वर्ग (समुच्चय सिद्धांत): Difference between revisions

Revision as of 08:13, 15 June 2023

पूरे गणित में समुच्चय सिद्धांत और इसके अनुप्रयोगों में, वर्ग समुच्चय (गणित) (या कभी-कभी अन्य गणितीय वस्तुओं) का एक संग्रह है जिसे स्पष्ट रूप से एक गुण (गणित) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जिसे इसके सभी सदस्य साझा करते हैं। रसेल के विरोधाभास (§विरोधाभास देखें) से बचने के लिए वर्ग समुच्चय से अलग होने के समय समुच्चय-जैसे संग्रह करने के तरीके के रूप में कार्य करती हैं "वर्ग" की परिशुद्ध परिभाषा मूलभूत संदर्भ पर निर्भर करती है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत पर काम में, वर्ग की धारणा अनौपचारिक है, जबकि अन्य समुच्चय सिद्धांत, जैसे वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत, उपयुक्त वर्ग की धारणा को अभिगृहीत करते हैं, उदाहरण के लिए, संस्थाओं के रूप में जो किसी अन्य इकाई के सदस्य नहीं हैं।

एक वर्ग जो एक समुच्चय नहीं है (अनौपचारिक रूप से ज़र्मेलो-फ्रेंकेल में) को उपयुक्त वर्ग कहा जाता है, और एक वर्ग जो एक समुच्चय होता है उसे कभी-कभी एक छोटा वर्ग कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग और सभी समुच्चयों का वर्ग, कई औपचारिक प्रणालियों में उपयुक्त वर्ग हैं।

विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन के समुच्चय-सैद्धांतिक लेखन में, वाक्यांश अंतिम वर्ग का उपयोग प्रायः उपयुक्त वर्ग के वाक्यांश के अतिरिक्त किया जाता है, जिसमें प्रमुखता दी जाती है कि जिन प्रणालियों में वे मानते हैं, कुछ वर्ग सदस्य नहीं हो सकते हैं, और इस प्रकार किसी भी सदस्यता श्रृंखला में अंतिम पद हैं जिसके लिए वे संबंधित है।

समुच्चय सिद्धांत के बाहर, पद वर्ग को कभी-कभी समुच्चय के समानार्थक रूप से प्रयोग किया जाता है। यह उपयोग एक ऐतिहासिक काल से है जहां वर्गों और समुच्चयों को अलग नहीं किया गया था क्योंकि वे आधुनिक समुच्चय-सैद्धांतिक शब्दावली में हैं।^[1] 19वीं शताब्दी और उससे पहले के वर्गों की कई चर्चाएँ वास्तव में समुच्चयों का उल्लेख कर रही हैं, या संभव्यता यह विचार किए बिना हो सकता है कि कुछ वर्ग समुच्चय बनने में विफल हो सकते हैं।

उदाहरण

किसी दिए गए प्रकार की सभी बीजगणितीय संरचनाओं का संग्रह सामान्य रूप से एक उपयुक्त वर्ग होगा। उदाहरणों में सभी समुच्चयों (गणित) का वर्ग, सभी सदिश समष्टि का वर्ग, और कई अन्य सम्मिलित हैं। श्रेणी सिद्धांत में, एक श्रेणी (गणित) जिसका ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) का संग्रह एक उपयुक्त वर्ग बनाता है (या जिसकी आकारिता का संग्रह एक उपयुक्त वर्ग बनाता है) को एक बड़ी श्रेणी कहा जाता है।

वास्तविक संख्याएँ वस्तुओं का एक उपयुक्त वर्ग है जिसमें एक क्षेत्र (गणित) के गुण होते हैं।

समुच्चय सिद्धांत के अंदर, समुच्चय के कई संग्रह उपयुक्त वर्ग बन जाते हैं। उदाहरणों में सभी समुच्चयों का वर्ग, सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग और सभी गणन संख्याओं का वर्ग सम्मिलित है।

एक वर्ग को उपयुक्त प्रमाणित करने का एक तरीका यह है कि इसे सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग के साथ द्विअंत:क्षेपण में रखा जाए। इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रमाण में कि तीन या अधिक उत्पादक (गणित) पर कोई मुक्त पूर्ण जाली (लैटिस) नहीं है।

