चेबीशेव फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 18:27, 12 July 2023

This article utilizes technical mathematical notation for logarithms. All instances of log(x) without a subscript base should be interpreted as a natural logarithm, commonly notated as ln(x) or log_e(x).

चेबीशेव फलन

ψ (x)

, साथ

x < 50

File:Chebyshev.svg

कार्यक्रम

ψ (x) - x

, के लिए

x < 10 4

File:Chebyshev-big.svg

कार्यक्रम

ψ (x) - x

, के लिए

x < 10 7

गणित में, चेबीशेव फलन या तो स्केलराइजिंग फलन (चेबीशेफ फलन) या दो संबंधित फलनों में से है। प्रथम चेबिशेव फलन $ϑ (x)$ या $θ (x)$ द्वारा दिया गया है:

\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p

जहाँ $\log$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है, जिसका योग सभी अभाज्य संख्याओं $p$ पर विस्तारित होता है जो $x$ से कम या उसके समान हैं।

दूसरा चेबीशेव फलन $ψ (x)$ को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अभाज्य शक्तियों का योग $x$ से अधिक नहीं है

\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,

जहाँ $Λ$ मैंगोल्ड्ट फलन है। चेबीशेव फलन, विशेष रूप से दूसरा $ψ (x)$ , प्रायः अभाज्य संख्याओं से संबंधित गणितीय प्रमाणों में उपयोग किया जाता है, क्योंकि सामान्यतः अभाज्य-गणना फलन, $π (x)$ की तुलना में उनके साथ कार्य करना सरल होता है, (नीचे त्रुटिहीन सूत्र देखें।) दोनों चेबिशेव फलन $x$ के लिए स्पर्शोन्मुख हैं, जो अभाज्य संख्या प्रमेय के समतुल्य कथन है।

त्चेबीशेफ़ फलन, चेबीशेव यूटिलिटी फलन, या भारित त्चेबीशेफ़ स्केलराइज़िंग फलन का उपयोग तब किया जाता है, जब किसी के पास कम करने के लिए कई फलन होते हैं और कोई उन्हें एक ही फलन में स्केलराइज़ करना चाहता है:

f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).

^[1]

विभिन्न मानों के लिए इस फलन को न्यूनतम करके $w$ , गैर-उत्तल भागों में भी, पारेटो मोर्चे पर सभी बिंदु प्राप्त करता है।^[1]प्रायः $f_{i}$ फलन को न्यूनतम नहीं किया जाना चाहिए, किन्तु $|f_{i}-z_{i}^{*}|$ कुछ अदिशों के लिए $z_{i}^{*}$ तब $f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.$ ^[2]

तीनों फलनो का नाम पफन्युटी चेबीशेव के सम्मान में रखा गया है।

सम्बन्ध

दूसरे चेबीशेव फलन को पहले से संबंधित लिखते हुए इसे इस रूप में देखा जा सकता है:

\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p

जहाँ $k$ अद्वितीय पूर्णांक है जैसे कि $p k \leq x$ और $x < p k + 1$ , $k$ के मान OEIS: A206722 द्वारा अधिक प्रत्यक्ष संबंध दिया गया है:

\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.

ध्यान दें कि इस अंतिम योग में केवल अलुप्त होने वाली पदों की केवल एक सीमित संख्या है:

\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.

दूसरा चेबीशेव फलन 1 से $n$ तक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य का लघुगणक है:

\operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.

पूर्णांक चर $n$ के लिए $lcm(1, 2, ..., n)$ का मान OEIS: A003418 पर दिया गया है:

$\psi (x)/x$ और $\vartheta (x)/x$ के मध्य संबंध ^[3]

निम्नलिखित प्रमेय दो भागफलों से संबंधित है, ${\frac {\psi (x)}{x}}$ और ${\frac {\vartheta (x)}{x}}$

प्रमेय: $x>0$ , के लिए

0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.

नोट: यह असमानता (गणित) का तात्पर्य है:

\lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.

दूसरे शब्दों में, यदि इनमे से $\psi (x)/x$ या $\vartheta (x)/x$ फलन की सीमा की ओर प्रवृत्त होता है तो दूसरी की भी, और दोनों सीमाएँ समान होती हैं।

प्रमाण: चूंकि $\psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})$ से प्राप्त होता है:

0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).

किन्तु की परिभाषा से $\vartheta (x)$ हमारे पास तुच्छ असमानता है:

\vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x

इसलिए

{\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}

$x$ प्रमेय में असमानता प्राप्त करने के लिए अंत में विभाजित करें ।

स्पर्शोन्मुखता और सीमा

निम्नलिखित सीमाएं चेबीशेव फलन के लिए जानी जाती हैं:^[1]^[2](इन सूत्रों में $p k$ $k$ वें अभाज्य संख्या है; $p 1 = 2$ , $p 2 = 3$ , आदि।)

{\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}

इसके अतिरिक्त, रीमैन परिकल्पना के अंतर्गत,

{\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}

किसी भी $ε > 0$ के लिए,

ऊपरी सीमाएं $ϑ (x)$ और $ψ (x)$ दोनों के लिए उपस्तिथ हैं, जैसे कि^[4] ^[3]

{\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}

किसी भी $x > 0$ के लिए,

स्थिरांक 1.03883 का स्पष्टीकरण OEIS: A206431 पर दिया गया है।

त्रुटिहीन सूत्र

1895 में, हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट ने रीमैन जीटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य के योग के रूप में $ψ (x)$ के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्रमाणित है:^[4]

\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).

