फ़ील्ड विस्तार

गणित में, विशेष रूप से बीजगणित में, क्षेत्र विस्तार का एक युम्म होता है $K\subseteq L,$ जैसे कि K का संचालन L के संचालन के समान है जो K तक सीमित है। इस स्थिति में, L, K का एक विस्तार क्षेत्र है और K, L का एक उपक्षेत्र होता है। उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा की सामान्य धारणाओं के अनुसार , सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक विस्तार क्षेत्र हैं; वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र होता हैं।

क्षेत्र विस्तार बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में और गैलोज़ सिद्धांत के माध्यम से बहुपद जड़ों के अध्ययन में मौलिक हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

उपक्षेत्र

एक उपक्षेत्र $K$ एक क्षेत्र का (गणित) $L$ एक उपसमुच्चय होता है $K\subseteq L$ यह आनुवंसिक रूप मे मिले क्षेत्र संचालन के संबंध में क्षेत्र होता है $L$ समान रूप से, एक उपक्षेत्र एक उपसमुच्चय है जिसमें सम्मलित होता है $1$, और जोड़, घटाव, गुणा और गैर-शून्य घटक का व्युत्क्रम लेने की संक्रियाओं के अनुसार बंद किया जाता है $K$

जैसा 1 – 1 = 0, बाद वाली परिभाषा का तात्पर्य है $K$ और $L$ एक ही शून्य घटक होता है।

उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का एक उपक्षेत्र है, जो स्वयं जटिल संख्याओं का एक उपक्षेत्र होता है अधिक सामान्यतः, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र विशेषता के किसी भी क्षेत्र का एक उपक्षेत्र होता है (या समरूपी होता है) $0$।

किसी उपक्षेत्र की विशेषता बड़े क्षेत्र की विशेषता के समान होती है।

विस्तार क्षेत्र

यदि K, L का एक उपक्षेत्र है, तो L एक 'विस्तार क्षेत्र' या केवल K का 'विस्तार' है, और क्षेत्र की यह युग्म से 'क्षेत्र विस्तार' होता है। ऐसे क्षेत्र विस्तार को L/K से दर्शाया जाता है (इसे "K के ऊपर L" के रूप में पढ़ा जाता है)।

यदि L, F का विस्तार है, जो बदले में K का विस्तार है, तो F को L/K का एक मध्यवर्ती क्षेत्र (या मध्यवर्ती विस्तार या उपविस्तार) कहा जाता है।

एक क्षेत्र विस्तार L / K, बड़ा क्षेत्र L एक K-वेक्टर स्थान होता है। इस सदिश समष्टि के आयाम को विस्तार की डिग्री कहा जाता है और इसे [L : K] द्वारा दर्शाया जाता है।

किसी विस्तार की डिग्री 1 है यदि दोनों क्षेत्र समान होते हैं। इस स्थिति में, विस्तार एक 'तुच्छ विस्तार' है।डिग्री 2 और 3 के विस्तारों को क्रमशः द्विघात विस्तार और घन विस्तार कहा जाता है। परिमित विस्तार एक ऐसा विस्तार है जिसकी एक सीमित डिग्री होती है।

दो विस्तार दिए गए L / K और M / L, विस्तृति M / K परिमित होती है यदि दोनों L / K और M / L परिमित हैं इस स्थिति में, एक के पास होता है

$[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].$

क्षेत्र विस्तार L / K और L के उपसमुच्चय S को देखते हुए, L का एक सबसे छोटा उपक्षेत्र होता है जिसमें K और S सम्मलित होते हैं। यह L के सभी उपक्षेत्रों का प्रतिच्छेदन है जिसमें K और S सम्मलित होते हैं, और इसे K (S) द्वारा दर्शाया गया है। (S के साथ जुड़े K को इस प्रकार पढ़ें)। एक का कहना है कि K(S) K के ऊपर S द्वारा उत्पन्न क्षेत्र है, और S, K के ऊपर K(S) का उत्पन्न करने वाला समुच्चय होता है। जब $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ परिमित है, कोई लिखता है $K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ के अतिरिक्त $K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),$ और एक का कहना है कि K(S) K के ऊपर अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। यदि S में एकल घटक s होता है, तो एक्सटेंशन K (s) / K को सरल विस्तार कहा जाता है और s को विस्तार का पूर्वग अवयव (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है।

