हॉसडॉर्फ माप: Difference between revisions

Latest revision as of 17:07, 12 July 2023

गणित में, हॉसडॉर्फ़ माप क्षेत्र और आयतन की पारंपरिक धारणाओं का गैर-पूर्णांक आयामों, विशेष रूप से भग्न और उनके हॉसडॉर्फ़ आयामों का सामान्यीकरण है। यह एक प्रकार का बाहरी माप है, जिसका नाम फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ के नाम पर रखा गया है, जो कि $\mathbb {R} ^{n}$ में या, अधिक सामान्यतः, किसी भी मीट्रिक स्थान में प्रत्येक समुच्चय के लिए [0,∞] में एक संख्या निर्दिष्ट करता है।

शून्य-आयामी हॉसडॉर्फ माप समुच्चय में अंकों की संख्या है (यदि समुच्चय परिमित है) या ∞ यदि समुच्चय अनंत है। इसी तरह, एक साधारण वक्र का एक-आयामी हॉसडॉर्फ माप $\mathbb {R} ^{n}$ वक्र की लंबाई के बराबर है, और $\mathbb {R} ^{2}$ के लेबेस्ग-मापने योग्य उपसमुच्चय का द्वि-आयामी हॉसडॉर्फ़ माप समुच्चय के क्षेत्रफल के समानुपाती है। इस प्रकार, हॉसडॉर्फ माप की अवधारणा लेब्सेग माप और इसकी गिनती, लंबाई और क्षेत्र की धारणाओं को सामान्यीकृत करती है। यह आयतन को भी सामान्यीकृत करता है। वास्तव में, किसी भी d ≥ 0 के लिए d-आयामी हॉसडॉर्फ माप हैं, जो आवश्यक रूप से एक पूर्णांक नहीं है। ये माप ज्यामितीय माप सिद्धांत में मौलिक हैं। वे हार्मोनिक विश्लेषण या संभावित सिद्धांत में स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं।

परिभाषा

मान लीजिए $(X,\rho )$ एक मीट्रिक स्थान है। किसी भी उपसमुच्चय $U\subset X$ के लिए , मान लीजिए कि $\operatorname {diam} U$ इसके व्यास को निरूपित करता है, जो कि

\operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0

है।

मान लीजिए कि $S$ , $X$ का कोई उपसमुच्चय है और $\delta >0$ एक वास्तविक संख्या है।

H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},

को परिभाषित करें जहां न्यूनतम $S$ के सभी गणनीय आवरण पर समुच्चय $U_{i}\subset X$ संतोषजनक $\operatorname {diam} U_{i}<\delta$ से अधिक है।.

ध्यान दें कि $H_{\delta }^{d}(S)$ , $\delta$ में एकलय न बढ़ने वाला है क्योंकि $\delta$ जितना बड़ा होगा, समुच्चयों के उतने ही अधिक संग्रह की अनुमति होगी, जिससे न्यूनतम बड़ा नहीं होगा। इस प्रकार, $\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ का अस्तित्व है लेकिन अनंत हो सकता है। मान लीजिए

H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).

यह देखा जा सकता है कि $H^{d}(S)$ एक बाहरी माप है (अधिक सटीक रूप से, यह एक मीट्रिक बाहरी माप है)। कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के अनुसार, कैराथोडोरी-मापने योग्य समुच्चय के σ-क्षेत्र पर इसका प्रतिबंध एक माप है। इसे $S$ का $d$ -आयामी हॉसडॉर्फ माप कहा जाता है। मीट्रिक बाहरी माप गुण के कारण, $X$ के सभी बोरेल उपसमुच्चय $H^{d}$ मापने योग्य हैं।

उपरोक्त परिभाषा में आवरण में समुच्चय स्वेच्छाचारी हैं। फिर भी, हमें आवरण समुच्चय को खुला या बंद करने की आवश्यकता हो सकती है, या मानक स्थानों में भी उत्तल होना चाहिए, जिससे समान $H_{\delta }^{d}(S)$ संख्याएँ प्राप्त होंगी, इसलिए समान माप होगा। $\mathbb {R} ^{n}$ में आवरण समुच्चय को गोलक तक सीमित रखने से माप बदल सकते हैं लेकिन मापे गए समुच्चय का आयाम नहीं बदलता है।

हॉसडॉर्फ माप के गुण

ध्यान दें कि यदि d एक धनात्मक पूर्णांक है, तो $\mathbb {R} ^{d}$ का d-आयामी हॉसडॉर्फ माप सामान्य डी-आयामी लेबेस्ग माप $\lambda _{d}$ का पुनः पैमाना है, जिसे सामान्यीकृत किया जाता है ताकि इकाई घन का लेबेस्ग माप [0,1]^d हो। 1. वास्तव में, किसी भी बोरेल समुच्चय E के लिए,

\lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),

जहां α_d इकाई डी-बॉल का आयतन है;इसे यूलर के गामा फलन $\alpha _{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{d}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}$ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।

यह $\lambda _{d}(E)=\beta _{d}H^{d}(E)$ है जहां $\beta _{d}$ इकाई व्यास डी-बॉल का आयतन है।

'टिप्पणी'। कुछ लेखक हॉसडॉर्फ माप की परिभाषा को यहां चुनी गई परिभाषा से थोड़ा अलग अपनाते हैं, अंतर यह है कि ऊपर परिभाषित मान $H^{d}(E)$ को कारक $\beta _{d}=2^{-d}\alpha _{d}$ से गुणा किया जाता है, ताकि हॉसडॉर्फ डी-आयामी माप यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले में लेबेस्ग माप के साथ बिल्कुल मेल खाता हो।

हौसडॉर्फ़ आयाम के साथ संबंध

यह पता चला है कि $H^{d}(S)$ का अधिकतम एक $d$ के लिए एक सीमित, गैर-शून्य मान हो सकता है। अर्थात्, हॉसडॉर्फ माप एक निश्चित आयाम के ऊपर किसी भी मान के लिए शून्य है और एक निश्चित आयाम के नीचे अनंत है, इस विचार के अनुरूप है कि एक रेखा का क्षेत्र शून्य है और 2डी आकार की लंबाई कुछ अर्थों में अनंत है। यह हॉसडॉर्फ़ आयाम की कई संभावित समकक्ष परिभाषाओं में से एक की ओर ले जाता है:

\dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)=\infty \},

जहां हम $\inf \emptyset =+\infty$ और $\sup \emptyset =0$ लेते हैं।

ध्यान दें कि यह आश्वस्त नहीं है कि हॉसडॉर्फ़ माप किसी d के लिए परिमित और गैर-शून्य होना चाहिए, और वास्तव में हॉसडॉर्फ़ आयाम पर माप अभी भी शून्य हो सकता है; इस स्थिति में, हॉसडॉर्फ आयाम अभी भी शून्य और अनंत के मापों के बीच एक परिवर्तन बिंदु के रूप में कार्य करता है।

सामान्यीकरण

ज्यामितीय माप सिद्धांत और संबंधित क्षेत्रों में, मिन्कोव्स्की सामग्री का उपयोग प्रायः मीट्रिक माप स्थान के उपसमुच्चय के आकार को मापने के लिए किया जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उपयुक्त डोमेन के लिए, सम्मेलनों के आधार पर समग्र सामान्यीकरण तक, आकार की दो धारणाएं मेल खाती हैं। अधिक सटीक रूप से, $\mathbb {R} ^{n}$ का एक उपसमुच्चय $m$ -सुधार योग्य समुच्चय कहा जाता है यदि यह लिप्सचिट्ज़ फलन के अंतर्गत $\mathbb {R} ^{m}$ में परिबद्ध समुच्चय की छवि है। यदि $m<n$ , तो $\mathbb {R} ^{n}$ के एक बंद $m$ -सुधार योग्य उपसमुच्चय की $m$ -आयामी मिन्कोव्स्की सामग्री, $m$ -आयामी हॉसडॉर्फ माप के $2^{-m}\alpha _{m}$ गुना के बराबर है (Federer 1969, Theorem 3.2.29)।

फ्रैक्टल ज्यामिति में, हॉसडॉर्फ़ आयाम $d$ वाले कुछ फ्रैक्टल्स में शून्य या अनंत $d$ -आयामी हॉसडॉर्फ़ माप होता है। उदाहरण के लिए, लगभग निश्चित रूप से समतल ब्राउनियन गति की छवि में हॉसडॉर्फ़ आयाम 2 है और इसका द्वि-आयामी हॉसडॉर्फ़ माप शून्य है। ऐसे समुच्चयों के "आकार" को "मापने" के लिए, हॉसडॉर्फ माप की धारणा पर निम्नलिखित भिन्नता पर विचार किया जा सकता है:

