यंग-लाप्लास समीकरण

Not to be confused with Young's equation for surface wetting or Laplace's equation.

भौतिकी में, यंग-लैपलेस समीकरण (/ləˈplɑːs/) एक बीजगणितीय समीकरण है जो सतही तनाव या दीवार तनाव की घटना के कारण पानी और हवा जैसे दो द्रव स्थैतिकी के बीच अंतराफलक में निरंतर केशिका दबाव अंतर का वर्णन करता है, हालांकि बाद का उपयोग केवल तभी लागू होता है जब यह माना जाता है कि दीवार बहुत पतली है. यंग-लाप्लास समीकरण दबाव अंतर को सतह या दीवार के आकार से संबंधित करता है और यह स्थिर केशिका सतहों के अध्ययन में मूलभूत रूप से महत्वपूर्ण है। यह इंटरफ़ेस पर स्थिर तरल पदार्थ की बैठक के लिए सामान्य तनाव संतुलन का बयान है, जहां इंटरफ़ेस को सतह (गणित) (शून्य मोटाई) के रूप में माना जाता है:

$${\begin{aligned}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=-2\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}$$

कहाँ $\Delta p$ लाप्लास दबाव है, द्रव इंटरफ़ेस में दबाव अंतर (बाहरी दबाव माइनस आंतरिक दबाव), $\gamma$ सतह तनाव (या दीवार तनाव) है, ${\hat {n}}$ सतह से बाहर की ओर इंगित करने वाली इकाई सामान्य है, $H_{f}$ औसत वक्रता है # द्रव यांत्रिकी में वक्रता का मतलब है, और $R_{1}$ और $R_{2}$ वक्रता (गणित) के प्रमुख त्रिज्या हैं। ध्यान दें कि केवल सामान्य तनाव माना जाता है, ऐसा इसलिए है क्योंकि यह दिखाया गया है कि केवल स्पर्शरेखा तनाव के अभाव में एक स्थिर अंतरफलक संभव है।

समीकरण का नाम थॉमस यंग (वैज्ञानिक) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1805 में सतही तनाव के गुणात्मक सिद्धांत को विकसित किया था, और पियरे-साइमन लाप्लास ने अगले वर्ष गणितीय विवरण पूरा किया था। इसे कभी-कभी यंग-लैपलेस-गॉस समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1830 में यंग और लाप्लास के काम को एकीकृत किया, जोहान बर्नौली के आभासी कार्य सिद्धांतों का उपयोग करके अंतर समीकरण और सीमा शर्तों दोनों को प्राप्त किया।

साबुन फिल्म

Main article: Soap film

यदि दबाव अंतर शून्य है, जैसा कि गुरुत्वाकर्षण के बिना साबुन की फिल्म में होता है, तो इंटरफ़ेस एक न्यूनतम सतह का आकार ले लेगा।

पायसन

समीकरण एक पायस बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा की भी व्याख्या करता है। एक पायस की छोटी, अत्यधिक घुमावदार बूंदों को बनाने के लिए, उनके छोटे त्रिज्या से उत्पन्न बड़े दबाव को दूर करने के लिए अतिरिक्त ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

लाप्लास दबाव, जो छोटी बूंदों के लिए अधिक होता है, इमल्शन में सबसे छोटी बूंदों में से अणुओं के प्रसार का कारण बनता है और ऑस्वाल्ड राइपनिंग के माध्यम से इमल्शन को मोटा करता है।

एक ट्यूब में केशिका दबाव

90 डिग्री से कम गीला कोण के साथ गोलाकार मेनिस्कस

वृत्ताकार क्रॉस-सेक्शन (त्रिज्या a) की एक पर्याप्त रूप से संकीर्ण (यानी, कम बॉन्ड संख्या) ट्यूब में, दो तरल पदार्थों के बीच का इंटरफ़ेस एक मेनिस्कस (तरल) बनाता है जो त्रिज्या आर के साथ एक गोले की सतह का एक हिस्सा है। दबाव कूद इस सतह के पार त्रिज्या और सतह के तनाव γ से संबंधित है

$$\Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.$$

यह युवा-लाप्लास समीकरण को एक संपर्क कोण सीमा स्थिति के साथ गोलाकार रूप में लिखकर दिखाया जा सकता है, साथ ही मेनिस्कस के तल पर एक निर्धारित ऊंचाई सीमा शर्त भी है। समाधान एक गोले का एक भाग है, और समाधान केवल ऊपर दिखाए गए दबाव अंतर के लिए मौजूद होगा। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि दबाव के अंतर को निर्दिष्ट करने के लिए कोई अन्य समीकरण या कानून नहीं है; आंशिक अंतर समीकरण # दबाव अंतर के एक विशिष्ट मूल्य के लिए अस्तित्व और समाधान की विशिष्टता इसे निर्धारित करती है।

क्षेत्र का त्रिज्या केवल संपर्क कोण, θ का एक कार्य होगा, जो बदले में तरल पदार्थ के सटीक गुणों और कंटेनर सामग्री पर निर्भर करता है जिसके साथ तरल पदार्थ संपर्क/इंटरफेसिंग कर रहे हैं:

$$R={\frac {a}{\cos \theta }}$$

ताकि दबाव अंतर के रूप में लिखा जा सके:

$$\Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.$$

केशिका वृद्धि का चित्रण। लाल=90° से कम संपर्क कोण; नीला = संपर्क कोण 90° से अधिक

हाइड्रोस्टैटिक संतुलन बनाए रखने के लिए, प्रेरित केशिका दबाव को ऊंचाई में परिवर्तन, 'एच' द्वारा संतुलित किया जाता है, जो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि गीला कोण 90 डिग्री से कम या अधिक है या नहीं। घनत्व ρ के तरल पदार्थ के लिए:

$$\rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.$$

जहाँ g गुरुत्वीय त्वरण है। इसे कभी-कभी 'जुरिन के नियम' या 'जुरिन की ऊंचाई' के रूप में जाना जाता है। जेम्स जुरिन के बाद जिन्होंने 1718 में प्रभाव का अध्ययन किया। समुद्र तल पर हवा में पानी से भरी ग्लास ट्यूब के लिए:

• γ = 0.0728 जे/एम² 20 डिग्री सेल्सीयस पर
• θ = 20° (0.35 कांति )
• ρ = 1000 किग्रा/मीटर^3</उप>
• g = 9.8 मी/से^2</उप>

और इसलिए पानी के स्तंभ की ऊंचाई इस प्रकार दी गई है:

$$h\approx {{1.4\times 10^{-5}}\mathrm {m} \over a}.$$

इस प्रकार 2 मिमी चौड़ी (1 मिमी त्रिज्या) ट्यूब के लिए, पानी 14 मिमी बढ़ जाएगा। हालांकि, 0.1 मिमी त्रिज्या वाली एक केशिका ट्यूब के लिए, पानी 14 सेमी (लगभग 6 इंच) बढ़ जाएगा।

सामान्य रूप में केशिका क्रिया

सामान्य मामले में, एक मुक्त सतह के लिए और जहां एक लागू ओवर-दबाव होता है, Δp, संतुलन में इंटरफ़ेस पर, लागू दबावहीड्रास्टाटिक दबाव दबाव और सतह तनाव के प्रभावों के बीच संतुलन होता है। 'यंग-लाप्लास' समीकरण बन जाता है:

$$\Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)$$

समीकरण गैर-विमीयकरण हो सकता है | इसकी विशेषता लंबाई-पैमाने, केशिका लंबाई के संदर्भ में गैर-आयामी:

$$L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},$$

और विशेषता दबाव

$$p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.$$

मानक तापमान और दबाव पर साफ पानी के लिए, केशिका की लंबाई ~ 2 मिलीमीटर होती है।

तब अविमीय समीकरण बन जाता है:

$$h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right).$$

इस प्रकार, सतह का आकार केवल एक पैरामीटर, द्रव के अधिक दबाव, Δp द्वारा निर्धारित किया जाता है^* और सतह का पैमाना केशिका लंबाई द्वारा दिया जाता है। समीकरण के समाधान के लिए स्थिति के लिए प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभ बिंदु पर सतह की प्रवणता की आवश्यकता होती है।

