क्रमित क्षेत्र: Difference between revisions

Latest revision as of 13:59, 7 July 2023

गणित में, क्रमित क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र (गणित) है जिसमें इसके तत्वों का कुल क्रम क्षेत्र संचालन के साथ संगत होता है। क्रमित क्षेत्र का मूल उदाहरण वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, और प्रत्येक डेडेकाइंड-पूर्ण क्रमित क्षेत्र वास्तविक के समरूपी है।

किसी क्रमित किए गए क्षेत्र का प्रत्येक उपक्षेत्र वंशानुगत क्रम में क्रमित किया गया क्षेत्र भी है। प्रत्येक क्रमित क्षेत्र में क्रमबद्ध उपक्षेत्र होता है जो परिमेय संख्याओं के समरूपी होता है। क्रमित क्षेत्र में वर्ग (बीजगणित) आवश्यक रूप से ऋणेतर संख्या होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि सम्मिश्र संख्याओं को क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता क्योंकि अधिकल्पित इकाई i का वर्ग −1 है (जो किसी भी क्रमित क्षेत्र में ऋणात्मक है)। परिमित क्षेत्र का क्रम नहीं दिया जा सकता हैं।

ऐतिहासिक रूप से, डेविड हिल्बर्ट, ओटो होल्डर और हंस हैन (गणितज्ञ) सहित गणितज्ञों द्वारा क्रमित क्षेत्र के स्वयंसिद्धीकरण को वास्तविक संख्याओं से धीरे-धीरे अलग किया गया था। यह अंततः क्रमित क्षेत्रों और औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र के आर्टिन-श्रेयर सिद्धांत में विकसित हुआ हैं।

परिभाषाएँ

किसी क्रमित क्षेत्र की दो समान सामान्य परिभाषाएँ हैं। कुल क्रम की परिभाषा पहली बार ऐतिहासिक रूप से सामने आई और यह क्रम $\leq$ द्विआधारी विधेय के रूप में का प्रथम-क्रम स्वयंसिद्धीकरण है। आर्टिन और श्रेयर ने 1926 में धनात्मक शंकु के संदर्भ में परिभाषा दी, जो ऋणेतर संख्या तत्वों के उपसंग्रह को स्वयंसिद्ध करती है। हालाँकि बाद वाला उच्च-क्रम का है, धनात्मक शंकु को इस रूप में देखना अधिकतम उपसर्गणीय शंकु एक बड़ा संदर्भ प्रदान करता है जिसमें क्षेत्र क्रमित अतिशय आंशिक क्रम होते हैं।

कुल क्रम

एक क्षेत्र (गणित) $(F,+,\cdot \,)$ एक साथ कुल क्रम के साथ $<$ पर $F$ यदि क्रम सभी के लिए निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है $a,b,c\in F:$

यदि $a<b$ तब $a+c<b+c,$ और
यदि $0<a$ और $0<b$ तब $0<a\cdot b.$

धनात्मक शंकु

किसी क्षेत्र का उपसर्गणीय शंकु या पूर्वक्रम $F$ एक उपसमुच्चय है $P\subseteq F$ जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:^[1]

$x$ और $y$ में $P,$ के लिए दोनों $x+y$ और $x\cdot y$ में $P.$ हैं
यदि $x\in F,$ तब $x^{2}\in P.$ विशेष रूप से, $1=1^{2}\in P.$
तत्व $-1$ इसमें $P.$ नहीं है

पूर्वक्रमित क्षेत्र पूर्वक्रम $P.$ से सुसज्जित एक क्षेत्र है इसके गैर-शून्य तत्व $P^{*}$ के गुणक समूह का उपसमूह $F.$ उपसमूह बनाता है।

यदि इसके अतिरिक्त, समुच्चय $F$ का $P$ और $-P,$ संयोजन मिलन है $P$ का धनात्मक शंकु $F.$ है गैर-शून्य तत्व $P$ के धनात्मक तत्व $F.$ कहलाते हैं।

क्रमित क्षेत्र $F$ धनात्मक शंकु के साथ $P.$ क्षेत्र है।

पूर्वक्रम $F$ वास्तव में धनात्मक शंकु के परिवारों $F.$ के प्रतिच्छेदन हैं। धनात्मक शंकु अधिकतम पूर्वक्रम हैं।^[1]

दो परिभाषाओं की समानता

मान लीजिये $F$ एक क्षेत्र है। $F$ और धनात्मक शंकु $F.$ के क्षेत्र क्रमों के बीच द्विअंतथक्षेपण है।

पहली परिभाषा के अनुसार क्षेत्र क्रम ≤ को देखते हुए, तत्वों का समुच्चय ऐसा होता है $x\geq 0$ का धनात्मक शंकु $F.$ बनता है इसके विपरीत, धनात्मक शंकु दिया गया है $P$ का $F$ जैसा कि दूसरी परिभाषा में है, कोई कुल क्रम को जोड़ सकता है $\leq _{P}$ पर $F$ सेटिंग द्वारा $x\leq _{P}y$ का मतलब $y-x\in P.$ है यह कुल क्रम $\leq _{P}$ पहली परिभाषा के गुणों को संतुष्ट करता है।

क्रमित क्षेत्र के उदाहरण

क्रमित क्षेत्र के उदाहरण हैं:

परिमेय संख्या
वास्तविक संख्याएँ
किसी क्रमित क्षेत्र का कोई उपक्षेत्र, जैसे वास्तविक बीजगणितीय संख्याएँ या गणना योग्य संख्याएँ
क्षेत्र $\mathbb {Q} (x)$ परिमेय फलन $p(x)/q(x)$ का, जहाँ $p(x)$ और $q(x)$ परिमेय गुणांक वाले बहुपद हैं, $q(x)\neq 0$ , वास्तविक प्रागनुभविक संख्या $\alpha$ को निश्चित करके क्रमित क्षेत्र में बनाया जा सकता है $p(x)/q(x)>0$ और परिभाषित करना यदि और केवल यदि $p(\alpha )/q(\alpha )>0$ हैं यह एम्बेडिंग $\mathbb {Q} (x)$ के बराबर है $\mathbb {R}$ में और के क्रम को प्रतिबंधित करना $\mathbb {R}$ की छवि के एक क्रम के लिए $\mathbb {Q} (x)$ हैं।
क्षेत्र $\mathbb {R} (x)$ परिमेय कार्यों का $p(x)/q(x)$ , जहाँ $p(x)$ और $q(x)$ वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं, $q(x)\neq 0$ , एक क्रमित क्षेत्र में बनाया जा सकता है जहां बहुपद $p(x)=x$ परिभाषित करके, किसी भी अचर बहुपद से बड़ा है $p(x)/q(x)>0$ इसका मतलब यह है $p_{n}/q_{m}>0$ , जहाँ $p_{n}\neq 0$ और $q_{m}\neq 0$ के प्रमुख गुणांक हैं $p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}$ और $q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}$ , क्रमश हैं। यह क्रमित क्षेत्र आर्किमिडीयन क्षेत्र नहीं है।
क्षेत्र $\mathbb {R} ((x))$ वास्तविक गुणांकों के साथ औपचारिक घात श्रेणी का, जहां x को अतिसूक्ष्म और धनात्मक माना जाता है
ट्रांससीरीज़
वास्तविक संवृत क्षेत्र
अतियथार्थवादी संख्याएँ
अतिवास्तविक संख्याएँ

