स्टोचैस्टिक कैलकुलस

स्टोचैस्टिक कैलकुलस गणित की शाखा है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं (प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम) पर काम करती है। यह स्टोकास्टिक प्रक्रियाओं के समाकलन के लिए एकीकरण के सतत सिद्धांत को परिभाषित करने की अनुमति देता है। यह क्षेत्र द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान जापानी के गणितज्ञ कियोसी आईटीओ द्वारा बनाया और प्रारंभ किया गया था।

सबसे प्रसिद्ध स्टोचैस्टिक प्रक्रिया जिसके लिए स्टोचैस्टिक कैलकुलस लागू किया जाता है, वीनर प्रक्रिया (नॉर्बर्ट वीनर के सम्मान में नामित) है, जिसका उपयोग ब्राउनियन गति के मॉडलिंग के लिए किया जाता है जैसा कि 1900 में लुइस बैचलर और 1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा और यादृच्छिक बलों के अधीन कणों के स्थान में अन्य भौतिक विसरण प्रक्रियाओं में वर्णित है। 1970 के दशक से, स्टॉक की कीमतों और बॉन्ड ब्याज दरों के समय में विकास को मॉडल करने के लिए वित्तीय गणित और अर्थशास्त्र में वीनर प्रक्रिया को व्यापक रूप से लागू किया गया है।

स्टोचैस्टिक कैलकुलस के मुख्य अनुमान हैं आईटीओ कैलकुलस और इसके परिवर्तनशील सम्बन्धी मल्लियाविन कैलकुलस। तकनीकी कारणों से आईटीओ समाकलन प्रक्रियाओं के सामान्य वर्गों के लिए सबसे उपयोगी है, लेकिन संबंधित स्ट्रैटोनोविच समाकलन समस्या निर्माण (विशेष रूप से इंजीनियरिंग विषयों में) में अधिकांशतः उपयोगी होता है। स्ट्रैटोनोविच समाकलन को आईटीओ समाकलन के संदर्भ में आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। स्ट्रैटोनोविच समाकलन का मुख्य लाभ यह है कि यह सामान्य श्रृंखला नियम का पालन करता है और इसलिए आईटीओ के लेम्मा की आवश्यकता नहीं होती है। यह समस्याओं को समन्वय प्रणाली अपरिवर्तनीय रूप में व्यक्त करने में सक्षम बनाता है, जो Rⁿ के अतिरिक्त कई गुना पर स्टोकेस्टिक कलन विकसित करते समय अमूल्य है। वर्चस्व अभिसरण प्रमेय स्ट्रैटोनोविच समाकलन के लिए नहीं है; परिणामतः Itô रूप में समाकलों को फिर से अभिव्यक्त किए बिना परिणामों को सिद्ध करना बहुत कठिन है।

Itô समाकलन

Main article: Itô इंटीग्रल

आईटीओ समाकलन स्टोचैस्टिक कैलकुलस के अध्ययन के लिए केंद्रीय है। समाकलन $\int H\,dX$ को सेमीमार्टिंगेल X और स्थानीय रूप से बंधी हुई 'पूर्वानुमेय' प्रक्रिया H के लिए परिभाषित किया गया है।

स्ट्रैटोनोविच समाकलन

Main article: स्ट्रैटोनोविच समाकलन

सेमीमार्टिंगेल का स्ट्रैटोनोविच समाकलन $X$ एक अन्य सेमीमार्टिंगेल Y के सम्मुख आईटीओ समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$\int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},$

जहां [X,Y]_t^c X और Y के निरंतर भागों की द्विघात सहसंयोजन को दर्शाता है। वैकल्पिक संकेतन

$\int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}$

स्ट्रैटोनोविच समाकलन को निरूपित करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है।

अनुप्रयोग

स्टोचैस्टिक कैलकुलस का महत्वपूर्ण अनुप्रयोग गणितीय वित्त में है, जिसमें संपत्ति की कीमतों को अधिकांशतः स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण का पालन करने के लिए माना जाता है। उदाहरण के लिए, ब्लैक-स्कोल्स मॉडल कीमतों के विकल्प जैसे कि वे ज्यामितीय ब्राउनियन गति का पालन करते हैं, जो स्टोचैस्टिक कैलकुलस को लागू करने से अवसरों और जोखिमों को दर्शाते हैं।

यह भी देखें

• Itô कैलकुलस
• Itô लेम्मा
• स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल
• सेमीमार्टिंगेल
• वीनर प्रक्रिया

संदर्भ

• Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312
• Szabados, T. S.; Székely, B. Z. (2008). "Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric Random Walks". Journal of Theoretical Probability. 22: 203. arXiv:0712.3908. doi:10.1007/s10959-007-0140-8. Preprint