K(S) रूप का एक विस्तार क्षेत्र अधिकांशतः S से K के संयोजन का परिणाम माना जाता है।

विशेषता 0 में, प्रत्येक परिमित विस्तार एक साधारण विस्तार है। यह पूर्वग अवयव प्रमेय है, जो गैर-शून्य विशेषता वाले क्षेत्रों के लिए सही नहीं होता है।

यदि एक साधारण विस्तार K(s) / K परिमित नहीं है, तो क्षेत्र K(s) K के ऊपर s में परिमेय भिन्नों के क्षेत्र के समरूपी होता है।

चेतावनियाँ

अंकन L/K पूरी तरह से औपचारिक है और इसका तात्पर्य भागफल वलय या भागफल समूह या किसी अन्य प्रकार के विभाजन से नहीं होता है। इसके अतिरिक्त स्लैश शब्द को व्यक्त करता है। कुछ साहित्य में संकेतन L:K का प्रयोग किया जाता है।

क्षेत्र विस्तार के बारे में उन स्थितियों में बात करना अधिकांशतः वांछनीय होता है जहां छोटा क्षेत्र वास्तव में बड़े क्षेत्र में समाहित नहीं होता है, किन्तु स्वाभाविक रूप से अंतर्निहित होता है। इस प्रयोजन के लिए, कोई क्षेत्र विस्तार को दो क्षेत्र के बीच एक अंतःक्षेपक वलय समरूपता के रूप में परिभाषित किया गया है। क्षेत्र के बीच प्रत्येक गैर-शून्य वलय समरूपता अंतःक्षेपक होते है क्योंकि क्षेत्र में गैर-तुच्छ उचित आदर्श नहीं होते हैं, इसलिए क्षेत्र विस्तार त्रुटिहीन रूप से क्षेत्र की श्रेणी में रूपवाद होते हैं।

इसके बाद से, अंतःक्षेपक समरूपता को समाप्त कर देंगे और मान लेंगे कि हम वास्तविक उपक्षेत्रों से निपट रहे हैं।

उदाहरण

सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र $\mathbb {C}$ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {R}$, और $\mathbb {R}$ बदले में यह परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q}$. स्पष्ट रूप से तो, $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ यह एक क्षेत्र विस्तार भी है. अपने पास $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ क्योंकि $\{1,i\}$ एक आधार है, इसलिए विस्तार है $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ परिमित है. यह एक सरल विस्तार है क्योंकि $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i).$ $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}$ (सातत्य की प्रमुखता), इसलिए यह विस्तार अनंत होता है।

क्षेत्र

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},$

का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q} ,$ यह भी स्पष्ट रूप से एक सरल विस्तार है। डिग्री 2 है क्योंकि $\left\{1,{\sqrt {2}}\right\}$ आधार के रूप में कार्य कर सकता है।

क्षेत्र

${\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}$

दोनों का विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ और $\mathbb {Q} ,$ क्रमशः डिग्री 2 और 4 की। यह एक सरल विस्तार भी है, जैसा कि कोई भी दिखा सकता है

${\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}$

का परिमित विस्तार $\mathbb {Q}$ इन्हें बीजगणितीय संख्या क्षेत्र भी कहा जाता है और ये संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण होते हैं। परिमेय का एक अन्य विस्तार क्षेत्र, जो संख्या सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण होता है, चूँकि एक सीमित विस्तार नहीं है, P-एडिक संख्याओं का क्षेत्र है $\mathbb {Q} _{p}$ एक अभाज्य संख्या के लिए होती है।

किसी दिए गए बहुपद f(X) के लिए किसी फलन का मूल बनाने के लिए किसी दिए गए क्षेत्र K के एक विस्तार क्षेत्र को बहुपद वलयK[X] के भागफल वलयके रूप में बनाना सामान्य बात है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि K में x के साथ कोई घटक x नहीं है² = −1. फिर बहुपद $X^{2}+1$ K[X] में अपरिवर्तनीय बहुपद है, फलस्वरूप इस बहुपद द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलयसिद्धांत) अधिकतम आदर्श है, और $L=K[X]/(X^{2}+1)$ K का एक विस्तार क्षेत्र है जिसमें एक घटक सम्मलित होते है जिसका वर्ग -1 (अर्थात् X का अवशेष वर्ग) होता है।

उपरोक्त निर्माण को दोहराकर, कोई K[X] से किसी भी बहुपद का विभाजन क्षेत्र बना सकता है। यह K का एक विस्तार क्षेत्र L है जिसमें दिया गया बहुपद रैखिक कारकों के उत्पाद में विभाजित होता है।

यदि p कोई अभाज्य संख्या है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, तो हमारे पास एक परिमित क्षेत्र GF(p) हैⁿ) पी के साथ ⁿघटक; यह परिमित क्षेत्र का विस्तार क्षेत्र है $\operatorname {GF} (p)=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ पी घटकों के साथ होता है।

क्षेत्र K को देखते हुए, हम K में गुणांकों के साथ चर X में सभी तर्कसंगत कार्य के क्षेत्र K(X) पर विचार कर सकते हैं; K(X) के अवयव K के ऊपर दो बहुपद के भिन्न हैं, और वास्तव में K(X) बहुपद वलय K[X] के भिन्नों का क्षेत्र है। तर्कसंगत कार्यों का यह क्षेत्र K का विस्तार क्षेत्र है। यह विस्तार अनंत होता है।

रीमैन सतह M को देखते हुए, M पर परिभाषित सभी मेरोमोर्फिक फलन का सममुच्चय क्षेत्र होता है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है $\mathbb {C} (M)$ यह एक पारलौकिक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {C}$ यदि हम प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को M पर परिभाषित संगत स्थिर फलन के साथ पहचानते हैं। सामान्यतः, किसी क्षेत्र K पर एक बीजगणितीय विविधता V दी गई है, तो V की बीजीय विविधता का कार्य क्षेत्र होता, जिसमें V पर परिभाषित और निरूपित तर्कसंगत फलन मे सम्मलित होता हैं और K(V) द्वारा, K का विस्तार क्षेत्र होता है।

बीजगणितीय विस्तार

Main articles: बीजगणितीय विस्तार and बीजगणितीय अवयव

क्षेत्र विस्तार का एक घटक x L / K K के ऊपर बीजगणितीय है यदि यह K में गुणांक वाले एक गैर-शून्य बहुपद के फलन का मूल है। उदाहरण के लिए, ${\sqrt {2}}$ परिमेय संख्याओं पर बीजगणितीय है, क्योंकि यह का मूल है $x^{2}-2.$ यदि L का एक घटक x, K के ऊपर बीजगणितीय है, तो सबसे कम डिग्री का मोनिक बहुपद जिसका मूल x होता है, उसे x का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है। यह न्यूनतम बहुपद K के ऊपर अघुलनशील बहुपद है।

L का एक घटक s, K के ऊपर बीजगणितीय है यदि और केवल यदि सरल विस्तार हो K(s) /K एक परिमित विस्तार करता है, इस स्थिति में विस्तार की डिग्री न्यूनतम बहुपद की डिग्री के बराबर होती है, और K-वेक्टर स्थान K(s) का आधार होता है $1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},$ जहाँ d न्यूनतम बहुपद की घात होता है।

L के घटकों का समूह जो K के ऊपर बीजगणितीय है, एक उप-विस्तार बनाता है, जिसे L में K का बीजगणितीय समापन कहा जाता है। यह पूर्ववर्ती वर्णन से परिणामित होता है: यदि s और t बीजगणितीय हैं, तो विस्तार K(s) /K और K(s)(t) /K(s) परिमित होता हैं. इस प्रकार K(s, t) /K भी परिमित है, साथ ही उपविस्तार भी K(s ± t) /K, K(st) /K और K(1/s) /K (यदि s ≠ 0) होता है यह इस प्रकार है कि s ± t, st और 1/s सभी बीजगणितीय होते हैं।

एक बीजगणितीय विस्तार L / K एक विस्तार है जैसे कि L का प्रत्येक घटक K के ऊपर बीजगणितीय है। समान रूप से, एक बीजगणितीय विस्तार एक विस्तार है जो बीजगणितीय घटकों द्वारा उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ का बीजगणितीय विस्तार है $\mathbb {Q}$, क्योंकि ${\sqrt {2}}$ और ${\sqrt {3}}$ बीजगणितीय हैं $\mathbb {Q}$एक साधारण विस्तार बीजगणितीय है यदि यह परिमित है। इसका तात्पर्य यह है कि एक विस्तार बीजगणितीय है यदि यह इसके परिमित उपविस्तारों का संघ है, और प्रत्येक परिमित विस्तार बीजगणितीय होता है।

प्रत्येक क्षेत्र K में एक बीजगणितीय समापन होता है, जो एक समरूपता तक होता है, K का सबसे बड़ा विस्तार क्षेत्र जो K पर बीजगणितीय होता है, और सबसे छोटा विस्तार क्षेत्र भी होता है जैसे कि K में गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद में एक जड़ होती है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {C}$ का बीजगणितीय समापन है $\mathbb {R}$, किन्तु बीजगणितीय समापन नहीं $\mathbb {Q}$, क्योंकि यह बीजगणितीय नहीं है $\mathbb {Q}$ (उदाहरण के लिए π बीजगणितीय नहीं है $\mathbb {Q}$)

अनुवांशिक विस्तार

Main article: अतीन्द्रिय विस्तार

एक क्षेत्र विस्तार L / K को देखते हुए, तो L के उपसमुच्चय S को K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र कहा जाता है। यदि S के घटकों के बीच K में गुणांकों के साथ कोई गैर-तुच्छ बहुपद संबंध सम्मलित नहीं है, बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र समुच्चय की सबसे बड़ी गणनांक को L/K की उत्कृष्टता की डिग्री कहा जाता है। K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र एक समुच्चय S सदैव संभव होता है, जैसे कि L/K(S) बीजगणितीय हो। ऐसे समुच्चय S को L/K का पारगमन आधार कहा जाता है। सभी उत्कृष्टता आधारों में समान गणनांक होती है, जो विस्तार की डिग्री के बराबर होती है। एक विस्तार L/के कहा जाता है 'purely transcendental यदि और केवल यदि L/K का पारगमन आधार S सम्मलित होता है, जैसे कि L = K(S)। इस तरह के विस्तार में यह गुण होता है कि K को छोड़कर L के सभी घटक K के ऊपर उत्कृष्टता हैं, किन्तु, चूँकि, इस गुण के साथ ऐसे विस्तार भी हैं जो पूरी तरह से उत्कृष्टता नहीं होते हैं - एक वर्ग ऐसे विस्तार L/K का रूप लेते हैं जहां L और K दोनों बीजगणितीय रूप से बंद होते हैं। इसके अतिरिक्त , यदि L/के पूरी तरह से उत्कृष्टता होता है और S विस्तार का आधार होता है, तो यह जरूरी नहीं कि L = K (S) का अनुसरण करता हो।

उदाहरण के लिए, विस्तार पर विचार करें $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} ,$ जहाँ x है $\mathbb {Q} .$ समुच्चय $\{x\}$ बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है क्योंकि x उत्कृष्टता होता है। प्रकट है, की विस्तार $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} (x)$ इसलिए, बीजगणितीय है $\{x\}$ एक उत्कृष्टता का आधार है। यह संपूर्ण विस्तार उत्पन्न नहीं करता क्योंकि इसमें कोई बहुपद अभिव्यक्ति नहीं होती है $x$ के लिए ${\sqrt {x}}$. किन्तु यह देखना आसान है $\{{\sqrt {x}}\}$ एक उत्कृष्टता का आधार है जो उत्पन्न करता है $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}}),$ इसलिए यह विस्तार वास्तव में विशुद्ध रूप से उत्कृष्टता होता है।

सामान्य, वियोज्य और गैलोज़ विस्तार

एक बीजगणितीय विस्तार L/K को सामान्य विस्तार कहा जाता है यदि K[X] में प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद जिसका मूल L है, पूरी तरह से L के ऊपर रैखिक कारकों में बदल जाता है। प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार F/K एक सामान्य समापन L को स्वीकार करता है, जो एक विस्तार क्षेत्र है F का ऐसा कि L/K सामान्य है और जो इस गुण के साथ न्यूनतम होता है।