अवास्तविक संख्याएँ एक समुच्चय (गणित) के अतिरिक्त वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) बनाती हैं, लेकिन अन्यथा क्रमित क्षेत्र के सिद्धांतों का पालन करती हैं। प्रत्येक क्रमित क्षेत्र को अवास्तविक संख्याओं में सन्निहित किया जा सकता है।

क्रमित क्षेत्र के गुण

गुण

a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay

गुण

x<y\Rightarrow a+x<a+y

F में प्रत्येक a,b,c,d के लिए:

या तो −a ≤ 0 ≤ a या a ≤ 0 ≤ −a.
कोई "असमानताएं जोड़" सकता है: यदि a ≤ b और c ≤ d, तो a + c ≤ b + d है
कोई "असमानताओं को धनात्मक तत्वों से गुणा" कर सकता है: यदि a ≤ b और 0 ≤ c, तो ac ≤ bc है।
असमानता का सकर्मक गुण: यदि a < b और b < c, तो a < c है।
यदि a < b और a, b > 0, तो 1/b < 1/a है
क्रमित क्षेत्र में अभिलक्षण (बीजगणित) 0 होती है। (चूंकि 1 > 0, फिर 1 + 1 > 0, और 1 + 1 + 1 > 0, आदि। यदि क्षेत्र में अभिलक्षण p > 0 है, तो −1 होगा p − 1 वाले का योग, लेकिन −1 धनात्मक नहीं है।) विशेष रूप से, परिमित क्षेत्र का क्रम नहीं दिया जा सकता है।
वर्ग गैर-ऋणात्मक हैं: 0 ≤ a^{2 ,}F में सभी a के लिए हैं।
वर्गों का प्रत्येक गैर-तुच्छ योग शून्य नहीं होता है। समान रूप से: $\textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.$ ^[2]^[3]

क्रमित क्षेत्र का प्रत्येक उपक्षेत्र भी क्रमित क्षेत्र है (प्रेरित क्रम को वंशानुगत मिला हुआ)। सबसे छोटा उपक्षेत्र परिमेय संख्या के समरूपता है (अभिलक्षण 0 के किसी भी अन्य क्षेत्र के लिए), और इस परिमेय उपक्षेत्र पर क्रम स्वयं परिमेय के क्रम के समान है। यदि किसी क्रमित क्षेत्र का प्रत्येक तत्व उसके परिमेय उपक्षेत्र के दो तत्वों के बीच स्थित है, तो क्षेत्र को आर्किमिडीयन गुण कहा जाता है। अन्यथा, ऐसा क्षेत्र गैर-आर्किमिडीयन क्रमित क्षेत्र है और इसमें अत्यणु सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ आर्किमिडीयन क्षेत्र बनाती हैं, लेकिन हाइपररियल संख्याएँ गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र बनाती हैं, क्योंकि यह किसी भी मानक प्राकृतिक संख्या से अधिक तत्वों के साथ वास्तविक संख्याओं का विस्तार करती है।^[4]

क्रमित क्षेत्र F, वास्तविक संख्या क्षेत्र R के समरूपी है यदि F में ऊपरी सीमा वाले F के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में F में न्यूनतम उपरि परिबंध है। यह गुण बताता है कि क्षेत्र आर्किमिडीयन है।

क्रमित क्षेत्र पर सदिश समष्टि

क्रमित क्षेत्र पर सदिश समष्टि (विशेष रूप से, एन-स्पेस) कुछ विशेष गुण प्रदर्शित करते हैं और कुछ विशिष्ट संरचनाएं रखते हैं, अर्थात्: अभिविन्यास (सदिश स्थल), उत्तल विश्लेषण, और धनात्मक-निश्चित आंतरिक उत्पाद है। Rⁿ के उन गुणों की चर्चा के लिए वास्तविक समन्वय स्थान#ज्यामितीय गुण और उपयोग देखें, जिसे अन्य क्रमित किए गए क्षेत्र पर सदिश समष्टि के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

क्षेत्र की क्रमबद्धता

प्रत्येक क्रमित क्षेत्र औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र है, अर्थात, 0 को गैर-शून्य वर्गों के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।^[2]^[3]

इसके विपरीत, प्रत्येक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र को संगत कुल क्रम से सुसज्जित किया जा सकता है, जो इसे क्रमित क्षेत्र में बदलता है। (इस क्रम को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं है।) प्रमाण ज़ोर्न के लेम्मा का उपयोग करता है।^[5]

परिमित क्षेत्र और अधिक सामान्यतः धनात्मक अभिलक्षण (बीजगणित) के क्षेत्र को क्रमित क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता है, क्योंकि अभिलक्षण p में, तत्व -1 को (p - 1) वर्ग 1² के योग के रूप में लिखा जा सकता है। सम्मिश्र संख्याओं को भी क्रमित क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता, क्योंकि −1 अधिकल्पित इकाई i का वर्ग है। इसके अतिरिक्त, p-एडिक संख्याओं को क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता है, क्योंकि हेंसेल की लेम्मा Q₂ के अनुसार इसमें −7 का वर्गमूल होता है, इस प्रकार 1² +1² +1² +2²+√−7)²= 0, और Q_p (p > 2) में 1 − p का वर्गमूल होता है, इस प्रकार (p − 1)⋅1² + (√1 − p)²=0 है।^[6]

क्रम द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी

यदि F कुल क्रमित ≤ से उत्पन्न होने वाले क्रमित टोपोलॉजी से सुसज्जित है, तो स्वयंसिद्ध गारंटी देते हैं कि ऑपरेशन + और × निरंतर फलन (टोपोलॉजी) हैं, जिससे कि F टोपोलॉजिकल क्षेत्र हो।

हैरिसन टोपोलॉजी

हैरिसन टोपोलॉजी औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र F के क्रमित X_F के समुच्चय पर टोपोलॉजी है। प्रत्येक क्रम को F^∗ से ±1 तक गुणक समूह समरूपता के रूप में माना जा सकता है।। असतत टोपोलॉजी ±1 औरऔर उत्पाद टोपोलॉजी ±1^F देने से पर X_F सबस्पेस टोपोलॉजी को प्रेरित होती है। हैरिसन समुच्चय करता है $H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}$ हैरिसन टोपोलॉजी के लिए उपआधार तैयार करें। उत्पाद बूलियन स्थान (कॉम्पैक्ट, हॉसडॉर्फ और पूरी तरह से डिस्कनेक्टेड) और X_F है संवृत उपसमुच्चय है, इसलिए फिर से बूलियन है।^[7]^[8]

फेन्स और सुपर क्रमित क्षेत्र

F पर फेन्स इस गुण के साथ पूर्वक्रमित T है, कि यदि S, F^∗ में सूचकांक 2 का उपसमूह है जिसमें T − {0} है और −1 नहीं है तो S क्रम है (अर्थात, S जोड़ के अनुसार संवृत है)।^[9] सुपरऑर्डर क्षेत्र पूरी तरह से वास्तविक क्षेत्र है जिसमें वर्गों के योग का समुच्चय फेन्स बनाता है।^[10]

यह भी देखें

↑ ^1.0 ^1.1 Lam (2005) p. 289
↑ ^2.0 ^2.1 Lam (2005) p. 41
↑ ^3.0 ^3.1 Lam (2005) p. 232
↑ Bair, Jaques; Henry, Valérie. "सूक्ष्मदर्शी के साथ निहित भेदभाव" (PDF). University of Liège. Retrieved 2013-05-04.
↑ Lam (2005) p. 236
↑ The squares of the square roots √−7 and √1 − p are in Q, but are < 0, so that these roots cannot be in Q which means that their p-adic expansions are not periodic.
↑ Lam (2005) p. 271
↑ Lam (1983) pp. 1–2
↑ Lam (1983) p. 39
↑ Lam (1983) p. 45

संदर्भ

Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

[Lam289-1] 1.0 ^1.1 Lam (2005) p. 289

[Lam41-2] 2.0 ^2.1 Lam (2005) p. 41

[Lam232-3] 3.0 ^3.1 Lam (2005) p. 232

[BairHenry-4] Bair, Jaques; Henry, Valérie. "सूक्ष्मदर्शी के साथ निहित भेदभाव" (PDF). University of Liège. Retrieved 2013-05-04.

[Lam236-5] Lam (2005) p. 236

[6] The squares of the square roots √−7 and √1 − p are in Q, but are < 0, so that these roots cannot be in Q which means that their p-adic expansions are not periodic.

[Lam271-7] Lam (2005) p. 271

[L8312-8] Lam (1983) pp. 1–2

[L8339-9] Lam (1983) p. 39

[L8345-10] Lam (1983) p. 45

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 {{Short description|Algebraic object with an ordered structure}}
-गणित में, एक क्रमबद्ध क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र (गणित) है जिसमें इसके तत्वों का कुल क्रम होता है जो क्षेत्र संचालन के साथ संगत होता है। एक आदेशित क्षेत्र का मूल उदाहरण [[वास्तविक संख्या]]ओं का क्षेत्र है, और प्रत्येक [[डेडेकाइंड-पूर्ण]] आदेशित क्षेत्र वास्तविक के [[समरूपी]] है।
+गणित में, '''क्रमित क्षेत्र''' एक ऐसा क्षेत्र (गणित) है जिसमें इसके तत्वों का कुल क्रम क्षेत्र संचालन के साथ संगत होता है। क्रमित क्षेत्र का मूल उदाहरण [[वास्तविक संख्या]]ओं का क्षेत्र है, और प्रत्येक [[डेडेकाइंड-पूर्ण]] क्रमित क्षेत्र वास्तविक के [[समरूपी]] है।
-किसी ऑर्डर किए गए फ़ील्ड का प्रत्येक [[फ़ील्ड विस्तार]] विरासत में मिले क्रम में एक ऑर्डर किया गया फ़ील्ड भी होता है। प्रत्येक क्रमित फ़ील्ड में एक क्रमबद्ध उपफ़ील्ड होता है जो परिमेय संख्याओं के समरूपी होता है। एक क्रमित क्षेत्र में [[वर्ग (बीजगणित)]] आवश्यक रूप से गैर-नकारात्मक होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि सम्मिश्र संख्याओं को क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता क्योंकि [[काल्पनिक इकाई]] ''i'' का वर्ग है {{num|−1}} (जो किसी भी क्रमित फ़ील्ड में नकारात्मक है)। परिमित फ़ील्ड का आदेश नहीं दिया जा सकता.
+किसी क्रमित किए गए क्षेत्र का प्रत्येक [[फ़ील्ड विस्तार|उपक्षेत्र]] वंशानुगत क्रम में क्रमित किया गया क्षेत्र भी है। प्रत्येक क्रमित क्षेत्र में क्रमबद्ध उपक्षेत्र होता है जो परिमेय संख्याओं के समरूपी होता है। क्रमित क्षेत्र में [[वर्ग (बीजगणित)]] आवश्यक रूप से ऋणेतर संख्या होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि सम्मिश्र संख्याओं को क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता क्योंकि [[काल्पनिक इकाई|अधिकल्पित इकाई]] ''i'' का वर्ग  {{num|−1}} है (जो किसी भी क्रमित क्षेत्र में ऋणात्मक है)। परिमित क्षेत्र का क्रम नहीं दिया जा सकता हैं।
-ऐतिहासिक रूप से, [[डेविड हिल्बर्ट]], ओटो होल्डर और [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] सहित गणितज्ञों द्वारा एक आदेशित क्षेत्र के स्वयंसिद्धीकरण को वास्तविक संख्याओं से धीरे-धीरे अलग किया गया था। यह अंततः क्रमित क्षेत्रों और [[औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र]]ों के आर्टिन-श्रेयर प्रमेय|आर्टिन-श्रेयर सिद्धांत में विकसित हुआ।
+ऐतिहासिक रूप से, [[डेविड हिल्बर्ट]], ओटो होल्डर और [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] सहित गणितज्ञों द्वारा क्रमित क्षेत्र के स्वयंसिद्धीकरण को वास्तविक संख्याओं से धीरे-धीरे अलग किया गया था। यह अंततः क्रमित क्षेत्रों और [[औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र]] के आर्टिन-श्रेयर सिद्धांत में विकसित हुआ हैं।
 ==परिभाषाएँ==
-किसी क्रमित फ़ील्ड की दो समान सामान्य परिभाषाएँ हैं। कुल क्रम की परिभाषा पहली बार ऐतिहासिक रूप से सामने आई और यह क्रम का प्रथम-क्रम स्वयंसिद्धीकरण है <math>\leq</math> एक [[द्विआधारी विधेय]] के रूप में। आर्टिन और श्रेयर ने 1926 में सकारात्मक शंकु के संदर्भ में परिभाषा दी, जो गैर-नकारात्मक तत्वों के उपसंग्रह को स्वयंसिद्ध करती है। हालाँकि बाद वाला उच्च-क्रम का है, सकारात्मक शंकु को इस रूप में देखना {{em|maximal}} प्रीपॉजिटिव शंकु एक बड़ा संदर्भ प्रदान करता है जिसमें फ़ील्ड ऑर्डर होते हैं {{em|extremal}} आंशिक आदेश।
+किसी क्रमित क्षेत्र की दो समान सामान्य परिभाषाएँ हैं। '''कुल क्रम''' की परिभाषा पहली बार ऐतिहासिक रूप से सामने आई और यह क्रम <math>\leq</math> [[द्विआधारी विधेय]] के रूप में का प्रथम-क्रम स्वयंसिद्धीकरण है। आर्टिन और श्रेयर ने 1926 में '''धनात्मक शंकु''' के संदर्भ में परिभाषा दी, जो ऋणेतर संख्या तत्वों के उपसंग्रह को स्वयंसिद्ध करती है। हालाँकि बाद वाला उच्च-क्रम का है, धनात्मक शंकु को इस रूप में देखना {{em|अधिकतम}}  उपसर्गणीय शंकु एक बड़ा संदर्भ प्रदान करता है जिसमें क्षेत्र क्रमित {{em|अतिशय}} आंशिक क्रम होते हैं।
-===कुल ऑर्डर===
+===कुल क्रम===
-एक क्षेत्र (गणित) <math>(F, +, \cdot\,)</math> कुल आदेश के साथ#सख्त कुल आदेश|(सख्त) कुल आदेश <math> < </math> पर <math>F</math> एक{{visible anchor|ordered field}} यदि आदेश सभी के लिए निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है <math>a, b, c \in F:</math>
+एक क्षेत्र (गणित) <math>(F, +, \cdot\,)</math> एक साथ कुल क्रम के साथ <math> < </math> पर <math>F</math> यदि क्रम सभी के लिए निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है <math>a, b, c \in F:</math>
-* अगर <math>a < b</math> तब <math>a + c < b + c,</math> और
+* यदि <math>a < b</math> तब <math>a + c < b + c,</math> और
-* अगर <math>0 < a</math> और <math>0 < b</math> तब <math>0 < a \cdot b.</math>
+* यदि <math>0 < a</math> और <math>0 < b</math> तब <math>0 < a \cdot b.</math>
+===धनात्मक शंकु===
+किसी क्षेत्र का '''उपसर्गणीय शंकु''' या '''पूर्वक्रम''' <math>F</math> एक उपसमुच्चय है <math>P \subseteq F</math> जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:<ref name=Lam289>Lam (2005) p. 289</ref>
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+* तत्व <math>- 1</math> इसमें <math>P.</math> नहीं है
+'''पूर्वक्रमित क्षेत्र''' पूर्वक्रम <math>P.</math>से सुसज्जित एक क्षेत्र है इसके गैर-शून्य तत्व <math>P^*</math> के गुणक समूह का [[उपसमूह]]<math>F.</math>उपसमूह बनाता है।
+यदि इसके अतिरिक्त, समुच्चय <math>F</math> का <math>P</math> और <math>- P,</math> संयोजन मिलन है <math>P</math> का '''धनात्मक शंकु''' <math>F.</math>है गैर-शून्य तत्व <math>P</math> के '''धनात्मक''' तत्व <math>F.</math> कहलाते हैं।
-===धनात्मक शंकु===
+क्रमित क्षेत्र <math>F</math> धनात्मक शंकु के साथ <math>P.</math> क्षेत्र है।
-ए{{visible anchor|prepositive cone}} या किसी फ़ील्ड का प्रीऑर्डर करना <math>F</math> एक उपसमुच्चय है <math>P \subseteq F</math> जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:<ref name=Lam289>Lam (2005) p. 289</ref>
-* के लिए <math>x</math> और <math>y</math> में <math>P,</math> दोनों <math>x + y</math> और <math>x \cdot y</math> में हैं <math>P.</math>
-* अगर <math>x \in F,</math> तब <math>x^2 \in P.</math> विशेष रूप से, <math>1 = 1^2 \in P.</math>
-* तत्व <math>- 1</math> इसमें नहीं है <math>P.</math>
-ए{{visible anchor|preordered field}} प्रीऑर्डरिंग से सुसज्जित एक फ़ील्ड है <math>P.</math> इसके गैर-शून्य तत्व <math>P^*</math> के गुणक समूह का एक [[उपसमूह]] बनाएं <math>F.</math>
-यदि इसके अतिरिक्त, सेट <math>F</math> का मिलन है <math>P</math> और <math>- P,</math> हम बुलाते है <math>P</math> का एक सकारात्मक शंकु <math>F.</math> के गैर-शून्य तत्व <math>P</math> के सकारात्मक तत्व कहलाते हैं <math>F.</math>
-एक आदेशित फ़ील्ड एक फ़ील्ड है <math>F</math> एक सकारात्मक शंकु के साथ <math>P.</math>
-प्रीऑर्डर जारी है <math>F</math> वास्तव में सकारात्मक शंकु के परिवारों के प्रतिच्छेदन हैं <math>F.</math> सकारात्मक शंकु अधिकतम प्रीऑर्डरिंग हैं।<ref name=Lam289/>
+पूर्वक्रम <math>F</math> वास्तव में धनात्मक शंकु के परिवारों <math>F.</math> के प्रतिच्छेदन हैं। धनात्मक शंकु अधिकतम पूर्वक्रम हैं।<ref name="Lam289" />
+===दो परिभाषाओं की समानता===
+मान लीजिये <math>F</math> एक क्षेत्र है। <math>F</math> और धनात्मक शंकु <math>F.</math> के क्षेत्र क्रमों के बीच द्विअंतथक्षेपण है।
-===दो परिभाषाओं की समानता===
+पहली परिभाषा के अनुसार क्षेत्र क्रम ≤ को देखते हुए, तत्वों का समुच्चय ऐसा होता है <math>x \geq 0</math> का धनात्मक शंकु <math>F.</math> बनता है इसके विपरीत, धनात्मक शंकु दिया गया है <math>P</math> का <math>F</math> जैसा कि दूसरी परिभाषा में है, कोई कुल क्रम को जोड़ सकता है <math>\leq_P</math> पर <math>F</math> सेटिंग द्वारा <math>x \leq_P y</math> का मतलब <math>y - x \in P.</math>  है यह कुल क्रम <math>\leq_P</math> पहली परिभाषा के गुणों को संतुष्ट करता है।
-होने देना <math>F</math> एक क्षेत्र हो. के क्षेत्र क्रमों के बीच एक आपत्ति है <math>F</math> और के सकारात्मक शंकु <math>F.</math>
-पहली परिभाषा के अनुसार फ़ील्ड ऑर्डरिंग ≤ को देखते हुए, तत्वों का सेट ऐसा होता है <math>x \geq 0</math> का एक धनात्मक शंकु बनता है <math>F.</math> इसके विपरीत, एक धनात्मक शंकु दिया गया है <math>P</math> का <math>F</math> जैसा कि दूसरी परिभाषा में है, कोई कुल क्रम को जोड़ सकता है <math>\leq_P</math> पर <math>F</math> व्यवस्थित करके <math>x \leq_P y</math> मतलब निकालना <math>y - x \in P.</math> यह कुल ऑर्डरिंग <math>\leq_P</math> पहली परिभाषा के गुणों को संतुष्ट करता है।
-==आदेशित फ़ील्ड के उदाहरण==
+==क्रमित क्षेत्र के उदाहरण==
-आदेशित फ़ील्ड के उदाहरण हैं:
+क्रमित क्षेत्र के उदाहरण हैं:
-* तर्कसंगत संख्याएँ
+* परिमेय संख्या
 * [[वास्तविक संख्या]]एँ
-* किसी क्रमित फ़ील्ड का कोई उपफ़ील्ड, जैसे वास्तविक [[बीजगणितीय संख्याएँ]] या [[गणना योग्य संख्या]]एँ
+* किसी क्रमित क्षेत्र का कोई उपक्षेत्र, जैसे वास्तविक [[बीजगणितीय संख्याएँ]] या [[गणना योग्य संख्या]]एँ
-* फील्ड <math>\mathbb{Q}(x)</math> [[तर्कसंगत कार्य]]ों का <math>p(x)/q(x)</math>, कहाँ <math>p(x)</math> और <math>q(x)</math> तर्कसंगत गुणांक वाले [[बहुपद]] हैं, <math>q(x) \ne 0</math>, एक वास्तविक [[पारलौकिक संख्या]] को निश्चित करके एक क्रमबद्ध फ़ील्ड में बनाया जा सकता है <math>\alpha</math> और परिभाषित करना <math>p(x)/q(x) > 0</math> अगर और केवल अगर <math>p(\alpha)/q(\alpha) > 0</math>. यह एम्बेडिंग के बराबर है <math>\mathbb{Q}(x)</math> में <math>\mathbb{R}</math> और के आदेश को प्रतिबंधित करना <math>\mathbb{R}</math> की छवि के एक आदेश के लिए <math>\mathbb{Q}(x)</math>.
+* क्षेत्र <math>\mathbb{Q}(x)</math> [[तर्कसंगत कार्य|परिमेय फलन]]  <math>p(x)/q(x)</math> का, जहाँ <math>p(x)</math> और <math>q(x)</math> परिमेय गुणांक वाले [[बहुपद]] हैं, <math>q(x) \ne 0</math>, वास्तविक [[पारलौकिक संख्या|प्रागनुभविक संख्या]] <math>\alpha</math> को निश्चित करके क्रमित क्षेत्र में बनाया जा सकता है <math>p(x)/q(x) > 0</math> और परिभाषित करना यदि और केवल यदि <math>p(\alpha)/q(\alpha) > 0</math> हैं यह एम्बेडिंग <math>\mathbb{Q}(x)</math> के बराबर है <math>\mathbb{R}</math> में और के क्रम को प्रतिबंधित करना <math>\mathbb{R}</math> की छवि के एक क्रम के लिए <math>\mathbb{Q}(x)</math> हैं।
-* फील्ड <math>\mathbb{R}(x)</math> तर्कसंगत कार्यों का <math>p(x)/q(x)</math>, कहाँ <math>p(x)</math> और <math>q(x)</math> वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं, <math>q(x) \ne 0</math>, एक आदेशित क्षेत्र में बनाया जा सकता है जहां बहुपद <math>p(x)=x</math> परिभाषित करके, किसी भी अचर बहुपद से बड़ा है <math>p(x)/q(x) > 0</math> इसका मतलब यह है <math>p_n/q_m > 0</math>, कहाँ <math>p_n \neq 0</math> और <math>q_m \neq 0</math> के प्रमुख गुणांक हैं <math>p(x) = p_n x^n + \dots + p_0</math> और <math>q(x) = q_m x^m + \dots + q_0</math>, क्रमश। यह आदेशित फ़ील्ड [[आर्किमिडीयन क्षेत्र]] नहीं है।
+* क्षेत्र <math>\mathbb{R}(x)</math> परिमेय कार्यों का <math>p(x)/q(x)</math>, जहाँ <math>p(x)</math> और <math>q(x)</math> वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं, <math>q(x) \ne 0</math>, एक क्रमित क्षेत्र में बनाया जा सकता है जहां बहुपद <math>p(x)=x</math> परिभाषित करके, किसी भी अचर बहुपद से बड़ा है <math>p(x)/q(x) > 0</math> इसका मतलब यह है  <math>p_n/q_m > 0</math>, जहाँ <math>p_n \neq 0</math> और <math>q_m \neq 0</math> के प्रमुख गुणांक हैं <math>p(x) = p_n x^n + \dots + p_0</math> और <math>q(x) = q_m x^m + \dots + q_0</math>, क्रमश हैं। यह क्रमित क्षेत्र [[आर्किमिडीयन क्षेत्र]] नहीं है।
