बोगोलीबॉव परिवर्तन: Difference between revisions

Latest revision as of 09:27, 12 June 2023

सैद्धांतिक भौतिकी में, बोगोलीबॉव परिवर्तन, जिसे बोगोलीबॉव-वैलाटिन परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है, इसको स्वतंत्र रूप से 1958 में निकोले बोगोलीबॉव और जॉन जॉर्ज वैलेटिन द्वारा सजातीय प्रणाली में बीसीएस सिद्धांत के समाधान खोजने के लिए विकसित किया गया था।^[1]^[2] बोगोलीबॉव रूपांतरण या तो विहित रूपान्तरण संबंध बीजगणित विहित प्रतिसंक्रमण संबंध बीजगणित बीजगणित का समरूपता है। यह संबंधित अभ्यावेदन पर स्वत: समानता को प्रेरित करता है। बोगोलीबॉव परिवर्तन का उपयोग अधिकांशतः हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को विकर्ण करने के लिए किया जाता है । जो संबंधित श्रोडिंगर समीकरण के स्थिर समाधान उत्पन्न करता है। उनरुह प्रभाव, हॉकिंग विकिरण, परमाणु भौतिकी में युग्मन प्रभाव, और कई अन्य विषयों को समझने के लिए बोगोलीबॉव परिवर्तन भी महत्वपूर्ण है।

बोगोलीबॉव परिवर्तन का उपयोग अधिकांशतः हैमिल्टनियनों को विकर्ण करने के लिए किया जाता है । स्तर कार्य के इसी परिवर्तन के साथ परिवर्तित स्तर कार्य पर विकर्ण हैमिल्टनियन के साथ गणना की गई संचालक आइगेनवेल्यूज़ इस प्रकार पहले की तरह ही हैं।

एकल बोसोनिक मोड उदाहरण

हार्मोनिक आधार पर बोसोनिक निर्माण और एनिहिलेशन संचालकों के लिए विहित कम्यूटेटर पर विचार करें ।

\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.

संचालकों की नई जोड़ी को परिभाषित करें

{\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },

{\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}},

सम्मिश्र संख्या u और v के लिए, जहाँ बाद वाला पहले का हर्मिटियन संयुग्म है।

बोगोलीबॉव परिवर्तन संचालकों ${\hat {a}}$ और ${\hat {a}}^{\dagger }$ को ${\hat {b}}$ और ${\hat {b}}^{\dagger }$ को मैप करने वाला विहित परिवर्तन है । स्थिरांक u और v पर स्थितियों को खोजने के लिए जैसे परिवर्तन विहित है, कम्यूटेटर का मूल्यांकन किया जाता है, अर्थात्,

\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].

तब यह स्पष्ट होता है कि $|u|^{2}-|v|^{2}=1$ वह स्थिति है जिसके लिए परिवर्तन विहित है।

चूंकि इस स्थिति का रूप अतिपरवलय कार्य का सूचक है ।

\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,

स्थिरांक $u$ और $v$ के रूप में सरलता से पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है ।

u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,

v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.

इसकी व्याख्या चरण स्थान के सहानुभूतिपूर्ण सदिश स्थान के रूप में की जाती है। सिम्प्लेक्टिक आव्युह से तुलना करके विकर्णीकरण और अपघटन बलोच-मसीह अपघटन, दो कोण $\theta _{1}$ और $\theta _{2}$ ऑर्थोगोनल सिम्प्लेक्टिक ट्रांसफ़ॉर्मेशन (अर्थात, घुमाव) और निचोड़ संचालक के अनुरूप $r$ विकर्ण परिवर्तन से मेल खाता है।

अनुप्रयोग

अतिप्रवाहता के संदर्भ में सबसे प्रमुख आवेदन स्वयं निकोलाई बोगोलीबॉव द्वारा किया गया है।^[3]^[4] अन्य अनुप्रयोगों में हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) और प्रतिलौह चुंबकत्व के सिद्धांत में उत्तेजना सम्मिलित हैं।^[5] घुमावदार स्थान-समय में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की गणना करते समय निर्वात की परिभाषा बदल जाती है, और इन विभिन्न वैकुआओं के बीच बोगोलीबॉव परिवर्तन संभव है। इसका उपयोग हॉकिंग विकिरण की व्युत्पत्ति में किया जाता है। क्वांटम प्रकाशिकी में बोगोलीबॉव ट्रांसफॉर्म का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ।अधिकांशतः जब गॉसियन यूनिटरीज (जैसे बीम्सप्लिटर, चरण शिफ्टर्स और निचोड़ने के संचालन) के साथ काम करते हैं।

फर्मीओनिक मोड

कम्यूटेटर संबंधों के लिए

\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1,

बोगोलीबॉव रूपांतरण $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ द्वारा बाधित है। इसलिए कण-प्रतिकण इंटरचेंज (या कई-बॉडी प्रणाली में कण-होल इंटरचेंज) के अनुरूप केवल महत्वहीन संभावना $u=0,|v|=1,$ है, जिसमें फेज शिफ्ट संभव है। इस प्रकार एक कण के लिए परिवर्तन केवल (1) एक डिराक फर्मियन के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है । जहां कण और एंटीकण अलग-अलग होते हैं (मेजराना फर्मियन या दाहिनी ओर के विपरीत), या (2) मल्टी-फर्मियोनिक प्रणाली के लिए जिसमें एक प्रकार का फर्मियन अधिक होता है।

अनुप्रयोग

सबसे प्रमुख अनुप्रयोग फिर से स्वयं निकोलाई बोगोलीबोव द्वारा किया गया है, इस बार अतिचालकता के बीसीएस सिद्धांत के लिए।^[5]^[6]^[7]^[8] वह बिंदु जहां बोगोलीबॉव परिवर्तन करने की आवश्यकता स्पष्ट हो जाती है,। वह यह है कि माध्य-क्षेत्र सन्निकटन में प्रणाली के हैमिल्टनियन को दोनों स्थितियों में मूल निर्माण और विनाश संचालकों में बिलिनियर शब्दों के योग के रूप में लिखा जा सकता है । जिसमें परिमित $\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle$ सम्मिलित है । अर्थात किसी को सामान्य हार्ट्री-फॉक पद्धति से जाना चाहिए। विशेष रूप से, मीन-फील्ड बोगोलीबॉव-डी गेनेस हैमिल्टनियन औपचारिकता में सुपरकंडक्टिंग जोड़ी शब्द जैसे कि $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ , बोगोलीबॉव ने संचालकों $b,b^{\dagger }$ को बदल दिया था । और क्वासिकण्स बनाएं (प्रत्येक अच्छी तरह से परिभाषित ऊर्जा, संवेग और स्पिन के साथ किंतु इलेक्ट्रॉन और छेद स्थिति की क्वांटम सुपरपोजिशन में), और गुणांक हैं । $u$ और $v$ बोगोलीबॉव–डी गेनेस आव्युह के आइगेंसदिश द्वारा दिया गया था। परमाणु भौतिकी में भी, यह विधि प्रयुक्त होती है, क्योंकि यह भारी तत्व में न्यूक्लियंस की युग्मन ऊर्जा का वर्णन कर सकती है।^[9]