माप की परिभाषा में

(\operatorname {diam} U_{i})^{d}

को

\phi (U_{i})

से प्रतिस्थापित कर दिया गया है, जहां

\phi

कोई भी मोनोटोन बढ़ता समुच्चय फलन है जो

\phi (\emptyset )=0

को संतुष्ट करता है।

यह गेज फलन $\phi ,$ , या $\phi$ -हॉसडॉर्फ़ माप के साथ $S$ का हॉसडॉर्फ़ माप है। एक $d$ -आयामी समुच्चय $S$ उपयुक्त $\phi$ के साथ $H^{d}(S)=0,$ लेकिन $H^{\phi }(S)\in (0,\infty )$ को संतुष्ट कर सकता है। एक गेज फलन के उदाहरणों में

$\phi (t)=t^{2}\log \log {\frac {1}{t}}\quad {\text{or}}\quad \phi (t)=t^{2}\log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}$

सम्मिलित हैं।

पूर्व, $\mathbb {R} ^{n}$ में ब्राउनियन पथ को लगभग निश्चित रूप से सकारात्मक और $\sigma$ -परिमित माप देता है जब $n>2$ , और बाद वाला जब $n=2$ होता है।

यह भी देखें

हॉसडॉर्फ़ आयाम
ज्यामितीय माप सिद्धांत
माप सिद्धांत
बाहरी माप

संदर्भ

Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press.
Federer, Herbert (1969), Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass" (PDF), Mathematische Annalen, 79 (1–2): 157–179, doi:10.1007/BF01457179, S2CID 122001234.
Morgan, Frank (1988), Geometric Measure Theory, Academic Press.
Rogers, C. A. (1998), Hausdorff measures, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-62491-6
Szpilrajn, E (1937), "La dimension et la mesure" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 28: 81–89, doi:10.4064/fm-28-1-81-89.