-* फील्ड <math>\mathbb{R}((x))</math> वास्तविक गुणांकों के साथ [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] का, जहां x को अतिसूक्ष्म और सकारात्मक माना जाता है
+* क्षेत्र <math>\mathbb{R}((x))</math> वास्तविक गुणांकों के साथ [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|औपचारिक घात श्रेणी]] का, जहां x को अतिसूक्ष्म और धनात्मक माना जाता है
 * [[ट्रांससीरीज़]]
-* वास्तविक बंद फ़ील्ड
+* वास्तविक संवृत क्षेत्र
-* [[[[अतियथार्थवादी संख्या]]]]एँ
+* [[अतियथार्थवादी संख्या]]एँ
 *अतिवास्तविक संख्याएँ
-[[अवास्तविक संख्याएँ]] एक [[सेट (गणित)]] के बजाय एक [[वर्ग (सेट सिद्धांत)]] बनाती हैं, लेकिन अन्यथा एक आदेशित क्षेत्र के सिद्धांतों का पालन करती हैं। प्रत्येक आदेशित फ़ील्ड को अवास्तविक संख्याओं में एम्बेड किया जा सकता है।
+[[अवास्तविक संख्याएँ]] एक [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] के अतिरिक्त [[वर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग (समुच्चय सिद्धांत)]] बनाती हैं, लेकिन अन्यथा क्रमित क्षेत्र के सिद्धांतों का पालन करती हैं। प्रत्येक क्रमित क्षेत्र को अवास्तविक संख्याओं में सन्निहित किया जा सकता है।
-==आदेशित फ़ील्ड के गुण==
+==क्रमित क्षेत्र के गुण==
-[[File:Invariance of less-than-relation by multiplication with positive number.svg|thumb|संपत्ति <math>a > 0 \land x < y \Rightarrow ax < ay</math>]]
+[[File:Invariance of less-than-relation by multiplication with positive number.svg|thumb|गुण <math>a > 0 \land x < y \Rightarrow ax < ay</math>]]
-[[File:Translation invariance of less-than-relation.svg|thumb|संपत्ति <math>x < y \Rightarrow a+x < a+y</math>]]एफ में प्रत्येक ए, बी, सी, डी के लिए:
+[[File:Translation invariance of less-than-relation.svg|thumb|गुण <math>x < y \Rightarrow a+x < a+y</math>]]''F'' में प्रत्येक ''a,b,c,d'' के लिए:
 * या तो −a ≤ 0 ≤ a या a ≤ 0 ≤ −a.
-* कोई असमानताएं जोड़ सकता है: यदि a ≤ b और c ≤ d, तो a + c ≤ b + d.
+* कोई "असमानताएं जोड़" सकता है: यदि a ≤ b और c ≤ d, तो a + c ≤ b + d है
-* कोई असमानताओं को सकारात्मक तत्वों से गुणा कर सकता है: यदि a ≤ b और 0 ≤ c, तो ac ≤ bc।
+* कोई "असमानताओं को धनात्मक तत्वों से गुणा"  कर सकता है: यदि a ≤ b और 0 ≤ c, तो ac ≤ bc है।
-*असमानता का सकर्मक गुण: यदि a < b और b < c, तो a < c।
+*असमानता का सकर्मक गुण: यदि a < b और b < c, तो a < c है।
-* यदि a < b और a, b > 0, तो 1/b < 1/a.
+* यदि a < b और a, b > 0, तो 1/b < 1/a है
-* एक क्रमित फ़ील्ड में [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 होती है। (चूंकि 1 > 0, फिर 1 + 1 > 0, और 1 + 1 + 1 > 0, आदि। यदि फ़ील्ड में विशेषता p > 0 है, तो −1 होगा p − 1 वाले का योग, लेकिन −1 धनात्मक नहीं है।) विशेष रूप से, परिमित फ़ील्ड का आदेश नहीं दिया जा सकता है।
+* क्रमित क्षेत्र में [[विशेषता (बीजगणित)|अभिलक्षण (बीजगणित)]] 0 होती है। (चूंकि 1 > 0, फिर 1 + 1 > 0, और 1 + 1 + 1 > 0, आदि। यदि क्षेत्र में अभिलक्षण p > 0 है, तो −1 होगा p − 1 वाले का योग, लेकिन −1 धनात्मक नहीं है।) विशेष रूप से, परिमित क्षेत्र का क्रम नहीं दिया जा सकता है।
-* वर्ग गैर-ऋणात्मक हैं: 0 ≤ a<sup>2</sup>F में सभी a के लिए।
+* वर्ग गैर-ऋणात्मक हैं: ''0 ≤ a<sup>2 ,</sup>F'' में सभी ''a'' के लिए हैं।
-* {{anchor|nontrivialSquareSum}}वर्गों का प्रत्येक गैर-तुच्छ योग शून्य नहीं होता है। समान रूप से: <math>\textstyle \sum_{k=1}^n a_k^2 = 0 \; \Longrightarrow \; \forall k \; \colon a_k = 0 .</math><ref name=Lam41/><ref name=Lam232/>
+* वर्गों का प्रत्येक गैर-तुच्छ योग शून्य नहीं होता है। समान रूप से: <math>\textstyle \sum_{k=1}^n a_k^2 = 0 \; \Longrightarrow \; \forall k \; \colon a_k = 0 .</math><ref name=Lam41/><ref name=Lam232/>
-एक आदेशित क्षेत्र का प्रत्येक उपक्षेत्र भी एक आदेशित क्षेत्र है (प्रेरित क्रम को विरासत में मिला हुआ)। सबसे छोटा उपक्षेत्र परिमेय संख्या के समरूपता है (विशेषता 0 के किसी भी अन्य क्षेत्र के लिए), और इस परिमेय उपक्षेत्र पर क्रम स्वयं परिमेय के क्रम के समान है। यदि किसी क्रमित क्षेत्र का प्रत्येक तत्व उसके तर्कसंगत उपक्षेत्र के दो तत्वों के बीच स्थित है, तो क्षेत्र को आर्किमिडीयन संपत्ति कहा जाता है। अन्यथा, ऐसा फ़ील्ड एक गैर-आर्किमिडीयन आदेशित फ़ील्ड है और इसमें [[बहुत छोता]] शामिल हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ एक आर्किमिडीयन फ़ील्ड बनाती हैं, लेकिन हाइपररियल संख्याएँ एक गैर-आर्किमिडीयन फ़ील्ड बनाती हैं, क्योंकि यह किसी भी मानक [[प्राकृतिक संख्या]] से अधिक तत्वों के साथ वास्तविक संख्याओं का विस्तार करती है।<ref name="BairHenry">{{cite web | url=http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/2268/13591/1/ImplicitDiff.pdf | title=सूक्ष्मदर्शी के साथ निहित भेदभाव| publisher=[[University of Liège]] | access-date=2013-05-04 |author1=Bair, Jaques |author2=Henry, Valérie }}</ref>
+क्रमित क्षेत्र का प्रत्येक उपक्षेत्र भी क्रमित क्षेत्र है (प्रेरित क्रम को वंशानुगत मिला हुआ)। सबसे छोटा उपक्षेत्र परिमेय संख्या के समरूपता है (अभिलक्षण 0 के किसी भी अन्य क्षेत्र के लिए), और इस परिमेय उपक्षेत्र पर क्रम स्वयं परिमेय के क्रम के समान है। यदि किसी क्रमित क्षेत्र का प्रत्येक तत्व उसके परिमेय उपक्षेत्र के दो तत्वों के बीच स्थित है, तो क्षेत्र को आर्किमिडीयन गुण कहा जाता है। अन्यथा, ऐसा क्षेत्र गैर-आर्किमिडीयन क्रमित क्षेत्र है और इसमें [[बहुत छोता|अत्यणु]] सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ आर्किमिडीयन क्षेत्र बनाती हैं, लेकिन हाइपररियल संख्याएँ गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र बनाती हैं, क्योंकि यह किसी भी मानक [[प्राकृतिक संख्या]] से अधिक तत्वों के साथ वास्तविक संख्याओं का विस्तार करती है।<ref name="BairHenry">{{cite web | url=http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/2268/13591/1/ImplicitDiff.pdf | title=सूक्ष्मदर्शी के साथ निहित भेदभाव| publisher=[[University of Liège]] | access-date=2013-05-04 |author1=Bair, Jaques |author2=Henry, Valérie }}</ref>
-एक क्रमित फ़ील्ड F, वास्तविक संख्या फ़ील्ड 'R' के समरूपी है यदि F में ऊपरी सीमा वाले F के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में F में [[न्यूनतम ऊपरी सीमा]] है। यह गुण बताता है कि फ़ील्ड आर्किमिडीयन है।
-===आदेशित फ़ील्ड पर वेक्टर रिक्त स्थान===
+क्रमित क्षेत्र F, वास्तविक संख्या क्षेत्र '''R''' के समरूपी है यदि F में ऊपरी सीमा वाले F के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में F में [[न्यूनतम ऊपरी सीमा|न्यूनतम उपरि परिबंध]] है। यह गुण बताता है कि क्षेत्र आर्किमिडीयन है।
-वेक्टर रिक्त स्थान (विशेष रूप से, वेक्टर रिक्त स्थान के उदाहरण#समन्वय स्थान|n-स्थान) एक क्रमित क्षेत्र पर कुछ विशेष गुण प्रदर्शित करते हैं और कुछ विशिष्ट संरचनाएं रखते हैं, अर्थात्: अभिविन्यास ([[सदिश स्थल]]), [[उत्तल विश्लेषण]], और [[आंतरिक उत्पाद स्थान]]|सकारात्मक-निश्चित अंदरूनी प्रोडक्ट। 'आर' के उन गुणों की चर्चा के लिए वास्तविक समन्वय स्थान#ज्यामितीय गुण और उपयोग देखें<sup>n</sup>, जिसे अन्य ऑर्डर किए गए फ़ील्ड पर वेक्टर रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
-==फ़ील्ड की क्रमबद्धता==
+===क्रमित क्षेत्र पर सदिश समष्टि===
-प्रत्येक आदेशित फ़ील्ड औपचारिक रूप से वास्तविक फ़ील्ड है, यानी, 0 को गैर-शून्य वर्गों के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।<ref name=Lam41>Lam (2005) p. 41</ref><ref name=Lam232>Lam (2005) p. 232</ref>
+क्रमित क्षेत्र पर सदिश समष्टि (विशेष रूप से, एन-स्पेस) कुछ विशेष गुण प्रदर्शित करते हैं और कुछ विशिष्ट संरचनाएं रखते हैं, अर्थात्: अभिविन्यास ([[सदिश स्थल]]), [[उत्तल विश्लेषण]], और धनात्मक-निश्चित आंतरिक उत्पाद है। '''R'''<sup>''n''</sup> के उन गुणों की चर्चा के लिए वास्तविक समन्वय स्थान#ज्यामितीय गुण और उपयोग देखें, जिसे अन्य क्रमित किए गए क्षेत्र पर सदिश समष्टि के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
-इसके विपरीत, प्रत्येक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र को एक संगत कुल क्रम से सुसज्जित किया जा सकता है, जो इसे एक आदेशित क्षेत्र में बदल देगा। (इस आदेश को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं है।) प्रमाण ज़ोर्न के लेम्मा का उपयोग करता है।<ref name=Lam236>Lam (2005) p. 236</ref>
-परिमित फ़ील्ड और अधिक सामान्यतः सकारात्मक विशेषता (बीजगणित) के फ़ील्ड को क्रमित फ़ील्ड में नहीं बदला जा सकता है, क्योंकि विशेषता पी में, तत्व -1 को (पी - 1) वर्ग 1 के योग के रूप में लिखा जा सकता है।<sup>2</sup>. सम्मिश्र संख्याओं को भी एक क्रमित फ़ील्ड में नहीं बदला जा सकता, क्योंकि −1 काल्पनिक इकाई i का एक वर्ग है। इसके अलावा, पी-एडिक संख्याओं को क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता है, क्योंकि हेंसल की लेम्मा#उदाहरण|हेंसेल की लेम्मा 'क्यू' के अनुसार<sub>2</sub> इसमें −7 का वर्गमूल होता है, इस प्रकार 1<sup>2</sup> +1<sup>2</sup> +1<sup>2</sup> +2<sup>2</sup>+{{radic|−7}})<sup>2</sup>= 0, और Q<sub>''p''</sub> (p > 2) में 1 − p का वर्गमूल होता है, इस प्रकार (p − 1)⋅1<sup>2</sup> + ({{radic|1&nbsp;−&nbsp;''p''}})<sup>2</sup>=0.<ref>The squares of the square roots {{radic|−7}} and {{radic|1&nbsp;−&nbsp;''p''}} are in '''Q''', but are <&nbsp;0, so that these roots cannot be in '''Q''' which means that their {{nowrap|''p''-adic}} expansions are not periodic.</ref>
+==क्षेत्र की क्रमबद्धता==
+प्रत्येक क्रमित क्षेत्र औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र है, अर्थात, 0 को गैर-शून्य वर्गों के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।<ref name=Lam41>Lam (2005) p. 41</ref><ref name=Lam232>Lam (2005) p. 232</ref>
-==आदेश द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी==
+इसके विपरीत, प्रत्येक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र को संगत कुल क्रम से सुसज्जित किया जा सकता है, जो इसे क्रमित क्षेत्र में बदलता है। (इस क्रम को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं है।) प्रमाण ज़ोर्न के लेम्मा का उपयोग करता है।<ref name="Lam236">Lam (2005) p. 236</ref>
-यदि F कुल ऑर्डर ≤ से उत्पन्न होने वाले [[ऑर्डर टोपोलॉजी]] से सुसज्जित है, तो स्वयंसिद्ध गारंटी देते हैं कि ऑपरेशन + और × निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) हैं, ताकि F एक [[टोपोलॉजिकल क्षेत्र]] हो।
+परिमित क्षेत्र और अधिक सामान्यतः धनात्मक अभिलक्षण (बीजगणित) के क्षेत्र को क्रमित क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता है, क्योंकि अभिलक्षण ''p'' में, तत्व -1 को (''p'' - 1) वर्ग 1<sup>2</sup> के योग के रूप में लिखा जा सकता है। सम्मिश्र संख्याओं को भी क्रमित क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता, क्योंकि −1 अधिकल्पित इकाई i का वर्ग है। इसके अतिरिक्त, ''p''-एडिक संख्याओं को क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता है, क्योंकि हेंसेल की लेम्मा '''Q'''<sub>2</sub> के अनुसार इसमें −7 का वर्गमूल होता है, इस प्रकार 1<sup>2</sup> +1<sup>2</sup> +1<sup>2</sup> +2<sup>2</sup>+{{radic|−7}})<sup>2</sup>= 0, और '''Q<sub>''p''</sub>''' (p > 2) में 1 ''− p'' का वर्गमूल होता है, इस प्रकार (p − 1)⋅1<sup>2</sup> + ({{radic|1&nbsp;−&nbsp;''p''}})<sup>2</sup>=0 है।<ref>The squares of the square roots {{radic|−7}} and {{radic|1&nbsp;−&nbsp;''p''}} are in '''Q''', but are <&nbsp;0, so that these roots cannot be in '''Q''' which means that their {{nowrap|''p''-adic}} expansions are not periodic.</ref>
+==क्रम द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी==
+यदि ''F'' कुल क्रमित ≤ से उत्पन्न होने वाले [[ऑर्डर टोपोलॉजी|क्रमित टोपोलॉजी]] से सुसज्जित है, तो स्वयंसिद्ध गारंटी देते हैं कि ऑपरेशन + और × निरंतर फलन (टोपोलॉजी) हैं, जिससे कि ''F'' [[टोपोलॉजिकल क्षेत्र]] हो।
 ==हैरिसन टोपोलॉजी==
