संकुल तुरन्त असीम रूप से चौड़ा हो जाता है लेकिन एक चरण के साथ जो x के बड़े मूल्यों पर अधिक तेजी से दोलनशील होता है। यह अजीब लग सकता है - समाधान एक बिंदु पर स्थानीय होने से बाद के समय में हर जगह होने के लिए जाता है लेकिन यह एक स्थानीयकृत कण के विशाल अनिश्चितता सिद्धांत का प्रतिबिंब होता है जैसा कि ऊपर बताया गया है।

तरंग घटक का मानदंड अनंत होता है जो कि सही भी होता है क्योंकि डिराक डेल्टा समारोह का वर्ग उसी तरह भिन्न होता है।

सम्मलित करने वाला कारक ε एक अतिसूक्ष्म मात्रा होती है जो यह सुनिश्चित करने के लिए होता है कि इंटीग्रल ओवर होता है K अच्छी तरह से परिभाषित होता है। उस सीमा में ε → 0 K विशुद्ध रूप से दोलनशील हो जाता है और अभिन्न अंग बन जाता है K बिल्कुल अभिसारी नही होता है। इस खंड के शेष भाग में इसे शून्य पर सेट किया जाता है लेकिन मध्यवर्ती स्थितियों पर सभी एकीकरणों को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए सीमा ε→0 को केवल अंतिम स्थिति की गणना के बाद ही लिया जाता है।

प्रोपेगेटर समय टी पर बिंदु x तक पहुंचने के लिए आयाम होता है जब मूल बिंदु x = 0 पर प्रारंभ होता है। अनुवाद व्युत्क्रम द्वारा बिंदु y पर प्रारंभ होने पर बिंदु x तक पहुँचने के लिए आयाम एक ही कार्य केवल अब अनुवादित होता है

$$K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.$$

सीमा में जब टी छोटा होता है प्रचारक डेल्टा घटक में जाता है

$$\lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,$$

लेकिन केवल वितरण (गणित) के अर्थ में: इस मात्रा का अभिन्न अंग एक मनमाने ढंग से विभेदित परीक्षण घटक से गुणा करके परीक्षण घटक का मान शून्य पर देता है।

इसे देखने के लिए सभी स्थान पर समाकल K हमेशा 1 के बराबर होता है

$$\int K_{t}(x)dx=1\,,$$

चूँकि यह समाकल एकसमान तरंग फलन के साथ K का आंतरिक-उत्पाद होता है। लेकिन एक्सपोनेंट में चरण कारक मूल को छोड़कर हर जगह एक गैर-स्थानिक स्थानिक व्युत्पन्न होता है और इसलिए जब समय छोटा होता है तो एक बिंदु पर तेजी से चरण रद्दीकरण होते है। यह सख्ती से सच होता है जब सीमा ε→0 को बिल्कुल अंत में लिया जाता है।

तो प्रसार कर्नेल एक डेल्टा घटक का समय विकास होता है और यह निरंतर होता है एक अर्थ में यह छोटे समय में प्रारंभिक डेल्टा घटक में जाता है। यदि प्रारंभिक तरंग घटक स्थिति में एक असीम रूप से संकीर्ण होता है y

$$\psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,$$

यह दोलनशील तरंग बन जाती है

$$\psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.$$

अब चूँकि प्रत्येक फलन को इस तरह के संकीर्ण भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है

$$\psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,$$

हर समय का विकास होता है ψ₀ इस प्रचार कर्नेल द्वारा निर्धारित किया जाता है K

$\psi _{t}(x)=\int \psi _{0}(y){1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}dy\,.$

इस प्रकार यह मौलिक समाधान या सामान्य समाधान को व्यक्त करने की एक औपचारिक विधि होती है। इस व्यंजक की व्याख्या यह है कि किसी बिंदु पर पाए जाने वाले कण का आयाम x समय पर t वह आयाम है जिस पर यह प्रारंभ हुआ था y उस आयाम का गुना जिससे वह गया था y को x सभी संभावित प्रारंभी बिंदुओं का योग होता है। दूसरे शब्दों में यह कर्नेल का कनवल्शन होता है K मनमानी प्रारंभिक स्थिति के साथ होता है ψ₀

$$\psi _{t}=K*\psi _{0}\,.$$

चूंकि आयाम से यात्रा करने के लिए x को y कुछ समय के बाद t+t' दो चरणों में माना जा सकता है प्रचारक रचना पहचान का पालन करता है

$$\int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,$$

जिसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: जिसे आयाम से यात्रा करनी होती है x को z समय के भीतर t+t' से यात्रा करने के लिए आयाम का योग होता है x को y समय के भीतर t से यात्रा करने के लिए आयाम से गुणा y को z समय के भीतर t' सभी संभावित मध्यवर्ती स्थितियों y पर अभिव्यक्त करता है। यह एक मनमाना क्वांटम प्रणाली की एक संपत्ति होती है और समय को कई खंडों में विभाजित करता है यह समय के विकास को पथ अभिन्न सूत्रीकरण के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है।

प्रसार के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता

See also: ऊष्मा समीकरण § मौलिक समाधान, and गिरी गरम

क्वांटम यांत्रिकी में तरंग संकुलों का प्रसार में संभाव्यता घनत्व के प्रसार से सीधे संबंधित होता है। एक कण के लिए जो यादृच्छिक चलता है किसी भी बिंदु पर संभाव्यता घनत्व समारोह प्रसार समीकरण को संतुष्ट करता है

$${\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ~,$$

जहां 2 का कारक जिसे समय या स्थान को फिर से स्केल करके हटाया जा सकता है केवल सुविधा के लिए होता है।

इस समीकरण का एक समाधान प्रसार गॉसियन होता है

$$\rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t}~,$$

और ρ_t के अभिन्न अंग के बाद से स्थिर होता है जबकि चौड़ाई कम समय में संकीर्ण होता है यह घटक टी = 0 पर डेल्टा घटक तक पहुंचता है

$$\lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)$$

फिर से केवल वितरण का अर्थ होता है जिससे कि

$$\lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)$$

किसी भी सुचारू परीक्षण कार्य के लिए f.

प्रसार गाऊसी प्रसार समीकरण के लिए प्रसार कर्नेल होता है और यह कनवल्शन आइडेंटिटी का पालन करता है

$$K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,$$

जो प्रसार को पथ अभिन्न के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है। प्रचारक एक ऑपरेटर का घातीय होता है H

$$K_{t}(x)=e^{-tH}\,,$$

जो कि अतिसूक्ष्म प्रसार संचालक होता है

$$H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.$$

एक मैट्रिक्स में दो सूचकांक होते है जो निरंतर स्थान में इसे एक कार्य बनाते है x और x'। इस स्थिति में अनुवाद अपरिवर्तनीयता के कारण मैट्रिक्स तत्व K केवल स्थिति के अंतर पर निर्भर करता है और संकेतन का एक सुविधाजनक दुरुपयोग ऑपरेटर मैट्रिक्स तत्वों उसी नाम से संदर्भित करता है:

$$K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.$$

अनुवाद आक्रमण का अर्थ होता है कि निरंतर मैट्रिक्स गुणन होता है

$$C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,$$

अनिवार्य रूप से कनवल्शन होता है

$$C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.$$

एक्सपोनेंशियल को टीएस की एक सीमा पर परिभाषित किया जा सकता है जिसमें जटिल मान सम्मलित होता है जब तक प्रसार कर्नेल पर अभिन्न अभिसरण रहता है

$$K_{z}(x)=e^{-zH}\,.$$

जब तक असली हिस्सा z सकारात्मक के बड़े मूल्यों के लिए x K तेजी से घट रहा होता है और अभिन्न खत्म हो जाता है K वास्तव में बिल्कुल अभिसारी होता है।

इसके लिए इस अभिव्यक्ति की सीमा z शुद्ध काल्पनिक अक्ष के निकट आने वाला उपरोक्त श्रोडिंगर प्रचारक का सामना करता है

$$K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,$$

जो गौसियनों के उपरोक्त समय के विकास को दर्शाता है।

घातांक या पथ एकीकरण की मौलिक पहचान से

$$K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,$$

सभी जटिल जेड मूल्यों के लिए धारण करता है जहां अभिन्न बिल्कुल अभिसरण होता है जिससे कि ऑपरेटरों को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है।

इस प्रकार गॉसियन का क्वांटम विकास जो जटिल प्रसार कर्नेल K होता है

$$\psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,$$

समय विकसित स्थिति के बराबर होता है

$$\psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.$$

यह जटिल गाऊसी समाधानों के उपरोक्त विसरित रूप को दिखाता है

$$\psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.$$

यह भी देखें

• लहर
• लहर प्रसार
• फूरियर विश्लेषण
• समूह वेग
• चरण वेग
• मुक्त कण
• सुसंगत राज्य
• तरंग
• तरंगिका
• पदार्थ तरंग
• पल्स (सिग्नल प्रोसेसिंग)
• नाड़ी (भौतिकी)
• श्रोडिंगर समीकरण
• क्वांटम यांत्रिकी का परिचय
• सॉलिटन

संदर्भ

• Einstein, Albert (1905), "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light)" (PDF), Annalen der Physik, 17 (6): 132–148, Bibcode:1905AnP...322..132E, doi:10.1002/andp.19053220607 This annus mirabilis paper on the photoelectric effect was received by Annalen der Physik 18 March 1905.
• Schiff, Leonard I. (1968), Quantum mechanics (third ed.), London: McGraw-Hill
• Joy Manners (2000), Quantum Physics: An Introduction, CRC Press, pp. 53–56, ISBN 978-0-7503-0720-8
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• Wheeler, Nicholas (2004), Remarks concerning the Energetics of a Gaussian wavepacket (PDF)

बाहरी संबंध

• Learning materials related to wave packet motion at Wikiversity
• The dictionary definition of wave packet at Wiktionary
• 1d Wave packet plot in Google
• 1d Wave train and probability density plot in Google
• 2d Wave packet plot in Google
• 2d Wave train plot in Google
• 2d probability density plot in Google
• Quantum physics online : Interactive simulation of a free wavepacket
• Web-Schrödinger: Interactive 2D wave packet dynamics simulation
• A simulation of a wave package in 2D (According to FOURIER-Synthesis in 2D)
• Curtright, T.L., Time-dependent Wigner Functions