विरोधाभास

सरल समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभासों को असंगत अन्तर्हित धारणा के संदर्भ में समझाया जा सकता है कि "सभी वर्ग समुच्चय हैं"। एक परिशुद्ध स्थापन के साथ, ये विरोधाभास इसके अतिरिक्त प्रमाण देते हैं कि कुछ (अर्थात, कि वे समुच्चय नहीं हैं) वर्ग उपयुक्त हैं। उदाहरण के लिए, रसेल का विरोधाभास एक प्रमाण का सुझाव देता है कि सभी समुच्चयों का वर्ग जिसमें स्वयं सम्मिलित नहीं है, और बुराली-फोर्टी विरोधाभास बताता है कि सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग उपयुक्त है। वर्गों के साथ विरोधाभास उत्पन्न नहीं होता है क्योंकि वर्गों वाले सीमित वर्गों की कोई धारणा नहीं है। अन्यथा, कोई, उदाहरण के लिए, उन सभी वर्गों के वर्ग को परिभाषित कर सकता है जिनमें स्वयं सम्मिलित नहीं है, जो वर्गों के लिए रसेल विरोधाभास का कारण बन जाएगा। दूसरी ओर, एक समुच्चय, सदस्यों के रूप में उपयुक्त वर्ग रख सकता है, हालांकि समुच्चय का सिद्धांत अभी तक अच्छी तरह से स्थापित नहीं है।^{[citation needed]}

औपचारिक समुच्चय सिद्धांतों में वर्ग

जेडएफ समुच्चय सिद्धांत वर्गों की धारणा को औपचारिक रूप नहीं देता है, इसलिए वर्गों के साथ प्रत्येक सूत्र को वर्गों के बिना एक सूत्र में वाक्य-विन्यास के रूप में कम किया जाना चाहिए।^[2] उदाहरण के लिए, कोई सूत्र $A=\{x\mid x=x\}$ को $\forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)$ तक कम कर सकता है। अर्थ की दृष्टि से, एक निरूपक भाषा में, वर्गों को तार्किक सूत्रों के तुल्यता वर्ग के रूप में वर्णित किया जा सकता है: यदि ${\mathcal {A}}$ , जेडएफ की व्याख्या करने वाली एक संरचना (गणितीय तर्क) है तो वस्तु भाषा "वर्ग निर्माता अभिव्यक्ति'' $\{x\mid \phi \}$ की व्याख्या ${\mathcal {A}}$ में ${\mathcal {A}}$ के प्रक्षेत्र से सभी तत्वों के संग्रह द्वारा की जाती है, जिस पर $\lambda x\phi$ धारण करता है; इस प्रकार, वर्ग को $\phi$ के समतुल्य सभी विधेय के समुच्चय के रूप में (जिसमें स्वयं $\phi$ भी सम्मिलित है) वर्णित किया जा सकता है। विशेष रूप से $x=x$ के समतुल्य सभी विधेय के समुच्चय के साथ "सभी समुच्चयों के वर्ग" की पहचान की जा सकती है।

क्योंकि जेडएफ के सिद्धांत में वर्गों की कोई औपचारिक स्थिति नहीं है, जेडएफ के सिद्धांत तुरंत वर्गों पर प्रयुक्त नहीं होते हैं। हालांकि, यदि एक अगम्य मान $\kappa$ माना जाता है, तो छोटे पद के समुच्चय जेडएफ (एक ग्रोथेंडिक समष्‍टि ) का एक मॉडल बनाते हैं, और इसके उप-समुच्चय को वर्गों के रूप में माना जा सकता है।

जेडएफ में, फलन ̈(गणित) की अवधारणा को वर्गों में भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक वर्ग फलन सामान्य अर्थों में एक फलन नहीं है, क्योंकि यह एक समुच्चय नहीं है बल्कि यह गुण के साथ एक सूत्र $\Phi (x,y)$ है कि किसी भी समुच्चय $x$ के लिए एक से अधिक समुच्चय $y$ नहीं है जैसे कि युग्म $(x,y)$ $\Phi$ को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, वर्ग फलन मानचित्रण प्रत्येक समुच्चय को उसके अनुक्रमिक के लिए सूत्र $y=x\cup \{x\}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तथ्य यह है कि क्रमित युग्म $(x,y)$ $\Phi$ को संतुष्ट करती है और आशुलिपि संकेतन के साथ $\Phi (x)=y$ व्यक्त किया जा सकता है।

वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल अभिगृहीत (एनबीजी) द्वारा एक और दृष्टिकोण लिया जाता है; इस सिद्धांत में वर्ग मूल वस्तुएं हैं, और एक समुच्चय को तब एक वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी अन्य वर्ग का एक तत्व है। हालांकि, एनबीजी के वर्ग अस्तित्व अभिगृहीतों को प्रतिबंधित किया गया है ताकि वे सभी वर्गों के अतिरिक्त केवल समुच्चयों पर मात्रा निर्धारित कर सकें। यह एनबीजी को जेडएफ का संरक्षी आयाम बनाता है।

मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत एनबीजी की तरह मूल वस्तुओं के रूप में उपयुक्त वर्गों को स्वीकार करता है, लेकिन इसके वर्ग अस्तित्व अभिगृहीतों में सभी उपयुक्त वर्गों पर परिमाणीकरण की स्वीकृति भी देता है। यह एमके को एनबीजी और जेडएफ दोनों से दृढ़ता से प्रबल बनाता है।

अन्य समुच्चय सिद्धांतों में, जैसे नए स्थापन या अर्द्ध-समुच्चय का सिद्धांत, उपयुक्त वर्ग की अवधारणा अभी भी समझ में आती है सभी वर्ग समुच्चय नहीं हैं लेकिन स्थापना का मानदंड उप-समुच्चय के अंतर्गत संवृत नहीं है। उदाहरण के लिए, सार्वभौमिक समुच्चय वाले किसी समुच्चय सिद्धांत में उपयुक्त वर्ग होते हैं जो समुच्चयों के उपवर्ग होते हैं।

संदर्भ

Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (third millennium ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7
Levy, A. (1979), Basic Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag
Raymond M. Smullyan, Melvin Fitting, 2010, Set Theory And The Continuum Problem. Dover Publications ISBN 978-0-486-47484-7.
Monk Donald J., 1969, Introduction to Set Theory. McGraw-Hill Book Co. ISBN 9780070427150.

बाहरी कड़ियाँ

Weisstein, Eric W. "Set Class". MathWorld.

[1] Bertrand Russell (1903). The Principles of Mathematics, Chapter VI: Classes, via Internet Archive

[2] "abeq2 - Metamath Proof Explorer". us.metamath.org. 1993-08-05. Retrieved 2016-03-09.