(संख्यात्मक मान $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ζ′ (0)/ζ (0)$ $log(2π)$ है।) यहाँ $ρ$ जीटा फलन के गैर तुच्छ शून्यों पर चलता है, और $ψ 0$ और $ψ$ के समान है, अतिरिक्त इसके कि इसकी जम्प असंततता (मुख्य शक्तियां) पर यह मान को बाईं ओर के मानों के मध्य आधा ले जाता है और सही:

\psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

प्राकृतिक लघुगणक के लिए टेलर श्रृंखला से, स्पष्ट सूत्र में अंतिम पद को योग $x ω / ω$ के रूप में अध्ययन किया जा सकता है जीटा फलन के तुच्छ शून्यों पर, $ω = -2, -4, -6, ...$ , है।

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).

इसी प्रकार, प्रथम पद, $x = x 1 / 1$ , 1 पर जीटा फलन के सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) से युग्मित है। यह शब्द के अतिरिक्त ध्रुव है जो पद के विपरीत संकेत को दर्शाता है।

गुण

एरहार्ड श्मिट के कारण प्रमेय में कहा गया है कि, कुछ स्पष्ट सकारात्मक स्थिरांक $K$ , के लिए, अनंत रूप से कई प्राकृतिक संख्याएँ $x$ हैं जैसे कि,

\psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}

और अपरिमित रूप से अनेक प्राकृतिक संख्याएँ $x$ ऐसा है कि

\psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.

^[5]^[6]

बिग-ओ नोटेशन में छोटा- $o$ अंकन, को उपरोक्त के रूप में लिख सकता है:

\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).

हार्डी और लिटिलवुड^[7]स्थिर परिणाम प्रमाणित करते हैं कि,

\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).

सर्वप्रथम से संबंध

सर्वप्रथम चेबिशेव फलन $x$ , के प्राइमोरियल का लघुगणक है, जिसे $x #$ से निरूपित किया गया है:

\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).

इससे सिद्ध होता है कि सर्वप्रथम $x #$ स्पर्शोन्मुख रूप से $e (1 + o (1)) x$ के समान है, जहाँ $o$ छोटा- $o$ अंकन है (बड़ा $O$ अंकन देखें) और अभाज्य संख्या प्रमेय $p n #$ के साथ मिलकर स्पर्शोन्मुख व्यवहार स्थापित करता है।

अभाज्य-गणना फलन से संबंध

चेबिशेव फलन को अभाज्य-गणना फलन से निम्नानुसार संबंधित किया जा सकता है। परिभाषित करना;

\Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.

तब

\Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.

$Π$ अभाज्य-गणना फलन से $π$ में संक्रमण समीकरण के माध्यम से किया जाता है:

\Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots

निश्चित रूप से $π (x) \leq x$ , इसलिए अनुमान के लिए, इस अंतिम संबंध को इस रूप में दोबारा बनाया जा सकता है:

$\pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).$

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना में कहा गया है कि ज़ेटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्य का वास्तविक भाग 1/2 होता है, इस स्तिथि में, $| x ρ | = \sqrt x$ , और यह दिखाया जा सकता है:

\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).

उपरोक्त से इसका तात्पर्य है

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).

परिकल्पना सत्य हो सकती है इसका उत्तम प्रमाण एलेन कोन्स और अन्य द्वारा प्रस्तावित तथ्य से मिलता है, कि यदि हम $x$ के संबंध में वॉन मैंगोल्ड्ट सूत्र को भिन्न करते हैं तो हमें $x = e u$ प्राप्त होता है। परिवर्तन करते हुए, हमारे पास हैमिल्टनियन संचालन के घातांक को संतुष्ट करने के लिए "ट्रेस फॉर्मूला" है;

\left.\zeta {\big (}{\tfrac {1}{2}}+i{\hat {H}}{\big )}\right|n\geq \zeta \!\left({\tfrac {1}{2}}+iE_{n}\right)=0,

और

\sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{\frac {u}{2}}-e^{-{\frac {u}{2}}}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{\frac {u}{2}}}{e^{3u}-e^{u}}}=\operatorname {Tr} \!{\big (}e^{iu{\hat {H}}}{\big )},

जहां त्रिकोणमितीय योग को ऑपरेटर (सांख्यिकीय यांत्रिकी) $e iuĤ$ का प्रतीक माना जा सकता है , जो केवल तभी सत्य है यदि $ρ = 1 / 2 + iE (n)$ .

अर्धशास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए $H = T + V$ की क्षमता संतुष्ट करती है:

{\frac {Z(u)u^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\sim \int _{-\infty }^{\infty }e^{i\left(uV(x)+{\frac {\pi }{4}}\right)}\,dx

साथ $Z (u) \to 0$ जैसा $u \to \infty$ .

इस अरेखीय अभिन्न समीकरण का समाधान (दूसरों के मध्य) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

V^{-1}(x)\approx {\sqrt {4\pi }}\cdot {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}N(x)

क्षमता का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए:

\pi N(E)=\operatorname {Arg} \xi \left({\tfrac {1}{2}}+iE\right).

स्मूथिंग फलन

File:Chebyshev-smooth.svg

चिकने चेबीशेव फलन का अंतर और

x 2 / 2

के लिए

x < 10 6

स्मूथिंग फलन के रूप में परिभाषित किया गया है:

\psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.

स्पष्ट रूप से $\psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.$

परिवर्तनशील सूत्रीकरण

$x = e t$ पर मूल्यांकन किया गया चेबीशेव फलन कार्यात्मक को न्यूनतम करता है:

J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,

इसलिए

f(t)=\psi (e^{t})e^{-ct}\quad {\text{for }}c>0.