-हैरिसन टोपोलॉजी ऑर्डर ''X'' के सेट पर एक टोपोलॉजी है<sub>''F''</sub> औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र F का। प्रत्येक क्रम को F से गुणक समूह समरूपता के रूप में माना जा सकता है<sup>∗</sup> ±1 पर। [[असतत टोपोलॉजी]] ±1 और ±1 दे रहे हैं<sup>एफ</sup>[[उत्पाद टोपोलॉजी]] एक्स पर [[सबस्पेस टोपोलॉजी]] को प्रेरित करती है<sub>''F''</sub>. हैरिसन सेट करता है <math>H(a) = \{ P \in X_F : a \in P \}</math> हैरिसन टोपोलॉजी के लिए एक उपआधार तैयार करें। उत्पाद एक [[बूलियन स्थान]] ([[ सघन स्थान ]], [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] और पूरी तरह [[पूरी तरह से कटा हुआ स्थान]]) और एक्स है<sub>''F''</sub> एक बंद उपसमुच्चय है, इसलिए फिर से बूलियन।<ref name=Lam271>Lam (2005) p. 271</ref><ref name=L8312>Lam (1983) pp.&nbsp;1–2</ref>
+'''हैरिसन टोपोलॉजी''' औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र F के क्रमित ''X<sub>F</sub>'' के समुच्चय पर टोपोलॉजी है। प्रत्येक क्रम को ''F''<sup>∗</sup> से ±1 तक गुणक समूह समरूपता के रूप में माना जा सकता है।। [[असतत टोपोलॉजी]] ±1 औरऔर [[उत्पाद टोपोलॉजी]] ±1<sup>''F''</sup> देने से पर ''X<sub>F</sub>'' [[सबस्पेस टोपोलॉजी]] को प्रेरित होती है। '''हैरिसन समुच्चय''' करता है <math>H(a) = \{ P \in X_F : a \in P \}</math> हैरिसन टोपोलॉजी के लिए उपआधार तैयार करें। उत्पाद [[बूलियन स्थान]] (कॉम्पैक्ट, हॉसडॉर्फ और पूरी तरह से डिस्कनेक्टेड) और ''X<sub>F</sub>'' है संवृत उपसमुच्चय है, इसलिए फिर से बूलियन है।<ref name=Lam271>Lam (2005) p. 271</ref><ref name=L8312>Lam (1983) pp.&nbsp;1–2</ref>
+==फेन्स और सुपर क्रमित क्षेत्र==
+''F'' पर '''फेन्स''' इस गुण के साथ पूर्वक्रमित  ''T''  है, कि यदि ''S, F''<sup>∗</sup> में सूचकांक 2 का उपसमूह है जिसमें T − {0} है और −1 नहीं है तो ''S'' क्रम है (अर्थात, S जोड़ के अनुसार संवृत है)।<ref name=L8339>Lam (1983) p.&nbsp;39</ref> '''सुपरऑर्डर क्षेत्र''' पूरी तरह से वास्तविक क्षेत्र है जिसमें वर्गों के योग का समुच्चय फेन्स बनाता है।<ref name=L8345>Lam (1983) p.&nbsp;45</ref>
-==प्रशंसक और सुपर ऑर्डर फ़ील्ड==
-''एफ'' पर एक पंखा ''टी'' का प्री ऑर्डर है, इस गुण के साथ कि यदि ''एस'' ''एफ'' में सूचकांक 2 का एक उपसमूह है<sup>∗</sup> जिसमें T − {0} है और −1 नहीं है तो S एक क्रम है (अर्थात, S जोड़ के तहत बंद है)।<ref name=L8339>Lam (1983) p.&nbsp;39</ref> एक सुपरऑर्डर फ़ील्ड एक पूरी तरह से वास्तविक फ़ील्ड है जिसमें वर्गों के योग का सेट एक प्रशंसक बनाता है।<ref name=L8345>Lam (1983) p.&nbsp;45</ref>
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Linearly ordered group}}
+* {{annotated link|रैखिक रूप से क्रमबद्ध समूह}}
-* {{annotated link|Ordered group}}
+* {{annotated link|क्रमबद्ध समूह }}
-* {{annotated link|Ordered ring}}
+* {{annotated link|क्रमित रिंग }}
-* {{annotated link|Ordered topological vector space}}
+* {{annotated link|क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस}}
-* {{annotated link|Ordered vector space}}
+* {{annotated link|क्रमित सदिश समष्टि}}
-* {{annotated link|Partially ordered ring}}
+* {{annotated link|आंशिक रूप से ऑर्डर रिंग}}
-* {{annotated link|Partially ordered space}}
+* {{annotated link|आंशिक रूप से क्रमबद्ध समष्टि}}
-* {{annotated link|Preorder field}}
+* {{annotated link|प्रीऑर्डर फ़ील्ड}}
-* {{annotated link|Riesz space}}
+* {{annotated link|रिज़्ज़ स्पेस}}
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 104: / Line 101: @@
 {{Order theory}}
 {{DEFAULTSORT:Ordered Field}}
-[[Category: वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति]] [[Category: क्रमबद्ध बीजगणितीय संरचनाएँ]] [[Category: आदेशित समूह]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Collapse templates|Ordered Field]]
-[[Category:Created On 30/06/2023]]
+[[Category:Created On 30/06/2023|Ordered Field]]
+[[Category:Lua-based templates|Ordered Field]]
+[[Category:Machine Translated Page|Ordered Field]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Ordered Field]]
+[[Category:Pages with script errors|Ordered Field]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Ordered Field]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Ordered Field]]
+[[Category:Templates generating microformats|Ordered Field]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Ordered Field]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Ordered Field]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Ordered Field]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Ordered Field]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates|Ordered Field]]
+[[Category:आदेशित समूह|Ordered Field]]
+[[Category:क्रमबद्ध बीजगणितीय संरचनाएँ|Ordered Field]]
+[[Category:वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति|Ordered Field]]

v t e Order theory
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone Riesz space Upper set Young's lattice

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Latest revision as of 13:59, 7 July 2023

Contents

परिभाषाएँ

कुल क्रम

धनात्मक शंकु

दो परिभाषाओं की समानता

क्रमित क्षेत्र के उदाहरण

क्रमित क्षेत्र के गुण

क्रमित क्षेत्र पर सदिश समष्टि

क्षेत्र की क्रमबद्धता

क्रम द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी

हैरिसन टोपोलॉजी

फेन्स और सुपर क्रमित क्षेत्र

यह भी देखें

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क्रमित क्षेत्र: Difference between revisions

Latest revision as of 13:59, 7 July 2023

परिभाषाएँ

कुल क्रम

धनात्मक शंकु

दो परिभाषाओं की समानता

क्रमित क्षेत्र के उदाहरण

क्रमित क्षेत्र के गुण

क्रमित क्षेत्र पर सदिश समष्टि

क्षेत्र की क्रमबद्धता

क्रम द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी

हैरिसन टोपोलॉजी

फेन्स और सुपर क्रमित क्षेत्र

यह भी देखें

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