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 {{short description|Collection of sets in mathematics that can be defined based on a property of its members}}
-{{multiple issues|
+पूरे गणित में समुच्चय सिद्धांत और इसके अनुप्रयोगों में, '''वर्ग [[ सेट (गणित) |समुच्चय (गणित)]]''' (या कभी-कभी अन्य गणितीय वस्तुओं) का एक संग्रह है जिसे स्पष्ट रूप से एक गुण (गणित) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जिसे इसके सभी सदस्य साझा करते हैं। रसेल के विरोधाभास (§विरोधाभास देखें) से बचने के लिए वर्ग समुच्चय से अलग होने के समय समुच्चय-जैसे संग्रह करने के तरीके के रूप में कार्य करती हैं "वर्ग" की परिशुद्ध परिभाषा मूलभूत संदर्भ पर निर्भर करती है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत पर काम में, वर्ग की धारणा अनौपचारिक है, जबकि अन्य समुच्चय सिद्धांत, जैसे वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत, उपयुक्त वर्ग की धारणा को अभिगृहीत करते हैं, उदाहरण के लिए, संस्थाओं के रूप में जो किसी अन्य इकाई के सदस्य नहीं हैं।
-{{More footnotes|date=November 2015}}
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-पूरे गणित में सेट सिद्धांत और इसके अनुप्रयोगों में, एक वर्ग [[ सेट (गणित) ]] (या कभी-कभी अन्य गणितीय वस्तुओं) का एक संग्रह है जिसे स्पष्ट रूप से एक संपत्ति _ (गणित) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जिसे इसके सभी सदस्य साझा करते हैं। रसेल के विरोधाभास से बचने के लिए कक्षाएं सेट से अलग होने के दौरान सेट-जैसे संग्रह करने के तरीके के रूप में कार्य करती हैं (देखें {{format link|#Paradoxes}}). वर्ग की सटीक परिभाषा मूलभूत संदर्भ पर निर्भर करती है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत पर काम में, वर्ग की धारणा अनौपचारिक है, जबकि अन्य सेट सिद्धांत, जैसे वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत, उचित वर्ग की धारणा को स्वयंसिद्ध करते हैं, उदाहरण के लिए, ऐसी संस्थाओं के रूप में जो किसी अन्य इकाई के सदस्य नहीं हैं। .
-एक वर्ग जो एक सेट नहीं है (अनौपचारिक रूप से ज़र्मेलो-फ्रेंकेल में) को उचित वर्ग कहा जाता है, और एक वर्ग जो एक सेट होता है उसे कभी-कभी एक छोटी कक्षा कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग और सभी सेटों का वर्ग, कई औपचारिक प्रणालियों में उचित वर्ग हैं।
+एक वर्ग जो एक समुच्चय नहीं है (अनौपचारिक रूप से ज़र्मेलो-फ्रेंकेल में) को '''उपयुक्त वर्ग''' कहा जाता है, और एक वर्ग जो एक समुच्चय होता है उसे कभी-कभी एक '''छोटा वर्ग''' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग और सभी समुच्चयों का वर्ग, कई औपचारिक प्रणालियों में उपयुक्त वर्ग हैं।
-[[ विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन ]] के सेट-सैद्धांतिक लेखन में, वाक्यांश परम वर्ग का उपयोग अक्सर उचित वर्ग के वाक्यांश के बजाय किया जाता है, जिसमें जोर दिया जाता है कि जिन प्रणालियों में वे मानते हैं, कुछ वर्ग सदस्य नहीं हो सकते हैं, और इस प्रकार किसी भी सदस्यता श्रृंखला में अंतिम पद हैं जिसके लिए वे संबंधित होना।
+[[ विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन | विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन]] के समुच्चय-सैद्धांतिक लेखन में, वाक्यांश अंतिम वर्ग का उपयोग प्रायः उपयुक्त वर्ग के वाक्यांश के अतिरिक्त किया जाता है, जिसमें प्रमुखता दी जाती है कि जिन प्रणालियों में वे मानते हैं, कुछ वर्ग सदस्य नहीं हो सकते हैं, और इस प्रकार किसी भी सदस्यता श्रृंखला में अंतिम पद हैं जिसके लिए वे संबंधित है।
