मूनशाइन सिद्धांत

गणित में, मॉन्स्टरस मूनशाइन, या मूनशाइन सिद्धांत, मॉन्स्टरस समूह M और मॉड्यूलर फलन के मध्य अप्रत्याशित संबंध है, विशेष रूप से, j-फलन यह शब्द 1979 में जॉन हॉर्टन कॉनवे और साइमन पी नॉर्टन द्वारा बनाया गया था।

मॉन्स्टरस मूनशाइन को अब 1988 में इगोर फ्रेनकेल, जेम्स लेपोव्स्की और अर्ने म्योरमैन द्वारा निर्मित मूनशाइन मॉड्यूल (या मॉन्स्टरस शीर्ष बीजगणित) नामक शीर्ष संकारक बीजगणित द्वारा रेखांकित किया जाता है, जिसमें मॉन्स्टर समूह समरूपता के रूप में है। इस शीर्ष संकारक बीजगणित को सामान्यतः दो आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के अनुसार संरचना के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिससे भौतिकी को दो गणितीय क्षेत्रों के मध्य ब्रिज बनाने की अनुमति मिलती है। कॉनवे और नॉर्टन द्वारा किए गए अनुमानों को 1992 में रिचर्ड बोरचर्ड्स द्वारा मूनशाइन मॉड्यूल के लिए स्ट्रिंग सिद्धांत से नो-घोस्ट प्रमेय और शीर्ष संकारक बीजगणित के सिद्धांत और सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित का उपयोग करके सिद्ध किया गया था।

इतिहास

1978 में, जॉन मैकके ने पाया कि सामान्यीकृत J-संस्करण के फूरियर विस्तार में प्रथम कुछ शब्द (sequence A014708 in the OEIS) है:

$$J(\tau )={\frac {1}{q}}+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots$$

${q}=e^{2\pi i\tau }$ और τ के साथ अर्ध-अवधि अनुपात को मॉन्स्टरस समूह M के अलघुकरणीय अभ्यावेदन $r_{n}$ के आयामों के रैखिक संयोजनों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। (sequence A001379 in the OEIS) मान लीजिये $r_{n}$ = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... तो,

$${\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}$$

जहां एलएचएस $j(\tau )$ के गुणांक हैं जबकि आरएचएस मॉन्स्टर समूह M के आयाम $r_{n}$ हैं। (चूंकि $r_{n}$ के मध्य कई रैखिक संबंध हो सकते हैं जैसे कि $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$, जिसका प्रतिनिधित्व एक से अधिक विधियों से हो सकता है।) मैके ने इसे साक्ष्य के रूप में देखा कि M का स्वाभाविक रूप से होने वाला अनंत-आयामी ग्रेडेड सदिश समष्टि है, जिसका ग्रेडेड आयाम J के गुणांकों द्वारा दिया गया है, और जिनके कम भार के खंड पर अप्रासंगिक अभ्यावेदन में विघटित होते हैं। इस अवलोकन के संबंध में जॉन जी थॉम्पसन को सूचित करने के पश्चात, थॉम्पसन ने अध्ययन किया कि वर्गीकृत श्रेणीबद्ध आयाम केवल पहचान तत्व का श्रेणीबद्ध संकेत है, इस प्रकार के प्रतिनिधित्व पर M के गैर-तुच्छ तत्व g के वर्गीकृत संकेत भी लोकप्रिय हो सकते हैं।

कॉनवे और नॉर्टन ने इस प्रकार के वर्गीकृत अंशों के निचले-क्रम के नियमों की गणना की, जिसे अब मैके-थॉम्पसन श्रृंखला T_g के रूप में जाना जाता है, और पाया कि वे सभी मुख्य मॉड्यूल के विस्तार प्रतीत होते हैं। दूसरे शब्दों में, G_g SL₂(R)|SL का उपसमूह है जो 'T_g' को योग्य बनाता है, तो G_g द्वारा जटिल समतल के ऊपरी अर्ध समतल का भागफल समूह विस्थापित किये गए बिंदुओं की सीमित संख्या वाला वृत है, और इसके अतिरिक्त, T_g इस क्षेत्र पर मेरोमॉर्फिक फलन का क्षेत्र (गणित) उत्पन्न करता है।

उनकी संगणनाओं के आधार पर, कॉनवे और नॉर्टन ने हॉन्टमॉडुलन की सारिणी प्रस्तुत की, और M के अनंत आयामी वर्गीकृत प्रतिनिधित्व के अस्तित्व का अनुमान लगाया, जिसके वर्गीकृत संकेत T_g उनकी सारिणी में प्रस्तुत त्रुटिहीन कार्यों के फूरियर विस्तार हैं।