मल्टीमोड उदाहरण

विचाराधीन हिल्बर्ट अंतरिक्ष इन संचालकों से सुसज्जित है, और इसके बाद उच्च-आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर (सामान्यतः अनंत-आयामी ) का वर्णन करता है।

संबंधित हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) की निम्नतम स्थिति सभी विलोपन संचालकों द्वारा नष्ट कर दी जाती है ।

\forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0.

सभी उत्तेजित स्थितिएँ कुछ सृजन संचालकों द्वारा उत्साहित निम्नतम स्थिति के रैखिक संयोजन के रूप में प्राप्त की जाती हैं ।

\prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle .

कोई एक रेखीय पुनर्परिभाषा द्वारा सृजन और विनाश संचालकों को फिर से परिभाषित कर सकता है ।

a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }),

जहां गुणांक $u_{ij},v_{ij}$ विनाश संचालकों और निर्माण संचालकों की गारंटी देने के लिए कुछ नियमों $a_{i}^{\prime \dagger }$ को पूरा करना चाहिए । हर्मिटियन संयुग्म समीकरण द्वारा परिभाषित, बोसोन के लिए और एंटीकोमुटेटर फर्मिऑन के लिए समान कम्यूटेटर हैं ।

उपरोक्त समीकरण संचालकों के बोगोलीबॉव परिवर्तन को परिभाषित करता है।

सभी $a'_{i}$ दवारा नष्ट कि गई मूल निम्नतम स्थिति $|0\rangle$ से भिन्न है , और उन्हें संचालक-स्तर पत्राचार का उपयोग करके एक दूसरे के बोगोलीबॉव परिवर्तनों के रूप में देखा जा सकता है। उन्हें स्कुइज़ सुसंगत स्तर के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। बीसीएस तरंग फलन, फ़र्मियन्स की स्कुइज़ सुसंगत स्थिति का उदाहरण है।^[10]

एकीकृत आव्युह विवरण

क्योंकि बोगोलीबॉव परिवर्तन संचालकों के रैखिक पुनर्संयोजन हैं, उन्हें आव्युह परिवर्तनों के संदर्भ में लिखना अधिक सुविधाजनक और व्यावहारिक है। यदि नष्ट करने वालों की जोड़ी $(a,b)$ के रूप में रूपांतरित करें ।

{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}

जहाँ $U$ $2\times 2$ आव्यूह है। फिर स्वाभाविक रूप से

{\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }\\\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}=U^{*}{\begin{pmatrix}a^{\dagger }\\b^{\dagger }\end{pmatrix}}

फर्मियन संचालकों के लिए, रूपांतरण संबंधों की आवश्यकता आव्युह के रूप में दो आवश्यकताओं $U$ में परिलक्षित होती है ।

U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}

और

|u|^{2}+|v|^{2}=1

बोसोन संचालकों के लिए, रूपांतरण संबंधों की आवश्यकता होती है ।

U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}

और

|u|^{2}-|v|^{2}=1

इन शर्तों को समान रूप से लिखा जा सकता है ।

U\Gamma _{\pm }U^{\dagger }=\Gamma _{\pm }

जहाँ

\Gamma _{\pm }={\begin{pmatrix}1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}

जहाँ $\Gamma _{\pm }$ क्रमशः फर्मियंस और बोसोन पर प्रयुक्त होता है।

आव्युह विवरण का उपयोग करके द्विघात हैमिल्टनियन का विकर्ण बनाता है । बोगोलीबॉव परिवर्तन हमें द्विघात हैमिल्टनियन को विकर्ण करने देता है ।

{\hat {H}}={\begin{pmatrix}a^{\dagger }&b^{\dagger }\end{pmatrix}}H{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}

केवल आव्युह को विकर्ण करके $\Gamma _{\pm }H$ . उपर्युक्त नोटेशन में, संचालक ${\hat {H}}$ और संख्यात्मक आव्युह $H$ को अलग करना महत्वपूर्ण है । इस तथ्य को ${\hat {H}}$ पुनर्लेखन द्वारा देखा जा सकता है। जैसे

{\hat {H}}={\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }&\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}

और $\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=D$ यदि और केवल यदि $U$ विकर्ण करता है $\Gamma _{\pm }H$ , अर्थात $U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=\Gamma _{\pm }D$ . है ।

बोगोलीबॉव रूपांतरणों के उपयोगी गुण नीचे सूचीबद्ध हैं।

	बोसॉन	फर्मियन
परिवर्तन आव्यूह	$U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{}&u^{}\end{pmatrix}}$	$U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{}&u^{}\end{pmatrix}}$
उलटा परिवर्तन आव्यूह	$U^{-1}={\begin{pmatrix}u^{}&-v\\-v^{}&u\end{pmatrix}}$	$U^{-1}={\begin{pmatrix}u^{}&-v\\v^{}&u\end{pmatrix}}$
गामा	$\Gamma ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$	$\Gamma ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
विकर्णन	$U(\Gamma H)U^{-1}=\Gamma D$	$UHU^{-1}=D$

यह भी देखें

होल्स्टीन-प्रिमाकॉफ परिवर्तन
जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन
जॉर्डन-श्विंगर परिवर्तन
छोटा परिवर्तन