↑ ^1.0 ^1.1 Joshua Knowles (2 May 2014). "बहुउद्देश्यीय अनुकूलन अवधारणा, एल्गोरिदम और प्रदर्शन उपाय" (PDF). The University of Manchester. p. 34.
↑ Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R. (2018). "An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization" (PDF). Delft University of Technology. Page 6 equation (2). doi:10.1016/j.eswa.2017.09.051. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Apostol, Tom M. (2010). विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का परिचय. Springer. pp. 75–76.
↑ Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962). "Approximate formulas for some functions of prime numbers". Illinois J. Math. 6: 64–94.

^ Pierre Dusart, "Estimates of some functions over primes without R.H.". arXiv:1002.0442
^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for $ψ$ , $θ$ , $π$ , $p k$ ", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The $k$ th prime is greater than $k (log k + log log k - 1)$ for $k \geq 2$ ", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
^ G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
^ Davenport, Harold (2000). In Multiplicative Number Theory. Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.

संदर्भ

Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Chebyshev functions". MathWorld.
"Mangoldt summatory function". PlanetMath.
"Chebyshev functions". PlanetMath.
Riemann's Explicit Formula, with images and movies

[JK-1] 1.0 ^1.1 Joshua Knowles (2 May 2014). "बहुउद्देश्यीय अनुकूलन अवधारणा, एल्गोरिदम और प्रदर्शन उपाय" (PDF). The University of Manchester. p. 34.

[2] Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R. (2018). "An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization" (PDF). Delft University of Technology. Page 6 equation (2). doi:10.1016/j.eswa.2017.09.051. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[3] Apostol, Tom M. (2010). विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का परिचय. Springer. pp. 75–76.

[4] Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962). "Approximate formulas for some functions of prime numbers". Illinois J. Math. 6: 64–94.

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Contents

सम्बन्ध

$\psi (x)/x$ और $\vartheta (x)/x$ के मध्य संबंध ^[3]

स्पर्शोन्मुखता और सीमा

त्रुटिहीन सूत्र

गुण

सर्वप्रथम से संबंध

अभाज्य-गणना फलन से संबंध

रीमैन परिकल्पना

स्मूथिंग फलन

परिवर्तनशील सूत्रीकरण

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संदर्भ

बाहरी संबंध

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 {{log(x)}}
-[[Image:ChebyshevPsi.png|thumb|right|चेबीशेव समारोह {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}}, साथ {{math|''x'' < 50}}]]
+[[Image:ChebyshevPsi.png|thumb|right|चेबीशेव फलन {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}}, साथ {{math|''x'' < 50}}]]
 [[Image:Chebyshev.svg|thumb|right|कार्यक्रम {{math|''ψ''&hairsp;(''x'') − ''x''}}, के लिए {{math|''x'' < 10<sup>4</sup>}}]]
-[[Image:Chebyshev-big.svg|thumb|right|कार्यक्रम {{math|''ψ''&hairsp;(''x'') − ''x''}}, के लिए {{math|''x'' < 10<sup>7</sup>}}]]गणित में, चेबीशेव फलन या तो एक स्केलराइजिंग फलन (चेबीशेफ फलन) है या दो संबंधित फलनों में से एक है। पहला चेबिशेव समारोह {{math|''ϑ''&hairsp;&hairsp;(''x'')}} या {{math|''θ''&hairsp;(''x'')}} द्वारा दिया गया है
+[[Image:Chebyshev-big.svg|thumb|right|कार्यक्रम {{math|''ψ''&hairsp;(''x'') − ''x''}}, के लिए {{math|''x'' < 10<sup>7</sup>}}]]गणित में, चेबीशेव फलन या तो स्केलराइजिंग फलन (चेबीशेफ फलन) या दो संबंधित फलनों में से है। प्रथम चेबिशेव फलन {{math|''ϑ''&hairsp;&hairsp;(''x'')}} या {{math|''θ''&hairsp;(''x'')}} द्वारा दिया गया है:
 :<math>\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p</math>
-कहाँ <math>\log</math> [[प्राकृतिक]] लघुगणक को दर्शाता है, जिसका योग सभी [[अभाज्य संख्या]]ओं पर विस्तारित होता है {{mvar|p}} जो इससे कम या इसके बराबर हैं {{mvar|x}}.
+जहाँ <math>\log</math> [[प्राकृतिक]] लघुगणक को दर्शाता है, जिसका योग सभी [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओं]] {{mvar|p}} पर विस्तारित होता है जो {{mvar|x}} से कम या उसके समान हैं।
-दूसरा चेबीशेव समारोह {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}} को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अभाज्य शक्तियों का योग अधिक नहीं है{{mvar|x}}
+दूसरा चेबीशेव फलन {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}} को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अभाज्य शक्तियों का योग {{mvar|x}} से अधिक नहीं है
 :<math>\psi(x) = \sum_{k \in \mathbb{N}}\sum_{p^k \le x}\log p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p \le x}\left\lfloor\log_p x\right\rfloor\log p,</math>
-कहाँ {{math|Λ}} [[मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा]] है। चेबीशेव कार्य करता है, विशेष रूप से दूसरा {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}}, अक्सर अभाज्य संख्याओं से संबंधित [[गणितीय प्रमाण]] में उपयोग किया जाता है, क्योंकि आम तौर पर अभाज्य-गणना फ़ंक्शन की तुलना में उनके साथ काम करना सरल होता है, {{math|''π''&hairsp;(''x'')}} (नीचे #सटीक सूत्र देखें।) दोनों चेबिशेव कार्य स्पर्शोन्मुख हैं{{mvar|x}}, अभाज्य संख्या प्रमेय के समतुल्य एक कथन।
+जहाँ {{math|Λ}} [[मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा|मैंगोल्ड्ट फलन]] है। चेबीशेव फलन, विशेष रूप से दूसरा {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}}, प्रायः अभाज्य संख्याओं से संबंधित [[गणितीय प्रमाण|गणितीय प्रमाणों]] में उपयोग किया जाता है, क्योंकि सामान्यतः अभाज्य-गणना फलन, {{math|''π''&hairsp;(''x'')}} की तुलना में उनके साथ कार्य करना सरल होता है, (नीचे त्रुटिहीन सूत्र देखें।) दोनों चेबिशेव फलन {{mvar|x}} के लिए स्पर्शोन्मुख हैं, जो अभाज्य संख्या प्रमेय के समतुल्य कथन है।
-Tchebycheff फ़ंक्शन, Chebyshev यूटिलिटी फ़ंक्शन, या भारित Tchebycheff स्केलराइज़िंग फ़ंक्शन का उपयोग तब किया जाता है, जब किसी के पास कम करने के लिए कई फ़ंक्शन होते हैं और कोई उन्हें एक ही फ़ंक्शन में स्केलराइज़ करना चाहता है:
+त्चेबीशेफ़ फलन, चेबीशेव यूटिलिटी फलन, या भारित त्चेबीशेफ़ स्केलराइज़िंग फलन का उपयोग तब किया जाता है, जब किसी के पास कम करने के लिए कई फलन होते हैं और कोई उन्हें एक ही फलन में स्केलराइज़ करना चाहता है:
 :<math>f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i f_i(x).</math><ref name=JK>{{cite web|url=http://syllabus.cs.manchester.ac.uk/pgt/2017/COMP60342/COMP60342-2014-MOO.pdf|title=बहुउद्देश्यीय अनुकूलन अवधारणा, एल्गोरिदम और प्रदर्शन उपाय|author=Joshua Knowles|date=2 May 2014|publisher=The University of Manchester|page=34}}</ref>
-के विभिन्न मानों के लिए इस फ़ंक्शन को न्यूनतम करके <math>w</math>, गैर-उत्तल भागों में भी, पारेटो मोर्चे पर हर बिंदु प्राप्त करता है।<ref name=JK/>अक्सर कम किए जाने वाले कार्य नहीं होते हैं <math>f_i</math> लेकिन <math>|f_i-z_i^*|</math> कुछ स्केलर्स के लिए <math>z_i^*</math>. तब <math>f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i |f_i(x)-z_i^*|.</math><ref>{{cite journal|url=https://pure.tudelft.nl/ws/portalfiles/portal/30882193/FinalRevised_Improved_MOEA_D_for_BOPs_with_complicated_PFs.pdf|at=Page 6 equation (2)|title=An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization|author=Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R.|doi=10.1016/j.eswa.2017.09.051|publisher=Delft University of Technology|date=2018}}</ref>