1980 में, ए. ओलिवर एल. एटकिन, पॉल फोंग और स्टीफन डी. स्मिथ ने स्थिर कम्प्यूटेशनल प्रमाण प्रस्तुत किए कि इस प्रकार का वर्गीकृत प्रतिनिधित्व उपस्थित है, M के प्रतिनिधित्व में बड़ी संख्या में J के गुणांकों को विघटित करके वर्गीकृत प्रतिनिधित्व जिसका ग्रेडेड आयाम J है, जिसे मूनशाइन मॉड्यूल कहा जाता है, स्पष्ट रूप से इगोर फ्रेंकेल, जेम्स लेपोव्स्की और अर्ने मेउरमैन द्वारा निर्मित किया गया था, जो मैकके-थॉम्पसन अनुमान का प्रभावी समाधान दे रहा था, और उन्होंने M के समावेशन के केंद्रक में सभी तत्वों के लिए श्रेणीबद्ध संकेत भी निर्धारित किए। आंशिक रूप से कॉनवे-नॉर्टन अनुमान का समाधान किया। इसके अतिरिक्त, उन्होंने दिखाया कि उन्होंने जिस सदिश समष्टि का निर्माण किया, उसे मूनशाइन मॉड्यूल $V^{\natural }$ कहा जाता है, शीर्ष संकारक बीजगणित की अतिरिक्त संरचना है, जिसका ऑटोमोर्फिज़्म समूह का योग्य M है।

1985 में, जॉन हॉर्टन कॉनवे सहित गणितज्ञों के समूह द्वारा परिमित समूहों के एटलस को प्रकाशित किया गया था। एटलस, जो सभी स्पोराडिक समूह की गणना करता है, और मॉन्स्टर समूह के उल्लेखनीय गुणों की सारिणी में खंड के रूप में मूनशाइन को सम्मिलित किया। बोरचर्ड्स ने 1992 में मूनशाइन मॉड्यूल के लिए कॉनवे-नॉर्टन अनुमान को सिद्ध किया। उन्होंने अनुमान के समाधान के लिए 1998 में फील्ड मेडल भी प्राप्त किया था।

मूनशाइन मॉड्यूल

फ्रेंकेल-लेपोव्स्की-मेरमैन निर्माण दो मुख्य उपकरणों से प्रारंभ होता है:

1. श्रेणी n की जाली L के लिए जाली शीर्ष संकारक बीजगणित V_L का निर्माण है। भौतिक दृष्टि से, यह टोरस Rⁿ/L पर संघनित (भौतिकी) बोसोनिक स्ट्रिंग के लिए चिराल बीजगणित है। इसे सामान्यतः n आयामों में दोलक प्रतिनिधित्व के साथ L के समूह वलय के टेंसर गुणनफल के रूप में वर्णित किया जा सकता है (जो अनगिनत रूप से कई जनरेटर आव्यूह में बहुपद वलय के लिए समरूपीय है)। विचाराधीन स्तिथि के लिए, L को जोंक जाली के रूप में समुच्चय किया गया है, जिसकी श्रेणी 24 है।
2. ऑर्बिफोल्ड निर्माण- भौतिक शब्दों में, यह ऑर्बिफोल्ड पर प्रसारित बोसोनिक स्ट्रिंग का वर्णन करता है। फ्रेंकेल-लेपोव्स्की-मेरमैन का निर्माण सर्वप्रथम ऑर्बिफोल्ड अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में प्रकट हुआ था। लीच जाली के 1 इनवोल्यूशन से जुड़ा हुआ है, V_L का इनवोल्यूशन h है, और इरेड्यूसिबल-ट्विस्टेड V_L-मॉड्यूल है, जो इनवोल्यूशन लिफ्टिंग h को विरासत में मिला है। मूनशाइन मॉड्यूल प्राप्त करने के लिए, V_L और उसके ट्विस्टेड मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग में h का निश्चित बिंदु (गणित) उपसमष्टि लेता है।

फ्रेंकेल, लेपोव्स्की और मेरमैन ने तब दिखाया कि शीर्ष संकारक बीजगणित के रूप में मूनशाइन मॉड्यूल का ऑटोमोर्फिज़्म समूह, M है। इसके अतिरिक्त, उन्होंने उपसमूह 2¹⁺²⁴ में तत्वों के ग्रेडेड संकेत को निर्धारित किया। Co₁ कॉनवे और नॉर्टन द्वारा अनुमानित फलनों से युग्मित होता है (फ्रेंकेल, लेपोव्स्की & मेरमैन (1988))।

बोरचर्ड्स का प्रमाण

कॉनवे और नॉर्टन के अनुमान के रिचर्ड बोरचर्ड्स के प्रमाण को निम्नलिखित प्रमुख चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