-सेट सिद्धांत के बाहर, शब्द वर्ग को कभी-कभी सेट के समानार्थक रूप से प्रयोग किया जाता है। यह उपयोग एक ऐतिहासिक काल से है जहां वर्गों और सेटों को अलग नहीं किया गया था क्योंकि वे आधुनिक सेट-सैद्धांतिक शब्दावली में हैं।<ref>[[Bertrand Russell]] (1903). ''[[The Principles of Mathematics]]'',  [https://archive.org/details/principlesofmath005807mbp/page/n109/mode/2up Chapter VI: Classes], via [[Internet Archive]]</ref> 19वीं शताब्दी और उससे पहले की कक्षाओं की कई चर्चाएँ वास्तव में समुच्चयों का उल्लेख कर रही हैं, या शायद यह विचार किए बिना हो सकता है कि कुछ वर्ग समुच्चय बनने में विफल हो सकते हैं।
+समुच्चय सिद्धांत के बाहर, पद वर्ग को कभी-कभी समुच्चय के समानार्थक रूप से प्रयोग किया जाता है। यह उपयोग एक ऐतिहासिक काल से है जहां वर्गों और समुच्चयों को अलग नहीं किया गया था क्योंकि वे आधुनिक समुच्चय-सैद्धांतिक शब्दावली में हैं।<ref>[[Bertrand Russell]] (1903). ''[[The Principles of Mathematics]]'',  [https://archive.org/details/principlesofmath005807mbp/page/n109/mode/2up Chapter VI: Classes], via [[Internet Archive]]</ref> 19वीं शताब्दी और उससे पहले के वर्गों की कई चर्चाएँ वास्तव में समुच्चयों का उल्लेख कर रही हैं, या संभव्यता यह विचार किए बिना हो सकता है कि कुछ वर्ग समुच्चय बनने में विफल हो सकते हैं।
 == उदाहरण ==
-किसी दिए गए प्रकार की सभी [[ बीजगणितीय संरचना ]]ओं का संग्रह आमतौर पर एक उचित वर्ग होगा। उदाहरणों में सभी समूहों (गणित) का वर्ग, सभी वेक्टर रिक्त स्थान का वर्ग, और कई अन्य शामिल हैं। [[ श्रेणी सिद्धांत ]] में, एक [[ श्रेणी (गणित) ]] जिसका ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) का संग्रह एक उचित वर्ग बनाता है (या जिसका [[ morphism ]]s का संग्रह एक उचित वर्ग बनाता है) को एक [[ बड़ी श्रेणी ]] कहा जाता है।
+किसी दिए गए प्रकार की सभी [[ बीजगणितीय संरचना |बीजगणितीय संरचना]]ओं का संग्रह सामान्य रूप से एक उपयुक्त वर्ग होगा। उदाहरणों में सभी समुच्चयों (गणित) का वर्ग, सभी सदिश समष्टि का वर्ग, और कई अन्य सम्मिलित हैं। [[ श्रेणी सिद्धांत |श्रेणी सिद्धांत]] में, एक [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी (गणित)]] जिसका ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) का संग्रह एक उपयुक्त वर्ग बनाता है (या जिसकी[[ morphism | आकारिता]] का संग्रह एक उपयुक्त वर्ग बनाता है) को एक [[ बड़ी श्रेणी |बड़ी श्रेणी]] कहा जाता है।
-वास्तविक संख्याएँ वस्तुओं का एक उचित वर्ग है जिसमें एक [[ क्षेत्र (गणित) ]] के गुण होते हैं।
+वास्तविक संख्याएँ वस्तुओं का एक उपयुक्त वर्ग है जिसमें एक [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र (गणित)]] के गुण होते हैं।
-सेट थ्योरी के भीतर, सेट के कई संग्रह उचित वर्ग बन जाते हैं। उदाहरणों में सभी सेटों का वर्ग, सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग और सभी कार्डिनल संख्याओं का वर्ग शामिल है।
+समुच्चय सिद्धांत के अंदर, समुच्चय के कई संग्रह उपयुक्त वर्ग बन जाते हैं। उदाहरणों में सभी समुच्चयों का वर्ग, सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग और सभी गणन संख्याओं का वर्ग सम्मिलित है।
-एक वर्ग को उचित साबित करने का एक तरीका यह है कि इसे सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग के साथ आपत्ति में रखा जाए। इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, सबूत में कि कोई मुक्त जाली नहीं है # पूर्ण मुक्त जाली पूर्ण जाली # तीन या अधिक जेनरेटर (गणित) पर मुक्त पूर्ण जाली।
+एक वर्ग को उपयुक्त प्रमाणित करने का एक तरीका यह है कि इसे सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग के साथ द्विअंत:क्षेपण में रखा जाए। इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रमाण में कि तीन या अधिक उत्पादक (गणित) पर कोई मुक्त पूर्ण जाली (लैटिस) नहीं है।
 == विरोधाभास ==
-सहज समुच्चय सिद्धांत#विरोधाभास को असंगत [[ मौन धारणा ]] के संदर्भ में समझाया जा सकता है कि सभी वर्ग समुच्चय हैं। कठोर नींव के साथ, ये विरोधाभास सबूत (गणित) का सुझाव देते हैं कि कुछ वर्ग उचित हैं (यानी, कि वे सेट नहीं हैं)। उदाहरण के लिए, रसेल का विरोधाभास एक प्रमाण का सुझाव देता है कि सभी सेटों का वर्ग जिसमें स्वयं शामिल नहीं है, उचित है, और [[ बुराली-फोर्टी विरोधाभास ]] बताता है कि सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग उचित है। वर्गों के साथ विरोधाभास उत्पन्न नहीं होता है क्योंकि कक्षाओं वाले वर्गों की कोई धारणा नहीं है। अन्यथा, कोई, उदाहरण के लिए, उन सभी वर्गों के वर्ग को परिभाषित कर सकता है जिनमें स्वयं शामिल नहीं है, जो कक्षाओं के लिए रसेल विरोधाभास का कारण बन जाएगा। दूसरी ओर एक कांग्लोमरेट (श्रेणी सिद्धांत) में सदस्यों के रूप में उचित वर्ग हो सकते हैं, हालांकि कांग्लोमेरेट्स का सिद्धांत अभी तक अच्छी तरह से स्थापित नहीं है।{{cn|date=May 2019}}
+सरल समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभासों को असंगत अन्तर्हित धारणा के संदर्भ में समझाया जा सकता है कि "सभी वर्ग समुच्चय हैं"। एक परिशुद्ध स्थापन के साथ, ये विरोधाभास इसके अतिरिक्त प्रमाण देते हैं कि कुछ (अर्थात, कि वे समुच्चय नहीं हैं) वर्ग उपयुक्त हैं। उदाहरण के लिए, रसेल का विरोधाभास एक प्रमाण का सुझाव देता है कि सभी समुच्चयों का वर्ग जिसमें स्वयं सम्मिलित नहीं है, और बुराली-फोर्टी विरोधाभास बताता है कि सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग उपयुक्त है। वर्गों के साथ विरोधाभास उत्पन्न नहीं होता है क्योंकि वर्गों वाले सीमित वर्गों की कोई धारणा नहीं है। अन्यथा, कोई, उदाहरण के लिए, उन सभी वर्गों के वर्ग को परिभाषित कर सकता है जिनमें स्वयं सम्मिलित नहीं है, जो वर्गों के लिए रसेल विरोधाभास का कारण बन जाएगा। दूसरी ओर, एक समुच्चय, सदस्यों के रूप में उपयुक्त वर्ग रख सकता है, हालांकि समुच्चय का सिद्धांत अभी तक अच्छी तरह से स्थापित नहीं है।{{cn|date=May 2019}}
-== औपचारिक सेट सिद्धांतों में कक्षाएं ==
+== औपचारिक समुच्चय सिद्धांतों में वर्ग ==
-[[ ZF सेट सिद्धांत ]] कक्षाओं की धारणा को औपचारिक रूप नहीं देता है, इसलिए कक्षाओं के साथ प्रत्येक सूत्र को कक्षाओं के बिना एक सूत्र के रूप में वाक्य-विन्यास से कम किया जाना चाहिए।<ref>{{cite web|url=http://us.metamath.org/mpegif/abeq2.html |title=abeq2 - Metamath Proof Explorer |publisher=us.metamath.org |date=1993-08-05 |access-date=2016-03-09}}</ref> उदाहरण के लिए, कोई सूत्र को कम कर सकता है <math>A = \{x\mid x=x \}</math> को <math>\forall x(x \in A \leftrightarrow x=x)</math>. शब्दार्थ की दृष्टि से, एक धातुभाषा में, वर्गों को अच्छी तरह से निर्मित सूत्र के तुल्यता वर्गों के रूप में वर्णित किया जा सकता है: यदि <math>\mathcal A</math> एक [[ संरचना (गणितीय तर्क) ]] है जो ZF की व्याख्या करता है, फिर ऑब्जेक्ट लैंग्वेज