बाहरी संबंध

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{short description|Fractal measurement}}
+गणित में, हॉसडॉर्फ़ माप [[क्षेत्र]] और [[आयतन]] की पारंपरिक धारणाओं का गैर-पूर्णांक आयामों, विशेष रूप से [[भग्न]] और उनके [[हॉसडॉर्फ़ आयाम|हॉसडॉर्फ़ आयामों]] का सामान्यीकरण है। यह एक प्रकार का [[बाहरी माप]] है, जिसका नाम [[फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़]] के नाम पर रखा गया है, जो कि <math>\R^n</math> में या, अधिक सामान्यतः, किसी भी [[मीट्रिक स्थान]] में प्रत्येक समुच्चय के लिए [0,∞] में एक संख्या निर्दिष्ट करता है।
-{{Technical|date=May 2021}}
-गणित में, हॉसडॉर्फ़ माप [[क्षेत्र]] और [[आयतन]] की पारंपरिक धारणाओं का गैर-पूर्णांक आयामों, विशेष रूप से [[भग्न]] और उनके [[हॉसडॉर्फ़ आयाम]]ों का सामान्यीकरण है। यह एक प्रकार का [[बाहरी माप]] है, जिसका नाम [[फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़]] के नाम पर रखा गया है, जो प्रत्येक सेट को [0,∞] में एक संख्या निर्दिष्ट करता है। <math>\R^n</math> या, अधिक सामान्यतः, किसी भी [[मीट्रिक स्थान]] में।
-शून्य-आयामी हॉसडॉर्फ माप सेट में अंकों की संख्या है (यदि सेट परिमित है) या ∞ यदि सेट अनंत है। इसी तरह, एक साधारण वक्र का एक आयामी हॉसडॉर्फ माप <math>\R^n</math> वक्र की लंबाई के बराबर है, और लेब्सग्यू माप के द्वि-आयामी हॉसडॉर्फ माप#लेब्सग्यू माप का निर्माण|लेब्सग्यू-मापने योग्य उपसमुच्चय <math>\R^2</math> सेट के क्षेत्रफल के समानुपाती होता है. इस प्रकार, हॉसडॉर्फ माप की अवधारणा [[लेब्सेग माप]] और इसकी गिनती, लंबाई और क्षेत्र की धारणाओं को सामान्यीकृत करती है। यह वॉल्यूम को भी सामान्यीकृत करता है। वास्तव में, किसी भी d ≥ 0 के लिए d-आयामी हॉसडॉर्फ माप हैं, जो आवश्यक रूप से एक पूर्णांक नहीं है। ये माप [[ज्यामितीय माप सिद्धांत]] में मौलिक हैं। वे [[हार्मोनिक विश्लेषण]] या [[संभावित सिद्धांत]] में स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं।
+शून्य-आयामी हॉसडॉर्फ माप समुच्चय में अंकों की संख्या है (यदि समुच्चय परिमित है) या ∞ यदि समुच्चय अनंत है। इसी तरह, एक साधारण वक्र का एक-आयामी हॉसडॉर्फ माप <math>\R^n</math> वक्र की लंबाई के बराबर है, और <math>\R^2</math> के लेबेस्ग-मापने योग्य उपसमुच्चय का द्वि-आयामी हॉसडॉर्फ़ माप समुच्चय के क्षेत्रफल के समानुपाती है। इस प्रकार, हॉसडॉर्फ माप की अवधारणा [[लेब्सेग माप]] और इसकी गिनती, लंबाई और क्षेत्र की धारणाओं को सामान्यीकृत करती है। यह आयतन को भी सामान्यीकृत करता है। वास्तव में, किसी भी d ≥ 0 के लिए d-आयामी हॉसडॉर्फ माप हैं, जो आवश्यक रूप से एक पूर्णांक नहीं है। ये माप [[ज्यामितीय माप सिद्धांत]] में मौलिक हैं। वे [[हार्मोनिक विश्लेषण]] या [[संभावित सिद्धांत]] में स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं।
 ==परिभाषा==
-होने देना <math>(X,\rho)</math> एक मीट्रिक स्थान बनें. किसी भी उपसमुच्चय के लिए <math>U\subset X</math>, होने देना <math>\operatorname{diam}U</math> इसके व्यास को निरूपित करें, अर्थात
+मान लीजिए <math>(X,\rho)</math> एक मीट्रिक स्थान है। किसी भी उपसमुच्चय <math>U\subset X</math> के लिए , मान लीजिए कि <math>\operatorname{diam}U</math> इसके व्यास को निरूपित करता है, जो कि
-:<math>\operatorname{diam}  U :=\sup\{\rho(x,y):x,y\in U\}, \quad \operatorname{diam} \emptyset:=0.</math>
+:<math>\operatorname{diam}  U :=\sup\{\rho(x,y):x,y\in U\}, \quad \operatorname{diam} \emptyset:=0</math> है।
-होने देना <math>S</math> का कोई उपसमुच्चय हो <math>X,</math> और <math>\delta>0</math> एक वास्तविक संख्या. परिभाषित करना
+मान लीजिए कि <math>S</math>, <math>X</math> का कोई उपसमुच्चय है और <math>\delta>0</math> एक वास्तविक संख्या है।
 :<math>H^d_\delta(S)=\inf\left \{\sum_{i=1}^\infty (\operatorname{diam} U_i)^d: \bigcup_{i=1}^\infty U_i\supseteq S, \operatorname{diam} U_i<\delta\right \},</math>
-जहां अनंत सभी गणनीय आवरणों के ऊपर है <math>S</math> सेट द्वारा <math>U_i\subset X</math> संतुष्टि देने वाला <math> \operatorname{diam} U_i<\delta</math>.
+को परिभाषित करें जहां न्यूनतम <math>S</math> के सभी गणनीय आवरण पर समुच्चय <math>U_i\subset X</math> संतोषजनक <math> \operatorname{diam} U_i<\delta</math> से अधिक है।.
-ध्यान दें कि <math>H^d_\delta(S)</math> में एकरसता नहीं बढ़ रही है <math>\delta</math> बड़े के बाद से <math> \delta </math> है, सेटों के जितने अधिक संग्रह की अनुमति है, न्यूनतम उतना बड़ा नहीं है। इस प्रकार, <math>\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math> मौजूद है लेकिन अनंत हो सकता है। होने देना
+ध्यान दें कि <math>H^d_\delta(S)</math>, <math>\delta</math> में एकलय न बढ़ने वाला है क्योंकि <math>\delta</math> जितना बड़ा होगा, समुच्चयों के उतने ही अधिक संग्रह की अनुमति होगी, जिससे न्यूनतम बड़ा नहीं होगा। इस प्रकार, <math>\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math> का अस्तित्व है लेकिन अनंत हो सकता है। मान लीजिए
 :<math> H^d(S):=\sup_{\delta>0} H^d_\delta(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S).</math>
-यह देखा जा सकता है <math>H^d(S)</math> एक बाहरी माप है (अधिक सटीक रूप से, यह एक [[मीट्रिक बाहरी माप]] है)। कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के अनुसार, बाहरी माप#औपचारिक परिभाषाओं|कैराथोडोरी-मापने योग्य सेट के σ-क्षेत्र पर इसका प्रतिबंध एक माप है। इसे कहा जाता है <math>d</math>-आयामी हॉसडॉर्फ माप <math>S</math>. मीट्रिक बाहरी माप गुण के कारण, सभी [[बोरेल उपसमुच्चय]] <math>X</math> हैं <math>H^d</math> मापने योग्य.
+यह देखा जा सकता है कि <math>H^d(S)</math> एक बाहरी माप है (अधिक सटीक रूप से, यह एक [[मीट्रिक बाहरी माप]] है)। कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के अनुसार, कैराथोडोरी-मापने योग्य समुच्चय के σ-क्षेत्र पर इसका प्रतिबंध एक माप है। इसे <math>S</math> का <math>d</math>-आयामी हॉसडॉर्फ माप कहा जाता है। मीट्रिक बाहरी माप गुण के कारण, <math>X</math> के सभी [[बोरेल उपसमुच्चय]] <math>H^d</math> मापने योग्य हैं।
-उपरोक्त परिभाषा में आवरण में सेट मनमाने हैं। हालाँकि, हमें कवरिंग सेट को खुला या बंद करने की आवश्यकता हो सकती है, या सामान्य स्थानों में भी उत्तल होना चाहिए, जिससे वही परिणाम मिलेगा <math>H^d_\delta(S)</math> संख्याएँ, इसलिए वही माप। में <math>\R^n</math> कवरिंग सेट को गेंद तक सीमित रखने से माप बदल सकते हैं लेकिन मापे गए सेट का आयाम नहीं बदलता है।
+उपरोक्त परिभाषा में आवरण में समुच्चय स्वेच्छाचारी हैं। फिर भी, हमें आवरण समुच्चय को खुला या बंद करने की आवश्यकता हो सकती है, या मानक स्थानों में भी उत्तल होना चाहिए, जिससे समान <math>H^d_\delta(S)</math> संख्याएँ प्राप्त होंगी, इसलिए समान माप होगा। <math>\R^n</math> में आवरण समुच्चय को गोलक तक सीमित रखने से माप बदल सकते हैं लेकिन मापे गए समुच्चय का आयाम नहीं बदलता है।
 ==हॉसडॉर्फ माप के गुण==
-ध्यान दें कि यदि d एक धनात्मक पूर्णांक है, तो d-आयामी हॉसडॉर्फ माप <math>\R^d</math> सामान्य डी-आयामी लेबेस्ग्यू माप का पुनर्स्केलिंग है <math>\lambda_d</math>, जिसे सामान्यीकृत किया गया है ताकि इकाई घन का लेबेस्ग माप [0,1]<sup>d</sup>1 है। वास्तव में, किसी भी बोरेल सेट E के लिए,