1. शीर्ष संकारक बीजगणित V के साथ प्रारम्भ होता है, जिसमें ऑटोमोर्फिज्म द्वारा M की क्रिया के रूप में अपरिवर्तनीय द्विरैखिक रूप होता है, और सात निम्नतम डिग्री के सजातीय समष्टि के इर्रिडिएबल M-प्रतिनिधित्व में ज्ञात अपघटन होता है। यह फ्रेंकेल-लेपोव्स्की-मेरमैन के मूनशाइन मॉड्यूल के निर्माण और विश्लेषण द्वारा प्रदान किया गया था।
2. लाई बीजगणित ${\mathfrak {m}}$, जिसे मॉन्स्टर लाइ बीजगणित कहा जाता है, इसका निर्माण V से क्वांटिज़ेशन फ़ंक्टर का उपयोग करके किया गया है। यह सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित है। स्ट्रिंग सिद्धांत से गोडार्ड-थॉर्न नो-घोस्ट प्रमेय का उपयोग करते हुए, मूल गुणक J के गुणांक प्राप्त किये जाते हैं।
3. जनरेटर और संबंधों द्वारा सामान्यीकृत केएसी-मूडी लाइ बीजगणित बनाने के लिए कोइके-नॉर्टन-ज़गियर अपरिमित गुणनफल प्रमाण का उपयोग किया जाता है। इस तथ्य का उपयोग करके पहचान सिद्ध की जाती है कि हेज संकारकों ने J के बहुपदों को J में प्रयुक्त किया।
4. मूल गुणकों की तुलना करने पर, यह ज्ञात होता है कि दो लाइ बीजगणित समरूपी हैं, और विशेष रूप से, ${\mathfrak {m}}$ के लिए वेइल भाजक सूत्र निश्चित रूप से कोइके-नॉर्टन-ज़ैगियर प्रमाण है।
5. लाइ बीजगणित समरूपता और एडम्स संक्रियाओं का उपयोग करते हुए, प्रत्येक तत्व के लिए ट्विस्टेड भाजक प्रमाण दिया गया है। ये प्रमाण मैके-थॉम्पसन श्रृंखला T_g से उसी प्रकार संबंधित हैं, जिस प्रकार कोइके-नॉर्टन-ज़गियर की पहचान J से संबंधित है।
6. ट्विस्टेड भाजक प्रमाण T_g के गुणांकों पर पुनरावर्ती संबंधों को दर्शाता है, और कोइके के अप्रकाशित कार्य ने दिखाया कि कॉनवे और नॉर्टन के फलन इन पुनरावर्तन संबंधों को संतुष्ट करते हैं। ये संबंध इतने प्रबल हैं कि जिसमें केवल यह अन्वेषण करने की आवश्यकता है कि प्रथम सात शब्द कॉनवे और नॉर्टन द्वारा दिए गए फलनों से सहमत हैं। प्रथम चरण में दिए गए सात सबसे कम डिग्री सजातीय समष्टि के अपघटन द्वारा निम्नतम शब्द दिए गए हैं।

इस प्रकार, प्रमाण पूर्ण हो गया है (बोरचर्ड्स (1992))। बोरचर्ड्स को पश्चात में यह कहते हुए उद्धृत किया गया था कि जब मैंने चन्द्रमा के अनुमान को सिद्ध किया तो मैं अत्यधिक प्रसन्न था, और मुझे कभी-कभी आश्चर्य होता है कि जब आप कुछ दवाएं लेते हैं तो क्या यही भावना आपको अनुभूत होती है। मैं वास्तव में नहीं जानता, क्योंकि मैंने अपने इस सिद्धांत का परीक्षण नहीं किया है। (रॉबर्ट्स 2009, p. 361)

नए कार्य ने प्रमाण के अंतिम चरणों को सरल और स्पष्ट किया है। ज्यूरिसिच (ज्यूरिसिच (1998), ज्यूरिसिच, लेपोव्स्की & विल्सन (1995)) ने अवलोकन किया कि मॉन्स्टर लाई बीजगणित के सामान्य त्रिकोणीय अपघटन को gl₂ और दो मुक्त लाई बीजगणित के योग में अपघटन के साथ प्रतिस्थापित करके होमोलॉजी गणना को कम किया जा सकता है। कमिंस और गैनन ने दर्शाया कि पुनरावर्तन संबंध स्वचालित रूप से मैके थॉम्पसन श्रृंखला को या तो हॉन्टमॉडुलन या अधिकतम 3 शब्दों के पश्चात समाप्त कर देते हैं, इस प्रकार अंतिम चरण में गणना की आवश्यकता को समाप्त कर देते हैं।

सामान्यीकृत मूनशाइन

कॉनवे और नॉर्टन ने अपने 1979 के समाचार पत्र में प्रस्ताव दिया कि संभवतः चन्द्रमा केवल मॉन्स्टरस तक ही सीमित नहीं है, किन्तु अन्य समूहों के लिए भी इसी प्रकार की घटनाएं प्राप्त की जा सकती हैं। जबकि कॉनवे और नॉर्टन के आशय अधिक विशिष्ट नहीं थे, 1980 में लारिसा क्वीन द्वारा की गई संगणनाओं ने दृढ़ता से प्रस्ताव दिया कि विकीर्ण समूहों के इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व के आयामों के सरल संयोजन से कई हॉन्टमॉडुलन के विस्तार का निर्माण किया जा सकता है। विशेष रूप से, उसने निम्नलिखित स्तिथियों में मैकके-थॉम्पसन श्रृंखला के गुणांकों को मॉन्स्टरस के उप-भागों के प्रतिनिधित्व में विघटित कर दिया:

• T_2B और T_4A कॉनवे समूह Co₀ के अभ्यावेदन में
• T_3B और T_6B सुजुकी समूह (गणित) 3.2.सुज के अभ्यावेदन में
• T_3C थॉम्पसन समूह (गणित) Th = F₃ के अभ्यावेदन में
• T_5A हरदा-नॉर्टन समूह HN = F₅ के प्रतिनिधित्व में
• T_5B और T_10D हॉल-जान्को समूह 2.HJ के अभ्यावेदन में
• आयोजित समूह He = F₇ के प्रतिनिधित्व में T_7A
• T_7B और T_14C 2.A₇ के अभ्यावेदन में
• मैथ्यू समूह 2.M₁₂ के अभ्यावेदन में T_11A

क्वीन ने पाया कि अप्रमाणित तत्वों के अंशों से हॉन्टमॉडुलन का q-विस्तार भी हुआ, जिनमें से कुछ मॉन्स्टर की मैके-थॉम्पसन श्रृंखला नहीं थे। 1987 में, नॉर्टन ने सामान्यीकृत मूनशाइन अनुमान प्रस्तुत करने के लिए रानी के परिणामों को अपनी संगणनाओं के साथ जोड़ा था। इस अनुमान का आशय है कि मॉन्स्टरस के प्रत्येक तत्व g को ग्रेडेड सदिश समष्टि V(g), और तत्वों की प्रत्येक जोड़ी (g, h) को ऊपरी अर्ध तल पर होलोमॉर्फिक फलन f(g, h, τ) प्रदान करता है। जैसे कि:

1. प्रत्येक V(g), M में g के केंद्रीकरण का वर्गीकृत प्रक्षेपीय प्रतिनिधित्व है।
2. प्रत्येक f(g, h, τ) या तो स्थिर फलन है या हॉन्टमॉडुल है।
3. प्रत्येक f(g, h, τ) अदिश अस्पष्टता तक, M में g और h के साथ संयुग्मन (समूह सिद्धांत) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।
4. प्रत्येक (g, h) के लिए, V(g) पर रैखिक परिवर्तन के लिए h की लिफ्ट होती है, जैसे कि f(g, h, τ) का विस्तार ग्रेडेड ट्रेस द्वारा दिया जाता है।
5. किसी भी ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )$ के लिए, $f\left(g,h,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)$, $f\left(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau \right)$ के समानुपाती है।
6. यदि g = h = 1 है, तो f(g, h, τ), J के समानुपाती है।

यह कॉनवे-नॉर्टन अनुमान का सामान्यीकरण है, क्योंकि बोरचर्ड्स प्रमेय उस स्तिथि से संबंधित है जहां g को प्रमाण पर समुच्चय किया गया है।

कॉनवे-नॉर्टन अनुमान की भाँति ही सामान्यीकृत मूनशाइन की भी भौतिकी में व्याख्या है, जिसे 1988 में डिक्सन-गिन्सपर्ग-हार्वे द्वारा प्रस्तावित किया गया था (डिक्सन, जिन्सपर्ग & हार्वे (1989))। उन्होंने सदिश समष्टि V(g) के मॉन्स्टरस समरूपता के अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के ट्विस्टेड क्षेत्रों के रूप में व्याख्या की, और फलनों f(g, h, τ) की जीनस (गणित) विभाजन फलन (गणित) के रूप में व्याख्या की, जहां ट्विस्टेड सीमा स्थितियों के साथ ग्लूइंग करके टोरस बनाता है। गणितीय भाषा में, ट्विस्टेड क्षेत्र अलघुकरणीय ट्विस्टेड मॉड्यूल हैं, और विभाजन फलनों को प्रमुख मॉन्स्टरस बंडलों के साथ अण्डाकार वक्रों को प्रदान किया गया है, जिनके समरूपता प्रकार को मोनोड्रोमी द्वारा होमोलॉजी (गणित) के समूह के उत्पन्न समुच्चय को 1-चक्र के आधार पर वर्णित किया गया है।

मॉड्यूलर मूनशाइन

1990 दशक के प्रारंभ में, समूह सिद्धांतकार ए.जे.ई. रायबा ने मॉन्स्टरस की चरित्र तालिका के कुछ भागों और उपसमूहों के मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के मध्य उल्लेखनीय समानताओं का आविष्कार किया। विशेष रूप से, मॉन्स्टर में अभाज्य क्रम p के तत्व g के लिए, क्रम kp के तत्व के कई अप्रासंगिक वर्ण जिनकी kth शक्ति g है, g के केंद्रक में क्रम के तत्व के लिए ब्राउर वर्णों के सरल संयोजन हैं। यह मॉन्स्टरस चन्द्रमा के समान घटना के लिए संख्यात्मक प्रमाण था, किन्तु सकारात्मक विशेषता में प्रतिनिधित्व के लिए विशेष रूप से, रायबा ने 1994 में अनुमान लगाया था कि मॉन्स्टरस के क्रम में प्रत्येक प्रमुख कारक p के लिए परिमित क्षेत्र 'F_p' पर वर्गीकृत शीर्ष बीजगणित उपस्थित है। क्रम p तत्व g के केंद्रक की क्रिया के साथ, जैसे कि किसी भी p-नियमित ऑटोमोर्फिज्म h का ग्रेडेड ब्राउर वर्णों gh के लिए मैके-थॉम्पसन श्रृंखला के समान है। (Ryba (1996)).

1996 में, बोरचर्ड्स और रियाबा ने अनुमान की पुनर्व्याख्या स्व-द्वैत अभिन्न रूप के टेट कोहोलॉजी के संबंध में $V^{\natural }$ के रूप में अध्ययन किया। यह अभिन्न रूप अस्तित्व में नहीं था, किन्तु उन्होंने z[1/2] पर स्व-द्वैत रूप का निर्माण किया, जिसने उन्हें विषम अभाज्य p के साथ कार्य करने की अनुमति दी। अभाज्य क्रम के तत्व के लिए टेट कोहोलॉजी में स्वाभाविक रूप से F_p पर शीर्ष बीजगणित की संरचना होती है, और उन्होंने मैकके-थॉम्पसन श्रृंखला के साथ ग्रेडेड ब्राउर सुपर-ट्रेस की समानता करने वाले सरल चरणों में समस्या को विभक्त कर दिया, और कठिन चरण दिखा रहा है कि टेट कोहोलॉजी विषम डिग्री में विलुप्त हो जाती है। उन्होंने जोंक जालक से लुप्त हो जाने वाले परिणाम को स्थानांतरित करके, छोटे विषम अभाज्यों के लिए लुप्त होने वाले व्याख्यान को सिद्ध कर दिया। 1998 में, बोरचर्ड्स ने दिखाया कि हॉज सिद्धांत के संयोजन और गोडार्ड-थॉर्न प्रमेय Borcherds & Ryba (1996)) के अभिन्न शोधन का उपयोग करते हुए, शेष विषम अभाज्य संख्याओं के लिए लुप्त हो जाता है। (Borcherds (1998), Borcherds (1999))

क्रम 2 की स्तिथि में 2-एडिक रिंग पर प्राकृतिक रूप से $V^{\natural }$ के अस्तित्व की आवश्यकता होती है, अर्थात, निर्माण जो 2 से विभाजित नहीं होता है, और यह उस समय उपस्थित नहीं था। कई अतिरिक्त अनुत्तरित प्रश्न बने हुए हैं, जैसे कि राइबा के अनुमान को समग्र क्रम तत्वों के टेट कोहोलॉजी और सामान्यीकृत चन्द्रमा और अन्य चन्द्रमा की घटनाओं के लिए किसी भी संबंध की प्रकृति को कैसे सामान्यीकृत करना चाहिए।

क्वांटम गुरूत्व के साथ अनुमानित संबंध

2007 में, एडवर्ड विटेन ने अध्ययन किया कि AdS/CFT पत्राचार (2 + 1)-आयामी एंटी-डी सिटर स्पेस और एक्सट्रीमल होलोमॉर्फिक सीएफटी में शुद्ध क्वांटम गुरूत्व के मध्य द्वंद्व उत्पन्न करता है। 2 + 1 आयामों में शुद्ध गुरुत्व में स्वतंत्रता की कोई स्थानीय डिग्री नहीं होती है, किन्तु जब ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक ऋणात्मक होता है, तो बीटीजेड ब्लैक होल समाधानों के अस्तित्व के कारण सिद्धांत में गैर-तुच्छ सामग्री होती है। जी हॉन द्वारा प्रस्तुत किए गए एक्स्ट्रीमल सीएफटी, ​​कम ऊर्जा में विरासोरो प्राथमिक क्षेत्रों की कमी से प्रतिष्ठित हैं, और मूनशाइन मॉड्यूल उदाहरण है।

विटन के प्रस्ताव के अनुसार (Witten (2007)), अधिकतम नकारात्मक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के साथ एडीएस अंतरिक्ष में गुरुत्वाकर्षण AdS/CFT केंद्रीय आवेश c = 24 के साथ होलोमोर्फिक सीएफटी के लिए द्वैत है, और सीएफटी का विभाजन कार्य त्रुटिहीनरूप से j-744 है, अर्थात, मूनशाइन मॉड्यूल का श्रेणीबद्ध वर्ण फ्रेंकेल-लेपोव्स्की-मेरमैन के अनुमान को मानते हुए कि मूनशाइन मॉड्यूल केंद्रीय आवेश 24 और वर्ण j-744 के साथ अद्वितीय होलोमोर्फिक VOA है, विटन ने निष्कर्ष निकाला कि अधिकतम नकारात्मक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के साथ शुद्ध गुरुत्वाकर्षण मॉन्स्टरस सीएफटी के लिए द्वैत है। विट्टन के प्रस्ताव का भाग यह है कि विरासोरो प्राथमिक क्षेत्र ब्लैक-होल बनाने वाले संकारकों के लिए द्वैत हैं, और स्थिरता के परीक्षण के रूप में, उन्होंने पाया कि बड़े द्रव्यमान की सीमा में, किसी दिए गए ब्लैक होल ऊष्मप्रवैगिकी के लिए बेकेंस्टीन-हॉकिंग सेमीक्लासिकल एंट्रॉपी अनुमान इससे सहमत है। मूनशाइन मॉड्यूल में संबंधित वीरासोरो प्राथमिक बहुलता का लघुगणक निम्न-द्रव्यमान शासन में, एंट्रॉपी में छोटा सा क्वांटम सुधार होता है, उदाहरण के लिए, निम्नतम ऊर्जा प्राथमिक क्षेत्र ln(196883) ~ 12.19 उपज देते हैं, जबकि बेकेनस्टीन-हॉकिंग अनुमान 4π ~ 12.57 देता है।

पश्चात के कार्य ने विट्टन के प्रस्ताव को परिष्कृत किया। विट्टन ने अनुमान लगाया था कि बड़े ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक वाले शीर्ष सीएफटी में न्यूनतम स्थिति के जैसे मॉन्स्टरस समरूपता हो सकती है, किन्तु गैओटो और हॉन के स्वतंत्र कार्य द्वारा इसे शीघ्रता से परिष्कृत कर दिया गया था। विटन और मैलोनी के कार्य ने परामर्श दिया (Maloney & Witten (2007)) कि शुद्ध क्वांटम गुरुत्वाकर्षण अपने विभाजन कार्य से संबंधित कुछ स्थिरता परीक्षण को पूर्ण नहीं कर सकता है, जब तक कि जटिल सैडल के कुछ सूक्ष्म गुण अनुकूल रूप से कार्य नहीं करते। चूँकि, ली-सॉन्ग-स्ट्रोमिंगर (Li, Song & Strominger (2008)) ने अध्ययन किया है कि 2007 में मैन्सकोट द्वारा प्रस्तावित चिराल क्वांटम गुरुत्व सिद्धांत में उत्तम स्थिरता गुण हो सकते हैं, जबकि मॉन्स्टर सीएफटी के चिराल भाग, अर्थात मॉन्स्टर शीर्ष बीजगणित के दोहरे होने के कारण डंकन-फ्रेनकेल (Duncan & Frenkel (2009)) ने मैके-थॉम्पसन श्रृंखला को (2 + 1)-आयामी गुरुत्व विभाजन कार्यों के रूप में वैश्विक टोरस-आइसोजेनी ज्यामिति पर नियमित योग द्वारा निर्मित करने के लिए रैडेमाकर मात्रा का उपयोग करके इस द्वैत के लिए अतिरिक्त साक्ष्य प्रस्तुत किए। इसके अतिरिक्त, उन्होंने मॉन्स्टरस के तत्वों द्वारा पैरामीट्रिज्ड ट्विस्टेड चिराल गुरुत्व सिद्धांतों के अस्तित्व का अनुमान लगाया, जो सामान्यीकृत चन्द्रमा और गुरुत्वाकर्षण तात्कालिक मात्रा के साथ संबंध का विचार देता है। वर्तमान में, ये सभी विचार अभी भी काल्पनिक हैं, आंशिक रूप से क्योंकि 3डी क्वांटम गुरुत्व में कठोर गणितीय आधार नहीं है।

मैथ्यू मूनशाइन

2010 में, तोहरू इगुची, हिरोसी ओगुरी, और युजी ताचिकावा ने देखा कि K3 सतह के अण्डाकार जीनस को N = (4,4) सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित, के वर्णों में विघटित किया जा सकता है जैसे कि सुपर विरासोरो बीजगणित की बहुलताएं मैथ्यू समूह M24 के इरेड्यूसिबल अभ्यावेदन के सरल संयोजन प्रतीत होते हैं। इससे ज्ञात होता है कि K3 लक्ष्य के साथ सिग्मा-मॉडल अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है जो M24 समरूपता का वहन करता है। चूँकि, मुकाई-कोंडो वर्गीकरण के अनुसार, इस समूह की K3 सतह पर सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म द्वारा कोई विश्वासयोग्य क्रिया नहीं है, और गैबरडील-होहेनेगर-वोल्पाटो के फलन द्वारा, किसी भी K3 सिग्मा-मॉडल अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत पर विश्वासयोग्य क्रिया नहीं है, इसलिए अंतर्निहित हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर कार्रवाई की उपस्थिति अभी भी रहस्य है।

