आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण

"Einstein equation" redirects here. For the equation $E=mc^{2}$, see Mass–energy equivalence.

आपेक्षिकता के व्यापक सिद्धांत में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (EFE; जिसे आइंस्टीन के समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) दिक्काल की ज्यामिति को उसके भीतर द्रव्य के वितरण से जोड़ते हैं।

समीकरणों को अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा 1915 में एक प्रदिश समीकरण के रूप में प्रकाशित किया गया था जो स्थानीय दिक्कालवक्रता को उस दिक्काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल (प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश द्वारा प्रकट) से जोड़ते थे।

जिस प्रकार से मैक्सवेल की समीकरणों के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र आवेशों और धाराओं के वितरण से जुड़ते हैं, उसी प्रकार EFE दिक्काल ज्यामिति को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और प्रतिबल के वितरण से जोड़ते है, अर्थात्, वे दिक्काल में प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए दिक्काल का मात्रिक प्रदिश निर्धारित करते हैं | मात्रिक प्रदिश और आइंस्टीन प्रदिश के बीच का संबंध, इस प्रकार से उपयोग किए जाने पर EFE को अरैखिक आंशिक अवकल समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। EFE के समाधान मात्रिक प्रदिश के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कण और विकिरण (जियोडेसिक्स) के जड़त्वीय प्रक्षेप पथ की गणना जियोडेसिक समीकरण का उपयोग करके की जाती है।

स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, EFE एक दुर्बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम कर देता है जो प्रकाश की गति से बहुत कम है।

EFE के लिए एक सटीक समाधान केवल सममिति जैसे सरलीकरण परिकलन के तहत ही पाया जा सकता है। सटीक समाधानों के लिए विशेष वर्गों का अधिकतर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण परिघटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि घूर्णी ब्लैक होल और प्रसारी विश्व है। समतल दिक्काल से केवल छोटे विचलन के रूप में दिक्काल को सन्निकटन करने में और सरलीकरण प्राप्त किया जाता है, जिससे रैखिक EFE होता है। इन समीकरणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों जैसी परिघटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

गणितीय रूप

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (EFE) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

लीडेन, नीदरलैंड में एक दीवार पर EFE

जहाँ $G_{\mu \nu }$ आइंस्टीन प्रदिश है, $g_{\mu \nu }$ मात्रिक प्रदिश है, $T_{\mu \nu }$ प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश है, $\Lambda$ ब्रह्मांडीकीय नियतांक है और $\kappa$ आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक है |

आइंस्टीन प्रदिश को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },$

जहाँ R_μν रिक्की वक्रता प्रदिश है, और R स्केलर वक्रता है | यह एक सममित द्वितीय-कोटि प्रदिश है जो केवल मात्रिक प्रदिश और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।

आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.076647442844\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},$

जहाँ G गुरुत्वाकर्षण न्यूटोनियन नियतांक है और c निर्वात में प्रकाश की गति है।

इस प्रकार EFE को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.$

मानक इकाइयों में, बाईं ओर प्रत्येक पद की इकाइयाँ 1/length² होती हैं।

बाईं ओर के व्यंजक मात्रिक द्वारा निर्धारित दिक्काल की वक्रता को दर्शाते है; दाईं ओर के व्यंजक दिक्काल की प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग सामग्री को दर्शाते है। फिर EFE की व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह निर्धारित करते है कि प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग दिक्काल की वक्रता को कैसे निर्धारित करते है।

ये समीकरण, जियोडेसिक समीकरण के साथ, जो यह निर्धारित करते है कि दिक्काल से द्रव कैसे स्वतंत्र रूप से गिरता है, सामान्य आपेक्षिकता के गणितीय सूत्रीकरण का मूल बनाते हैं।

EFE सममित 4 × 4 प्रदिशों के एक समुच्चय से संबंधित एक प्रदिश समीकरण है। प्रत्येक प्रदिश में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची सर्वसमिकाये स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मात्रिक में स्वतंत्र की चार गेज-फिक्सिंग कोटि रह जाती हैं, जो एक निर्देशांक पद्धति चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती हैं।

हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-विमीय सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने n आयामों में उनके परिणामों की खोज की है। व्यापक आपेक्षिकता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (तब प्राप्त होते हैं जब T_μν हर जगह शून्य होता है) आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स को परिभाषित करते हैं।

समीकरण जितने सरल दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश के रूप में द्रव और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, EFE को मात्रिक प्रदिश $g_{\mu \nu }$ के लिए समीकरण समझा जाता है, क्योंकि रिक्की प्रदिश और अदिश वक्रता दोनों जटिल अरैखिक तरीके से मात्रिक पर निर्भर करते हैं। जब पूर्ण प्रकार से लिखा जाता है, तो EFE दस युग्मित, अरैखिक, अतिपरवलिक-अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरणों की एक पद्धति है।

चिह्न परिपाटी

EFE का उपरोक्त रूप मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर (एमटीडब्ल्यू) द्वारा स्थापित मानक है। लेखकों ने प्रस्तुत कन्वेंशन का विश्लेषण किया और इन्हें तीन चिन्हों ([S1] [S2] [S3]) के अनुसार वर्गीकृत किया:

$${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}$$

उपरोक्त तीसरा चिन्ह रिक्की प्रदिश के लिए कन्वेंशन की चॉइस से संबंधित है:

$$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }$$

इन परिभाषाओं के साथ मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर स्वयं को (+ + +) के रूप में वर्गीकृत करते हैं, जबकि वेनबर्ग (1972) (+ − −), पीबल्स (1980) और एफ़स्टैथिउ एट अल. (1990) (− + +), रिंडलर (1977), एटवाटर (1974), कोलिन्स मार्टिन एंड स्क्वॉयर (1989) और पीकॉक (1999) (− + −) के रूप में वर्गीकृत करते हैं |

आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की प्रदिश के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग चिन्ह का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर नियतांक का चिन्ह नकारात्मक होता है:

$$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.$$

यदि यहां अपनाए गए MTW (- + + +) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन की बजाय (+ − − −) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन का उपयोग किया जाता है, तो ब्रह्मांडीकीय पद का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाता है।

समतुल्य सूत्रीकरण

EFE के दोनों पक्षों के मात्रिक के संबंध में अनुरेखण लेने पर एक संबंध मिलता है

$$R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,$$

जहाँ D दिक्काल आयाम है। R को हल करने और इसे मूल EFE में प्रतिस्थापित करने पर, निम्नलिखित समतुल्य "अनुरेख-उत्क्रम" रूप प्राप्त होता है:

$$R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).$$

D = 4 आयामों में यह कम हो जाता है

$$R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).$$

अनुरेखण को फिर से उत्क्रमी करने से मूल EFE पुनःस्थापित हो जाता है। कुछ स्थितियों में अनुरेख-उत्क्रमी रूप अधिक उपयुक्त हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई दुर्बल-क्षेत्र सीमा में रुचि रखता है और उसे प्रतिस्थापित कर सकता है)।

ब्रह्मांडीकीय नियतांक

Main article: ब्रह्मांडीकीय नियतांक

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,$$

ब्रह्मांडीकीय नियतांक Λ वाला पद उस संस्करण से अनुपस्थित था जिसमें उन्होंने मूल रूप से उन्हें प्रकाशित किया था। फिर आइंस्टीन ने एक ऐसे विश्व की अनुमति देने के लिए ब्रह्मांडीकीय नियतांक के साथ इस पद को सम्मिलित किया जो प्रसार या संकुचन नहीं कर रहा है। यह प्रयास असफल रहा क्योंकि:

• इस समीकरण द्वारा वर्णित कोई भी वांछित नियत अवस्था का समाधान अस्थिर है, और
• एडविन हबल के अवलोकनों से पता चला कि हमारा विश्व प्रसारी है।

इसके बाद आइंस्टीन ने Λ को परित्यक्त कर दिया और जॉर्ज गामो से कहा, कि ''ब्रह्माण्ड संबंधी पद का परिचय उनके जीवन की सबसे बड़ी भूल थी''।

इस पद के सम्मिलित होने से विसंगतियाँ उत्पन्न नहीं होती हैं। कई वर्षों तक ब्रह्मांडीकीय नियतांक को लगभग सार्वभौमिक रूप से शून्य माना गया था। हाल के खगोलीय अवलोकनों से पता चला है कि ब्रह्मांड का तेजी से प्रसार हो रहा है, और इसे समझाने के लिए Λ के सकारात्मक मान की आवश्यकता है। किसी आकाशगंगा या उससे छोटी आकाशगंगा के पैमाने पर ब्रह्मांडीकीय नियतांक नगण्य हैं।

आइंस्टीन ने ब्रह्मांडीकीय नियतांक को एक स्वतंत्र पैरामीटर के रूप में सोचा था, लेकिन क्षेत्र समीकरण में इसके पद को बीजगणितीय रूप से दूसरी तरफ भी ले जाया जा सकता है और प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश के भाग के रूप में सम्मिलित किया जा सकता है:

$$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.$$

यह प्रदिश ऊर्जा घनत्व ρ_vac और समदैशिक दबाव p_vac के साथ एक निर्वात स्थिति का वर्णन करता है जो निश्चित नियतांक हैं और द्वारा दिए गए हैं

$$\rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},$$

जहाँ यह माना जाता है कि Λ की SI इकाई m⁻² है और κ को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार ब्रह्मांडीकीय नियतांक का अस्तित्व निर्वात ऊर्जा और विपरीत चिह्न के दबाव के अस्तित्व के समतुल्य है। इसके कारण व्यापक आपेक्षिकता में ''ब्रह्मांडीकीय नियतांक'' और ''निर्वात ऊर्जा'' पदों का परस्पर उपयोग किया जाने लगा है।

अभिलक्षण

ऊर्जा और संवेग का संरक्षण

व्यापक आपेक्षिकता ऊर्जा और संवेग के स्थानीय संरक्षण के अनुरूप है

$$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.$$

Derivation of local energy–momentum conservation

Contracting the differential Bianchi identity

$$R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0$$

with g^αβ gives, using the fact that the metric tensor is covariantly constant, i.e. g^αβ_;γ = 0,

$${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

The antisymmetry of the Riemann tensor allows the second term in the above expression to be rewritten:

$${R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

which is equivalent to

$$R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

using the definition of the Ricci tensor.

Next, contract again with the metric

$$g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0$$

to get

$${R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0$$

The definitions of the Ricci curvature tensor and the scalar curvature then show that

$$R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0$$

which can be rewritten as

$$\left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0$$

A final contraction with g^εδ gives

$$\left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0$$

which by the symmetry of the bracketed term and the definition of the Einstein tensor, gives, after relabelling the indices,

$${G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$$

Using the EFE, this immediately gives,

$$\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0$$

जो प्रतिबल-ऊर्जा के स्थानीय संरक्षण को व्यक्त करता है। यह संरक्षण नियम की एक भौतिक आवश्यकता है। अपने क्षेत्र समीकरणों से आइंस्टीन ने यह सुनिश्चित किया कि व्यापक आपेक्षिकता इस संरक्षण स्थिति के अनुरूप है।

अरैखिकता

EFE की अरैखिकता व्यापक आपेक्षिकता को कई अन्य मौलिक भौतिक सिद्धांतों से अलग करती है। उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के समीकरण विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में रैखिक हैं (अर्थात दो समाधानों का योग भी एक समाधान है); एक अन्य उदाहरण श्रोडिंगर का क्वांटम यांत्रिकी का समीकरण है, जो तरंग फलन में रैखिक है।

संगति नियम

EFE दुर्बल-क्षेत्र सन्निकटन और मंदगति सन्निकटन दोनों का उपयोग करके न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम करता है। वास्तव में, EFE में प्रदर्शित होने वाला नियतांक G इन दो सन्निकटनों को बनाकर निर्धारित किया जाता है।

Derivation of Newton's law of gravity

Newtonian gravitation can be written as the theory of a scalar field, Φ, which is the gravitational potential in joules per kilogram of the gravitational field g = −∇Φ, see Gauss's law for gravity

$$\nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)$$

where ρ is the mass density. The orbit of a free-falling particle satisfies

$${\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.$$

In tensor notation, these become

$${\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}$$

In general relativity, these equations are replaced by the Einstein field equations in the trace-reversed form

$$R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)$$

for some constant, K, and the geodesic equation

$${\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.$$

To see how the latter reduces to the former, we assume that the test particle's velocity is approximately zero

$${\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)$$

and thus

$${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0$$

and that the metric and its derivatives are approximately static and that the squares of deviations from the Minkowski metric are negligible. Applying these simplifying assumptions to the spatial components of the geodesic equation gives

$${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}$$

where two factors of dt/dτ have been divided out. This will reduce to its Newtonian counterpart, provided

$$\Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.$$

Our assumptions force α = i and the time (0) derivatives to be zero. So this simplifies to

$$2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,$$

which is satisfied by letting

$$g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.$$

Turning to the Einstein equations, we only need the time-time component

$$R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)$$

the low speed and static field assumptions imply that

$$T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.$$

So

$$T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,$$

and thus

$$K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.$$

From the definition of the Ricci tensor

$$R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.$$

Our simplifying assumptions make the squares of Γ disappear together with the time derivatives

$$R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.$$

Combining the above equations together

$$\Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}$$

which reduces to the Newtonian field equation provided

$${\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,$$

which will occur if

$$K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.$$

निर्वात क्षेत्र समीकरण

1979 का एक स्विस स्मारक सिक्का, शून्य ब्रह्मांडीकीय नियतांक(शीर्ष) के साथ निर्वात क्षेत्र समीकरण दर्शाता है।

यदि विचाराधीन क्षेत्र में ऊर्जा-संवेग प्रदिश Tμν शून्य है, तो क्षेत्र समीकरणों को निर्वात क्षेत्र समीकरण भी कहा जाता है। अनुरेख-उत्कर्मी क्षेत्र समीकरणों में Tμν = 0 समुच्चय करके, निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिसे 'आइंस्टीन निर्वात समीकरण' (EVE) के रूप में भी जाना जाता है, को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$R_{\mu \nu }=0\,.$$

शून्येतर ब्रह्मांडीकीय नियतांक की स्थिति में, समीकरण इस प्रकार हैं

$$R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.$$

निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधानों को निर्वात समाधान कहा जाता है। समतल मिन्कोव्स्की दिक्स्थान निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। असतहीय उदाहरणों में श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान और केर समाधान सम्मिलित हैं।

लुप्यमान हो रहे रिक्की प्रदिश, R_μν = 0 वाले मैनिफोल्ड्स को रिक्की-समतल मैनिफोल्ड्स कहा जाता है और आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के रूप में मात्रिक के आनुपातिक रिक्की प्रदिश वाले मैनिफोल्ड्स को भी रिक्की-समतल मैनिफोल्ड्स कहा जाता है।

आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण

See also: वक्रित दिक्काल में मैक्सवेल के समीकरण

यदि ऊर्जा-संवेग प्रदिश T_μν मुक्त समष्टि में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का है, अर्थात यदि विद्युत चुम्बकीय प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश

$$T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)$$

का प्रयोग किया जाता है, तो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण कहा जाता है (ब्रह्मांडीकीय नियतांक Λ के साथ, पारंपरिक आपेक्षिकता सिद्धांत में शून्य माना जाता है):

$$G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).$$

इसके अतिरिक्त, सहपरिवर्ती मैक्सवेल समीकरण भी मुक्त समष्टि में लागू होते हैं:

$${\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}$$

जहां अर्धविराम एक सहपरिवर्ती अवकलज का निरूपण करता है, और कोष्ठक प्रति-सममितिकरण को दर्शाता है। पहला समीकरण दावा करता है कि 2-रूप F का 4-अपसरण शून्य है, और दूसरा यह कि इसका बाह्य अवकलज शून्य है। उत्तरार्द्ध से, यह पोंकारे लेम्मा का अनुसरण करता है कि एक निर्देशांक चार्ट में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र क्षमता Aα को प्रस्तुत करना संभव है जैसे कि

$$F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }$$

जिसमें अल्पविराम आंशिक अवकलज को दर्शाता है। इसे अधिकतर सहपरिवर्ती मैक्सवेल समीकरण के समतुल्य माना जाता है जिससे यह प्राप्त होता है। हालाँकि, समीकरण के वैश्विक समाधान हैं जिनमें विश्व स्तर पर परिभाषित क्षमता का अभाव हो सकता है।

समाधान

Main article: आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान दिक्काल के मैट्रिक्स हैं। ये मेट्रिक्स दिक्काल में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित दिक्काल की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि क्षेत्र समीकरण अरैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें पूर्ण प्रकार से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात सन्निकटन के बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले दिक्काल के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार निकाय का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन स्थितियों में सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। इन्हें आमतौर पर पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसी कई स्थितियाँ हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूर्ण प्रकार से हल हो गए हैं, और उन्हें सटीक समाधान कहा जाता है।

आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन ब्रह्मांड विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह ब्लैक होल की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है।

एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं। इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, अरेखीय, साधारण अवकल समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि Hsu और वेनराइट द्वारा चर्चा की गई है, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी गतिकीय तंत्र के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक और कोहली और हसलाम द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं|

रखीयकृत EFE

Main article: रैखिक गुरुत्वाकर्षण

EFE अरैखिकता का सटीक समाधान खोजना कठिन बना देता है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका सन्निकटन है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण द्रव्य के स्रोत (स्रोतों) से दूर, और दिक्काल मिन्कोव्स्की दिक्स्थान के पास है। फिर मात्रिक को मिन्कोव्स्की मात्रिक के योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-घातांक पदों को अनदेखा करते हुए, मिन्कोव्स्की मात्रिक से वास्तविक मात्रिक के अवकलन का निरूपण करने वाला एक पद होता है। इस रैखिकीकरण प्रक्रिया का उपयोग गुरूत्वीय विकिरण की परिघटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है।

बहुपद रूप

EFE के लिखित रूप में मात्रिक प्रदिश के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मात्रिक प्रदिश बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होते है। सबसे पहले, 4 आयामों में मात्रिक के सारणिक को लिखा जा सकता है

$$\det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }$$

लेवी-सिविटा प्रतीक का उपयोग करना; और 4 आयामों में मात्रिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.$$

मात्रिक के व्युत्क्रम की इस परिभाषा को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने के बाद इसे हर से विलोप करने के लिए दोनों पक्षों को det(g) की उपयुक्त घात से गुणा करने पर मात्रिक प्रदिश और इसके पहले और दूसरे अवकलज में बहुपद समीकरण बनते हैं। जिस क्रिया से समीकरण प्राप्त होते हैं उसे क्षेत्रों की उपयुक्त पुनर्परिभाषाओं द्वारा बहुपद रूप में भी लिखा जा सकता है।

यह भी देखें

• कंफर्मैस्टैटिक दिक्काल
• आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया
• तुल्यता सिद्धांत
• सामान्य आपेक्षिकता में सटीक समाधान
• सामान्य आपेक्षिकता संसाधन
• सामान्य आपेक्षिकता का इतिहास
• हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
• सामान्य आपेक्षिकता का गणित
• संख्यात्मक आपेक्षिकता
• रिक्की कैल्कुलस

संदर्भ

See General relativity resources.

• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.
• Peacock, John A. (1999). Cosmological Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724.

बाहरी संबंध

• "Einstein equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
• The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
• Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.
• Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations

बाहरी छवियाँ

• डाउनटाउन में संग्रहालय बोएरहावे की दीवार पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण लीडेन
• सुज़ैन इम्बर, अटाकामा रेगिस्तान पर सामान्य आपेक्षिकताका प्रभाव, बोलीविया में एक ट्रेन के किनारे पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण।

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