संदर्भ

↑ Valatin, J. G. (March 1958). "अतिचालकता के सिद्धांत पर टिप्पणियाँ". Il Nuovo Cimento. 7 (6): 843–857. Bibcode:1958NCim....7..843V. doi:10.1007/bf02745589. S2CID 123486856.
↑ Bogoljubov, N. N. (March 1958). "अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई पद्धति पर". Il Nuovo Cimento. 7 (6): 794–805. Bibcode:1958NCim....7..794B. doi:10.1007/bf02745585. S2CID 120718745.
↑ N. N. Bogoliubov: On the theory of superfluidity, J. Phys. (USSR), 11, p. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, p. 77 (1947)).
↑ Bogolubov [sic], N. "सुपरफ्लूडिटी के सिद्धांत पर" (PDF). Advances of Physical Sciences. Lebedev Physical Institute. Retrieved 27 April 2017.
↑ ^5.0 ^5.1 See e.g. the textbook by Charles Kittel: Quantum theory of solids, New York, Wiley 1987.
↑ Boboliubov, N. N. (1 Jan 1958). "अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई विधि। मैं". Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP. 7 (1): 41–46.
↑ Bogoliubov, N. N. (July 1958). "सुपरकंडक्टिविटी III के सिद्धांत में एक नई विधि" (PDF). Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP. 34 (7): 51–55.
↑ Bogolyubov, N. N.; Tolmachev, V. V.; Shirkov, D. V. (November 1958). "अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई विधि". Fortschritte der Physik. 6 (11–12): 605–682. Bibcode:1958ForPh...6..605B. doi:10.1002/prop.19580061102.
↑ Strutinsky, V. M. (April 1967). "परमाणु द्रव्यमान और विरूपण ऊर्जा में शैल प्रभाव". Nuclear Physics A. 95 (2): 420–442. Bibcode:1967NuPhA..95..420S. doi:10.1016/0375-9474(67)90510-6.
↑ Svozil, K. (1990-12-24). "निचोड़ा हुआ फर्मियन राज्य". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 65 (26): 3341–3343. Bibcode:1990PhRvL..65.3341S. doi:10.1103/physrevlett.65.3341. ISSN 0031-9007. PMID 10042844.

अग्रिम पठन

The whole topic, and a lot of definite applications, are treated in the following textbooks:

Blaizot, J.-P.; Ripka, G. (1985). Quantum Theory of Finite Systems. MIT Press. ISBN 0-262-02214-1.
Fetter, A.; Walecka, J. (2003). Quantum Theory of Many-Particle Systems. Dover. ISBN 0-486-42827-3.
Kittel, Ch. (1987). Quantum theory of solids. Wiley. ISBN 0-471-62412-8.
Wagner, M. (1986). Unitary Transformations in Solid State Physics. Elsevier Science. ISBN 0-444-86975-1.

[1] Valatin, J. G. (March 1958). "अतिचालकता के सिद्धांत पर टिप्पणियाँ". Il Nuovo Cimento. 7 (6): 843–857. Bibcode:1958NCim....7..843V. doi:10.1007/bf02745589. S2CID 123486856.

[2] Bogoljubov, N. N. (March 1958). "अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई पद्धति पर". Il Nuovo Cimento. 7 (6): 794–805. Bibcode:1958NCim....7..794B. doi:10.1007/bf02745585. S2CID 120718745.

[3] N. N. Bogoliubov: On the theory of superfluidity, J. Phys. (USSR), 11, p. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, p. 77 (1947)).

[4] Bogolubov [sic], N. "सुपरफ्लूडिटी के सिद्धांत पर" (PDF). Advances of Physical Sciences. Lebedev Physical Institute. Retrieved 27 April 2017.

[Kittel-5] 5.0 ^5.1 See e.g. the textbook by Charles Kittel: Quantum theory of solids, New York, Wiley 1987.

[NMTS1-6] Boboliubov, N. N. (1 Jan 1958). "अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई विधि। मैं". Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP. 7 (1): 41–46.

[NMTS3-7] Bogoliubov, N. N. (July 1958). "सुपरकंडक्टिविटी III के सिद्धांत में एक नई विधि" (PDF). Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP. 34 (7): 51–55.

[BTS-8] Bogolyubov, N. N.; Tolmachev, V. V.; Shirkov, D. V. (November 1958). "अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई विधि". Fortschritte der Physik. 6 (11–12): 605–682. Bibcode:1958ForPh...6..605B. doi:10.1002/prop.19580061102.

[9] Strutinsky, V. M. (April 1967). "परमाणु द्रव्यमान और विरूपण ऊर्जा में शैल प्रभाव". Nuclear Physics A. 95 (2): 420–442. Bibcode:1967NuPhA..95..420S. doi:10.1016/0375-9474(67)90510-6.