मैके-थॉम्पसन श्रृंखला के अनुरूप, मिरांडा चेंग ने अध्ययन किया कि बहुलता कार्यों और M24 के गैर-तुच्छ तत्वों के वर्गीकृत संकेत असत्य मॉड्यूलर रूपों का निर्माण करते हैं। 2012 में, गैनन ने सिद्ध किया कि बहुलताओं में से सभी M24 के प्रतिनिधित्व गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन हैं, और गैबरडील-पर्सन-रोनेलेनफिट्स-वोल्पाटो ने सामान्यीकृत मूनशाइन फलन के सभी एनालॉग्स की गणना की और दृढ़ता से अध्ययन किया कि होलोमोर्फिक अनुरूप क्षेत्र के कुछ एनालॉग सिद्धांत मैथ्यू मूनशाइन के पीछे है। इसके अतिरिक्त 2012 में, चेंग, डंकन, और जेफरी ए हार्वे ने उम्ब्रल मूनशाइन घटना के संख्यात्मक साक्ष्य एकत्र किए जहां असत्य मॉड्यूलर रूपों के सदस्य नीमेयर जाली से जुड़े हुए दिखाई देते हैं। A²⁴
₁ की विशेष स्थिति जाली से मैथ्यू मूनशाइन प्राप्त होता है, किन्तु इस घटना की अभी तक ज्यामिति के संदर्भ में कोई व्याख्या नहीं है।

शब्द की उत्पत्ति

शब्द "मॉन्स्टरस मूनशाइन" कॉनवे द्वारा बनाया गया था, जिन्होंने 1970 दशक के अंत में जॉन मैकके (गणितज्ञ) द्वारा बताया गया था कि गुणांक ${q}$ (अर्थात 196884) मॉन्स्टरस समूह (अर्थात् 196883) के सबसे छोटे जटिल प्रतिनिधित्व की डिग्री से एक अधिक था, तब उन्होंने यह उत्तर दिया कि यह मूनशाइन था। इस प्रकार, शब्द न केवल मॉन्स्टरस समूह M को संदर्भित करता है; यह M और मॉड्यूलर फलनों के सिद्धांत के मध्य जटिल संबंधों को भी संदर्भित करता है।

संबंधित अवलोकन

1970 के दशक में गणितज्ञ जीन पियरे सेरे, एंड्रयू ओग और जॉन जी थॉम्पसन द्वारा मॉन्स्टरस समूह का परीक्षण किया गया था; उन्होंने SL₂(R) के उपसमूहों, विशेष रूप से SL(2,R) में हेके सर्वांगसम उपसमूह Γ₀(p) के नॉर्मलाइज़र Γ₀(p)+ द्वारा अतिपरवलयिक तल के भागफल का अध्ययन किया। उन्होंने पाया कि Γ₀(p)+ द्वारा अतिपरवलयिक तल के भागफल को लेने के परिणामस्वरूप रिमेंन सतह का जीनस शून्य है यदि 'p' 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 या 71 है। जब ऑग ने मॉन्स्टरस समूह के संबंध में सुना, और देखा कि ये M के आकार के अभाज्य गुणक थे, तो उन्होंने जैक डेनियल की व्हिस्की की बोतल को प्रस्तुत करते हुए अभिलेख प्रकाशित किया जो इस तथ्य की व्याख्या कर सकता था (Ogg (1974))।