क्लास-बिल्डर एक्सप्रेशन <math>\{x \mid \phi \}</math> में व्याख्या की जाती है <math>\mathcal A</math> के डोमेन से सभी तत्वों के संग्रह द्वारा <math>\mathcal A</math> जिस पर <math>\lambda x\phi</math> धारण करता है; इस प्रकार, वर्ग को समतुल्य सभी विधेय के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>\phi</math> (जो भी शामिल है <math>\phi</math> अपने आप)। विशेष रूप से, कोई भी सभी सेटों के वर्ग को समतुल्य सभी विधेय के सेट के साथ पहचान सकता है <math>x = x.</math>
+जेडएफ समुच्चय सिद्धांत वर्गों की धारणा को औपचारिक रूप नहीं देता है, इसलिए वर्गों के साथ प्रत्येक सूत्र को वर्गों के बिना एक सूत्र में वाक्य-विन्यास के रूप में कम किया जाना चाहिए।<ref>{{cite web|url=http://us.metamath.org/mpegif/abeq2.html |title=abeq2 - Metamath Proof Explorer |publisher=us.metamath.org |date=1993-08-05 |access-date=2016-03-09}}</ref> उदाहरण के लिए, कोई सूत्र <math>A = \{x\mid x=x \}</math> को <math>\forall x(x \in A \leftrightarrow x=x)</math> तक कम कर सकता है। अर्थ की दृष्टि से, एक निरूपक भाषा में, वर्गों को तार्किक सूत्रों के तुल्यता वर्ग के रूप में वर्णित किया जा सकता है: यदि <math>\mathcal A</math>, जेडएफ की व्याख्या करने वाली एक [[ संरचना (गणितीय तर्क) |संरचना (गणितीय तर्क)]] है तो वस्तु भाषा "वर्ग निर्माता अभिव्यक्ति<nowiki>''</nowiki> <math>\{x \mid \phi \}</math> की व्याख्या <math>\mathcal A</math> में <math>\mathcal A</math> के प्रक्षेत्र से सभी तत्वों के संग्रह द्वारा की जाती है, जिस पर <math>\lambda x\phi</math> धारण करता है; इस प्रकार, वर्ग को <math>\phi</math> के समतुल्य सभी विधेय के समुच्चय के रूप में (जिसमें स्वयं <math>\phi</math> भी सम्मिलित है) वर्णित किया जा सकता है। विशेष रूप से <math>x = x</math> के समतुल्य सभी विधेय के समुच्चय के साथ "सभी समुच्चयों के वर्ग" की पहचान की जा सकती है।
-क्योंकि ZF के सिद्धांत में कक्षाओं की कोई औपचारिक स्थिति नहीं है, ZF के सिद्धांत तुरंत कक्षाओं पर लागू नहीं होते हैं। हालांकि, अगर एक [[ दुर्गम कार्डिनल ]] <math>\kappa</math> माना जाता है, तो छोटे रैंक के सेट ZF (एक [[ ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड ]]) का एक मॉडल बनाते हैं, और इसके सबसेट को वर्गों के रूप में माना जा सकता है।
-जेडएफ में, एक [[ समारोह (गणित) ]] की अवधारणा को कक्षाओं में भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक वर्ग कार्य सामान्य अर्थों में एक कार्य नहीं है, क्योंकि यह एक सेट नहीं है; बल्कि यह एक सूत्र है <math>\Phi(x,y)</math> संपत्ति के साथ कि किसी भी सेट के लिए <math>x</math> एक से अधिक सेट नहीं है <math>y</math> ऐसी जोड़ी <math>(x,y)</math> संतुष्ट <math>\Phi.</math> उदाहरण के लिए, क्लास फ़ंक्शन मैपिंग प्रत्येक सेट को उसके उत्तराधिकारी को सूत्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>y = x \cup \{x\}.</math> तथ्य यह है कि आदेशित जोड़ी <math>(x,y)</math> संतुष्ट <math>\Phi</math> आशुलिपि संकेतन के साथ व्यक्त किया जा सकता है <math>\Phi(x) = y.</math>
+क्योंकि जेडएफ के सिद्धांत में वर्गों की कोई औपचारिक स्थिति नहीं है, जेडएफ के सिद्धांत तुरंत वर्गों पर प्रयुक्त नहीं होते हैं। हालांकि, यदि एक [[ दुर्गम कार्डिनल |अगम्य मान]] <math>\kappa</math> माना जाता है, तो छोटे पद के समुच्चय जेडएफ (एक [[ ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड |ग्रोथेंडिक समष्‍टि]] ) का एक मॉडल बनाते हैं, और इसके उप-समुच्चय को वर्गों के रूप में माना जा सकता है।
-वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल स्वयंसिद्ध (एनबीजी) द्वारा एक और दृष्टिकोण लिया जाता है; इस सिद्धांत में कक्षाएं मूल वस्तुएं हैं, और एक सेट को तब एक वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी अन्य वर्ग का एक तत्व है। हालांकि, एनबीजी के वर्ग अस्तित्व स्वयंसिद्धों को प्रतिबंधित किया गया है ताकि वे सभी वर्गों के बजाय केवल सेटों पर मात्रा निर्धारित कर सकें। यह NBG को ZF का [[ रूढ़िवादी विस्तार ]] बनाता है।
-मोर्स-केली सेट सिद्धांत एनबीजी की तरह मूल वस्तुओं के रूप में उचित वर्गों को स्वीकार करता है, लेकिन इसके वर्ग अस्तित्व स्वयंसिद्धों में सभी उचित वर्गों पर परिमाणीकरण की अनुमति भी देता है। यह एमके को एनबीजी और जेडएफ दोनों से सख्ती से मजबूत बनाता है।
+जेडएफ में, फलन ̈(गणित) की अवधारणा को वर्गों में भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक वर्ग फलन सामान्य अर्थों में एक फलन नहीं है, क्योंकि यह एक समुच्चय नहीं है बल्कि यह गुण के साथ एक सूत्र <math>\Phi(x,y)</math> है कि किसी भी समुच्चय <math>x</math> के लिए एक से अधिक समुच्चय <math>y</math> नहीं है जैसे कि युग्म <math>(x,y)</math> <math>\Phi</math> को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, वर्ग फलन मानचित्रण प्रत्येक समुच्चय को उसके अनुक्रमिक के लिए सूत्र <math>y = x \cup \{x\}</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तथ्य यह है कि क्रमित युग्म <math>(x,y)</math> <math>\Phi</math> को संतुष्ट करती है और आशुलिपि संकेतन के साथ <math>\Phi(x) = y</math> व्यक्त किया जा सकता है।
-अन्य सेट सिद्धांतों में, जैसे [[ नई नींव ]] या [[ semiset ]]्स का सिद्धांत, उचित वर्ग की अवधारणा अभी भी समझ में आती है (सभी वर्ग सेट नहीं हैं) लेकिन सेटहुड का मानदंड सबसेट के तहत बंद नहीं है। उदाहरण के लिए, सार्वभौमिक समुच्चय वाले किसी समुच्चय सिद्धांत में उचित वर्ग होते हैं जो समुच्चयों के उपवर्ग होते हैं।
+वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल अभिगृहीत (एनबीजी) द्वारा एक और दृष्टिकोण लिया जाता है; इस सिद्धांत में वर्ग मूल वस्तुएं हैं, और एक समुच्चय को तब एक वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी अन्य वर्ग का एक तत्व है। हालांकि, एनबीजी के वर्ग अस्तित्व अभिगृहीतों को प्रतिबंधित किया गया है ताकि वे सभी वर्गों के अतिरिक्त केवल समुच्चयों पर मात्रा निर्धारित कर सकें। यह एनबीजी को जेडएफ का [[ रूढ़िवादी विस्तार |संरक्षी आयाम]] बनाता है।
+मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत एनबीजी की तरह मूल वस्तुओं के रूप में उपयुक्त वर्गों को स्वीकार करता है, लेकिन इसके वर्ग अस्तित्व अभिगृहीतों में सभी उपयुक्त वर्गों पर परिमाणीकरण की स्वीकृति भी देता है। यह एमके को एनबीजी और जेडएफ दोनों से दृढ़ता से प्रबल बनाता है।
+अन्य समुच्चय सिद्धांतों में, जैसे [[ नई नींव |नए स्थापन]] या अर्द्ध-समुच्चय का सिद्धांत, उपयुक्त वर्ग की अवधारणा अभी भी समझ में आती है सभी वर्ग समुच्चय नहीं हैं लेकिन स्थापना का मानदंड उप-समुच्चय के अंतर्गत संवृत नहीं है। उदाहरण के लिए, सार्वभौमिक समुच्चय वाले किसी समुच्चय सिद्धांत में उपयुक्त वर्ग होते हैं जो समुच्चयों के उपवर्ग होते हैं।
 ==टिप्पणियाँ==

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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