एक बीजगणितीय विस्तार L/K को वियोज्य विस्तार कहा जाता है यदि K के ऊपर L के प्रत्येक घटक का न्यूनतम बहुपद वियोज्य बहुपद है, अर्थात, K के ऊपर बीजगणितीय समापन में दोहराई नहीं गयी हैं। गैलोइस विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है जो सामान्य और वियोज्य दोनों होते है।

पूर्वग अवयव प्रमेय का एक परिणाम बताता है कि प्रत्येक परिमित वियोज्य विस्तार में एक पूर्वग अवयव होता है (अर्थात सरल होता है)।

किसी भी क्षेत्र विस्तार L/के को देखते हुए, हम इसके 'स्वचालितता समूह ' Aut(L/K) पर विचार कर सकते हैं, जिसमें सभी क्षेत्र स्वचालितता α: L → L के साथ K में सभी x के लिए α(x) = x सम्मलित होते है। जब गैलोज़ विस्तार इस स्वचालितता समूह को विस्तार का गैलोज़ समूह कहा जाता है। वे विस्तार जिनका गैलोज़ समूह एबेलियन समूह है, एबेलियन विस्तार कहलाते हैं।

किसी दिए गए क्षेत्र विस्तार L/K के लिए, किसी को अधिकांशतः मध्यवर्ती क्षेत्र F (L के उपक्षेत्र जिनमें K होता है) में रुचि होती है। गैलोज़ विस्तार और गैलोज़ समूहों का महत्व यह है कि वे मध्यवर्ती क्षेत्रों के पूर्ण विवरण की अनुमति देते हैं: गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय द्वारा वर्णित गैलोज़ समूह और उपसमूहों के बीच एक आपत्ति होती है।

सामान्यीकरण

क्षेत्र विस्तार को वलय विस्तार के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें एक वलय और उपवलय सम्मलित होता है। एक गैर विनिमेय अनुरूप केंद्रीय सरल बीजगणित (सीSए) हैं - एक क्षेत्र पर वलय विस्तार, जो सरल बीजगणित होता हैं।(कोई गैर-तुच्छ 2-पक्षीय आदर्श नहीं, जैसे कि एक क्षेत्र के लिए) और जहां वलय का केंद्र बिल्कुल होता है उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का एकमात्र परिमित क्षेत्र विस्तार जटिल संख्याएं होती हैं, जबकि चतुर्धातुक वास्तविक केंद्रीय सरल बीजगणित होता हैं, और सभी सीएसए या चतुर्धातुक के बराबर ब्रौअर होता हैं। सीएसए को आगे अज़ुमाया बीजगणित में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां आधार क्षेत्र को क्रम विनिमेय स्थानीय वलय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

अदिश का विस्तार

Main article: अदिश का विस्तार

किसी क्षेत्र विस्तार को देखते हुए, कोई संबंधित बीजगणितीय वस्तुओं पर अदिशों का विस्तार कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक वास्तविक सदिश समष्टि को देखते हुए, कोई जटिलता के माध्यम से एक जटिल सदिश समष्टि उत्पन्न कर सकता है। सदिश समष्टि के अतिरिक्त, कोई क्षेत्र पर परिभाषित साहचर्य बीजगणित जैसे बहुपद या समूह बीजगणित और संबंधित समूह प्रतिनिधित्व के लिए अदिश का विस्तार कर सकता है। बहुपदों के अदिशों का विस्तार अधिकांशतः गुणांकों को एक बड़े क्षेत्र के घटकों के रूप में मानकर, परोक्ष रूप से उपयोग किया जाता है, किन्तुइसे अधिक औपचारिक रूप से भी माना जा सकता है। अदिशों के विस्तार के अनेक अनुप्रयोग हैं, जैसा कि अदिशों के विस्तार: अनुप्रयोगों में चर्चा की गई है।

यह भी देखें

• क्षेत्र सिद्धांत (गणित)
• क्षेत्र सिद्धांत की शब्दावली
• टावर ऑफ फील्ड
• प्राथमिक विस्तार
• नियमित विस्तार

संदर्भ

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

बाहरी संबंध

• "Extension of a field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]