स्रोत

• Borcherds, R. E. (1998), "Modular Moonshine III", Duke Mathematical Journal, 93 (1): 129–154, arXiv:math/9801101, Bibcode:1998math......1101B, doi:10.1215/S0012-7094-98-09305-X, S2CID 119593942.
• Borcherds, R. E. (1999), "The Fake Monster Formal Group", Duke Mathematical Journal, 100 (1): 139–165, arXiv:math/9805123, doi:10.1215/S0012-7094-99-10005-6, S2CID 14404234.
• Borcherds, R. E.; Ryba, A. J. E. (1996), "Modular Moonshine II", Duke Mathematical Journal, 83 (2): 435–459, doi:10.1215/S0012-7094-96-08315-5, S2CID 119593942.
• Borcherds, Richard (1992), "Monstrous Moonshine and Monstrous Lie Superalgebras" (PDF), Invent. Math., 109: 405–444, Bibcode:1992InMat.109..405B, CiteSeerX 10.1.1.165.2714, doi:10.1007/bf01232032, MR 1172696, S2CID 16145482.
• Conway, John Horton; Norton, Simon P. (1979), "राक्षसी चांदनी", Bull. London Math. Soc., 11 (3): 308–339, doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399.
• Cummins, C. J.; Gannon, T (1997), "मॉड्यूलर समीकरण और चांदनी कार्यों की जीनस शून्य संपत्ति", Invent. Math., 129 (3): 413–443, Bibcode:1997InMat.129..413C, doi:10.1007/s002220050167, S2CID 123073432.
• Dixon, L.; Ginsparg, P.; Harvey, J. (1989), "Beauty and the Beast: superconformal symmetry in a Monster module", Comm. Math. Phys., 119 (2): 221–241, Bibcode:1988CMaPh.119..221D, doi:10.1007/bf01217740, S2CID 55102822.
• Du Sautoy, Marcus (2008), मूनशाइन ढूँढना, समरूपता के माध्यम से एक गणितज्ञ की यात्रा, Fourth Estate, ISBN 978-0-00-721461-7.
• Duncan, John F. R.; Frenkel, Igor B. (2012), Rademacher sums, moonshine and gravity, arXiv:0907.4529, Bibcode:2009arXiv0907.4529D.
• Frenkel, Igor B.; Lepowsky, James; Meurman, Arne (1988), वर्टेक्स ऑपरेटर अल्जेब्रस एंड द मॉन्स्टर, Pure and Applied Math., vol. 134, Academic Press, ISBN 0-12-267065-5, MR 0996026.
• Gannon, Terry (2000), "Monstrous Moonshine and the Classification of Conformal Field Theories", in Saclioglu, Cihan; Turgut, Teoman; Nutku, Yavuz (eds.), Conformal Field Theory, New Non-Perturbative Methods in String and Field Theory, Cambridge Mass: Perseus Publishing, ISBN 0-7382-0204-5 (भौतिकी में अनुप्रयोगों के लिए परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है)।
• Gannon, Terry (2006a), "मॉन्स्टरस मूनशाइन: पहले पच्चीस साल", Bull. London Math. Soc., 38 (1): 1–33, arXiv:math.QA/0402345, doi:10.1112/S0024609305018217, MR 2201600, S2CID 119626718.
• Gannon, Terry (2006b), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, ISBN 978-0-521-83531-2.
• Harada, Koichiro (1999), राक्षस, Iwanami Pub, ISBN 4-00-006055-4{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link) (जापानी भाषा में मॉन्स्टर ग्रुप के बारे में पहली किताब लिखी गई है)।
• Harada, Koichiro (2010), परिमित समूहों का 'मूनशाइन', European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-090-6, MR 2722318.
• Jurisich, E.; Lepowsky, J.; Wilson, R.L. (1995), "राक्षस झूठ बीजगणित की प्रतीति", Selecta Math., New Series, 1: 129–161, arXiv:hep-th/9408037, doi:10.1007/bf01614075, S2CID 119594012.
• Jurisich, Elizabeth (1998), "सामान्यीकृत केएसी-मूडी झूठ बीजगणित, मुक्त झूठ बीजगणित, और राक्षस झूठ बीजगणित की संरचना", Journal of Pure and Applied Algebra, 126 (1–3): 233–266, arXiv:1311.3258, doi:10.1016/s0022-4049(96)00142-9, S2CID 119320010.
• Li, Wei; Song, Wei; Strominger, Andrew (21 July 2008), "Chiral gravity in three dimensions", Journal of High Energy Physics, 2008 (4): 082, arXiv:0801.4566, Bibcode:2008JHEP...04..082L, doi:10.1088/1126-6708/2008/04/082, S2CID 2138904.
• Maloney, Alexander; Song, Wei; Strominger, Andrew (2010), "Chiral gravity, log gravity, and extremal CFT", Phys. Rev. D, 81 (6): 064007, arXiv:0903.4573, Bibcode:2010PhRvD..81f4007M, doi:10.1103/physrevd.81.064007, S2CID 17752143.
• Maloney, Alexander; Witten, Edward (2010), "Quantum Gravity Partition Functions In Three Dimensions", J. High Energy Phys., 2010 (2): 29, arXiv:0712.0155, Bibcode:2010JHEP...02..029M, doi:10.1007/JHEP02(2010)029, MR 2672754, S2CID 118363782.
• Ogg, Andrew P. (1974), "Automorphismes de courbes modulaires" (PDF), Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres, tome 16, no. 1 (1974–1975), exp. no. 7 (in français), vol. 16, pp. 1–8, MR 0417184.
• Roberts, Siobhan (2009), King of Infinite Space: Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry, Bloomsbury Publishing USA, p. 361, ISBN 978-080271832-7.
• Ronan, Mark (2006), समरूपता और राक्षस, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280723-6{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link) (आम पाठक के लिए संक्षिप्त परिचय)।
• Ryba, A. J. E. (1996), "Modular Moonshine?", in Mason, Geoffrey; Dong, Chongying (eds.), Moonshine, the Monster, and related topics, Contemporary Mathematics, vol. 193, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 307–336.
• Witten, Edward (22 June 2007), Three-Dimensional Gravity Revisited, arXiv:0706.3359, Bibcode:2007arXiv0706.3359W.

बाहरी संबंध

• Moonshine Bibliography at the Wayback Machine (archived December 5, 2006)