+ध्यान दें कि यदि d एक धनात्मक पूर्णांक है, तो <math>\R^d</math> का d-आयामी हॉसडॉर्फ माप सामान्य डी-आयामी लेबेस्ग माप <math>\lambda_d</math> का पुनः पैमाना है, जिसे सामान्यीकृत किया जाता है ताकि इकाई घन का लेबेस्ग माप [0,1]<sup>d</sup> हो। 1. वास्तव में, किसी भी बोरेल समुच्चय E के लिए,
 :<math> \lambda_d(E) = 2^{-d} \alpha_d H^d(E),</math>
-जहां α<sub>''d''</sub> इकाई N-sphere|d-ball का आयतन है; इसे गामा फ़ंक्शन|यूलर के गामा फ़ंक्शन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है
+जहां α<sub>''d''</sub> इकाई डी-बॉल का आयतन है;इसे यूलर के गामा फलन <math>\alpha_d =\frac{\Gamma\left(\frac12\right)^d}{\Gamma\left(\frac{d}{2}+1\right)} =\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}+1\right)}</math> का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।
-:<math>\alpha_d =\frac{\Gamma\left(\frac12\right)^d}{\Gamma\left(\frac{d}{2}+1\right)} =\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}+1\right)}.</math>
+:
-यह है
+यह <math> \lambda_d(E) = \beta_d H^d(E)</math> है जहां <math>\beta_d</math> इकाई व्यास डी-बॉल का आयतन है।
-:<math> \lambda_d(E) = \beta_d H^d(E)</math>,
-कहाँ <math>\beta_d</math> इकाई व्यास डी-बॉल का आयतन है।
-'टिप्पणी'। कुछ लेखक हॉसडॉर्फ माप की परिभाषा को यहां चुनी गई परिभाषा से थोड़ा अलग अपनाते हैं, अंतर यह है कि मूल्य <math>H^d(E)</math> ऊपर परिभाषित कारक से गुणा किया जाता है <math>\beta_d = 2^{-d} \alpha_d</math>, ताकि हॉसडॉर्फ डी-आयामी माप यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले में लेबेस्ग माप के साथ बिल्कुल मेल खाता हो।
+'टिप्पणी'। कुछ लेखक हॉसडॉर्फ माप की परिभाषा को यहां चुनी गई परिभाषा से थोड़ा अलग अपनाते हैं, अंतर यह है कि ऊपर परिभाषित मान <math>H^d(E)</math> को कारक <math>\beta_d = 2^{-d} \alpha_d</math> से गुणा किया जाता है, ताकि हॉसडॉर्फ डी-आयामी माप यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले में लेबेस्ग माप के साथ बिल्कुल मेल खाता हो।
 ==हौसडॉर्फ़ आयाम के साथ संबंध==
-{{main| Hausdorff dimension}}
+यह पता चला है कि <math>H^d(S)</math> का अधिकतम एक <math>d</math> के लिए एक सीमित, गैर-शून्य मान हो सकता है।  अर्थात्, हॉसडॉर्फ माप एक निश्चित आयाम के ऊपर किसी भी मान के लिए शून्य है और एक निश्चित आयाम के नीचे अनंत है, इस विचार के अनुरूप है कि एक रेखा का क्षेत्र शून्य है और 2डी आकार की लंबाई कुछ अर्थों में अनंत है। यह हॉसडॉर्फ़ आयाम की कई संभावित समकक्ष परिभाषाओं में से एक की ओर ले जाता है:
-यह पता चला है कि <math>H^d(S)</math> अधिकतम एक के लिए एक सीमित, गैर-शून्य मान हो सकता है <math>d</math>. अर्थात्, हॉसडॉर्फ माप एक निश्चित आयाम के ऊपर किसी भी मान के लिए शून्य है और एक निश्चित आयाम के नीचे अनंत है, इस विचार के अनुरूप है कि एक रेखा का क्षेत्र शून्य है और 2डी आकार की लंबाई कुछ अर्थों में अनंत है। यह हॉसडॉर्फ़ आयाम की कई संभावित समकक्ष परिभाषाओं में से एक की ओर ले जाता है:
 :<math>\dim_{\mathrm{Haus}}(S)=\inf\{d\ge 0:H^d(S)=0\}=\sup\{d\ge 0:H^d(S)=\infty\},</math>
-हम कहाँ लेते हैं
+जहां हम <math>\inf\emptyset=+\infty</math> और <math>\sup\emptyset=0</math> लेते हैं।
-<math>\inf\emptyset=+\infty</math>
-और
-<math>\sup\emptyset=0</math>.
-ध्यान दें कि इसकी गारंटी नहीं है कि हॉसडॉर्फ़ माप कुछ d के लिए परिमित और गैर-शून्य होना चाहिए, और वास्तव में हॉसडॉर्फ़ आयाम पर माप अभी भी शून्य हो सकता है; इस मामले में, हॉसडॉर्फ आयाम अभी भी शून्य और अनंत के मापों के बीच एक परिवर्तन बिंदु के रूप में कार्य करता है।
+ध्यान दें कि यह आश्वस्त नहीं है कि हॉसडॉर्फ़ माप किसी d के लिए परिमित और गैर-शून्य होना चाहिए, और वास्तव में हॉसडॉर्फ़ आयाम पर माप अभी भी शून्य हो सकता है; इस स्थिति में, हॉसडॉर्फ आयाम अभी भी शून्य और अनंत के मापों के बीच एक परिवर्तन बिंदु के रूप में कार्य करता है।
 ==सामान्यीकरण==
-ज्यामितीय माप सिद्धांत और संबंधित क्षेत्रों में, मिन्कोव्स्की सामग्री का उपयोग अक्सर मीट्रिक माप स्थान के सबसेट के आकार को मापने के लिए किया जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उपयुक्त डोमेन के लिए, आकार की दो धारणाएं मेल खाती हैं, सम्मेलनों के आधार पर समग्र सामान्यीकरण तक। अधिक सटीक रूप से, का एक उपसमुच्चय <math>\R^n</math> सुधार योग्य सेट कहा जाता है|<math>m</math>-अगर यह एक [[परिबद्ध सेट]] की छवि है तो इसे सुधारा जा सकता है <math>\R^m</math> [[लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन]] के अंतर्गत। अगर <math>m<n</math>, फिर <math>m</math>एक बंद की -आयामी मिन्कोव्स्की सामग्री <math>m</math>- का सुधार योग्य उपसमुच्चय <math>\R^n</math> के बराबर है <math>2^{-m}\alpha_m</math> कई बार <math>m</math>-आयामी हॉसडॉर्फ माप {{harv|Federer|1969|loc=Theorem 3.2.29}}.
+ज्यामितीय माप सिद्धांत और संबंधित क्षेत्रों में, मिन्कोव्स्की सामग्री का उपयोग प्रायः मीट्रिक माप स्थान के उपसमुच्चय के आकार को मापने के लिए किया जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उपयुक्त डोमेन के लिए,  सम्मेलनों के आधार पर समग्र सामान्यीकरण तक, आकार की दो धारणाएं मेल खाती हैं। अधिक सटीक रूप से, <math>\R^n</math> का एक उपसमुच्चय <math>m</math>-सुधार योग्य समुच्चय कहा जाता है यदि यह [[लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन|लिप्सचिट्ज़ फलन]] के अंतर्गत <math>\R^m</math> में [[परिबद्ध सेट|परिबद्ध समुच्चय]] की छवि है। यदि <math>m<n</math>, तो <math>\R^n</math> के एक बंद <math>m</math>-सुधार योग्य उपसमुच्चय की <math>m</math>-आयामी मिन्कोव्स्की सामग्री,  <math>m</math>-आयामी हॉसडॉर्फ माप के <math>2^{-m}\alpha_m</math> गुना के बराबर है {{harv|Federer|1969|loc=Theorem 3.2.29}}।
-फ्रैक्टल ज्यामिति में, हॉसडॉर्फ आयाम वाले कुछ फ्रैक्टल <math>d</math> शून्य या अनंत हो <math>d</math>-आयामी हॉसडॉर्फ माप। उदाहरण के लिए, [[लगभग निश्चित रूप से]] समतल [[एक प्रकार कि गति]] की छवि में हॉसडॉर्फ़ आयाम 2 है और इसका द्वि-आयामी हॉसडॉर्फ़ माप शून्य है। ऐसे सेटों के आकार को मापने के लिए, हॉसडॉर्फ माप की धारणा पर निम्नलिखित भिन्नता पर विचार किया जा सकता है:
+फ्रैक्टल ज्यामिति में, हॉसडॉर्फ़ आयाम <math>d</math> वाले कुछ फ्रैक्टल्स में शून्य या अनंत <math>d</math>-आयामी हॉसडॉर्फ़ माप होता है। उदाहरण के लिए, [[लगभग निश्चित रूप से]] समतल [[एक प्रकार कि गति|ब्राउनियन]] गति की छवि में हॉसडॉर्फ़ आयाम 2 है और इसका द्वि-आयामी हॉसडॉर्फ़ माप शून्य है। ऐसे समुच्चयों के "आकार" को "मापने" के लिए, हॉसडॉर्फ माप की धारणा पर निम्नलिखित भिन्नता पर विचार किया जा सकता है:
-:माप की परिभाषा में <math>(\operatorname{diam}U_i)^d</math> से प्रतिस्थापित कर दिया गया है <math>\phi(U_i),</math> कहाँ <math>\phi</math> क्या कोई मोनोटोन बढ़ता सेट फ़ंक्शन संतोषजनक है <math>\phi(\emptyset )=0.</math>
+:माप की परिभाषा में <math>(\operatorname{diam}U_i)^d</math> को <math>\phi(U_i)</math> से प्रतिस्थापित कर दिया गया है, जहां <math>\phi</math> कोई भी मोनोटोन बढ़ता समुच्चय फलन है जो <math>\phi(\emptyset )=0</math> को संतुष्ट करता है।
-यह हॉसडॉर्फ माप है <math>S</math> आयाम फ़ंक्शन के साथ <math>\phi,</math> या <math>\phi</math>-हौसडॉर्फ माप. ए <math>d</math>-आयामी सेट <math>S</math> संतुष्ट कर सकता है <math>H^d(S)=0,</math> लेकिन <math> H^\phi(S)\in (0,\infty)</math> एक उपयुक्त के साथ <math>\phi.</math> गेज फ़ंक्शंस के उदाहरणों में शामिल हैं
+यह गेज फलन <math>\phi,</math>, या <math>\phi</math>-हॉसडॉर्फ़ माप के साथ <math>S</math> का हॉसडॉर्फ़ माप है। एक <math>d</math>-आयामी समुच्चय <math>S</math> उपयुक्त <math>\phi</math> के साथ  <math>H^d(S)=0,</math> लेकिन <math> H^\phi(S)\in (0,\infty)</math> को संतुष्ट कर सकता है। एक गेज फलन के उदाहरणों में
-:<math>\phi(t)=t^2 \log\log\frac{1}{t} \quad \text{or} \quad \phi(t) = t^2\log\frac{1}{t}\log\log\log\frac{1}{t}.</math>
+<math>\phi(t)=t^2 \log\log\frac{1}{t} \quad \text{or} \quad \phi(t) = t^2\log\frac{1}{t}\log\log\log\frac{1}{t}</math>
-पूर्व लगभग निश्चित रूप से सकारात्मक और देता है <math>\sigma</math>ब्राउनियन पथ के लिए -परिमित माप <math>\R^n</math> कब <math>n>2</math>, और बाद वाला कब <math>n=2</math>.
+सम्मिलित  हैं।
+पूर्व, <math>\R^n</math> में ब्राउनियन पथ को लगभग निश्चित रूप से सकारात्मक और <math>\sigma</math>-परिमित माप देता है जब <math>n>2</math>, और बाद वाला जब <math>n=2</math> होता है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 81: / Line 75: @@
 {{Measure theory}}
-{{DEFAULTSORT:Hausdorff Measure}}[[Category: भग्न]] [[Category: उपाय (माप सिद्धांत)]] [[Category: मीट्रिक ज्यामिति]] [[Category: आयाम सिद्धांत]]
+{{DEFAULTSORT:Hausdorff Measure}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Collapse templates|Hausdorff Measure]]
-[[Category:Created On 03/07/2023]]
+[[Category:Created On 03/07/2023|Hausdorff Measure]]
+[[Category:Machine Translated Page|Hausdorff Measure]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Hausdorff Measure]]
+[[Category:Pages with script errors|Hausdorff Measure]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Hausdorff Measure]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Hausdorff Measure]]
+[[Category:Templates generating microformats|Hausdorff Measure]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Hausdorff Measure]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Hausdorff Measure]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates|Hausdorff Measure]]
+[[Category:आयाम सिद्धांत|Hausdorff Measure]]
+[[Category:उपाय (माप सिद्धांत)|Hausdorff Measure]]
+[[Category:भग्न|Hausdorff Measure]]
+[[Category:मीट्रिक ज्यामिति|Hausdorff Measure]]

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

Anonymous

Search

हॉसडॉर्फ माप: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Latest revision as of 17:07, 12 July 2023

Contents

परिभाषा

हॉसडॉर्फ माप के गुण

हौसडॉर्फ़ आयाम के साथ संबंध

सामान्यीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

हॉसडॉर्फ माप: Difference between revisions

Latest revision as of 17:07, 12 July 2023

परिभाषा

हॉसडॉर्फ माप के गुण

हौसडॉर्फ़ आयाम के साथ संबंध

सामान्यीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories