आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण: Difference between revisions

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[[सामान्य सापेक्षता|आपेक्षिकता के सामान्य सिद्धांत]] में, '''आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण''' ('''EFE'''; जिसे आइंस्टीन के समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) [[समष्टि काल]] की ज्यामिति को उसके भीतर [[द्रव्य]] के वितरण से संबंधित करते हैं।<ref name="ein">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |title=सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत की नींव|journal=[[Annalen der Physik]] |volume=354 |issue=7 |pages=769 |year=1916 |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/science.html |doi=10.1002/andp.19163540702 |format=[[PDF]] |bibcode=1916AnP...354..769E |archive-url=https://web.archive.org/web/20120206225139/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |archive-date=2012-02-06}}</ref>
[[सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत|आपेक्षिकता के व्यापक सिद्धांत]] में, '''आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण''' ('''EFE'''; जिसे आइंस्टीन के समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) [[समष्टि काल|दिक्काल]] की ज्यामिति को उसके भीतर [[द्रव्य]] के वितरण से जोड़ते हैं।<ref name="ein">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |title=सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत की नींव|journal=[[Annalen der Physik]] |volume=354 |issue=7 |pages=769 |year=1916 |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/science.html |doi=10.1002/andp.19163540702 |format=[[PDF]] |bibcode=1916AnP...354..769E |archive-url=https://web.archive.org/web/20120206225139/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |archive-date=2012-02-06}}</ref>


समीकरणों को [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] द्वारा 1915 में एक [[टेंसर समीकरण]] के रूप में प्रकाशित किया गया था<ref name="Ein1915">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |author-link=Albert Einstein |date=November 25, 1915 |title=गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र समीकरण|journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |pages=844–847 |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/echo/einstein/sitzungsberichte/6E3MAXK4/index.meta |access-date=2017-08-21}}</ref> जो स्थानीय समष्टि काल ''वक्रता'' ([[आइंस्टीन टेंसर]] द्वारा व्यक्त) को उस समष्टि काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल ([[प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर]] द्वारा व्यक्त) से संबंधित करता था।
समीकरणों को [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] द्वारा 1915 में एक [[टेंसर समीकरण|प्रदिश समीकरण]] के रूप में प्रकाशित किया गया था<ref name="Ein1915">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |author-link=Albert Einstein |date=November 25, 1915 |title=गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र समीकरण|journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |pages=844–847 |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/echo/einstein/sitzungsberichte/6E3MAXK4/index.meta |access-date=2017-08-21}}</ref> जो स्थानीय दिक्काल''वक्रता'' को उस दिक्काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल ([[प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर|प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश]] द्वारा प्रकट) से जोड़ते थे।


जिस तरह से [[विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्र मैक्सवेल के समीकरणों के माध्यम से चार्ज (भौतिकी) और विद्युत धाराओं के वितरण से संबंधित हैं, उसी तरह EFE[[स्पेसटाइम ज्यामिति]] को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और तनाव के वितरण से संबंधित करता है, यानी, वे मात्रिकनिर्धारित करते हैं स्पेसटाइम में तनाव-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए स्पेसटाइम का टेंसर (सामान्य सापेक्षता)। मात्रिकटेंसर और आइंस्टीन टेंसर के बीच का संबंध इस तरह से उपयोग किए जाने पर EFEको गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। EFEके समाधान मात्रिकटेंसर के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कणों और विकिरण ([[सामान्य सापेक्षता में जियोडेसिक्स]]) के जड़त्वीय प्रक्षेप पथ की गणना [[जियोडेसिक समीकरण]] का उपयोग करके की जाती है।
जिस प्रकार से [[मैक्सवेल के समीकरणों|मैक्सवेल की समीकरणों]] के माध्यम से विद्युत [[चुम्बकीय क्षेत्र]] [[आवेशों]] और [[धाराओं]] के वितरण से जुड़ते हैं, उसी प्रकार EFE [[समष्टि काल ज्यामिति|दिक्काल ज्यामिति]] को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और प्रतिबल के वितरण से जोड़ते है, अर्थात्, वे दिक्काल में प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए दिक्काल का [[मीट्रिक टेंसर|मात्रिक प्रदिश]] निर्धारित करते हैं | मात्रिक प्रदिश और आइंस्टीन प्रदिश के बीच का संबंध, इस प्रकार से उपयोग किए जाने पर EFE को अरैखिक [[आंशिक अवकल समीकरणों]] के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। EFE के समाधान मात्रिक प्रदिश के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कण और विकिरण ([[सामान्य सापेक्षता में जियोडेसिक्स|जियोडेसिक्स]]) के [[जड़त्वीय]] प्रक्षेप पथ की गणना [[जियोडेसिक समीकरण]] का उपयोग करके की जाती है।


स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, EFEएक कमजोर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम कर देता है जो [[प्रकाश की गति]] से बहुत कम है।<ref name="Carroll">{{cite book |last=Carroll |first=Sean |author-link=Sean M. Carroll |year=2004 |title=Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity |pages=151–159 |isbn=0-8053-8732-3}}</ref>
स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, EFE एक दुर्बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में [[न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम]] को कम कर देता है जो [[प्रकाश की गति]] से बहुत कम है।<ref name="Carroll">{{cite book |last=Carroll |first=Sean |author-link=Sean M. Carroll |year=2004 |title=Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity |pages=151–159 |isbn=0-8053-8732-3}}</ref>
EFEके लिए सटीक समाधान केवल [[स्पेसटाइम समरूपता]] जैसी सरलीकृत धारणाओं के तहत ही पाया जा सकता है। [[सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान]]ों की विशेष कक्षाओं का अक्सर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण घटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि घूमते हुए ब्लैक होल और [[अंतरिक्ष का मीट्रिक विस्तार|अंतरिक्ष का मात्रिकविस्तार]]। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से केवल छोटे विचलन के रूप में स्पेसटाइम का अनुमान लगाने में और सरलीकरण प्राप्त किया गया है, जिससे रेखीयकृत गुरुत्वाकर्षण#रैखिकीकृत आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण प्राप्त होते हैं। इन समीकरणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों जैसी घटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
 
EFE के लिए एक सटीक समाधान केवल [[सममिति]] जैसे सरलीकरण परिकलन के तहत ही पाया जा सकता है। [[सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान|सटीक समाधानों]] के लिए विशेष वर्गों का अधिकतर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण परिघटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि [[घूमते हुए ब्लैक होल|घूर्णी ब्लैक होल]] और [[अंतरिक्ष का मीट्रिक विस्तार|प्रसारी विश्व]] है। [[फ्लैट समष्टि काल|समतल दिक्काल]] से केवल छोटे विचलन के रूप में दिक्काल को सन्निकटन करने में और सरलीकरण प्राप्त किया जाता है, जिससे [[रैखिक EFE]] होता है। इन समीकरणों का उपयोग [[गुरुत्वाकर्षण तरंगों]] जैसी परिघटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।


==गणितीय रूप==
==गणितीय रूप==
{{Spacetime|cTopic=Mathematics}}
{{Spacetime|cTopic=गणित}}
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (ईएफई) को इस रूप में लिखा जा सकता है:<ref>{{cite book |title=Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology |edition=illustrated |first1=Øyvind |last1=Grøn |first2=Sigbjorn |last2=Hervik |publisher=Springer Science & Business Media |year=2007 |isbn=978-0-387-69200-5 |page=180 |url=https://books.google.com/books?id=IyJhCHAryuUC&pg=PA180}}</ref><ref name="ein"/>
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (EFE) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:<ref>{{cite book |title=Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology |edition=illustrated |first1=Øyvind |last1=Grøn |first2=Sigbjorn |last2=Hervik |publisher=Springer Science & Business Media |year=2007 |isbn=978-0-387-69200-5 |page=180 |url=https://books.google.com/books?id=IyJhCHAryuUC&pg=PA180}}</ref><ref name="ein"/>


:<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}</math>
:<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}</math>


[[File:EinsteinLeiden4.jpg|upright=1.35|thumb|[[ आगे होना ]], नीदरलैंड में एक दीवार पर EFE]]कहाँ <math>G_{\mu \nu}</math> आइंस्टीन टेंसर है, <math>g_{\mu \nu}</math> मात्रिकटेंसर (सामान्य सापेक्षता) है, <math>T_{\mu \nu}</math> तनाव-ऊर्जा टेंसर है, <math>\Lambda</math> [[ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक]] है और <math>\kappa</math> आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है.
[[File:EinsteinLeiden4.jpg|upright=1.35|thumb|लीडेन, नीदरलैंड में एक दीवार पर EFE]]जहाँ <math>G_{\mu \nu}</math> [[आइंस्टीन टेंसर|आइंस्टीन प्रदिश]] है, <math>g_{\mu \nu}</math> [[मात्रिक टेंसर|मात्रिक प्रदिश]] है, <math>T_{\mu \nu}</math> [[प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर|प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश]] है, <math>\Lambda</math> [[ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक|ब्रह्मांडीकीय नियतांक]] है और <math>\kappa</math> आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक है |


आइंस्टीन टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
आइंस्टीन प्रदिश को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu},</math>
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu},</math>
कहाँ {{mvar|R{{sub|μν}}}} रिक्की वक्रता है, और {{mvar|R}} [[अदिश वक्रता]] है. यह एक सममित द्वितीय-डिग्री टेंसर है जो केवल मात्रिकटेंसर और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।
जहाँ {{mvar|R{{sub|μν}}}} [[रिक्की वक्रता टेंसर|रिक्की वक्रता प्रदिश]] है, और {{mvar|R}} [[अदिश वक्रता|स्केलर वक्रता]] है | यह एक सममित द्वितीय-कोटि प्रदिश है जो केवल मात्रिक प्रदिश और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।


आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है<ref>With the choice of the Einstein gravitational constant as given here, {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|4}}}}, the stress–energy tensor on the right side of the equation must be written with each component in units of energy density (i.e., energy per volume, equivalently pressure).  In Einstein's original publication, the choice is {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|2}}}}, in which case the stress–energy tensor components have units of mass density.</ref><ref>{{Cite book|last1=Adler|first1=Ronald|last2=Bazin|first2=Maurice| last3=Schiffer|first3=Menahem| url=https://www.worldcat.org/oclc/1046135|title=सामान्य सापेक्षता का परिचय|date=1975|publisher=McGraw-Hill| isbn=0-07-000423-4| edition=2d |location=New York|oclc=1046135}}</ref>
आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है<ref>With the choice of the Einstein gravitational constant as given here, {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|4}}}}, the stress–energy tensor on the right side of the equation must be written with each component in units of energy density (i.e., energy per volume, equivalently pressure).  In Einstein's original publication, the choice is {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|2}}}}, in which case the stress–energy tensor components have units of mass density.</ref><ref>{{Cite book|last1=Adler|first1=Ronald|last2=Bazin|first2=Maurice| last3=Schiffer|first3=Menahem| url=https://www.worldcat.org/oclc/1046135|title=सामान्य सापेक्षता का परिचय|date=1975|publisher=McGraw-Hill| isbn=0-07-000423-4| edition=2d |location=New York|oclc=1046135}}</ref>
:<math>\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} \approx 2.076647442844\times10^{-43} \, \textrm{N}^{-1} ,</math>
:<math>\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} \approx 2.076647442844\times10^{-43} \, \textrm{N}^{-1} ,</math>
कहाँ {{mvar|G}} [[गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक]] है और {{mvar|c}} निर्वात में प्रकाश की गति है।
जहाँ {{mvar|G}} [[गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक|गुरुत्वाकर्षण न्यूटोनियन नियतांक]] है और {{mvar|c}} [[निर्वात में प्रकाश]] की गति है।


इस प्रकार EFE को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
इस प्रकार EFE को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
:<math>R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}.</math>
:<math>R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}.</math>
मानक इकाइयों में, बाईं ओर के प्रत्येक पद में 1/लंबाई की इकाइयाँ होती हैं<sup>2</sup>.
मानक इकाइयों में, बाईं ओर प्रत्येक पद की इकाइयाँ 1/length<sup>2</sup> होती हैं।
 
बाईं ओर की अभिव्यक्ति मात्रिकद्वारा निर्धारित स्पेसटाइम की वक्रता को दर्शाती है; दाईं ओर की अभिव्यक्ति स्पेसटाइम की तनाव-ऊर्जा-संवेग सामग्री का प्रतिनिधित्व करती है। फिर EFEकी व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह बताता है कि तनाव-ऊर्जा-संवेग स्पेसटाइम की वक्रता को कैसे निर्धारित करता है।
 
ये समीकरण, [[जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता)]] के साथ मिलकर,<ref name="SW1993">{{cite book| last=Weinberg |first=Steven|title=Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature| year=1993 | publisher=Vintage Press|pages=107, 233|isbn=0-09-922391-0}}</ref> जो यह निर्धारित करता है कि स्वतंत्र रूप से गिरता हुआ पदार्थ स्पेसटाइम के माध्यम से कैसे चलता है, सामान्य सापेक्षता के सामान्य सापेक्षता के गणित का मूल बनता है।


EFEसममित टेंसर | सममित 4 × 4 टेंसर के एक सेट से संबंधित एक टेंसर समीकरण है। प्रत्येक टेंसर में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची पहचानें स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मात्रिकमें चार [[गेज फिक्सिंग]]|गेज-फिक्सिंग [[स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान)]] रह जाती है, जो एक समन्वय प्रणाली चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती है।
बाईं ओर के व्यंजक मात्रिक द्वारा निर्धारित दिक्काल की वक्रता को दर्शाते है; दाईं ओर के व्यंजक दिक्काल की प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग सामग्री को दर्शाते है। फिर EFE की व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह निर्धारित करते है कि प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग दिक्काल  की वक्रता को कैसे निर्धारित करते है।


हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-आयामी सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने उनके परिणामों का पता लगाया है {{mvar|n}} आयाम.<ref name="Stephani et al">{{cite book | last1 = Stephani | first1 = Hans |first2=D. |last2=Kramer |first3=M. |last3=MacCallum |first4=C. |last4=Hoenselaers |first5=E. |last5=Herlt | title = आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधान| publisher = [[Cambridge University Press]] | year = 2003 | isbn = 0-521-46136-7 }}</ref> सामान्य सापेक्षता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (जब प्राप्त होता है {{math|''T''{{sub|''μν''}}}} हर जगह शून्य है) [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड]]्स को परिभाषित करें।
ये समीकरण, [[जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता)|जियोडेसिक]] [[समीकरण]] के साथ,<ref name="SW1993">{{cite book| last=Weinberg |first=Steven|title=Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature| year=1993 | publisher=Vintage Press|pages=107, 233|isbn=0-09-922391-0}}</ref> जो यह निर्धारित करते है कि दिक्काल से द्रव कैसे स्वतंत्र रूप से गिरता है, [[सामान्य सापेक्षता|सामान्य]] [[आपेक्षिकता]] के [[गणितीय सूत्रीकरण]] का मूल बनाते हैं।


समीकरण जितने दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पदार्थ और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, EFEको मात्रिकटेंसर के लिए समीकरण समझा जाता है <math>g_{\mu \nu}</math>, चूंकि रिक्की टेंसर और स्केलर वक्रता दोनों जटिल गैर-रेखीय तरीके से मात्रिकपर निर्भर करते हैं। जब पूरी तरह से लिखा जाता है, तो EFEदस युग्मित, गैर-रेखीय, हाइपरबोलिक-अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है।<ref>{{cite journal |first=Alan D. |last=Rendall |title=आइंस्टीन समीकरणों के लिए अस्तित्व और वैश्विक गतिशीलता पर प्रमेय|journal=Living Rev. Relativ. |volume=8 |year=2005 |issue=1 |at=Article number: 6 |doi=10.12942/lrr-2005-6 |pmid=28179868 |pmc=5256071 |arxiv=gr-qc/0505133 |bibcode=2005LRR.....8....6R |doi-access=free }}</ref>
EFE सममित [[4 × 4 टेंसरों|4 × 4 प्रदिशों]] के एक समुच्चय से संबंधित एक प्रदिश समीकरण है। प्रत्येक प्रदिश में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची सर्वसमिकाये स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मात्रिक में [[स्वतंत्रता|स्वतंत्र]] की चार [[गेज-फिक्सिंग कोटि]] रह जाती हैं, जो एक निर्देशांक पद्धति चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती हैं।


हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-विमीय सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने ''n'' आयामों में उनके परिणामों की खोज की है।<ref name="Stephani et al">{{cite book | last1 = Stephani | first1 = Hans |first2=D. |last2=Kramer |first3=M. |last3=MacCallum |first4=C. |last4=Hoenselaers |first5=E. |last5=Herlt | title = आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधान| publisher = [[Cambridge University Press]] | year = 2003 | isbn = 0-521-46136-7 }}</ref> व्यापक आपेक्षिकता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (तब प्राप्त होते हैं जब {{math|''T''{{sub|''μν''}}}} हर जगह शून्य होता है) [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड|आइंस्टीन]] [[मैनिफोल्ड्स]] को परिभाषित करते हैं।


===संकेत परिपाटी===
समीकरण जितने सरल दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश के रूप में द्रव और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, EFE को मात्रिक प्रदिश <math>g_{\mu \nu}</math> के लिए समीकरण समझा जाता है, क्योंकि रिक्की प्रदिश और अदिश वक्रता दोनों जटिल अरैखिक तरीके से मात्रिक पर निर्भर करते हैं। जब पूर्ण प्रकार से लिखा जाता है, तो EFE दस युग्मित, अरैखिक, अतिपरवलिक-अण्डाकार [[आंशिक अवकल समीकरणों]] की एक पद्धति है।<ref>{{cite journal |first=Alan D. |last=Rendall |title=आइंस्टीन समीकरणों के लिए अस्तित्व और वैश्विक गतिशीलता पर प्रमेय|journal=Living Rev. Relativ. |volume=8 |year=2005 |issue=1 |at=Article number: 6 |doi=10.12942/lrr-2005-6 |pmid=28179868 |pmc=5256071 |arxiv=gr-qc/0505133 |bibcode=2005LRR.....8....6R |doi-access=free }}</ref>
EFEका उपरोक्त रूप ग्रेविटेशन (पुस्तक)|मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर (एमटीडब्ल्यू) द्वारा स्थापित मानक है।{{sfnp|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=501ff}} लेखकों ने मौजूद परंपराओं का विश्लेषण किया और इन्हें तीन संकेतों ([एस1] [एस2] [एस3]) के अनुसार वर्गीकृत किया:
===चिह्न परिपाटी===
EFE का उपरोक्त रूप [[मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर]] (एमटीडब्ल्यू) द्वारा स्थापित मानक है।{{sfnp|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=501ff}} लेखकों ने प्रस्तुत कन्वेंशन का विश्लेषण किया और इन्हें तीन चिन्हों ([S1] [S2] [S3]) के अनुसार वर्गीकृत किया:


<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
Line 52: Line 51:
G_{\mu \nu} & = [S3] \times \kappa T_{\mu \nu}
G_{\mu \nu} & = [S3] \times \kappa T_{\mu \nu}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
उपरोक्त तीसरा चिन्ह रिक्की टेंसर के लिए कन्वेंशन की पसंद से संबंधित है:
उपरोक्त तीसरा चिन्ह रिक्की प्रदिश के लिए कन्वेंशन की चॉइस से संबंधित है:
<math display="block">R_{\mu \nu} = [S2] \times [S3] \times {R^\alpha}_{\mu\alpha\nu} </math>
<math display="block">R_{\mu \nu} = [S2] \times [S3] \times {R^\alpha}_{\mu\alpha\nu} </math>
इन परिभाषाओं के साथ ग्रेविटेशन (पुस्तक)|मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर स्वयं को इस प्रकार वर्गीकृत करते हैं {{math|(+ + +)}}, जबकि वेनबर्ग (1972){{sfnp|Weinberg|1972}} है {{math|(+ − −)}}, पीबल्स (1980)<ref>{{cite book |last=Peebles |first=Phillip James Edwin |title=ब्रह्मांड की बड़े पैमाने की संरचना|publisher=Princeton University Press |year=1980 |isbn=0-691-08239-1 }}</ref> और एफ़स्टैथिउ एट अल। (1990)<ref>{{cite journal |last1=Efstathiou |first1=G. |first2=W. J. |last2=Sutherland |first3=S. J. |last3=Maddox |s2cid=12988317 |title=ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और ठंडा डार्क मैटर|journal=[[Nature (journal)|Nature]] |volume=348 |issue=6303 |year=1990 |pages=705 |doi=10.1038/348705a0 |bibcode=1990Natur.348..705E }}</ref> हैं {{math|(− + +)}}, रिंडलर (1977),{{citation needed|date=October 2014}} एटवाटर (1974),{{citation needed|date=October 2014}} कोलिन्स मार्टिन एंड स्क्वॉयर (1989)<ref>{{cite book |last1=Collins |first1=P. D. B. |last2=Martin |first2=A. D. |last3=Squires |first3=E. J. |year=1989 |title=कण भौतिकी और ब्रह्मांड विज्ञान|location=New York |publisher=Wiley |isbn=0-471-60088-1 }}</ref> और मोर (1999){{sfnp|Peacock|1999}} हैं {{math|(− + −)}}.
इन परिभाषाओं के साथ [[मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर]] स्वयं को {{math|(+ + +)}} के रूप में वर्गीकृत करते हैं, जबकि वेनबर्ग (1972){{sfnp|Weinberg|1972}} {{math|(+ − −)}}, पीबल्स (1980)<ref>{{cite book |last=Peebles |first=Phillip James Edwin |title=ब्रह्मांड की बड़े पैमाने की संरचना|publisher=Princeton University Press |year=1980 |isbn=0-691-08239-1 }}</ref> और एफ़स्टैथिउ एट अल. (1990)<ref>{{cite journal |last1=Efstathiou |first1=G. |first2=W. J. |last2=Sutherland |first3=S. J. |last3=Maddox |s2cid=12988317 |title=ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और ठंडा डार्क मैटर|journal=[[Nature (journal)|Nature]] |volume=348 |issue=6303 |year=1990 |pages=705 |doi=10.1038/348705a0 |bibcode=1990Natur.348..705E }}</ref> {{math|(− + +)}}, रिंडलर (1977),{{citation needed|date=October 2014}} एटवाटर (1974),{{citation needed|date=October 2014}} कोलिन्स मार्टिन एंड स्क्वॉयर (1989)<ref>{{cite book |last1=Collins |first1=P. D. B. |last2=Martin |first2=A. D. |last3=Squires |first3=E. J. |year=1989 |title=कण भौतिकी और ब्रह्मांड विज्ञान|location=New York |publisher=Wiley |isbn=0-471-60088-1 }}</ref> और पीकॉक (1999){{sfnp|Peacock|1999}} {{math|(− + −)}} के रूप में वर्गीकृत करते हैं |


आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की टेंसर के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग संकेत का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर स्थिरांक का संकेत नकारात्मक होता है:
आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की प्रदिश के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग चिन्ह का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर नियतांक का चिन्ह नकारात्मक होता है:<math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = -\kappa T_{\mu \nu}.</math>यदि यहां अपनाए गए MTW (- + + +) मीट्रिक [[चिन्ह कन्वेंशन]] की बजाय (+ − − −) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन का उपयोग किया जाता है, तो ब्रह्मांडीकीय पद का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाता है।
<math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = -\kappa T_{\mu \nu}.</math>
ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाएगा यदि {{math|(+ − − −)}} एमटीडब्ल्यू के बजाय मात्रिक[[ संधिपत्र पर हस्ताक्षर करें ]] का उपयोग किया जाता है {{math|(− + + +)}} मात्रिकसाइन कन्वेंशन यहां अपनाया गया।


===समतुल्य सूत्रीकरण===
===समतुल्य सूत्रीकरण===
EFEके दोनों पक्षों की अदिश वक्रता#परिभाषा लेने पर एक प्राप्त होता है
EFE के दोनों पक्षों के मात्रिक के संबंध में अनुरेखण लेने पर एक संबंध मिलता है<math display="block">R - \frac{D}{2} R + D \Lambda = \kappa T ,</math>जहाँ {{mvar|D}} दिक्काल आयाम है। {{math|''R''}} को हल करने और इसे मूल EFE में प्रतिस्थापित करने पर, निम्नलिखित समतुल्य "अनुरेख-उत्क्रम" रूप प्राप्त होता है:
<math display="block">R - \frac{D}{2} R + D \Lambda = \kappa T ,</math>
कहाँ {{mvar|D}} स्पेसटाइम आयाम है। के लिए समाधान {{math|''R''}} और इसे मूल EFEमें प्रतिस्थापित करने पर, निम्नलिखित समकक्ष ट्रेस-उलटा फॉर्म प्राप्त होता है:
<math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{2}{D-2} \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{D-2}Tg_{\mu \nu}\right) .</math>
<math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{2}{D-2} \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{D-2}Tg_{\mu \nu}\right) .</math>
में {{math|1=''D'' = 4}} आयाम यह कम हो जाता है
{{math|1=''D'' = 4}} आयामों में यह कम हो जाता है
<math display="block">R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}T\,g_{\mu \nu}\right) .</math>
<math display="block">R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}T\,g_{\mu \nu}\right) .</math>
ट्रेस को फिर से उलटने से मूल EFEबहाल हो जाएगा। कुछ मामलों में ट्रेस-रिवर्स्ड फॉर्म अधिक सुविधाजनक हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई कमजोर-फ़ील्ड सीमा में रुचि रखता है और प्रतिस्थापित कर सकता है) <math>g_{\mu \nu}</math> सटीकता के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना [[मिन्कोवस्की मीट्रिक|मिन्कोवस्की]] मात्रिकके साथ दाईं ओर की अभिव्यक्ति में)।
अनुरेखण को फिर से उत्क्रमी करने से मूल EFE पुनःस्थापित हो जाता है। कुछ स्थितियों में अनुरेख-उत्क्रमी रूप अधिक उपयुक्त हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई दुर्बल-क्षेत्र सीमा में रुचि रखता है और उसे प्रतिस्थापित कर सकता है)
 
== ब्रह्मांडीकीय नियतांक==
{{Main|ब्रह्मांडीकीय नियतांक}}


== ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक==
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में<math display="block">G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu} \,,</math>[[ब्रह्मांडीकीय नियतांक]] {{math|Λ}} वाला पद उस संस्करण से अनुपस्थित था जिसमें उन्होंने मूल रूप से उन्हें प्रकाशित किया था। फिर आइंस्टीन ने एक ऐसे [[स्थिर ब्रह्मांड|विश्व]] की अनुमति देने के लिए ब्रह्मांडीकीय नियतांक के साथ इस पद को सम्मिलित किया जो [[विस्तार या संकुचन|प्रसार या संकुचन]] नहीं कर रहा है। यह प्रयास असफल रहा क्योंकि:
{{Main|Cosmological constant}}
* इस समीकरण द्वारा वर्णित कोई भी वांछित नियत अवस्था का समाधान अस्थिर है, और
*[[एडविन हबल]] के अवलोकनों से पता चला कि हमारा विश्व प्रसारी है।


आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में
इसके बाद आइंस्टीन ने {{math|Λ}} को परित्यक्त कर दिया और [[जॉर्ज गामो]] से कहा, कि <nowiki>''ब्रह्माण्ड संबंधी पद का परिचय उनके जीवन की सबसे बड़ी भूल थी''</nowiki>।<ref name="gamow">{{cite book| last = Gamow| first = George| author-link = George Gamow| title = My World Line : An Informal Autobiography| publisher = [[Viking Adult]]| date = April 28, 1970| isbn = 0-670-50376-2| url = http://www.jb.man.ac.uk/~jpl/cosmo/blunder.html| access-date = 2007-03-14 }}</ref>
<math display="block">G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu} \,,</math>
ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक वाला शब्द {{math|Λ}} उस संस्करण से अनुपस्थित था जिसमें उन्होंने मूल रूप से उन्हें प्रकाशित किया था। फिर आइंस्टीन ने [[स्थिर ब्रह्मांड]] की अनुमति देने के लिए इस शब्द को ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के साथ शामिल किया। यह प्रयास असफल रहा क्योंकि:
* इस समीकरण द्वारा वर्णित कोई भी वांछित स्थिर अवस्था समाधान अस्थिर है, और
*[[एडविन हबल]] के अवलोकनों से पता चला कि हमारा ब्रह्माण्ड एक विस्तारित ब्रह्माण्ड है।


फिर आइंस्टीन ने त्याग दिया {{math|Λ}}, [[जॉर्ज गामो]] से टिप्पणी करते हुए कहा कि ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का परिचय उनके जीवन की सबसे बड़ी भूल थी।<ref name = gamow>{{cite book| last = Gamow| first = George| author-link = George Gamow| title = My World Line : An Informal Autobiography| publisher = [[Viking Adult]]| date = April 28, 1970| isbn = 0-670-50376-2| url = http://www.jb.man.ac.uk/~jpl/cosmo/blunder.html| access-date = 2007-03-14 }}</ref>
इस पद के सम्मिलित होने से विसंगतियाँ उत्पन्न नहीं होती हैं। कई वर्षों तक ब्रह्मांडीकीय नियतांक को लगभग सार्वभौमिक रूप से शून्य माना गया था। हाल के [[खगोलीय]] अवलोकनों से पता चला है कि [[ह्मांड का तेजी से विस्तार|ब्रह्मांड का तेजी से प्रसार]] हो रहा है, और इसे समझाने के लिए {{math|Λ}} के सकारात्मक मान की आवश्यकता है।<ref name="wahl">{{cite news| last=Wahl| first=Nicolle| date=2005-11-22| title=Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?| url=http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp |publisher =University of Toronto|work = News@UofT |archive-url = https://web.archive.org/web/20070307191343/http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp <!-- Bot retrieved archive --> |archive-date = 2007-03-07}}</ref><ref name="turner">
इस शब्द के शामिल होने से विसंगतियाँ पैदा नहीं होती हैं। कई वर्षों तक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक को लगभग सार्वभौमिक रूप से शून्य माना गया था। हाल के [[खगोल]] विज्ञान अवलोकनों से पता चला है कि ब्रह्मांड का तेजी से विस्तार हो रहा है, और इसे समझाने के लिए इसका एक सकारात्मक मूल्य है {{math|Λ}} ज़रूरी है।<ref name=wahl>{{cite news| last=Wahl| first=Nicolle| date=2005-11-22| title=Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?| url=http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp |publisher =University of Toronto|work = News@UofT |archive-url = https://web.archive.org/web/20070307191343/http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp <!-- Bot retrieved archive --> |archive-date = 2007-03-07}}</ref><ref name= turner>
{{cite journal
{{cite journal
  |last=Turner |first=Michael S.
  |last=Turner |first=Michael S.
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  |pages=180–196
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  |doi=10.1142/S0217751X02013113
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  |arxiv=astro-ph/0202008|bibcode = 2002IJMPA..17S.180T }}</ref> किसी आकाशगंगा या उससे छोटी आकाशगंगा के पैमाने पर ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक नगण्य है।
  |arxiv=astro-ph/0202008|bibcode = 2002IJMPA..17S.180T }}</ref> किसी आकाशगंगा या उससे छोटी आकाशगंगा के पैमाने पर ब्रह्मांडीकीय नियतांक नगण्य हैं।


आइंस्टीन ने ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक को एक स्वतंत्र पैरामीटर के रूप में सोचा था, लेकिन क्षेत्र समीकरण में इसके शब्द को बीजगणितीय रूप से दूसरी तरफ भी ले जाया जा सकता है और तनाव-ऊर्जा टेंसर के हिस्से के रूप में शामिल किया जा सकता है:
आइंस्टीन ने ब्रह्मांडीकीय नियतांक को एक स्वतंत्र पैरामीटर के रूप में सोचा था, लेकिन क्षेत्र समीकरण में इसके पद को बीजगणितीय रूप से दूसरी तरफ भी ले जाया जा सकता है और प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश के भाग के रूप में सम्मिलित किया जा सकता है:
<math display="block">T_{\mu \nu}^\mathrm{(vac)} = - \frac{\Lambda}{\kappa} g_{\mu \nu} \,.</math>
<math display="block">T_{\mu \nu}^\mathrm{(vac)} = - \frac{\Lambda}{\kappa} g_{\mu \nu} \,.</math>
यह टेंसर [[निर्वात ऊर्जा]] के साथ [[निर्वात अवस्था]] का वर्णन करता है {{math|''ρ''{{sub|vac}}}} और आइसोट्रोपिक दबाव {{math|''p''{{sub|vac}}}} जो निश्चित स्थिरांक हैं और द्वारा दिए गए हैं
यह प्रदिश [[ऊर्जा घनत्व]] {{math|''ρ''{{sub|vac}}}} और समदैशिक दबाव {{math|''p''{{sub|vac}}}} के साथ एक [[निर्वात स्थिति]] का वर्णन करता है जो निश्चित नियतांक हैं और द्वारा दिए गए हैं<math display="block">\rho_\mathrm{vac} = - p_\mathrm{vac} = \frac{\Lambda}{\kappa},</math>जहाँ यह माना जाता है कि {{math|Λ}} की SI इकाई m<sup>−2</sup>  है और {{math|''κ''}} को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है।
<math display="block">\rho_\mathrm{vac} = - p_\mathrm{vac} = \frac{\Lambda}{\kappa},</math>
जहाँ ऐसा माना जाता है {{math|Λ}} में SI इकाई m है{{sup|−2}} और {{math|''κ''}} को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है।


इस प्रकार ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक का अस्तित्व निर्वात ऊर्जा और विपरीत चिह्न के दबाव के अस्तित्व के बराबर है। इसके कारण सामान्य सापेक्षता में ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और निर्वात ऊर्जा शब्दों का परस्पर उपयोग किया जाने लगा है।
इस प्रकार ब्रह्मांडीकीय नियतांक का अस्तित्व निर्वात ऊर्जा और विपरीत चिह्न के दबाव के अस्तित्व के समतुल्य है। इसके कारण व्यापक आपेक्षिकता में <nowiki>''ब्रह्मांडीकीय नियतांक'' और ''निर्वात ऊर्जा''</nowiki> पदों का परस्पर उपयोग किया जाने लगा है।


==सुविधाएँ==
==अभिलक्षण ==


===ऊर्जा और संवेग का संरक्षण===
===ऊर्जा और संवेग का संरक्षण===
सामान्य सापेक्षता ऊर्जा और संवेग के स्थानीय संरक्षण के अनुरूप है
व्यापक आपेक्षिकता ऊर्जा और संवेग के स्थानीय संरक्षण के अनुरूप है


<math display="block">\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = {T^{\alpha\beta}}_{;\beta} = 0.</math>
<math display="block">\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = {T^{\alpha\beta}}_{;\beta} = 0.</math>
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}}
}}


जो तनाव-ऊर्जा के स्थानीय संरक्षण को व्यक्त करता है। यह संरक्षण कानून एक भौतिक आवश्यकता है। अपने क्षेत्र समीकरणों से आइंस्टीन ने यह सुनिश्चित किया कि सामान्य सापेक्षता इस संरक्षण स्थिति के अनुरूप है।
जो प्रतिबल-ऊर्जा के स्थानीय संरक्षण को व्यक्त करता है। यह संरक्षण नियम की एक भौतिक आवश्यकता है। अपने क्षेत्र समीकरणों से आइंस्टीन ने यह सुनिश्चित किया कि व्यापक आपेक्षिकता इस संरक्षण स्थिति के अनुरूप है।


===अरैखिकता===
===अरैखिकता===


EFEकी गैर-रैखिकता सामान्य सापेक्षता को कई अन्य मौलिक भौतिक सिद्धांतों से अलग करती है। उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के [[विद्युत]] चुंबकत्व के समीकरण [[विद्युत क्षेत्र]] और [[चुंबकीय क्षेत्र]] और चार्ज और वर्तमान वितरण में रैखिक हैं (यानी दो समाधानों का योग भी एक समाधान है); एक अन्य उदाहरण श्रोडिंगर का [[क्वांटम यांत्रिकी]] का समीकरण है, जो तरंग [[तरंग क्रिया]] में रैखिक है।
EFE की अरैखिकता व्यापक आपेक्षिकता को कई अन्य मौलिक भौतिक सिद्धांतों से अलग करती है। उदाहरण के लिए, [[विद्युत|मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के समीकरण]] [[विद्युत क्षेत्र|विद्युत]] और [[चुंबकीय क्षेत्र|चुंबकीय क्षेत्रों]] में रैखिक हैं (अर्थात दो समाधानों का योग भी एक समाधान है); एक अन्य उदाहरण [[श्रोडिंगर का क्वांटम यांत्रिकी का समीकरण]] है, जो [[तरंग फ़ंक्शन|तरंग फलन]] में रैखिक है।


===पत्राचार सिद्धांत===
===संगति नियम===
EFEकमजोर-क्षेत्र सन्निकटन और [[धीमी गति सन्निकटन]] दोनों का उपयोग करके न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम करता है। वास्तव में, स्थिरांक {{mvar|G}} EFEमें प्रदर्शित होना इन दो अनुमानों को बनाकर निर्धारित किया जाता है।
EFE [[दुर्बल-क्षेत्र सन्निकटन]] और [[धीमी गति सन्निकटन|मंदगति सन्निकटन]] दोनों का उपयोग करके [[न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम]] को कम करता है। वास्तव में, EFE में प्रदर्शित होने वाला नियतांक {{mvar|G}} इन दो सन्निकटनों को बनाकर निर्धारित किया जाता है।


{{math proof|title=Derivation of Newton's law of gravity | proof=
{{math proof|title=Derivation of Newton's law of gravity | proof=
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==निर्वात क्षेत्र समीकरण==
==निर्वात क्षेत्र समीकरण==
[[Image:Swiss-Commemorative-Coin-1979b-CHF-5-obverse.png|thumb|1979 का एक स्विस स्मारक सिक्का, शून्य ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक (शीर्ष) के साथ निर्वात क्षेत्र समीकरण दर्शाता है।]]यदि ऊर्जा-संवेग टेंसर {{mvar|T{{sub|μν}}}विचाराधीन क्षेत्र में } शून्य है, तो फ़ील्ड समीकरणों को फ़ील्ड समीकरण#वैक्यूम फ़ील्ड समीकरण भी कहा जाता है। व्यवस्थित करके {{math|1=''T{{sub|μν}}'' = 0}} #समतुल्य योगों|ट्रेस-उलट क्षेत्र समीकरणों में, निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिन्हें 'आइंस्टीन वैक्यूम समीकरण' (ईवीई) के रूप में भी जाना जाता है, को इस प्रकार लिखा जा सकता है
[[Image:Swiss-Commemorative-Coin-1979b-CHF-5-obverse.png|thumb|1979 का एक स्विस स्मारक सिक्का, शून्य ब्रह्मांडीकीय नियतांक(शीर्ष) के साथ निर्वात क्षेत्र समीकरण दर्शाता है।]]यदि विचाराधीन क्षेत्र में ऊर्जा-संवेग प्रदिश Tμν शून्य है, तो क्षेत्र समीकरणों को [[निर्वात क्षेत्र समीकरण]] भी कहा जाता है। अनुरेख-उत्कर्मी क्षेत्र समीकरणों में Tμν = 0 समुच्चय करके, निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिसे 'आइंस्टीन निर्वात समीकरण' (EVE) के रूप में भी जाना जाता है, को इस प्रकार लिखा जा सकता है<math display="block">R_{\mu \nu} = 0 \,.</math>शून्येतर ब्रह्मांडीकीय नियतांक की स्थिति में, समीकरण इस प्रकार हैं<math display="block">R_{\mu \nu} = \frac{\Lambda}{\frac{D}{2} -1} g_{\mu \nu} \,.</math>निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधानों को [[निर्वात समाधान (सामान्य सापेक्षता)|निर्वात समाधान]] कहा जाता है। समतल [[मिन्कोव्स्की समष्टि|मिन्कोव्स्की दिक्स्थान]] निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। असतहीय उदाहरणों में [[श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान]] और [[केर समाधान]] सम्मिलित हैं।
<math display="block">R_{\mu \nu} = 0 \,.</math>
शून्येतर ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के मामले में, समीकरण हैं
<math display="block">R_{\mu \nu} = \frac{\Lambda}{\frac{D}{2} -1} g_{\mu \nu} \,.</math>
निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधान को [[निर्वात समाधान (सामान्य सापेक्षता)]] कहा जाता है। फ़्लैट मिन्कोव्स्की स्थान निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। गैर-तुच्छ उदाहरणों में [[श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान]] और [[केर समाधान]] शामिल हैं।


लुप्त हो रहे [[रिक्की टेंसर]] के साथ [[ विविध ]]्स, {{math|1=''R{{sub|μν}}'' = 0}}, [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]]्स के रूप में संदर्भित होते हैं और आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के रूप में मात्रिकके आनुपातिक रिक्की टेंसर के साथ मैनिफोल्ड्स होते हैं।
लुप्यमान हो रहे [[रिक्की टेंसर|रिक्की प्रदिश]], {{math|1=''R{{sub|μν}}'' = 0}} वाले [[मैनिफोल्ड्स]] को [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड|रिक्की-समतल]] [[मैनिफोल्ड्स]] कहा जाता है और [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स]] के रूप में मात्रिक के आनुपातिक रिक्की प्रदिश वाले मैनिफोल्ड्स को भी रिक्की-समतल मैनिफोल्ड्स कहा जाता है।
==आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण==
{{See also|वक्रित दिक्काल में मैक्सवेल के समीकरण}}


==आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण==
यदि ऊर्जा-संवेग प्रदिश {{mvar|T{{sub|μν}}}} [[मुक्त स्थान|मुक्त समष्टि]] में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का है, अर्थात यदि विद्युत चुम्बकीय प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश<math display="block">T^{\alpha \beta} = \, -\frac{1}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right) </math>का प्रयोग किया जाता है, तो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण कहा जाता है (ब्रह्मांडीकीय नियतांक Λ के साथ, पारंपरिक आपेक्षिकता सिद्धांत में शून्य माना जाता है):<math display="block">G^{\alpha \beta} + \Lambda g^{\alpha \beta} = \frac{\kappa}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right).</math>
{{See also|Maxwell's equations in curved spacetime}}
 
यदि ऊर्जा-संवेग टेंसर {{mvar|T{{sub|μν}}}} [[मुक्त स्थान]] में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का है, अर्थात यदि विद्युत चुम्बकीय तनाव-ऊर्जा टेंसर
इसके अतिरिक्त, सहपरिवर्ती मैक्सवेल समीकरण भी मुक्त समष्टि में लागू होते हैं:
<math display="block">T^{\alpha \beta} = \, -\frac{1}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right) </math>
प्रयोग किया जाता है, तो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण (ब्रह्मांड संबंधी स्थिरांक के साथ) कहा जाता है {{math|Λ}}, पारंपरिक सापेक्षता सिद्धांत में शून्य माना जाता है):
<math display="block">G^{\alpha \beta} + \Lambda g^{\alpha \beta} = \frac{\kappa}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right).</math>
इसके अतिरिक्त, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक टेंसर#फ़ील्ड टेंसर और सापेक्षता भी मुक्त स्थान में लागू होते हैं:
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
{F^{\alpha\beta}}_{;\beta} &= 0 \\
{F^{\alpha\beta}}_{;\beta} &= 0 \\
F_{[\alpha\beta;\gamma]}&=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta;\gamma} + F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta,\gamma} + F_{\beta\gamma,\alpha}+F_{\gamma\alpha,\beta}\right)= 0.
F_{[\alpha\beta;\gamma]}&=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta;\gamma} + F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta,\gamma} + F_{\beta\gamma,\alpha}+F_{\gamma\alpha,\beta}\right)= 0.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जहां अर्धविराम एक [[सहसंयोजक व्युत्पन्न]] का प्रतिनिधित्व करता है, और कोष्ठक बाहरी बीजगणित को दर्शाता है#वैकल्पिक टेंसर बीजगणित|एंटी-सममितिकरण। पहला समीकरण यह दावा करता है कि 2-रूप का 4-[[विचलन]] {{mvar|F}} शून्य है, और दूसरी बात यह कि इसका बाह्य अवकलज शून्य है। उत्तरार्द्ध से, यह पोंकारे लेम्मा का अनुसरण करता है कि एक समन्वय चार्ट में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र क्षमता पेश करना संभव है {{mvar|A<sub>α</sub>}} ऐसा है कि
जहां अर्धविराम एक [[सहसंयोजक व्युत्पन्न|सहपरिवर्ती अवकलज]] का निरूपण करता है, और कोष्ठक [[विरोधी-सममितिकरण|प्रति-सममितिकरण]] को दर्शाता है। पहला समीकरण दावा करता है कि [[2-रूप]] {{mvar|F}} का 4-[[अपसरण]] शून्य है, और दूसरा यह कि इसका [[बाहरी|बाह्य]] [[सहसंयोजक व्युत्पन्न|अवकलज]] शून्य है। उत्तरार्द्ध से, यह पोंकारे लेम्मा का अनुसरण करता है कि एक निर्देशांक चार्ट में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र क्षमता Aα को प्रस्तुत करना संभव है जैसे कि<math display="block">F_{\alpha\beta} = A_{\alpha;\beta} - A_{\beta;\alpha} = A_{\alpha,\beta} - A_{\beta,\alpha}</math>जिसमें अल्पविराम आंशिक अवकलज को दर्शाता है। इसे अधिकतर सहपरिवर्ती मैक्सवेल समीकरण के समतुल्य माना जाता है जिससे यह प्राप्त होता है।<ref>{{Cite book|last=Brown|first=Harvey|url=https://books.google.com/books?id=T6IVyWiPQksC&q=Maxwell+and+potential+and+%22generally+covariant%22&pg=PA164| title=भौतिक सापेक्षता|page=164|publisher=Oxford University Press|year=2005 | isbn=978-0-19-927583-0}}</ref> हालाँकि, समीकरण के वैश्विक समाधान हैं जिनमें विश्व स्तर पर परिभाषित क्षमता का अभाव हो सकता है।<ref>{{Cite journal | last1=Trautman | first1=Andrzej | s2cid=123364248 | author-link = Andrzej Trautman| title=Solutions of the Maxwell and Yang–Mills equations associated with Hopf fibrings | year=1977 | journal=[[International Journal of Theoretical Physics]] | volume=16 | issue=9|pages=561–565 | doi=10.1007/BF01811088|bibcode = 1977IJTP...16..561T }}.</ref>
<math display="block">F_{\alpha\beta} = A_{\alpha;\beta} - A_{\beta;\alpha} = A_{\alpha,\beta} - A_{\beta,\alpha}</math>
जिसमें अल्पविराम आंशिक अवकलज को दर्शाता है। इसे अक्सर सहसंयोजक मैक्सवेल समीकरण के समतुल्य माना जाता है जिससे यह प्राप्त होता है।<ref>{{Cite book|last=Brown|first=Harvey|url=https://books.google.com/books?id=T6IVyWiPQksC&q=Maxwell+and+potential+and+%22generally+covariant%22&pg=PA164| title=भौतिक सापेक्षता|page=164|publisher=Oxford University Press|year=2005 | isbn=978-0-19-927583-0}}</ref> हालाँकि, समीकरण के वैश्विक समाधान हैं जिनमें विश्व स्तर पर परिभाषित क्षमता का अभाव हो सकता है।<ref>{{Cite journal | last1=Trautman | first1=Andrzej | s2cid=123364248 | author-link = Andrzej Trautman| title=Solutions of the Maxwell and Yang–Mills equations associated with Hopf fibrings | year=1977 | journal=[[International Journal of Theoretical Physics]] | volume=16 | issue=9|pages=561–565 | doi=10.1007/BF01811088|bibcode = 1977IJTP...16..561T }}.</ref>
 


==समाधान==
==समाधान==
{{Main|Solutions of the Einstein field equations}}
{{Main|आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान}}


आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान स्पेसटाइम के मात्रिकटेंसर (सामान्य सापेक्षता) हैं। ये मेट्रिक्स स्पेसटाइम में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित स्पेसटाइम की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि फ़ील्ड समीकरण गैर-रैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें हमेशा पूरी तरह से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात अनुमान लगाए बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले स्पेसटाइम के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार सिस्टम का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन मामलों में अनुमान लगाए जाते हैं। इन्हें आमतौर पर पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसे कई मामले हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं, और उन्हें सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान कहा जाता है।<ref name="Stephani et al" />
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान दिक्काल के [[मैट्रिक्स]] हैं। ये मेट्रिक्स दिक्काल में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित दिक्काल की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि क्षेत्र समीकरण अरैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें पूर्ण प्रकार से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात सन्निकटन के बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले दिक्काल के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार निकाय का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन स्थितियों में सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। इन्हें आमतौर पर [[पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन]] के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसी कई स्थितियाँ हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूर्ण प्रकार से हल हो गए हैं, और उन्हें [[सटीक समाधान]] कहा जाता है।<ref name="Stephani et al" />


आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन भौतिक [[ब्रह्मांड]] विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह [[ब्लैक होल]] की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है।
आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन [[ब्रह्मांड]] विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह [[ब्लैक होल]] की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है।


एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं।<ref>{{cite journal|last1=Ellis|first1=G. F. R.|last2=MacCallum|first2=M.|s2cid=122577276|title=सजातीय ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडलों का एक वर्ग|journal=Comm. Math. Phys.|volume=12|issue=2|date=1969|pages=108–141|bibcode=1969CMaPh..12..108E |doi=10.1007/BF01645908|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103841345}}</ref> इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, गैर-रेखीय, साधारण अंतर समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि सू और वेनराइट ने चर्चा की,<ref>{{cite journal|last1=Hsu|first1=L.|last2=Wainwright|first2=J|title=Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions|journal=Class. Quantum Grav.|volume=3|date=1986|issue=6|pages=1105–1124|doi=10.1088/0264-9381/3/6/011 |bibcode=1986CQGra...3.1105H|s2cid=250907312 }}</ref> आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी [[गतिशील प्रणाली]] के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं<ref>{{cite journal|last=LeBlanc|first=V. G.|title=चुंबकीय बियांची I ब्रह्माण्ड विज्ञान की स्पर्शोन्मुख अवस्थाएँ|date=1997|journal=Class. Quantum Grav.| volume=14|issue=8 |page=2281 |doi=10.1088/0264-9381/14/8/025|bibcode=1997CQGra..14.2281L|s2cid=250876974 }}</ref> और कोहली और हसलाम.<ref>{{cite journal|last1=Kohli |first1=Ikjyot Singh|last2=Haslam|first2=Michael C.|title=डायनामिकल सिस्टम बियांची प्रकार I चिपचिपा मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक मॉडल के लिए दृष्टिकोण करते हैं|journal=Phys. Rev. D|volume=88|page=063518|date=2013|issue=6|doi=10.1103/physrevd.88.063518| arxiv=1304.8042| bibcode=2013PhRvD..88f3518K|s2cid=119178273}}</ref>
एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं।<ref>{{cite journal|last1=Ellis|first1=G. F. R.|last2=MacCallum|first2=M.|s2cid=122577276|title=सजातीय ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडलों का एक वर्ग|journal=Comm. Math. Phys.|volume=12|issue=2|date=1969|pages=108–141|bibcode=1969CMaPh..12..108E |doi=10.1007/BF01645908|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103841345}}</ref> इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, अरेखीय, साधारण अवकल समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि Hsu और वेनराइट द्वारा चर्चा की गई है,<ref>{{cite journal|last1=Hsu|first1=L.|last2=Wainwright|first2=J|title=Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions|journal=Class. Quantum Grav.|volume=3|date=1986|issue=6|pages=1105–1124|doi=10.1088/0264-9381/3/6/011 |bibcode=1986CQGra...3.1105H|s2cid=250907312 }}</ref> आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी [[गतिशील प्रणाली|गतिकीय तंत्र]] के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक और कोहली और हसलाम द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं| <ref>{{cite journal|last=LeBlanc|first=V. G.|title=चुंबकीय बियांची I ब्रह्माण्ड विज्ञान की स्पर्शोन्मुख अवस्थाएँ|date=1997|journal=Class. Quantum Grav.| volume=14|issue=8 |page=2281 |doi=10.1088/0264-9381/14/8/025|bibcode=1997CQGra..14.2281L|s2cid=250876974 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kohli |first1=Ikjyot Singh|last2=Haslam|first2=Michael C.|title=डायनामिकल सिस्टम बियांची प्रकार I चिपचिपा मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक मॉडल के लिए दृष्टिकोण करते हैं|journal=Phys. Rev. D|volume=88|page=063518|date=2013|issue=6|doi=10.1103/physrevd.88.063518| arxiv=1304.8042| bibcode=2013PhRvD..88f3518K|s2cid=119178273}}</ref>
==रखीयकृत EFE==
==रखीयकृत EFE==
{{Main|रैखिक गुरुत्वाकर्षण}}
{{Main|रैखिक गुरुत्वाकर्षण}}


EFE अरैखिकता का सटीक समाधान खोजना कठिन बना देता है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका सन्निकटन है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण द्रव्य के स्रोत (स्रोतों) से दूर, [[गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र]] बहुत कमजोर है और समष्टि काल मिन्कोव्स्की समष्टि के पास है। फिर मात्रिक को मिन्कोव्स्की मात्रिक के योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-शक्ति शब्दों को अनदेखा करते हुए, [[मिन्कोव्स्की मात्रिक]] से वास्तविक मात्रिक के विचलन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक शब्द होता है। इस रैखिककरण प्रक्रिया का उपयोग [[गुरुत्वाकर्षण विकिरण]] की घटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है।
EFE अरैखिकता का सटीक समाधान खोजना कठिन बना देता है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका सन्निकटन है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण द्रव्य के स्रोत (स्रोतों) से दूर, और दिक्काल  मिन्कोव्स्की दिक्स्थान के पास है। फिर मात्रिक को मिन्कोव्स्की मात्रिक के योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-घातांक पदों को अनदेखा करते हुए, [[मिन्कोव्स्की मात्रिक]] से वास्तविक मात्रिक के अवकलन का निरूपण करने वाला एक पद होता है। इस रैखिकीकरण प्रक्रिया का उपयोग [[गुरूत्वीय विकिरण]] की परिघटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है।


==बहुपद रूप==
==बहुपद रूप==
EFE के लिखित रूप में मात्रिक टेंसर के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मात्रिकटेंसर बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होते है। सबसे पहले, 4 आयामों में मात्रिक के निर्धारक को लिखा जा सकता है<math display="block">\det(g) = \tfrac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}</math>[[लेवी-सिविटा प्रतीक]] का उपयोग करना; और 4 आयामों में मात्रिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:<math display="block">g^{\alpha\kappa} = \frac{\tfrac{1}{6} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu} }{ \det(g)}\,.</math>मात्रिक के व्युत्क्रम की इस परिभाषा को समीकरणों में व्युत्क्रमानुपाती करने के बाद इसे हर से हटाने के लिए दोनों पक्षों को det(g) की उपयुक्त शक्ति से गुणा करने पर मात्रिक टेंसर और इसके पहले और दूसरे व्युत्पन्न में बहुपद समीकरण बनते हैं। जिस क्रिया से समीकरण प्राप्त होते हैं उसे क्षेत्रों की उपयुक्त पुनर्परिभाषाओं द्वारा बहुपद रूप में भी लिखा जा सकता है।<ref>{{cite journal|last=Katanaev|first=M. O.|s2cid=6263993|year=2006|title=Polynomial form of the Hilbert–Einstein action|journal=Gen. Rel. Grav.|volume=38|issue=8|pages=1233–1240|arxiv=gr-qc/0507026|doi=10.1007/s10714-006-0310-5 | bibcode=2006GReGr..38.1233K}}</ref>
EFE के लिखित रूप में मात्रिक प्रदिश के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मात्रिक प्रदिश बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होते है। सबसे पहले, 4 आयामों में मात्रिक के सारणिक को लिखा जा सकता है<math display="block">\det(g) = \tfrac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}</math>[[लेवी-सिविटा प्रतीक]] का उपयोग करना; और 4 आयामों में मात्रिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:<math display="block">g^{\alpha\kappa} = \frac{\tfrac{1}{6} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu} }{ \det(g)}\,.</math>मात्रिक के व्युत्क्रम की इस परिभाषा को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने के बाद इसे हर से विलोप करने के लिए दोनों पक्षों को det(g) की उपयुक्त घात से गुणा करने पर मात्रिक प्रदिश और इसके पहले और दूसरे अवकलज में बहुपद समीकरण बनते हैं। जिस क्रिया से समीकरण प्राप्त होते हैं उसे क्षेत्रों की उपयुक्त पुनर्परिभाषाओं द्वारा बहुपद रूप में भी लिखा जा सकता है।<ref>{{cite journal|last=Katanaev|first=M. O.|s2cid=6263993|year=2006|title=Polynomial form of the Hilbert–Einstein action|journal=Gen. Rel. Grav.|volume=38|issue=8|pages=1233–1240|arxiv=gr-qc/0507026|doi=10.1007/s10714-006-0310-5 | bibcode=2006GReGr..38.1233K}}</ref>
 
 
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
{{Div col|colwidth=25em}}
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*कंफर्मैस्टैटिक समष्टि काल
*कंफर्मैस्टैटिक दिक्काल
*आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया  
*आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया  
*तुल्यता सिद्धांत
*तुल्यता सिद्धांत
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===बाहरी छवियाँ===
===बाहरी छवियाँ===
*[https://web.archive.org/web/20180226091926/https://www.ilorentz.org/history/wallformulas/images/pages/page_2.html डाउनटाउन में संग्रहालय बोएरहावे की दीवार पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण लीडेन]
*[https://web.archive.org/web/20180226091926/https://www.ilorentz.org/history/wallformulas/images/pages/page_2.html डाउनटाउन में संग्रहालय बोएरहावे की दीवार पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण लीडेन]
*[[सुज़ैन इम्बर]], [https://imagegeo.egu.eu/view/886/ अटाकामा रेगिस्तान पर सामान्य सापेक्षता का प्रभाव], बोलीविया में एक ट्रेन के किनारे पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण।
*[[सुज़ैन इम्बर]], [https://imagegeo.egu.eu/view/886/ अटाकामा रेगिस्तान पर सामान्य आपेक्षिकताका प्रभाव], बोलीविया में एक ट्रेन के किनारे पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण।


{{Einstein}}
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श्रेणी:आंशिक अंतर समीकरण
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Latest revision as of 16:12, 12 July 2023

आपेक्षिकता के व्यापक सिद्धांत में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (EFE; जिसे आइंस्टीन के समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) दिक्काल की ज्यामिति को उसके भीतर द्रव्य के वितरण से जोड़ते हैं।[1]

समीकरणों को अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा 1915 में एक प्रदिश समीकरण के रूप में प्रकाशित किया गया था[2] जो स्थानीय दिक्कालवक्रता को उस दिक्काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल (प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश द्वारा प्रकट) से जोड़ते थे।

जिस प्रकार से मैक्सवेल की समीकरणों के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र आवेशों और धाराओं के वितरण से जुड़ते हैं, उसी प्रकार EFE दिक्काल ज्यामिति को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और प्रतिबल के वितरण से जोड़ते है, अर्थात्, वे दिक्काल में प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए दिक्काल का मात्रिक प्रदिश निर्धारित करते हैं | मात्रिक प्रदिश और आइंस्टीन प्रदिश के बीच का संबंध, इस प्रकार से उपयोग किए जाने पर EFE को अरैखिक आंशिक अवकल समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। EFE के समाधान मात्रिक प्रदिश के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कण और विकिरण (जियोडेसिक्स) के जड़त्वीय प्रक्षेप पथ की गणना जियोडेसिक समीकरण का उपयोग करके की जाती है।

स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, EFE एक दुर्बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम कर देता है जो प्रकाश की गति से बहुत कम है।[3]

EFE के लिए एक सटीक समाधान केवल सममिति जैसे सरलीकरण परिकलन के तहत ही पाया जा सकता है। सटीक समाधानों के लिए विशेष वर्गों का अधिकतर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण परिघटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि घूर्णी ब्लैक होल और प्रसारी विश्व है। समतल दिक्काल से केवल छोटे विचलन के रूप में दिक्काल को सन्निकटन करने में और सरलीकरण प्राप्त किया जाता है, जिससे रैखिक EFE होता है। इन समीकरणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों जैसी परिघटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

गणितीय रूप

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (EFE) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:[4][1]

लीडेन, नीदरलैंड में एक दीवार पर EFE

जहाँ आइंस्टीन प्रदिश है, मात्रिक प्रदिश है, प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश है, ब्रह्मांडीकीय नियतांक है और आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक है |

आइंस्टीन प्रदिश को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

जहाँ Rμν रिक्की वक्रता प्रदिश है, और R स्केलर वक्रता है | यह एक सममित द्वितीय-कोटि प्रदिश है जो केवल मात्रिक प्रदिश और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।

आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है[5][6]

जहाँ G गुरुत्वाकर्षण न्यूटोनियन नियतांक है और c निर्वात में प्रकाश की गति है।

इस प्रकार EFE को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

मानक इकाइयों में, बाईं ओर प्रत्येक पद की इकाइयाँ 1/length2 होती हैं।

बाईं ओर के व्यंजक मात्रिक द्वारा निर्धारित दिक्काल की वक्रता को दर्शाते है; दाईं ओर के व्यंजक दिक्काल की प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग सामग्री को दर्शाते है। फिर EFE की व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह निर्धारित करते है कि प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग दिक्काल की वक्रता को कैसे निर्धारित करते है।

ये समीकरण, जियोडेसिक समीकरण के साथ,[7] जो यह निर्धारित करते है कि दिक्काल से द्रव कैसे स्वतंत्र रूप से गिरता है, सामान्य आपेक्षिकता के गणितीय सूत्रीकरण का मूल बनाते हैं।

EFE सममित 4 × 4 प्रदिशों के एक समुच्चय से संबंधित एक प्रदिश समीकरण है। प्रत्येक प्रदिश में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची सर्वसमिकाये स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मात्रिक में स्वतंत्र की चार गेज-फिक्सिंग कोटि रह जाती हैं, जो एक निर्देशांक पद्धति चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती हैं।

हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-विमीय सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने n आयामों में उनके परिणामों की खोज की है।[8] व्यापक आपेक्षिकता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (तब प्राप्त होते हैं जब Tμν हर जगह शून्य होता है) आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स को परिभाषित करते हैं।

समीकरण जितने सरल दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश के रूप में द्रव और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, EFE को मात्रिक प्रदिश के लिए समीकरण समझा जाता है, क्योंकि रिक्की प्रदिश और अदिश वक्रता दोनों जटिल अरैखिक तरीके से मात्रिक पर निर्भर करते हैं। जब पूर्ण प्रकार से लिखा जाता है, तो EFE दस युग्मित, अरैखिक, अतिपरवलिक-अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरणों की एक पद्धति है।[9]

चिह्न परिपाटी

EFE का उपरोक्त रूप मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर (एमटीडब्ल्यू) द्वारा स्थापित मानक है।[10] लेखकों ने प्रस्तुत कन्वेंशन का विश्लेषण किया और इन्हें तीन चिन्हों ([S1] [S2] [S3]) के अनुसार वर्गीकृत किया:

उपरोक्त तीसरा चिन्ह रिक्की प्रदिश के लिए कन्वेंशन की चॉइस से संबंधित है:
इन परिभाषाओं के साथ मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर स्वयं को (+ + +) के रूप में वर्गीकृत करते हैं, जबकि वेनबर्ग (1972)[11] (+ − −), पीबल्स (1980)[12] और एफ़स्टैथिउ एट अल. (1990)[13] (− + +), रिंडलर (1977),[citation needed] एटवाटर (1974),[citation needed] कोलिन्स मार्टिन एंड स्क्वॉयर (1989)[14] और पीकॉक (1999)[15] (− + −) के रूप में वर्गीकृत करते हैं |

आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की प्रदिश के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग चिन्ह का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर नियतांक का चिन्ह नकारात्मक होता है:

यदि यहां अपनाए गए MTW (- + + +) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन की बजाय (+ − − −) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन का उपयोग किया जाता है, तो ब्रह्मांडीकीय पद का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाता है।

समतुल्य सूत्रीकरण

EFE के दोनों पक्षों के मात्रिक के संबंध में अनुरेखण लेने पर एक संबंध मिलता है

जहाँ D दिक्काल आयाम है। R को हल करने और इसे मूल EFE में प्रतिस्थापित करने पर, निम्नलिखित समतुल्य "अनुरेख-उत्क्रम" रूप प्राप्त होता है:
D = 4 आयामों में यह कम हो जाता है
अनुरेखण को फिर से उत्क्रमी करने से मूल EFE पुनःस्थापित हो जाता है। कुछ स्थितियों में अनुरेख-उत्क्रमी रूप अधिक उपयुक्त हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई दुर्बल-क्षेत्र सीमा में रुचि रखता है और उसे प्रतिस्थापित कर सकता है)।

ब्रह्मांडीकीय नियतांक

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में

ब्रह्मांडीकीय नियतांक Λ वाला पद उस संस्करण से अनुपस्थित था जिसमें उन्होंने मूल रूप से उन्हें प्रकाशित किया था। फिर आइंस्टीन ने एक ऐसे विश्व की अनुमति देने के लिए ब्रह्मांडीकीय नियतांक के साथ इस पद को सम्मिलित किया जो प्रसार या संकुचन नहीं कर रहा है। यह प्रयास असफल रहा क्योंकि:

  • इस समीकरण द्वारा वर्णित कोई भी वांछित नियत अवस्था का समाधान अस्थिर है, और
  • एडविन हबल के अवलोकनों से पता चला कि हमारा विश्व प्रसारी है।

इसके बाद आइंस्टीन ने Λ को परित्यक्त कर दिया और जॉर्ज गामो से कहा, कि ''ब्रह्माण्ड संबंधी पद का परिचय उनके जीवन की सबसे बड़ी भूल थी''।[16]

इस पद के सम्मिलित होने से विसंगतियाँ उत्पन्न नहीं होती हैं। कई वर्षों तक ब्रह्मांडीकीय नियतांक को लगभग सार्वभौमिक रूप से शून्य माना गया था। हाल के खगोलीय अवलोकनों से पता चला है कि ब्रह्मांड का तेजी से प्रसार हो रहा है, और इसे समझाने के लिए Λ के सकारात्मक मान की आवश्यकता है।[17][18] किसी आकाशगंगा या उससे छोटी आकाशगंगा के पैमाने पर ब्रह्मांडीकीय नियतांक नगण्य हैं।

आइंस्टीन ने ब्रह्मांडीकीय नियतांक को एक स्वतंत्र पैरामीटर के रूप में सोचा था, लेकिन क्षेत्र समीकरण में इसके पद को बीजगणितीय रूप से दूसरी तरफ भी ले जाया जा सकता है और प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश के भाग के रूप में सम्मिलित किया जा सकता है:

यह प्रदिश ऊर्जा घनत्व ρvac और समदैशिक दबाव pvac के साथ एक निर्वात स्थिति का वर्णन करता है जो निश्चित नियतांक हैं और द्वारा दिए गए हैं
जहाँ यह माना जाता है कि Λ की SI इकाई m−2 है और κ को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार ब्रह्मांडीकीय नियतांक का अस्तित्व निर्वात ऊर्जा और विपरीत चिह्न के दबाव के अस्तित्व के समतुल्य है। इसके कारण व्यापक आपेक्षिकता में ''ब्रह्मांडीकीय नियतांक'' और ''निर्वात ऊर्जा'' पदों का परस्पर उपयोग किया जाने लगा है।

अभिलक्षण

ऊर्जा और संवेग का संरक्षण

व्यापक आपेक्षिकता ऊर्जा और संवेग के स्थानीय संरक्षण के अनुरूप है

Derivation of local energy–momentum conservation

Contracting the differential Bianchi identity

with gαβ gives, using the fact that the metric tensor is covariantly constant, i.e. gαβ = 0,

The antisymmetry of the Riemann tensor allows the second term in the above expression to be rewritten:

which is equivalent to
using the definition of the Ricci tensor.

Next, contract again with the metric

to get

The definitions of the Ricci curvature tensor and the scalar curvature then show that

which can be rewritten as

A final contraction with gεδ gives

which by the symmetry of the bracketed term and the definition of the Einstein tensor, gives, after relabelling the indices,

Using the EFE, this immediately gives,

जो प्रतिबल-ऊर्जा के स्थानीय संरक्षण को व्यक्त करता है। यह संरक्षण नियम की एक भौतिक आवश्यकता है। अपने क्षेत्र समीकरणों से आइंस्टीन ने यह सुनिश्चित किया कि व्यापक आपेक्षिकता इस संरक्षण स्थिति के अनुरूप है।

अरैखिकता

EFE की अरैखिकता व्यापक आपेक्षिकता को कई अन्य मौलिक भौतिक सिद्धांतों से अलग करती है। उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के समीकरण विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में रैखिक हैं (अर्थात दो समाधानों का योग भी एक समाधान है); एक अन्य उदाहरण श्रोडिंगर का क्वांटम यांत्रिकी का समीकरण है, जो तरंग फलन में रैखिक है।

संगति नियम

EFE दुर्बल-क्षेत्र सन्निकटन और मंदगति सन्निकटन दोनों का उपयोग करके न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम करता है। वास्तव में, EFE में प्रदर्शित होने वाला नियतांक G इन दो सन्निकटनों को बनाकर निर्धारित किया जाता है।

Derivation of Newton's law of gravity

Newtonian gravitation can be written as the theory of a scalar field, Φ, which is the gravitational potential in joules per kilogram of the gravitational field g = −∇Φ, see Gauss's law for gravity

where ρ is the mass density. The orbit of a free-falling particle satisfies

In tensor notation, these become

In general relativity, these equations are replaced by the Einstein field equations in the trace-reversed form

for some constant, K, and the geodesic equation

To see how the latter reduces to the former, we assume that the test particle's velocity is approximately zero

and thus
and that the metric and its derivatives are approximately static and that the squares of deviations from the Minkowski metric are negligible. Applying these simplifying assumptions to the spatial components of the geodesic equation gives
where two factors of dt/ have been divided out. This will reduce to its Newtonian counterpart, provided

Our assumptions force α = i and the time (0) derivatives to be zero. So this simplifies to

which is satisfied by letting

Turning to the Einstein equations, we only need the time-time component

the low speed and static field assumptions imply that

So

and thus

From the definition of the Ricci tensor

Our simplifying assumptions make the squares of Γ disappear together with the time derivatives

Combining the above equations together

which reduces to the Newtonian field equation provided
which will occur if

निर्वात क्षेत्र समीकरण

1979 का एक स्विस स्मारक सिक्का, शून्य ब्रह्मांडीकीय नियतांक(शीर्ष) के साथ निर्वात क्षेत्र समीकरण दर्शाता है।

यदि विचाराधीन क्षेत्र में ऊर्जा-संवेग प्रदिश Tμν शून्य है, तो क्षेत्र समीकरणों को निर्वात क्षेत्र समीकरण भी कहा जाता है। अनुरेख-उत्कर्मी क्षेत्र समीकरणों में Tμν = 0 समुच्चय करके, निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिसे 'आइंस्टीन निर्वात समीकरण' (EVE) के रूप में भी जाना जाता है, को इस प्रकार लिखा जा सकता है

शून्येतर ब्रह्मांडीकीय नियतांक की स्थिति में, समीकरण इस प्रकार हैं
निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधानों को निर्वात समाधान कहा जाता है। समतल मिन्कोव्स्की दिक्स्थान निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। असतहीय उदाहरणों में श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान और केर समाधान सम्मिलित हैं।

लुप्यमान हो रहे रिक्की प्रदिश, Rμν = 0 वाले मैनिफोल्ड्स को रिक्की-समतल मैनिफोल्ड्स कहा जाता है और आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के रूप में मात्रिक के आनुपातिक रिक्की प्रदिश वाले मैनिफोल्ड्स को भी रिक्की-समतल मैनिफोल्ड्स कहा जाता है।

आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण

यदि ऊर्जा-संवेग प्रदिश Tμν मुक्त समष्टि में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का है, अर्थात यदि विद्युत चुम्बकीय प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश

का प्रयोग किया जाता है, तो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण कहा जाता है (ब्रह्मांडीकीय नियतांक Λ के साथ, पारंपरिक आपेक्षिकता सिद्धांत में शून्य माना जाता है):

इसके अतिरिक्त, सहपरिवर्ती मैक्सवेल समीकरण भी मुक्त समष्टि में लागू होते हैं:

जहां अर्धविराम एक सहपरिवर्ती अवकलज का निरूपण करता है, और कोष्ठक प्रति-सममितिकरण को दर्शाता है। पहला समीकरण दावा करता है कि 2-रूप F का 4-अपसरण शून्य है, और दूसरा यह कि इसका बाह्य अवकलज शून्य है। उत्तरार्द्ध से, यह पोंकारे लेम्मा का अनुसरण करता है कि एक निर्देशांक चार्ट में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र क्षमता Aα को प्रस्तुत करना संभव है जैसे कि
जिसमें अल्पविराम आंशिक अवकलज को दर्शाता है। इसे अधिकतर सहपरिवर्ती मैक्सवेल समीकरण के समतुल्य माना जाता है जिससे यह प्राप्त होता है।[19] हालाँकि, समीकरण के वैश्विक समाधान हैं जिनमें विश्व स्तर पर परिभाषित क्षमता का अभाव हो सकता है।[20]

समाधान

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान दिक्काल के मैट्रिक्स हैं। ये मेट्रिक्स दिक्काल में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित दिक्काल की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि क्षेत्र समीकरण अरैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें पूर्ण प्रकार से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात सन्निकटन के बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले दिक्काल के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार निकाय का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन स्थितियों में सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। इन्हें आमतौर पर पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसी कई स्थितियाँ हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूर्ण प्रकार से हल हो गए हैं, और उन्हें सटीक समाधान कहा जाता है।[8]

आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन ब्रह्मांड विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह ब्लैक होल की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है।

एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं।[21] इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, अरेखीय, साधारण अवकल समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि Hsu और वेनराइट द्वारा चर्चा की गई है,[22] आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी गतिकीय तंत्र के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक और कोहली और हसलाम द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं| [23][24]

रखीयकृत EFE

EFE अरैखिकता का सटीक समाधान खोजना कठिन बना देता है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका सन्निकटन है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण द्रव्य के स्रोत (स्रोतों) से दूर, और दिक्काल मिन्कोव्स्की दिक्स्थान के पास है। फिर मात्रिक को मिन्कोव्स्की मात्रिक के योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-घातांक पदों को अनदेखा करते हुए, मिन्कोव्स्की मात्रिक से वास्तविक मात्रिक के अवकलन का निरूपण करने वाला एक पद होता है। इस रैखिकीकरण प्रक्रिया का उपयोग गुरूत्वीय विकिरण की परिघटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है।

बहुपद रूप

EFE के लिखित रूप में मात्रिक प्रदिश के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मात्रिक प्रदिश बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होते है। सबसे पहले, 4 आयामों में मात्रिक के सारणिक को लिखा जा सकता है

लेवी-सिविटा प्रतीक का उपयोग करना; और 4 आयामों में मात्रिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
मात्रिक के व्युत्क्रम की इस परिभाषा को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने के बाद इसे हर से विलोप करने के लिए दोनों पक्षों को det(g) की उपयुक्त घात से गुणा करने पर मात्रिक प्रदिश और इसके पहले और दूसरे अवकलज में बहुपद समीकरण बनते हैं। जिस क्रिया से समीकरण प्राप्त होते हैं उसे क्षेत्रों की उपयुक्त पुनर्परिभाषाओं द्वारा बहुपद रूप में भी लिखा जा सकता है।[25]

यह भी देखें

  • कंफर्मैस्टैटिक दिक्काल
  • आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया
  • तुल्यता सिद्धांत
  • सामान्य आपेक्षिकता में सटीक समाधान
  • सामान्य आपेक्षिकता संसाधन
  • सामान्य आपेक्षिकता का इतिहास
  • हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
  • सामान्य आपेक्षिकता का गणित
  • संख्यात्मक आपेक्षिकता
  • रिक्की कैल्कुलस

टिप्पणियाँ

  1. 1.0 1.1 Einstein, Albert (1916). "सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत की नींव". Annalen der Physik. 354 (7): 769. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. Archived from the original (PDF) on 2012-02-06.
  2. Einstein, Albert (November 25, 1915). "गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र समीकरण". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847. Retrieved 2017-08-21.
  3. Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity. pp. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3.
  4. Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007). Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 180. ISBN 978-0-387-69200-5.
  5. With the choice of the Einstein gravitational constant as given here, κ = 8πG/c4, the stress–energy tensor on the right side of the equation must be written with each component in units of energy density (i.e., energy per volume, equivalently pressure). In Einstein's original publication, the choice is κ = 8πG/c2, in which case the stress–energy tensor components have units of mass density.
  6. Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975). सामान्य सापेक्षता का परिचय (2d ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4. OCLC 1046135.
  7. Weinberg, Steven (1993). Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature. Vintage Press. pp. 107, 233. ISBN 0-09-922391-0.
  8. 8.0 8.1 Stephani, Hans; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधान. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.
  9. Rendall, Alan D. (2005). "आइंस्टीन समीकरणों के लिए अस्तित्व और वैश्विक गतिशीलता पर प्रमेय". Living Rev. Relativ. 8 (1). Article number: 6. arXiv:gr-qc/0505133. Bibcode:2005LRR.....8....6R. doi:10.12942/lrr-2005-6. PMC 5256071. PMID 28179868.
  10. Misner, Thorne & Wheeler (1973), p. 501ff.
  11. Weinberg (1972).
  12. Peebles, Phillip James Edwin (1980). ब्रह्मांड की बड़े पैमाने की संरचना. Princeton University Press. ISBN 0-691-08239-1.
  13. Efstathiou, G.; Sutherland, W. J.; Maddox, S. J. (1990). "ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और ठंडा डार्क मैटर". Nature. 348 (6303): 705. Bibcode:1990Natur.348..705E. doi:10.1038/348705a0. S2CID 12988317.
  14. Collins, P. D. B.; Martin, A. D.; Squires, E. J. (1989). कण भौतिकी और ब्रह्मांड विज्ञान. New York: Wiley. ISBN 0-471-60088-1.
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  16. Gamow, George (April 28, 1970). My World Line : An Informal Autobiography. Viking Adult. ISBN 0-670-50376-2. Retrieved 2007-03-14.
  17. Wahl, Nicolle (2005-11-22). "Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?". News@UofT. University of Toronto. Archived from the original on 2007-03-07.
  18. Turner, Michael S. (May 2001). "Making Sense of the New Cosmology". Int. J. Mod. Phys. A. 17 (S1): 180–196. arXiv:astro-ph/0202008. Bibcode:2002IJMPA..17S.180T. doi:10.1142/S0217751X02013113. S2CID 16669258.
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  22. Hsu, L.; Wainwright, J (1986). "Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions". Class. Quantum Grav. 3 (6): 1105–1124. Bibcode:1986CQGra...3.1105H. doi:10.1088/0264-9381/3/6/011. S2CID 250907312.
  23. LeBlanc, V. G. (1997). "चुंबकीय बियांची I ब्रह्माण्ड विज्ञान की स्पर्शोन्मुख अवस्थाएँ". Class. Quantum Grav. 14 (8): 2281. Bibcode:1997CQGra..14.2281L. doi:10.1088/0264-9381/14/8/025. S2CID 250876974.
  24. Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. (2013). "डायनामिकल सिस्टम बियांची प्रकार I चिपचिपा मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक मॉडल के लिए दृष्टिकोण करते हैं". Phys. Rev. D. 88 (6): 063518. arXiv:1304.8042. Bibcode:2013PhRvD..88f3518K. doi:10.1103/physrevd.88.063518. S2CID 119178273.
  25. Katanaev, M. O. (2006). "Polynomial form of the Hilbert–Einstein action". Gen. Rel. Grav. 38 (8): 1233–1240. arXiv:gr-qc/0507026. Bibcode:2006GReGr..38.1233K. doi:10.1007/s10714-006-0310-5. S2CID 6263993.


संदर्भ

See General relativity resources.


बाहरी संबंध



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