File:YoungLaplace example drop.gif

A pendant drop is produced for an over pressure of Δp^*=3 and initial condition r₀=10⁻⁴, z₀=0, dz/dr=0

File:YoungLaplace example bridge.gif

A liquid bridge is produced for an over pressure of Δp^*=3.5 and initial condition r₀=0.25⁻⁴, z₀=0, dz/dr=0

अक्षीय समीकरण

द्रवस्थैतिक 'यंग-लैपलेस समीकरण' देने के लिए प्रमुख वक्रता के लिए सामान्य अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करके एक अक्षीय सतह का (गैर-आयामी) आकार, r(z) पाया जा सकता है:

$${\frac {r''}{(1+r'^{2})^{{3}/{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}$$

$${\frac {z''}{(1+z'^{2})^{3/2}}}+{\frac {z'}{r(1+z'^{2})^{{1}/{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r).$$

चिकित्सा में आवेदन

चिकित्सा में इसे अक्सर लाप्लास के नियम के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसका उपयोग कार्डियोवास्कुलर फिजियोलॉजी के संदर्भ में किया जाता है, और श्वसन क्रिया विज्ञान भी, हालांकि बाद वाला प्रयोग अक्सर गलत होता है।

इतिहास

फ्रांसिस हॉक्सबी ने 1709 में कुछ शुरुआती अवलोकन और प्रयोग किए और इन्हें 1718 में जेम्स ज्यूरिन द्वारा दोहराया गया जिन्होंने देखा कि केशिका स्तंभ में द्रव की ऊंचाई केवल सतह पर क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र का कार्य था, स्तंभ के किसी अन्य आयाम का नहीं। थॉमस यंग (वैज्ञानिक) ने अपने 1804 के पेपर एन एसे ऑन द कोहेशन ऑफ फ्लुइड्स में समीकरण की नींव रखी जहां उन्होंने वर्णनात्मक शब्दों में तरल पदार्थों के बीच संपर्क को नियंत्रित करने वाले सिद्धांतों (द्रव व्यवहार के कई अन्य पहलुओं के साथ) को निर्धारित किया। पियरे साइमन लाप्लास ने इसके बाद मैकानिक सेलेस्टे में काम किया ऊपर दिए गए औपचारिक गणितीय विवरण के साथ, जो यंग द्वारा पहले वर्णित संबंध को प्रतीकात्मक शब्दों में पुन: प्रस्तुत करता है।

लाप्लास ने हॉक्सबी द्वारा अपनी पुस्तक फिजिको-मैकेनिकल एक्सपेरिमेंट्स (1709) में प्रतिपादित इस विचार को स्वीकार किया कि यह घटना एक आकर्षण बल के कारण थी जो समझदार दूरी पर असंवेदनशील थी। वह हिस्सा जो एक तरल पर एक ठोस की क्रिया और दो तरल पदार्थों की पारस्परिक क्रिया से संबंधित है, पूरी तरह से काम नहीं किया गया था, लेकिन अंततः कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा पूरा किया गया था। फ्रांज अर्न्स्ट न्यूमैन (1798-1895) ने बाद में कुछ विवरण भरे।

अग्रिम पठन

• Maxwell, James Clerk; Strutt, John William (1911). "Capillary Action" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica (in English). Vol. 5 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 256–275.
• Batchelor, G. K. (1967) An Introduction To Fluid Dynamics, Cambridge University Press
• Jurin, J. (1716). "An account of some experiments shown before the Royal Society; with an enquiry into the cause of the ascent and suspension of water in capillary tubes". Philosophical Transactions of the Royal Society. 30 (351–363): 739–747. doi:10.1098/rstl.1717.0026. S2CID 186211806.
• Tadros T. F. (1995) Surfactants in Agrochemicals, Surfactant Science series, vol.54, Dekker