प्रावस्था-समष्‍टि

डफिंग दोलक का प्रावस्था पथ

केन्द्रीय स्थिरता के साथ एक गतिशील प्रणाली का प्रावस्था समष्टि, एक प्रावस्था समष्टि प्रक्षेपवक्र दिखा रहा है

गतिकीय तंत्र सिद्धांत में, प्रावस्था समष्टि एक समष्टि (गणित) है जिसमें एक प्रणाली के सभी संभावित समष्टियों का प्रावस्था समष्टि में एक अद्वितीय बिंदु के अनुरूप प्रत्येक संभावित स्थिति के साथ प्रतिनिधित्व किया जाता है। पारम्परिक यांत्रिकी के लिए, प्रावस्था समष्टि में सामान्यतः स्थिति (सदिश) और संवेग चर के सभी संभावित मान होते हैं। यह प्रत्यक्ष समष्टि और पारस्परिक समष्टि का प्रत्यक्ष उत्पाद है। 19वीं शताब्दी के अंत में लुडविग बोल्ट्जमैन, हेनरी पॉइनकेयर और योशिय्याह विलार्ड गिब्स द्वारा प्रावस्था समष्टि की अवधारणा विकसित की गई थी।

परिचय

प्रावस्था समष्टि में, स्वातंत्र्य कोटि (भौतिकी और रसायन विज्ञान) या प्रणाली के मापदण्ड को एक बहुआयामी समष्टि की धुरी के रूप में दर्शाया गया है; एक-आयामी प्रणाली को कला तल (गणित) कहा जाता है, जबकि द्वि-आयामी प्रणाली को प्रावस्था समतल कहा जाता है। प्रणाली की हर संभव स्थिति या प्रणाली के मापदंडों के मूल्यों के संयोजन की अनुमति के लिए, एक बिंदु को बहुआयामी समष्टि में सम्मिलित किया गया है। समय के साथ प्रणाली की विकसित स्थिति उच्च-आयामी समष्टि के माध्यम से एक पथ (प्रणाली के लिए एक प्रावस्था-समष्टि प्रक्षेपवक्र) का पता लगाती है। प्रावस्था-समष्टि प्रक्षेपवक्र एक विशेष प्रारंभिक स्थिति से प्रारम्भ होने के साथ संगत समष्टियों के सम्मुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है, पूर्ण प्रावस्था समष्टि में स्थित है जो 'किसी' प्रारंभिक स्थिति से प्रारम्भ होने वाले समष्टियों के सम्मुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है। समग्र रूप से, प्रावस्था आरेख वह सब दर्शाता है जो प्रणाली हो सकती है, और इसका आकार आसानी से प्रणाली के गुणों को स्पष्ट कर सकता है जो अन्यथा स्पष्ट नहीं हो सकता है। प्रावस्था समष्टि में बड़ी संख्या में आयाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, कई अणुओं वाली गैस को प्रत्येक कण के x, y और z स्थितियों और संवेग के लिए एक अलग आयाम की आवश्यकता हो सकती है (एक आदर्श एकपरमाण्विक गैस के लिए 6 आयाम), और अधिक जटिल के लिए आणविक बंधनों के कंपन प्रणाली का वर्णन करने के साथ-साथ 3 अक्षों के चारों ओर चक्रण करने के लिए आणविक प्रणालियों को अतिरिक्त आयामों की आवश्यकता होती है। घूर्णन या अनुवाद के विभिन्न अक्षों के आसपास और गति तक सीमित यांत्रिक प्रणालियों के व्यवहार का विश्लेषण करते समय प्रावस्था रिक्त समष्टि का उपयोग करना आसान होता है – उदा. यंत्रमानवशास्त्र में, जैसे यंत्रमानववत् बांह की गति की सीमा का विश्लेषण करना या किसी विशेष स्थिति/गति परिणाम प्राप्त करने के लिए इष्टतम पथ का निर्धारण करना।

प्रावस्था समष्टि (शीर्ष) में पारम्परिक प्रणालियों के एक सांख्यिकीय संपरिधान (गणितीय भौतिकी) का विकास। प्रणाली एक आयामी संभावित कुएं (लाल वक्र, निचला आंकड़ा) में एक विशाल कण हैं। प्रारंभिक रूप से सघन संपरिधान समय के साथ घूमता है।

संयुग्म संवेग

पारम्परिक यांत्रिकी में, सामान्यीकृत निर्देशांक q_i का कोई भी विकल्प स्थिति के लिए (अर्थात विन्यास समष्टि (भौतिकी) पर निर्देशांक) संयुग्म गति p_i को परिभाषित करता है, जो एक साथ प्रावस्था समष्टि पर समन्वय को परिभाषित करते हैं। अधिक संक्षेप में, पारम्परिक यांत्रिकी में प्रावस्था समष्टि विन्यास समष्टि का कॉटैंगेंट समूह है, और इस व्याख्या में ऊपर की प्रक्रिया व्यक्त करती है कि विन्यास समष्टि पर समष्टिीय निर्देशांक का एक विकल्प प्राकृतिक समष्टिीय डार्बौक्स निर्देशांक की पसंद को प्रेरित करता है।

प्रावस्था समष्टि में सांख्यिकीय पहनावा

इस समष्टि में प्रणालियों के एक सांख्यिकीय समुच्चय (गणितीय भौतिकी) की गति का पारम्परिक सांख्यिकीय यांत्रिकी द्वारा अध्ययन किया जाता है। ऐसी प्रणालियों में बिंदुओं का समष्टिीय घनत्व लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) का पालन करता है, और इसलिए इसे स्थिर के रूप में लिया जा सकता है। पारम्परिक यांत्रिकी में एक प्रतिरूप प्रणाली के संदर्भ में, किसी भी समय प्रणाली के प्रावस्था-समष्टि निर्देशांक प्रणाली के सभी गतिशील चर से बने होते हैं। इस वजह से, हैमिल्टन या लाग्रेंज की गति के समीकरणों के एकीकरण के माध्यम से भविष्य या अतीत में किसी भी समय प्रणाली की स्थिति की गणना करना संभव है।

उदाहरण

एक साधारण लोलक की गति के लिए एक प्रावस्था चित्र का निर्माण कैसे किया जाएगा इसका चित्रण

एक लोलक के अंतर समीकरण द्वारा निर्दिष्ट प्रावस्था समष्टि में समय-श्रृंखला प्रवाह। एक्स अक्ष लोलक की स्थिति से मेल खाता है, और वाई अक्ष इसकी गति से मेल खाता है।

कम आयाम

Main articles: चरण रेखा (गणित) and कला तल

सरल प्रणालियों के लिए, स्वतंत्रता की एक या दो डिग्री जितनी कम हो सकती है। स्वतंत्रता की एक डिग्री तब होती है जब किसी के पास एकल चर में स्वायत्त प्रणाली (गणित) साधारण अंतर समीकरण $dy/dt=f(y)$ होता है, परिणामी एक-आयामी प्रणाली को कला तल (गणित) कहा जाता है, और प्रणाली का गुणात्मक व्यवहार कला तल से तुरंत दिखाई देता है। सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण घातीय वृद्धि प्रतिरूप/क्षय (एक अस्थिर/स्थिर संतुलन) और रसद विकास प्रतिरूप (दो संतुलन, एक स्थिर, एक अस्थिर) हैं।

द्वि-आयामी प्रणाली के प्रावस्था समष्टि को प्रावस्था तल कहा जाता है, जो आयाम में चलने वाले एकल कण के लिए पारम्परिक यांत्रिकी में होता है, और जहां दो चर स्थिति और वेग होते हैं। इस स्तिथि में, प्रावस्था चित्र का एक स्केच प्रणाली की गतिशीलता के बारे में गुणात्मक जानकारी दे सकता है, जैसे आरेख में दिखाए गए वैन डेर पोल दोलक की सीमा चक्र।

यहाँ क्षैतिज अक्ष स्थिति और ऊर्ध्वाधर अक्ष वेग देता है। जैसे ही प्रणाली विकसित होती है, इसकी स्थिति प्रावस्था आरेख पर एक पंक्ति (प्रक्षेपवक्र) का अनुसरण करती है।

वैन डेर पोल दोलक का प्रावस्था चित्र

अस्तव्यस्तता सिद्धांत

अस्तव्यस्तता सिद्धांत से प्रावस्था आरेखों के उत्कृष्ट उदाहरण हैं:

• लोरेंज अट्रैक्टर
• जनसंख्या वृद्धि (यानी रसद मानचित्र )
• मैंडेलब्रॉट सम्मुच्चय के साथ जटिल द्विघात बहुपदों का मापदण्ड तल।

कला आलेख

समय के एक प्रकार्य के रूप में स्थिति और गति चर की एक साजिश को कभी-कभी प्रावस्था कला आलेख या प्रावस्था आरेख कहा जाता है। हालांकि, बाद की अभिव्यक्ति, प्रावस्था आरेख, सामान्यतः एक रासायनिक प्रणाली के ऊष्मागतिक प्रावस्थाों की स्थिरता के विभिन्न क्षेत्रों को दर्शाने वाले आरेख के लिए भौतिक विज्ञान की रूपरेखा में आरक्षित होता है, जिसमें दबाव, तापमान और संरचना सम्मिलित होती है।

परिमाण यांत्रिकी

परिमाण यांत्रिकी में, प्रावस्था समष्टि के निर्देशांक p और q सामान्य रूप से हिल्बर्ट समष्टि में हर्मिटियन संचालक बन जाते हैं।

लेकिन वे वैकल्पिक रूप से अपनी पारम्परिक व्याख्या को बनाए रख सकते हैं, परंतु उनके कार्यों को नए बीजगणितीय तरीकों से बनाया जाए (ग्रोएनवॉल्ड के 1946 के स्टार उत्पाद के माध्यम से)। यह परिमाण यांत्रिकी के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुरूप है। प्रत्‍येक परिमाण यांत्रिक प्रेक्षणीय प्रावस्था समष्टि पर एक अद्वितीय कार्य या वितरण (गणित) से मेल खाता है, और इसके विपरीत, जैसा कि हरमन वेइल (1927) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है और जॉन वॉन न्यूमैन (1931) द्वारा पूरक है; यूजीन विग्नर (1932); और, एक भव्य संश्लेषण में, हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड (1946)। जोस एनरिक मोयल (1949) के साथ, इन्होंने 'परिमाण यांत्रिकी के प्रावस्था-समष्टि सूत्रीकरण' की नींव को पूरा किया, परिमाण यांत्रिकी का पूर्ण और तार्किक रूप से स्वायत्त सुधार है। (इसके आधुनिक सार में विरूपण परिमाणीकरण और ज्यामितीय परिमाणीकरण सम्मिलित हैं।)

हिल्बर्ट स्पेस में घनत्व आव्यूह के साथ संचालक वेधशालाओं को अनुरेखन करने के लिए प्रावस्था-समष्टि परिमाणीकरण में अपेक्षा मान समरूपी रूप से प्राप्त किए जाते हैं: वे अवलोकन के प्रावस्था-समष्टि अभिन्न द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, जिसमें विग्नर अर्ध-संभाव्यता वितरण प्रभावी रूप से एक उपाय के रूप में कार्य करता है।

इस प्रकार, प्रावस्था समष्टि में परिमाण यांत्रिकी (पारम्परिक यांत्रिकी के लिए समान क्षेत्र) को व्यक्त करके, विग्नर-वेइल परिवर्तन परिमाण यांत्रिकी की मान्यता को पारम्परिक यांत्रिकी के विरूपण सिद्धांत (सामान्यीकरण) के रूप में विरूपण मापदण्ड ħ/S के साथ सुगम बनाता है। जहां एस प्रासंगिक प्रक्रिया की क्रिया (भौतिकी) है। (भौतिकी में अन्य परिचित विकृतियों में विशिष्ट सापेक्षता में पारम्परिक न्यूटोनियन की विकृति विरूपण मापदण्ड 'v/c के साथ सम्मिलित है,; या सामान्य सापेक्षता में न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण का विरूपण, विरूपण मापदण्ड श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या/विशेषता आयाम के साथ सम्मिलित है।)

पारम्परिक अभिव्यक्तियाँ, प्रेक्षणीय और संक्रिया बहुकार्य (जैसे पॉसों कोष्ठक) को ħ-आश्रित परिमाण संशोधन द्वारा संशोधित किया जाता है, क्योंकि पारम्परिक यांत्रिकी में लागू होने वाले पारंपरिक क्रम विनिमय संप्रावस्था को परिमाण यांत्रिकी की विशेषता वाले गैर-विनिमेय सर्वोतम-संप्रावस्था के लिए सामान्यीकृत किया जाता है और इसके अनिश्चितता सिद्धांत को अंतर्निहित किया जाता है।

ऊष्मप्रवैगिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी

ऊष्मप्रवैगिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी संदर्भों में, शब्द प्रावस्था समष्टि के दो अर्थ हैं: एक के लिए, इसका उपयोग उसी अर्थ में किया जाता है जैसे कि पारम्परिक यांत्रिकी में यदि ऊष्मागतिक प्रणाली में N कण होते हैं, तो 6N-आयामी प्रावस्था समष्टि में एक बिंदु उस प्रणाली में प्रत्येक कण की गतिशील स्थिति का वर्णन करता है, क्योंकि प्रत्येक कण 3 स्थिति चर और 3 गति चर के साथ जुड़ा हुआ है। इस अर्थ में, जब तक कण गिब्स विरोधाभास हैं, प्रावस्था समष्टि में एक बिंदु को प्रणाली का एक सूक्ष्म अवस्था (सांख्यिकीय यांत्रिकी) कहा जाता है। (समान कण के लिए एक सूक्ष्म अवस्था में n! बिंदुओं का एक सम्मुच्चय होता है, जो एन कणों के सभी संभावित विनिमय के अनुरूप होता है।) एन सामान्यतः आवोगाद्रो संख्या के क्रम में होता है, इस प्रकार सूक्ष्म स्तर पर प्रणाली का वर्णन करना प्रायः अव्यावहारिक होता है। यह प्रावस्था समष्टि के उपयोग को एक अलग अर्थ में ले जाता है।

प्रावस्था समष्टि उस समष्टि को भी संदर्भित कर सकता है जो प्रणाली के स्थूलदर्शित समष्टियों, जैसे दबाव, तापमान, आदि द्वारा परिचालित होता है। उदाहरण के लिए, कोई इस प्रावस्था के हिस्से का वर्णन करने के रूप में दबाव-मात्रा आरेख या तापमान-एन्ट्रॉपी आरेख देख सकता है। इस प्रावस्था के समष्टि में एक बिंदु को एक स्थूल अवस्था कहा जाता है। एक ही स्थूल अवस्था के साथ आसानी से एक से अधिक सूक्ष्म अवस्था हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक निश्चित तापमान के लिए, प्रणाली में सूक्ष्म स्तर पर कई गतिशील विन्यास हो सकते हैं। जब इस अर्थ में प्रयोग किया जाता है, प्रावस्था प्रावस्था समष्टि का एक क्षेत्र होता है जहां प्रश्न में प्रणाली होती है, उदाहरण के लिए, तरल प्रावस्था, या ठोस प्रावस्था आदि।

चूँकि स्थूल अवस्था की तुलना में बहुत अधिक सूक्ष्म अवस्था हैं, पहले अर्थ में प्रावस्था समष्टि सामान्यतः दूसरे अर्थों की तुलना में बहुत बड़े आयामों का होता है। स्पष्ट रूप से, प्रणाली के प्रत्येक विवरण को आणविक या परमाणु पैमाने पर दर्ज करने के लिए और केवल तापमान या प्रणाली के दबाव को निर्दिष्ट करने के लिए कई और मापदंडों की आवश्यकता होती है।

प्रकाशिकी

नॉनइमेजिंग प्रकाशिकी में प्रावस्था समष्टि,रोशनी के लिए समर्पित प्रकाशिकी की शाखा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह हैमिल्टनियन प्रकाशिकी में भी एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

प्रावस्था अभिन्न

पारम्परिक सांख्यिकीय यांत्रिकी (सतत ऊर्जा) में प्रावस्था समष्टि की अवधारणा विभाजन प्रकार्य (गणित) (समष्टियों पर योग) के लिए एक पारम्परिक समधर्मी प्रदान करती है जिसे प्रावस्था अभिन्न के रूप में जाना जाता है। अलग-अलग समष्टि वाली ऊर्जा अवस्थाओं (स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री के लिए उपयुक्त पूर्णांक परिमाण संख्या द्वारा परिभाषित) पर बोल्ट्ज़मैन कारक को समेटने के समष्टि पर, निरंतर प्रावस्था समष्टि पर एकीकृत किया जा सकता है। इस तरह के एकीकरण में अनिवार्य रूप से दो भाग होते हैं: स्वतंत्रता की सभी डिग्री (संवेग समष्टि) के गति घटक का एकीकरण और स्वतंत्रता की सभी डिग्री (समाकृति समष्टि) की स्थिति घटक का एकीकरण। एक बार जब प्रावस्था अभिन्न ज्ञात हो जाता है, तो यह प्रति इकाई प्रावस्था समष्टि पर परिमाण संख्याएं समष्टियों की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले सामान्यीकरण स्थिरांक के गुणा द्वारा पारम्परिक विभाजन प्रकार्य से संबंधित हो सकता है। यह सामान्यीकरण स्थिरांक केवल प्लैंक स्थिरांक का व्युत्क्रम है जो प्रणाली के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के बराबर एक शक्ति तक बढ़ा है।

Further information: अस्पष्ट स्थूलक

यह भी देखें

• मिनीसुपरस्पेस
• चरण रेखा (गणित), 1-आयामी स्तिथि
• चरण विमान, 2-आयामी स्तिथि
• चरण चित्र
• प्रावस्था समष्टि विधि
• मापदण्ड स्थान
• तिर्यक निशान (गतिशील प्रणालियां)

अनुप्रयोग

• दृक् प्रावस्था समष्टि
• नियंत्रण इंजीनियरिंग में अवस्था समष्टि (चरण अवस्था के समान) के बारे में जानकारी के लिए स्तिथि स्थान (नियंत्रण)।
• कंप्यूटर विज्ञान में असतत अवस्था के साथ राज्य अंतरिक्ष के बारे में जानकारी के लिए अवस्था स्थान।
• आणविक गतिकी

अंक शास्त्र

• स्पर्शरेखा बंडल
• गतिशील प्रणाली
• सिंपलेक्टिक नलिका
• विग्नर-वेइल रूपांतरण

भौतिक विज्ञान

• शास्त्रीय यांत्रिकी
• हैमिल्टनियन यांत्रिकी
• लैग्रैन्जियन यांत्रिकी
• भौतिकी में अवस्था स्थान के बारे में जानकारी के लिए अवस्था स्थान (भौतिकी)।
• परिमाण यांत्रिकी का फेज-स्पेस सूत्रीकरण
• परिमाण विशेषताओं की विधि

अग्रिम पठन

• Nolte, D. D. (2015). Introduction to Modern Dynamics: Chaos, Networks, Space and Time. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-965703-2.
• Nolte, D. D. (2018). Galileo Unbound: A Path Across Life, the Universe and Everything. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-880584-7.

बाहरी संबंध

• "Phase space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]