+विभिन्न मानों के लिए इस फलन को न्यूनतम करके <math>w</math>, गैर-उत्तल भागों में भी, पारेटो मोर्चे पर सभी बिंदु प्राप्त करता है।<ref name=JK/>प्रायः <math>f_i</math> फलन को न्यूनतम नहीं किया जाना चाहिए, किन्तु <math>|f_i-z_i^*|</math> कुछ अदिशों के लिए <math>z_i^*</math> तब <math>f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i |f_i(x)-z_i^*|.</math><ref>{{cite journal|url=https://pure.tudelft.nl/ws/portalfiles/portal/30882193/FinalRevised_Improved_MOEA_D_for_BOPs_with_complicated_PFs.pdf|at=Page 6 equation (2)|title=An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization|author=Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R.|doi=10.1016/j.eswa.2017.09.051|publisher=Delft University of Technology|date=2018}}</ref>
-तीनों कार्यों का नाम [[पफन्युटी चेबीशेव]] के सम्मान में रखा गया है।
-== रिश्ते ==
+तीनों फलनो का नाम [[पफन्युटी चेबीशेव]] के सम्मान में रखा गया है।
-दूसरे चेबीशेव फलन को पहले से संबंधित लिखते हुए इसे इस रूप में देखा जा सकता है
+== सम्बन्ध ==
+दूसरे चेबीशेव फलन को पहले से संबंधित लिखते हुए इसे इस रूप में देखा जा सकता है:
 :<math>\psi(x) = \sum_{p \le x}k \log p</math>
-कहाँ {{mvar|k}} अद्वितीय [[पूर्णांक]] है जैसे कि {{math|''p''<sup>&hairsp;''k''</sup> ≤ ''x''}} और {{math|''x'' < ''p''<sup>&hairsp;''k''&thinsp;+&hairsp;1</sup>}}. के मान {{mvar|k}} में दिया गया है {{OEIS2C|id=A206722}}. द्वारा अधिक प्रत्यक्ष संबंध दिया गया है
+जहाँ {{mvar|k}} अद्वितीय [[पूर्णांक]] है जैसे कि {{math|''p''<sup>&hairsp;''k''</sup> ≤ ''x''}} और {{math|''x'' < ''p''<sup>&hairsp;''k''&thinsp;+&hairsp;1</sup>}}, {{mvar|k}} के मान {{OEIS2C|id=A206722}} द्वारा अधिक प्रत्यक्ष संबंध दिया गया है:
 :<math>\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big).</math>
-ध्यान दें कि इस अंतिम राशि में केवल गैर-लुप्त होने वाली शर्तों की एक सीमित संख्या है
+ध्यान दें कि इस अंतिम योग में केवल अलुप्त होने वाली पदों की केवल एक सीमित संख्या है:
 :<math>\vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big) = 0\quad \text{for}\quad n>\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}.</math>
-दूसरा चेबीशेव फ़ंक्शन 1 से लेकर पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य का लघुगणक है{{mvar|n}}.
+दूसरा चेबीशेव फलन 1 से {{mvar|n}} तक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य का लघुगणक है:
 :<math>\operatorname{lcm}(1,2,\dots,n) = e^{\psi(n)}.</math>
-का मान {{math|lcm(1, 2, ..., ''n'')}} पूर्णांक चर के लिए {{mvar|n}} पर दिया गया है {{OEIS2C|id=A003418}}.
+पूर्णांक चर {{mvar|n}} के लिए {{math|lcm(1, 2, ..., ''n'')}} का मान {{OEIS2C|id=A003418}} पर दिया गया है:
-== के बीच संबंध <math>\psi(x)/x</math> और <math>\vartheta(x)/x</math><ref>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |title=विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का परिचय|publisher=Springer |year=2010 |pages=75–76}}</ref> ==
+== <math>\psi(x)/x</math> और <math>\vartheta(x)/x</math> के मध्य संबंध  <ref>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |title=विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का परिचय|publisher=Springer |year=2010 |pages=75–76}}</ref> ==
-निम्नलिखित [[प्रमेय]] दो भागफलों से संबंधित है <math>\frac{\psi(x)}{x}</math> और <math>\frac{\vartheta(x)}{x}</math>.
+निम्नलिखित [[प्रमेय]] दो भागफलों से संबंधित है, <math>\frac{\psi(x)}{x}</math> और <math>\frac{\vartheta(x)}{x}</math>
-प्रमेय: के लिए <math>x>0</math>, अपने पास
+प्रमेय: <math>x>0</math>, के लिए
 :<math>0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.</math>
-नोट: यह [[असमानता (गणित)]] का तात्पर्य है
+नोट: यह [[असमानता (गणित)]] का तात्पर्य है:
 :<math>\lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)\! = 0.</math>
-दूसरे शब्दों में, यदि एक <math>\psi(x)/x</math> या <math>\vartheta(x)/x</math> एक फलन की एक सीमा की ओर प्रवृत्त होता है तो दूसरा भी करता है, और दोनों सीमाएँ बराबर होती हैं।
+दूसरे शब्दों में, यदि इनमे से <math>\psi(x)/x</math> या <math>\vartheta(x)/x</math> फलन की सीमा की ओर प्रवृत्त होता है तो दूसरी की भी, और दोनों सीमाएँ समान होती हैं।
-सबूत: चूंकि <math>\psi(x)=\sum_{n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n})</math>, हम पाते हैं
+प्रमाण: चूंकि <math>\psi(x)=\sum_{n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n})</math> से प्राप्त होता है:
 :<math>0 \leq \psi(x)-\vartheta(x)=\sum_{2\leq n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n}).</math>
-लेकिन की परिभाषा से <math>\vartheta(x)</math> हमारे पास तुच्छ असमानता है
+किन्तु की परिभाषा से <math>\vartheta(x)</math> हमारे पास तुच्छ असमानता है:
 :<math>\vartheta(x)\leq \sum_{p\leq x}\log x\leq x\log x</math>
@@ Line 58: / Line 59: @@
 &=\frac{\sqrt{x}\,(\log x)^2}{2\log 2}.
 \end{align}</math>
-अंत में, विभाजित करें <math>x</math> प्रमेय में असमानता प्राप्त करने के लिए।
+<math>x</math> प्रमेय में असमानता प्राप्त करने के लिए अंत में विभाजित करें ।
 == स्पर्शोन्मुखता और सीमा ==
-निम्नलिखित सीमाएं चेबीशेव कार्यों के लिए जानी जाती हैं:{{ref|Dusart1999}}{{ref|Dusart2010}} (इन सूत्रों में {{math|''p''<sub>''k''</sub>}} है {{mvar|k}}वें अभाज्य संख्या; {{math|''p''<sub>1</sub> {{=}} 2}}, {{math|''p''<sub>2</sub> {{=}} 3}}, वगैरह।)
+निम्नलिखित सीमाएं चेबीशेव फलन के लिए जानी जाती हैं:{{ref|Dusart1999}}{{ref|Dusart2010}}(इन सूत्रों में {{math|''p''<sub>''k''</sub>}} {{mvar|k}}वें अभाज्य संख्या है; {{math|''p''<sub>1</sub> {{=}} 2}}, {{math|''p''<sub>2</sub> {{=}} 3}}, आदि।)
 :<math>\begin{align}
@@ Line 70: / Line 71: @@
 .9999\sqrt{x} &< \psi(x)-\vartheta(x)<1.00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}&& \text{for }x\ge121.
 \end{align}</math>
-इसके अलावा, [[रीमैन परिकल्पना]] के तहत,
+इसके अतिरिक्त, [[रीमैन परिकल्पना]] के अंतर्गत,
 :<math>\begin{align}
@@ Line 76: / Line 77: @@
 |\psi(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big)
 \end{align}</math>
-किसी के लिए {{math|''ε'' > 0}}.
+किसी भी {{math|''ε'' > 0}} के लिए,
-ऊपरी सीमाएं दोनों के लिए मौजूद हैं {{math|''ϑ''&hairsp;&hairsp;(''x'')}} और {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}} ऐसा है कि<ref>{{Cite journal
+ऊपरी सीमाएं {{math|''ϑ''&hairsp;&hairsp;(''x'')}} और {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}} दोनों के लिए उपस्तिथ हैं, जैसे कि<ref>{{Cite journal
    | last1 =  Rosser
    | first1 = J. Barkley
@@ Line 90: / Line 91: @@
    | volume = 6
    | pages = 64–94
    | url = http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ijm/1255631807}}</ref> {{ref|Dusart2010}}
 :<math>\begin{align} \vartheta(x)&<1.000028x \\ \psi(x)&<1.03883x \end{align}</math>
-किसी के लिए {{math|''x'' > 0}}.
+किसी भी {{math|''x'' > 0}} के लिए,
-स्थिरांक 1.03883 की व्याख्या यहां दी गई है {{OEIS2C|id=A206431}}.
+स्थिरांक 1.03883 का स्पष्टीकरण {{OEIS2C|id=A206431}} पर दिया गया है।
-== सटीक सूत्र ==
+== त्रुटिहीन सूत्र ==
-में, [[हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट]] ने साबित किया{{ref|Dav104}} एक Explicit_formulae_(L-function) के लिए {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}} Riemann zeta फ़ंक्शन के किसी फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य पर योग के रूप में:
+में, [[हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट]] ने रीमैन जीटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य के योग के रूप में {{math|''ψ''&hairsp;(''x'')}} के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्रमाणित है:{{ref|Dav104}}
 :<math>\psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \tfrac{1}{2} \log (1-x^{-2}).</math>
-(संख्यात्मक मान {{math|{{sfrac|''ζ{{prime}}&thinsp;''(0)|''ζ''&thinsp;(0)}}}} है {{math|log(2π)}}।) यहाँ {{mvar|ρ}} जीटा फलन के गैर तुच्छ शून्यों पर चलता है, और {{math|''ψ''<sub>0</sub>}} वैसा ही है जैसा कि {{mvar|ψ}}, सिवाय इसके कि इसके [[कूदना बंद करो]] (प्राइम पॉवर्स) पर यह मान को बाएँ और दाएँ मानों के बीच आधे रास्ते पर ले जाता है:
+(संख्यात्मक मान {{math|{{sfrac|''ζ{{prime}}&thinsp;''(0)|''ζ''&thinsp;(0)}}}} {{math|log(2π)}} है।) यहाँ {{mvar|ρ}} जीटा फलन के गैर तुच्छ शून्यों पर चलता है, और {{math|''ψ''<sub>0</sub>}} और {{mvar|ψ}} के समान है, अतिरिक्त इसके कि इसकी [[कूदना बंद करो|जम्प असंततता]] (मुख्य शक्तियां) पर यह मान को बाईं ओर के मानों के मध्य आधा ले जाता है और सही:
 :<math>\psi_0(x)
@@ Line 107: / Line 107: @@
 =\begin{cases} \psi(x) - \tfrac{1}{2} \Lambda(x) & x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px]
 \psi(x) & \mbox{otherwise.} \end{cases}</math>
-प्राकृतिक लघुगणक के लिए [[टेलर श्रृंखला]] से, स्पष्ट सूत्र में अंतिम शब्द को योग के रूप में समझा जा सकता है {{math|{{sfrac|''x<sup>ω</sup>''|''ω''}}}} जीटा फलन के तुच्छ शून्यों पर, {{math|''ω'' {{=}} −2, −4, −6, ...}}, अर्थात।
+प्राकृतिक लघुगणक के लिए [[टेलर श्रृंखला]] से, स्पष्ट सूत्र में अंतिम पद को योग {{math|{{sfrac|''x<sup>ω</sup>''|''ω''}}}} के रूप में अध्ययन किया जा सकता है जीटा फलन के तुच्छ शून्यों पर, {{math|''ω'' {{=}} −2, −4, −6, ...}}, है।
 :<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{-2k}}{-2k} = \tfrac{1}{2} \log \left( 1 - x^{-2} \right).</math>
-इसी प्रकार, पहला पद, {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|''x''<sup>1</sup>|1}}}}, 1 पर जीटा फ़ंक्शन के सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) से मेल खाता है। यह शब्द के विपरीत चिह्न के लिए शून्य खाते के बजाय एक ध्रुव है।
+इसी प्रकार, प्रथम पद, {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|''x''<sup>1</sup>|1}}}}, 1 पर जीटा फलन के सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) से युग्मित है। यह शब्द के अतिरिक्त ध्रुव है जो पद के विपरीत संकेत को दर्शाता है।
 == गुण ==
-[[एरहार्ड श्मिट]] के कारण एक प्रमेय कहता है कि, कुछ स्पष्ट सकारात्मक स्थिरांक के लिए {{mvar|K}}, अपरिमित रूप से अनेक प्राकृत संख्याएँ हैं {{mvar|x}} ऐसा है कि
+[[एरहार्ड श्मिट]] के कारण प्रमेय में कहा गया है कि, कुछ स्पष्ट सकारात्मक स्थिरांक {{mvar|K}}, के लिए, अनंत रूप से कई प्राकृतिक संख्याएँ {{mvar|x}} हैं जैसे कि,
 :<math>\psi(x)-x < -K\sqrt{x}</math>
@@ Line 120: / Line 120: @@
 :<math>\psi(x)-x > K\sqrt{x}.</math>{{ref|Sch03}}{{ref|Hard16}}
-बिग-ओ नोटेशन में|छोटा-{{mvar|o}} अंकन, कोई उपरोक्त के रूप में लिख सकता है
+बिग-ओ नोटेशन में छोटा-{{mvar|o}} अंकन, को उपरोक्त के रूप में लिख सकता है:
 :<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\right).</math>
-जीएच हार्डी और जेई लिटिलवुड{{ref|Hard16}} मजबूत परिणाम साबित करें, कि
+हार्डी और लिटिलवुड{{ref|Hard16}}स्थिर परिणाम प्रमाणित करते हैं कि,
 :<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\log\log\log x\right).</math>
+== सर्वप्रथम से संबंध ==
-== आदिम से संबंध ==
+सर्वप्रथम चेबिशेव फलन {{mvar|x}}, के प्राइमोरियल का लघुगणक है, जिसे {{math|''x''&hairsp;#}} से निरूपित किया गया है:
-पहला चेबिशेव फलन, के आदिकाल का लघुगणक है {{mvar|x}}, निरूपित {{math|''x''&hairsp;#}}:
 :<math>\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p = \log \prod_{p\le x} p = \log\left(x\#\right).</math>
-इससे सिद्ध होता है कि आदिम {{math|''x''&hairsp;#}} के बराबर है {{math|''e''<sup>(1&hairsp;&hairsp;+&thinsp;''o''(1))''x''</sup>}}, कहाँ{{mvar|o}} छोटा है-{{mvar|o}} अंकन (बिग ओ अंकन देखें | बड़ा {{mvar|O}} संकेतन) और साथ में अभाज्य संख्या प्रमेय के साथ स्पर्शोन्मुख व्यवहार स्थापित करता है {{math|''p''<sub>''n''</sub>&hairsp;#}}.
+इससे सिद्ध होता है कि सर्वप्रथम {{math|''x''&hairsp;#}} स्पर्शोन्मुख रूप से {{math|''e''<sup>(1&hairsp;&hairsp;+&thinsp;''o''(1))''x''</sup>}} के समान है, जहाँ {{mvar|o}} छोटा-{{mvar|o}} अंकन है (बड़ा {{mvar|O}} अंकन देखें) और अभाज्य संख्या प्रमेय {{math|''p''<sub>''n''</sub>&hairsp;#}} के साथ मिलकर स्पर्शोन्मुख व्यवहार स्थापित करता है।
-== प्राइम-काउंटिंग फंक्शन से संबंध ==
+== अभाज्य-गणना फलन से संबंध ==
-चेबिशेव फ़ंक्शन को प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन से निम्नानुसार संबंधित किया जा सकता है। परिभाषित करना
+चेबिशेव फलन को अभाज्य-गणना फलन से निम्नानुसार संबंधित किया जा सकता है। परिभाषित करना;
 :<math>\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\log n}.</math>
@@ Line 142: / Line 140: @@
 :<math>\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}.</math>
-से संक्रमण {{math|Π}} प्राइम-काउंटिंग फंक्शन के लिए, {{mvar|π}}, समीकरण के माध्यम से बनाया गया है
+{{math|Π}} अभाज्य-गणना फलन से {{mvar|π}} में संक्रमण समीकरण के माध्यम से किया जाता है:
 :<math>\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi\left(\sqrt{x}\,\right) + \tfrac{1}{3} \pi\left(\sqrt[3]{x}\,\right) + \cdots</math>
-निश्चित रूप से {{math|''π''&hairsp;(''x'') ≤ ''x''}}, इसलिए सन्निकटन के लिए, इस अंतिम संबंध को रूप में फिर से ढाला जा सकता है
+निश्चित रूप से {{math|''π''&hairsp;(''x'') ≤ ''x''}}, इसलिए अनुमान के लिए, इस अंतिम संबंध को इस रूप में दोबारा बनाया जा सकता है:
-:<math>\pi(x) = \Pi(x) + O\left(\sqrt{x}\,\right).</math>
+<math>\pi(x) = \Pi(x) + O\left(\sqrt{x}\,\right).</math>
 == रीमैन परिकल्पना ==
-रीमैन परिकल्पना कहती है कि ज़ेटा फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्य का [[वास्तविक भाग]] होता है {{sfrac|1|2}}. इस मामले में, {{math|{{abs|''x''<sup>&hairsp;''ρ''</sup>}} {{=}} {{sqrt|''x''}}}}, और यह दिखाया जा सकता है
+रीमैन परिकल्पना में कहा गया है कि ज़ेटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्य का [[वास्तविक भाग]] {{sfrac|1|2}} होता है, इस स्तिथि में, {{math|{{abs|''x''<sup>&hairsp;''ρ''</sup>}} {{=}} {{sqrt|''x''}}}}, और यह दिखाया जा सकता है:
 :<math>\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} = O\!\left(\sqrt{x}\, \log^2 x\right).</math>
 उपरोक्त से इसका तात्पर्य है
 :<math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\!\left(\sqrt{x}\, \log x\right).</math>
-अच्छा सबूत है कि परिकल्पना सच हो सकती है [[ एलेन कोन्स ]] और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तावित तथ्य से आता है, कि अगर हम वॉन मैंगोल्ड फॉर्मूला को अलग करते हैं {{mvar|x}} हम पाते हैं {{math|''x'' {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''u''</sup>}}. हेरफेर करते हुए, हमारे पास हैमिल्टनियन ऑपरेटर के संतोषजनक के घातांक के लिए ट्रेस सूत्र है
+परिकल्पना सत्य हो सकती है इसका उत्तम प्रमाण [[ एलेन कोन्स |एलेन कोन्स]] और अन्य द्वारा प्रस्तावित तथ्य से मिलता है, कि यदि हम {{mvar|x}} के संबंध में वॉन मैंगोल्ड्ट सूत्र को भिन्न करते हैं तो हमें {{math|''x'' {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''u''</sup>}} प्राप्त होता है। परिवर्तन करते हुए, हमारे पास हैमिल्टनियन संचालन के घातांक को संतुष्ट करने के लिए "ट्रेस फॉर्मूला" है;
 :<math>\left. \zeta\big(\tfrac{1}{2}+i \hat H \big)\right|n \ge \zeta\!\left(\tfrac{1}{2}+iE_n\right) = 0,</math>
 और
 :<math>\sum_n e^{iu E_n} = Z(u) = e^{\frac{u}{2}} - e^{-{\frac{u}{2}}} \frac{d\psi_0}{du}-\frac{e^\frac{u}{2}}{e^{3u}-e^u} = \operatorname{Tr}\!\big(e^{iu\hat H }\big),</math>
-जहां त्रिकोणमितीय राशि को ऑपरेटर ([[सांख्यिकीय यांत्रिकी]]) का निशान माना जा सकता है {{math|''e''<sup>&hairsp;''iuĤ''</sup>}}, जो केवल सच है अगर {{math|''ρ'' {{=}} {{sfrac|1|2}} + ''iE''(''n'')}}.
+जहां त्रिकोणमितीय योग को ऑपरेटर ([[सांख्यिकीय यांत्रिकी]]) {{math|''e''<sup>&hairsp;''iuĤ''</sup>}} का प्रतीक माना जा सकता है , जो केवल तभी सत्य है यदि {{math|''ρ'' {{=}} {{sfrac|1|2}} + ''iE''(''n'')}}.
-अर्धशास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग करने की क्षमता {{math|''H'' {{=}} ''T''&nbsp;+&thinsp;''V''}} संतुष्ट करता है:
+अर्धशास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए {{math|''H'' {{=}} ''T''&nbsp;+&thinsp;''V''}} की क्षमता संतुष्ट करती है:
 :<math>\frac{Z(u)u^\frac12}{\sqrt \pi }\sim \int_{-\infty}^\infty e^{i \left(uV(x)+ \frac{\pi}{4} \right)}\,dx</math>
 साथ {{math|''Z''&hairsp;(''u'') → 0}} जैसा{{math|''u'' → ∞}}.
-इस गैर-रैखिक [[अभिन्न समीकरण]] का समाधान (दूसरों के बीच) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है
+इस अरेखीय [[अभिन्न समीकरण]] का समाधान (दूसरों के मध्य) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
 :<math>V^{-1} (x) \approx \sqrt {4\pi}\cdot \frac{d^\frac12}{dx^\frac12} N(x)</math>
 क्षमता का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए:
 :<math>\pi N(E) = \operatorname{Arg} \xi \left(\tfrac12+iE\right).</math>
+== स्मूथिंग फलन ==
-== चौरसाई समारोह ==
+[[Image:Chebyshev-smooth.svg|thumb|right|चिकने चेबीशेव फलन का अंतर और {{math|{{sfrac|''x''<sup>&hairsp;2</sup>|2}}}}
-[[Image:Chebyshev-smooth.svg|thumb|right|चिकने चेबीशेव फ़ंक्शन का अंतर और {{math|{{sfrac|''x''<sup>&hairsp;2</sup>|2}}}}
+के लिए {{math|''x'' < 10<sup>6</sup>}}]]स्मूथिंग फलन के रूप में परिभाषित किया गया है:
-के लिए {{math|''x'' < 10<sup>6</sup>}}]]चौरसाई समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है
 :<math>\psi_1(x) = \int_0^x \psi(t)\,dt.</math>
-ज़ाहिर तौर से <math>\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.</math>
+स्पष्ट रूप से <math>\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.</math>
 == परिवर्तनशील सूत्रीकरण ==
+{{math|''x'' {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''t''</sup>}} पर मूल्यांकन किया गया चेबीशेव फलन [[कार्यात्मक (गणित)|कार्यात्मक]] को न्यूनतम करता है:
-चेबिशेव फ़ंक्शन का मूल्यांकन किया गया {{math|''x'' {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''t''</sup>}} [[कार्यात्मक (गणित)]] को कम करता है
 :<math>J[f] = \int_{0}^{\infty}\frac{f(s)\zeta' (s+c)}{\zeta(s+c)(s+c)}\,ds-\int_{0}^{\infty}\!\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,</math>
@@ Line 192: / Line 185: @@
 :<math>f(t) = \psi(e^t)e^{-ct} \quad\text{for } c > 0.</math>
+== टिप्पणियाँ ==
-==टिप्पणियाँ==
 <references/>
 * {{note|Dusart2010}} [[Pierre Dusart]], "Estimates of some functions over primes without R.H.". {{arxiv|1002.0442}}
@@ Line 211: / Line 203: @@
 * {{planetmathref| urlname=ChebyshevFunctions| title=Chebyshev functions}}
 * [http://www.math.ucsb.edu/~stopple/explicit.html Riemann's Explicit Formula], with images and movies
-[[Category: अंकगणितीय कार्य]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 errors]]
+[[Category:CS1 maint]]
 [[Category:Created On 20/06/2023]]
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चेबीशेव फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 18:27, 12 July 2023

सम्बन्ध

ψ⁡(x)/x{\displaystyle \psi (x)/x} और ϑ⁡(x)/x{\displaystyle \vartheta (x)/x} के मध्य संबंध [3]

स्पर्शोन्मुखता और सीमा

त्रुटिहीन सूत्र

गुण

सर्वप्रथम से संबंध

अभाज्य-गणना फलन से संबंध

रीमैन परिकल्पना

स्मूथिंग फलन

परिवर्तनशील सूत्रीकरण

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संदर्भ

बाहरी संबंध

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$\psi (x)/x$ और $\vartheta (x)/x$ के मध्य संबंध ^[3]