[10] Svozil, K. (1990-12-24). "निचोड़ा हुआ फर्मियन राज्य". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 65 (26): 3341–3343. Bibcode:1990PhRvL..65.3341S. doi:10.1103/physrevlett.65.3341. ISSN 0031-9007. PMID 10042844.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Mathematical operation in quantum optics, general relativity and other areas of physics}}
-[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, बोगोलीबॉव परिवर्तन, जिसे बोगोलीबॉव-वैलाटिन परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है, को स्वतंत्र रूप से 1958 में [[निकोले बोगोलीबॉव]] और [[जॉन जॉर्ज वैलेटिन]] द्वारा एक सजातीय प्रणाली में [[बीसीएस सिद्धांत]] के समाधान खोजने के लिए विकसित किया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Valatin |first1=J. G. |title=अतिचालकता के सिद्धांत पर टिप्पणियाँ|journal=Il Nuovo Cimento |date=March 1958 |volume=7 |issue=6 |pages=843–857 |doi=10.1007/bf02745589|bibcode = 1958NCim....7..843V |s2cid=123486856 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Bogoljubov |first1=N. N. |title=अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई पद्धति पर|journal=Il Nuovo Cimento |date=March 1958 |volume=7 |issue=6 |pages=794–805 |doi=10.1007/bf02745585 |bibcode = 1958NCim....7..794B |s2cid=120718745 }}</ref> बोगोलीबॉव रूपांतरण या तो [[विहित रूपान्तरण संबंध बीजगणित]] [[विहित प्रतिसंक्रमण संबंध बीजगणित]] बीजगणित का एक समरूपता है। यह संबंधित अभ्यावेदन पर एक स्वत: समानता को प्रेरित करता है। बोगोलीबॉव परिवर्तन का उपयोग अक्सर [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] को विकर्ण करने के लिए किया जाता है, जो संबंधित श्रोडिंगर समीकरण के स्थिर समाधान उत्पन्न करता है। Unruh प्रभाव, [[हॉकिंग विकिरण]], परमाणु भौतिकी में युग्मन प्रभाव, और कई अन्य विषयों को समझने के लिए Bogoliubov परिवर्तन भी महत्वपूर्ण है।
+[[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, बोगोलीबॉव परिवर्तन, जिसे बोगोलीबॉव-वैलाटिन परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है, इसको स्वतंत्र रूप से 1958 में [[निकोले बोगोलीबॉव]] और [[जॉन जॉर्ज वैलेटिन]] द्वारा सजातीय प्रणाली में [[बीसीएस सिद्धांत]] के समाधान खोजने के लिए विकसित किया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Valatin |first1=J. G. |title=अतिचालकता के सिद्धांत पर टिप्पणियाँ|journal=Il Nuovo Cimento |date=March 1958 |volume=7 |issue=6 |pages=843–857 |doi=10.1007/bf02745589|bibcode = 1958NCim....7..843V |s2cid=123486856 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Bogoljubov |first1=N. N. |title=अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई पद्धति पर|journal=Il Nuovo Cimento |date=March 1958 |volume=7 |issue=6 |pages=794–805 |doi=10.1007/bf02745585 |bibcode = 1958NCim....7..794B |s2cid=120718745 }}</ref> बोगोलीबॉव रूपांतरण या तो [[विहित रूपान्तरण संबंध बीजगणित]] [[विहित प्रतिसंक्रमण संबंध बीजगणित]] बीजगणित का समरूपता है। यह संबंधित अभ्यावेदन पर स्वत: समानता को प्रेरित करता है। बोगोलीबॉव परिवर्तन का उपयोग अधिकांशतः [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] को विकर्ण करने के लिए किया जाता है । जो संबंधित श्रोडिंगर समीकरण के स्थिर समाधान उत्पन्न करता है। उनरुह प्रभाव, [[हॉकिंग विकिरण]], परमाणु भौतिकी में युग्मन प्रभाव, और कई अन्य विषयों को समझने के लिए बोगोलीबॉव परिवर्तन भी महत्वपूर्ण है।
-बोगोलीबॉव परिवर्तन का उपयोग अक्सर हैमिल्टनियनों को विकर्ण करने के लिए किया जाता है, राज्य समारोह के इसी परिवर्तन के साथ। परिवर्तित राज्य समारोह पर विकर्ण हैमिल्टनियन के साथ गणना की गई ऑपरेटर आइगेनवेल्यूज़ इस प्रकार पहले की तरह ही हैं।
+बोगोलीबॉव परिवर्तन का उपयोग अधिकांशतः हैमिल्टनियनों को विकर्ण करने के लिए किया जाता है । स्तर कार्य के इसी परिवर्तन के साथ परिवर्तित स्तर कार्य पर विकर्ण हैमिल्टनियन के साथ गणना की गई संचालक आइगेनवेल्यूज़ इस प्रकार पहले की तरह ही हैं।
 == एकल [[बोसोनिक]] मोड उदाहरण ==
-[[हार्मोनिक आधार]] पर बोसोनिक निर्माण और सर्वनाश ऑपरेटरों के लिए विहित [[कम्यूटेटर]] पर विचार करें
+[[हार्मोनिक आधार]] पर बोसोनिक निर्माण और एनिहिलेशन संचालकों के लिए विहित [[कम्यूटेटर]] पर विचार करें ।
 :<math>\left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ] = 1.</math>
-ऑपरेटरों की एक नई जोड़ी को परिभाषित करें
+संचालकों की नई जोड़ी को परिभाषित करें
 :<math>\hat{b} = u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger,</math>
 :<math>\hat{b}^\dagger = u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a},</math>
 सम्मिश्र संख्या u और v के लिए, जहाँ बाद वाला पहले का [[हर्मिटियन संयुग्म]] है।
-Bogoliubov परिवर्तन ऑपरेटरों को मैप करने वाला विहित परिवर्तन है <math>\hat{a}</math> और <math>\hat{a}^\dagger</math> को <math>\hat{b}</math> और <math>\hat{b}^\dagger</math>. स्थिरांक u और v पर स्थितियों को खोजने के लिए जैसे परिवर्तन विहित है, कम्यूटेटर का मूल्यांकन किया जाता है, अर्थात्,
+बोगोलीबॉव परिवर्तन संचालकों <math>\hat{a}</math> और <math>\hat{a}^\dagger</math> को <math>\hat{b}</math> और <math>\hat{b}^\dagger</math> को मैप करने वाला विहित परिवर्तन है । स्थिरांक u और v पर स्थितियों को खोजने के लिए जैसे परिवर्तन विहित है, कम्यूटेटर का मूल्यांकन किया जाता है, अर्थात्,
 :<math>\left [ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right ]
       = \left [ u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger , u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a} \right ]
       = \cdots = \left ( |u|^2 - |v|^2 \right ) \left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ]. </math>
-तभी जाहिर होता है <math>|u|^2 - |v|^2 = 1</math> वह स्थिति है जिसके लिए परिवर्तन विहित है।
+तब यह स्पष्ट होता है कि <math>|u|^2 - |v|^2 = 1</math> वह स्थिति है जिसके लिए परिवर्तन विहित है।
-चूंकि इस स्थिति का रूप अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य का सूचक है
+चूंकि इस स्थिति का रूप अतिपरवलय कार्य का सूचक है ।
 :<math>\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1,</math>
-स्थिरांक {{mvar|u}} और {{mvar|v}} के रूप में आसानी से parametrized किया जा सकता है
+स्थिरांक {{mvar|u}} और {{mvar|v}} के रूप में सरलता से पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है ।
 :<math>u = e^{i \theta_1} \cosh r,</math>
 :<math>v = e^{i \theta_2} \sinh r.</math>
-इसकी व्याख्या [[चरण स्थान]] के एक [[सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर स्थान]] के रूप में की जाती है। सिम्प्लेक्टिक मैट्रिक्स से तुलना करके#विकर्णीकरण और अपघटन|बलोच-मसीहा अपघटन, दो कोण <math>\theta_1</math> और <math>\theta_2</math> ऑर्थोगोनल सिम्प्लेक्टिक ट्रांसफ़ॉर्मेशन (यानी, घुमाव) और [[निचोड़ ऑपरेटर]] के अनुरूप <math>r</math> विकर्ण परिवर्तन से मेल खाता है।
+इसकी व्याख्या [[चरण स्थान]] के [[सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर स्थान|सहानुभूतिपूर्ण सदिश स्थान]] के रूप में की जाती है। सिम्प्लेक्टिक आव्युह से तुलना करके विकर्णीकरण और अपघटन बलोच-मसीह अपघटन, दो कोण <math>\theta_1</math> और <math>\theta_2</math> ऑर्थोगोनल सिम्प्लेक्टिक ट्रांसफ़ॉर्मेशन (अर्थात, घुमाव) और [[निचोड़ ऑपरेटर|निचोड़ संचालक]] के अनुरूप <math>r</math> विकर्ण परिवर्तन से मेल खाता है।
 === अनुप्रयोग ===
-अतिप्रवाहता के संदर्भ में सबसे प्रमुख आवेदन स्वयं [[निकोलाई बोगोलीबॉव]] द्वारा किया गया है।<ref>N. N. Bogoliubov: ''On the theory of superfluidity'', J. Phys. (USSR), 11, p. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, p. 77 (1947)).</ref><ref>{{cite web |last1=Bogolubov [sic] |first1=N. |title=सुपरफ्लूडिटी के सिद्धांत पर|url=http://ufn.ru/pdf/jphysussr/1947/11_1/3jphysussr19471101.pdf |website=Advances of Physical Sciences |publisher=Lebedev Physical Institute |access-date=27 April 2017}}</ref> अन्य अनुप्रयोगों में हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) और [[प्रतिलौह चुंबकत्व]] के सिद्धांत में उत्तेजना शामिल हैं।<ref name="Kittel">See e.g. the textbook by [[Charles Kittel]]: ''Quantum theory of solids'', New York, Wiley 1987.</ref> घुमावदार स्थान-समय में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की गणना करते समय निर्वात की परिभाषा बदल जाती है, और इन विभिन्न वैकुआओं के बीच एक बोगोलीबॉव परिवर्तन संभव है। इसका उपयोग हॉकिंग विकिरण की व्युत्पत्ति में किया जाता है। क्वांटम ऑप्टिक्स में बोगोलीबॉव ट्रांसफॉर्म का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, खासकर जब गॉसियन यूनिटरीज (जैसे बीम्सप्लिटर, चरण शिफ्टर्स और निचोड़ने के संचालन) के साथ काम करते हैं।
+अतिप्रवाहता के संदर्भ में सबसे प्रमुख आवेदन स्वयं [[निकोलाई बोगोलीबॉव]] द्वारा किया गया है।<ref>N. N. Bogoliubov: ''On the theory of superfluidity'', J. Phys. (USSR), 11, p. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, p. 77 (1947)).</ref><ref>{{cite web |last1=Bogolubov [sic] |first1=N. |title=सुपरफ्लूडिटी के सिद्धांत पर|url=http://ufn.ru/pdf/jphysussr/1947/11_1/3jphysussr19471101.pdf |website=Advances of Physical Sciences |publisher=Lebedev Physical Institute |access-date=27 April 2017}}</ref> अन्य अनुप्रयोगों में हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) और [[प्रतिलौह चुंबकत्व]] के सिद्धांत में उत्तेजना सम्मिलित हैं।<ref name="Kittel">See e.g. the textbook by [[Charles Kittel]]: ''Quantum theory of solids'', New York, Wiley 1987.</ref> घुमावदार स्थान-समय में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की गणना करते समय निर्वात की परिभाषा बदल जाती है, और इन विभिन्न वैकुआओं के बीच बोगोलीबॉव परिवर्तन संभव है। इसका उपयोग हॉकिंग विकिरण की व्युत्पत्ति में किया जाता है। क्वांटम प्रकाशिकी में बोगोलीबॉव ट्रांसफॉर्म का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ।अधिकांशतः जब गॉसियन यूनिटरीज (जैसे बीम्सप्लिटर, चरण शिफ्टर्स और निचोड़ने के संचालन) के साथ काम करते हैं।
 == फर्मीओनिक मोड ==
@@ Line 34: / Line 33: @@
 कम्यूटेटर संबंधों के लिए
 :<math>\left\{ \hat{a}, \hat{a}\right\} = 0, \left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\} = 1,</math>
-बोगोलीबॉव परिवर्तन द्वारा विवश है <math>uv=0, |u|^2+|v|^2=1</math>. इसलिए, केवल गैर-तुच्छ संभावना है <math>u=0, |v|=1,</math> पार्टिकल-एंटीपार्टिकल इंटरचेंज (या मल्टी-बॉडी सिस्टम में पार्टिकल-होल इंटरचेंज) के अनुरूप एक फेज शिफ्ट के संभावित समावेश के साथ। इस प्रकार, एक कण के लिए, रूपांतरण केवल (1) एक [[डिराक फर्मियन]] के लिए लागू किया जा सकता है, जहां कण और एंटीपार्टिकल अलग-अलग होते हैं ([[मेजराना फर्मियन]] या [[दाहिनी ओर]] के विपरीत), या (2) मल्टी-फ़र्मियोनिक सिस्टम के लिए, जिसमें एक से अधिक प्रकार के फर्मियन होते हैं।
+बोगोलीबॉव रूपांतरण <math>uv=0, |u|^2+|v|^2=1</math> द्वारा बाधित है। इसलिए कण-प्रतिकण इंटरचेंज (या कई-बॉडी प्रणाली में कण-होल इंटरचेंज) के अनुरूप केवल महत्वहीन संभावना <math>u=0, |v|=1,</math> है, जिसमें फेज शिफ्ट संभव है। इस प्रकार एक कण के लिए परिवर्तन केवल (1) एक [[डिराक फर्मियन]] के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है । जहां कण और एंटीकण अलग-अलग होते हैं ([[मेजराना फर्मियन]] या [[दाहिनी ओर]] के विपरीत), या (2) मल्टी-फर्मियोनिक प्रणाली के लिए जिसमें एक प्रकार का फर्मियन अधिक होता है।
 === अनुप्रयोग ===
-सबसे प्रमुख अनुप्रयोग फिर से स्वयं निकोलाई बोगोलीबोव द्वारा किया गया है, इस बार [[ अतिचालकता ]] के बीसीएस सिद्धांत के लिए।<ref name="Kittel" /><ref name="NMTS1">{{cite journal |last1=Boboliubov |first1=N. N. |title=अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई विधि। मैं|journal=Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP |date=1 Jan 1958 |volume=7 |issue=1 |pages=41–46 }}</ref><ref name="NMTS3">{{cite journal |last1=Bogoliubov |first1=N. N. |title=सुपरकंडक्टिविटी III के सिद्धांत में एक नई विधि|journal=Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP |date=July 1958 |volume=34 |issue=7 |pages=51–55 |url=http://www.jetp.ac.ru/files/Bogolubov_007_01_0051.pdf}}</ref><ref name="BTS">{{cite journal |last1=Bogolyubov |first1=N. N. |last2=Tolmachev |first2=V. V. |last3=Shirkov |first3=D. V. |title=अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई विधि|journal=Fortschritte der Physik |date=November 1958 |volume=6 |issue=11–12 |pages=605–682 |doi=10.1002/prop.19580061102|bibcode = 1958ForPh...6..605B }}</ref> वह बिंदु जहां एक बोगोलीबॉव परिवर्तन करने की आवश्यकता स्पष्ट हो जाती है, वह यह है कि माध्य-क्षेत्र सन्निकटन में सिस्टम के हैमिल्टनियन को दोनों मामलों में मूल निर्माण और विनाश संचालकों में बिलिनियर शब्दों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें परिमित शामिल है <math>\langle a_i^+a_j^+\rangle</math> शर्तों, यानी किसी को सामान्य हार्ट्री-फॉक पद्धति से परे जाना चाहिए। विशेष रूप से, मीन-फील्ड बोगोलीबॉव-डी गेनेस हैमिल्टनियन औपचारिकता में सुपरकंडक्टिंग जोड़ी शब्द जैसे कि <math>\Delta a_i^+a_j^+ + \text{h.c.}</math>, बोगोलीबॉव ने ऑपरेटरों को बदल दिया <math>b, b^\dagger</math> सर्वनाश करें और क्वासिपार्टिकल्स बनाएं (प्रत्येक अच्छी तरह से परिभाषित ऊर्जा, संवेग और स्पिन के साथ लेकिन इलेक्ट्रॉन और छेद अवस्था की एक क्वांटम सुपरपोजिशन में), और गुणांक हैं <math>u</math> और <math>v</math> Bogoliubov–de Gennes मैट्रिक्स के eigenvectors द्वारा दिया गया। [[परमाणु भौतिकी]] में भी, यह विधि लागू होती है, क्योंकि यह एक भारी तत्व में न्यूक्लियंस की युग्मन ऊर्जा का वर्णन कर सकती है।<ref>{{cite journal |last1=Strutinsky |first1=V. M. |title=परमाणु द्रव्यमान और विरूपण ऊर्जा में शैल प्रभाव|journal=Nuclear Physics A |date=April 1967 |volume=95 |issue=2 |pages=420–442 |doi=10.1016/0375-9474(67)90510-6 |bibcode = 1967NuPhA..95..420S }}</ref>
+सबसे प्रमुख अनुप्रयोग फिर से स्वयं निकोलाई बोगोलीबोव द्वारा किया गया है, इस बार [[ अतिचालकता |अतिचालकता]] के बीसीएस सिद्धांत के लिए।<ref name="Kittel" /><ref name="NMTS1">{{cite journal |last1=Boboliubov |first1=N. N. |title=अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई विधि। मैं|journal=Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP |date=1 Jan 1958 |volume=7 |issue=1 |pages=41–46 }}</ref><ref name="NMTS3">{{cite journal |last1=Bogoliubov |first1=N. N. |title=सुपरकंडक्टिविटी III के सिद्धांत में एक नई विधि|journal=Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP |date=July 1958 |volume=34 |issue=7 |pages=51–55 |url=http://www.jetp.ac.ru/files/Bogolubov_007_01_0051.pdf}}</ref><ref name="BTS">{{cite journal |last1=Bogolyubov |first1=N. N. |last2=Tolmachev |first2=V. V. |last3=Shirkov |first3=D. V. |title=अतिचालकता के सिद्धांत में एक नई विधि|journal=Fortschritte der Physik |date=November 1958 |volume=6 |issue=11–12 |pages=605–682 |doi=10.1002/prop.19580061102|bibcode = 1958ForPh...6..605B }}</ref> वह बिंदु जहां बोगोलीबॉव परिवर्तन करने की आवश्यकता स्पष्ट हो जाती है,। वह यह है कि माध्य-क्षेत्र सन्निकटन में प्रणाली के हैमिल्टनियन को दोनों स्थितियों में मूल निर्माण और विनाश संचालकों में बिलिनियर शब्दों के योग के रूप में लिखा जा सकता है । जिसमें परिमित <math>\langle a_i^+a_j^+\rangle</math> सम्मिलित है । अर्थात किसी को सामान्य हार्ट्री-फॉक पद्धति से जाना चाहिए। विशेष रूप से, मीन-फील्ड बोगोलीबॉव-डी गेनेस हैमिल्टनियन औपचारिकता में सुपरकंडक्टिंग जोड़ी शब्द जैसे कि <math>\Delta a_i^+a_j^+ + \text{h.c.}</math>, बोगोलीबॉव ने संचालकों <math>b, b^\dagger</math> को बदल दिया था । और क्वासिकण्स बनाएं (प्रत्येक अच्छी तरह से परिभाषित ऊर्जा, संवेग और स्पिन के साथ किंतु इलेक्ट्रॉन और छेद स्थिति की क्वांटम सुपरपोजिशन में), और गुणांक हैं । <math>u</math> और <math>v</math> बोगोलीबॉव–डी गेनेस आव्युह के आइगेंसदिश द्वारा दिया गया था। [[परमाणु भौतिकी]] में भी, यह विधि प्रयुक्त होती है, क्योंकि यह भारी तत्व में न्यूक्लियंस की युग्मन ऊर्जा का वर्णन कर सकती है।<ref>{{cite journal |last1=Strutinsky |first1=V. M. |title=परमाणु द्रव्यमान और विरूपण ऊर्जा में शैल प्रभाव|journal=Nuclear Physics A |date=April 1967 |volume=95 |issue=2 |pages=420–442 |doi=10.1016/0375-9474(67)90510-6 |bibcode = 1967NuPhA..95..420S }}</ref>
 == मल्टीमोड उदाहरण ==
-विचाराधीन [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] इन ऑपरेटरों से सुसज्जित है, और इसके बाद एक उच्च-आयामी [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] (आमतौर पर एक अनंत-आयामी एक) का वर्णन करता है।
+विचाराधीन [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] इन संचालकों से सुसज्जित है, और इसके बाद उच्च-आयामी [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] (सामान्यतः अनंत-आयामी ) का वर्णन करता है।
-संबंधित हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) की जमीनी स्थिति सभी विलोपन संचालकों द्वारा सत्यानाश कर दी जाती है:
+संबंधित हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) की निम्नतम स्थिति सभी विलोपन संचालकों द्वारा नष्ट कर दी जाती है ।
 :<math>\forall i \qquad a_i |0\rangle = 0.</math>
-सभी उत्तेजित अवस्थाएँ कुछ सृजन संचालकों द्वारा उत्साहित जमीनी अवस्था के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में प्राप्त की जाती हैं:
+सभी उत्तेजित स्थितिएँ कुछ सृजन संचालकों द्वारा उत्साहित निम्नतम स्थिति के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में प्राप्त की जाती हैं ।
 :<math>\prod_{k=1}^n a_{i_k}^\dagger |0\rangle.</math>
-कोई एक रेखीय पुनर्परिभाषा द्वारा सृजन और विनाश ऑपरेटरों को फिर से परिभाषित कर सकता है:
+कोई एक रेखीय पुनर्परिभाषा द्वारा सृजन और विनाश संचालकों को फिर से परिभाषित कर सकता है ।
 :<math>a'_i = \sum_j (u_{ij} a_j + v_{ij} a^\dagger_j),</math>
-जहां गुणांक <math>u_{ij},v_{ij}</math> विनाश ऑपरेटरों और निर्माण ऑपरेटरों की गारंटी देने के लिए कुछ नियमों को पूरा करना चाहिए <math>a^{\prime\dagger}_i</math>, हर्मिटियन संयुग्म समीकरण द्वारा परिभाषित, समान कम्यूटेटर हैं
+जहां गुणांक <math>u_{ij},v_{ij}</math> विनाश संचालकों और निर्माण संचालकों की गारंटी देने के लिए कुछ नियमों <math>a^{\prime\dagger}_i</math> को पूरा करना चाहिए । हर्मिटियन संयुग्म समीकरण द्वारा परिभाषित, बोसोन के लिए और एंटीकोमुटेटर फर्मिऑन के लिए समान कम्यूटेटर हैं ।
-बोसोन के लिए और एंटीकोमुटेटर फर्मिऑन के लिए।
-उपरोक्त समीकरण ऑपरेटरों के बोगोलीबॉव परिवर्तन को परिभाषित करता है।
-जमीनी राज्य ने सभी का सफाया कर दिया <math>a'_i</math> मूल जमीनी स्थिति से भिन्न है <math>|0\rangle</math>, और उन्हें ऑपरेटर-राज्य पत्राचार का उपयोग करके एक दूसरे के बोगोलीबॉव परिवर्तनों के रूप में देखा जा सकता है। उन्हें [[निचोड़ा हुआ सुसंगत राज्य]]ों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। BCS वेव फंक्शन, फ़र्मियन्स की निचोड़ी हुई सुसंगत अवस्था का एक उदाहरण है।<ref>{{cite journal | last=Svozil | first=K. |author-link=Karl Svozil| title=निचोड़ा हुआ फर्मियन राज्य| journal=Physical Review Letters | publisher=American Physical Society (APS) | volume=65 | issue=26 | date=1990-12-24 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.65.3341 | pages=3341–3343| pmid=10042844 | bibcode=1990PhRvL..65.3341S }}</ref>
+उपरोक्त समीकरण संचालकों के बोगोलीबॉव परिवर्तन को परिभाषित करता है।
-== एकीकृत मैट्रिक्स विवरण ==
+सभी <math>a'_i</math> दवारा नष्ट कि गई मूल निम्नतम स्थिति <math>|0\rangle</math> से भिन्न है , और उन्हें संचालक-स्तर पत्राचार का उपयोग करके एक दूसरे के बोगोलीबॉव परिवर्तनों के रूप में देखा जा सकता है। उन्हें [[निचोड़ा हुआ सुसंगत राज्य|स्कुइज़ सुसंगत स्तर]] के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। बीसीएस तरंग फलन, फ़र्मियन्स की [[निचोड़ा हुआ सुसंगत राज्य|स्कुइज़]] सुसंगत स्थिति का उदाहरण है।<ref>{{cite journal | last=Svozil | first=K. |author-link=Karl Svozil| title=निचोड़ा हुआ फर्मियन राज्य| journal=Physical Review Letters | publisher=American Physical Society (APS) | volume=65 | issue=26 | date=1990-12-24 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.65.3341 | pages=3341–3343| pmid=10042844 | bibcode=1990PhRvL..65.3341S }}</ref>
-क्योंकि बोगोलीबॉव परिवर्तन ऑपरेटरों के रैखिक पुनर्संयोजन हैं, उन्हें मैट्रिक्स परिवर्तनों के संदर्भ में लिखना अधिक सुविधाजनक और व्यावहारिक है। अगर सर्वनाश करने वालों की जोड़ी <math>(a , b)</math> के रूप में रूपांतरित करें
+== एकीकृत आव्युह विवरण ==
+क्योंकि बोगोलीबॉव परिवर्तन संचालकों के रैखिक पुनर्संयोजन हैं, उन्हें आव्युह परिवर्तनों के संदर्भ में लिखना अधिक सुविधाजनक और व्यावहारिक है। यदि नष्ट करने वालों की जोड़ी <math>(a , b)</math> के रूप में रूपांतरित करें ।
 :<math>
 \begin{pmatrix}
@@ Line 74: / Line 68: @@
 \end{pmatrix}
 </math>
-कहाँ <math>U</math>एक है <math>2\times2</math> आव्यूह। फिर स्वाभाविक रूप से
+जहाँ <math>U</math> <math>2\times2</math> आव्यूह है। फिर स्वाभाविक रूप से
 :<math>
 \begin{pmatrix}
@@ Line 87: / Line 81: @@
 \end{pmatrix}
 </math>
-फर्मियन ऑपरेटरों के लिए, रूपांतरण संबंधों की आवश्यकता मैट्रिक्स के रूप में दो आवश्यकताओं में परिलक्षित होती है <math>U</math>
+फर्मियन संचालकों के लिए, रूपांतरण संबंधों की आवश्यकता आव्युह के रूप में दो आवश्यकताओं <math>U</math> में परिलक्षित होती है ।
 :<math>
 U=
@@ Line 100: / Line 94: @@
 |u|^2 + |v|^2 = 1
 </math>
-बोसोन ऑपरेटरों के लिए, रूपांतरण संबंधों की आवश्यकता होती है
+बोसोन संचालकों के लिए, रूपांतरण संबंधों की आवश्यकता होती है ।
 :<math>
 U=
@@ Line 113: / Line 107: @@
 |u|^2 - |v|^2 = 1
 </math>
-इन शर्तों को समान रूप से लिखा जा सकता है
+इन शर्तों को समान रूप से लिखा जा सकता है ।
 :<math>
 U \Gamma_\pm U^\dagger = \Gamma_\pm
 </math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>
 \Gamma_\pm =
@@ Line 125: / Line 119: @@
 \end{pmatrix}
 </math>
-कहाँ <math>\Gamma_\pm</math> क्रमशः फर्मियंस और बोसोन पर लागू होता है।
+जहाँ <math>\Gamma_\pm</math> क्रमशः फर्मियंस और बोसोन पर प्रयुक्त होता है।
-=== मैट्रिक्स विवरण === का उपयोग करके द्विघात हैमिल्टनियन का विकर्ण बनाना
+आव्युह विवरण का उपयोग करके द्विघात हैमिल्टनियन का विकर्ण बनाता है । बोगोलीबॉव परिवर्तन हमें द्विघात हैमिल्टनियन को विकर्ण करने देता है ।
-बोगोलीबॉव परिवर्तन हमें द्विघात हैमिल्टनियन को विकर्ण करने देता है
 :<math>
 \hat{H} =
@@ Line 139: / Line 132: @@
 \end{pmatrix}
 </math>
-केवल मैट्रिक्स को विकर्ण करके <math>\Gamma_\pm H</math>.
+केवल आव्युह को विकर्ण करके <math>\Gamma_\pm H</math>. उपर्युक्त नोटेशन में, संचालक <math>\hat{H}</math> और संख्यात्मक आव्युह <math>H</math> को अलग करना महत्वपूर्ण है । इस तथ्य को <math>\hat{H}</math> पुनर्लेखन द्वारा देखा जा सकता है। जैसे
-उपर्युक्त नोटेशन में, ऑपरेटर को अलग करना महत्वपूर्ण है <math>\hat{H}</math> और संख्यात्मक मैट्रिक्स <math>H</math>.
-इस तथ्य को पुनर्लेखन द्वारा देखा जा सकता है <math>\hat{H}</math> जैसा
 :<math>
 \hat{H} =
@@ Line 152: / Line 143: @@
 \end{pmatrix}
 </math>
-और <math>\Gamma_\pm U (\Gamma_\pm H) U^{-1}=D</math> अगर और केवल अगर <math>U</math> विकर्ण करता है <math>\Gamma_\pm H</math>, अर्थात। <math>U (\Gamma_\pm H) U^{-1} = \Gamma_\pm D</math>.
+और <math>\Gamma_\pm U (\Gamma_\pm H) U^{-1}=D</math> यदि और केवल यदि <math>U</math> विकर्ण करता है <math>\Gamma_\pm H</math>, अर्थात <math>U (\Gamma_\pm H) U^{-1} = \Gamma_\pm D</math>. है ।
 बोगोलीबॉव रूपांतरणों के उपयोगी गुण नीचे सूचीबद्ध हैं।
@@ Line 158: / Line 149: @@
 {| class="wikitable"
 |-
-!         !! Boson !! Fermion
+!         !! बोसॉन !! फर्मियन
 |-
-| Transformation matrix || <math>U=\begin{pmatrix}u & v\\v^* & u^*\end{pmatrix}</math> || <math>U=\begin{pmatrix}u & v\\-v^* & u^*\end{pmatrix}</math>
+| परिवर्तन आव्यूह || <math>U=\begin{pmatrix}u & v\\v^* & u^*\end{pmatrix}</math> || <math>U=\begin{pmatrix}u & v\\-v^* & u^*\end{pmatrix}</math>
 |-
-| Inverse transformation matrix || <math>U^{-1} = \begin{pmatrix}u^* & -v\\-v^* & u\end{pmatrix}</math> || <math>U^{-1}=\begin{pmatrix}u^* & -v\\v^* & u\end{pmatrix}</math>
+| उलटा परिवर्तन आव्यूह || <math>U^{-1} = \begin{pmatrix}u^* & -v\\-v^* & u\end{pmatrix}</math> || <math>U^{-1}=\begin{pmatrix}u^* & -v\\v^* & u\end{pmatrix}</math>
 |-
-| Gamma || <math>\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}</math> ||  <math>\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}</math>
+| गामा || <math>\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}</math> ||  <math>\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}</math>
 |-
-| Diagonalization || <math>U(\Gamma H) U^{-1} = \Gamma D </math> || <math>U H U^{-1} = D </math>
+| विकर्णन || <math>U(\Gamma H) U^{-1} = \Gamma D </math> || <math>U H U^{-1} = D </math>
 |}
 == यह भी देखें ==
@@ Line 187: / Line 177: @@
 * {{cite book |first=M. |last=Wagner |title=Unitary Transformations in Solid State Physics |publisher=Elsevier Science |year=1986 |isbn=0-444-86975-1 }}
-{{DEFAULTSORT:Bogoliubov Transformation}}[[Category: क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]
+{{DEFAULTSORT:Bogoliubov Transformation}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Created On 25/04/2023|Bogoliubov Transformation]]
-[[Category:Created On 25/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates|Bogoliubov Transformation]]
+[[Category:Machine Translated Page|Bogoliubov Transformation]]
+[[Category:Pages with script errors|Bogoliubov Transformation]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Bogoliubov Transformation]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Bogoliubov Transformation]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Bogoliubov Transformation]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Bogoliubov Transformation]]
+[[Category:क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|Bogoliubov Transformation]]

Anonymous

Search

बोगोलीबॉव परिवर्तन: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Latest revision as of 09:27, 12 June 2023

Contents

एकल बोसोनिक मोड उदाहरण

अनुप्रयोग

फर्मीओनिक मोड

अनुप्रयोग

मल्टीमोड उदाहरण

एकीकृत आव्युह विवरण

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

बोगोलीबॉव परिवर्तन: Difference between revisions

Latest revision as of 09:27, 12 June 2023

एकल बोसोनिक मोड उदाहरण

अनुप्रयोग

फर्मीओनिक मोड

अनुप्रयोग

मल्टीमोड उदाहरण

एकीकृत आव्युह विवरण

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories