चेबीशेव फलन

चेबीशेव फलन ψ (x), साथ x < 50

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कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 10⁴

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कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 10⁷

गणित में, चेबीशेव फलन या तो स्केलराइजिंग फलन (चेबीशेफ फलन) या दो संबंधित फलनों में से है। प्रथम चेबिशेव फलन ϑ  (x) या θ (x) द्वारा दिया गया है:

$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p$

जहाँ $\log$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है, जिसका योग सभी अभाज्य संख्याओं p पर विस्तारित होता है जो x से कम या उसके समान हैं।

दूसरा चेबीशेव फलन ψ (x) को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अभाज्य शक्तियों का योग x से अधिक नहीं है

$\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,$

जहाँ Λ मैंगोल्ड्ट फलन है। चेबीशेव फलन, विशेष रूप से दूसरा ψ (x), प्रायः अभाज्य संख्याओं से संबंधित गणितीय प्रमाणों में उपयोग किया जाता है, क्योंकि सामान्यतः अभाज्य-गणना फलन, π (x) की तुलना में उनके साथ कार्य करना सरल होता है, (नीचे त्रुटिहीन सूत्र देखें।) दोनों चेबिशेव फलन x के लिए स्पर्शोन्मुख हैं, जो अभाज्य संख्या प्रमेय के समतुल्य कथन है।

त्चेबीशेफ़ फलन, चेबीशेव यूटिलिटी फलन, या भारित त्चेबीशेफ़ स्केलराइज़िंग फलन का उपयोग तब किया जाता है, जब किसी के पास कम करने के लिए कई फलन होते हैं और कोई उन्हें एक ही फलन में स्केलराइज़ करना चाहता है:

$f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).$

विभिन्न मानों के लिए इस फलन को न्यूनतम करके $w$, गैर-उत्तल भागों में भी, पारेटो मोर्चे पर सभी बिंदु प्राप्त करता है।प्रायः $f_{i}$ फलन को न्यूनतम नहीं किया जाना चाहिए, किन्तु $|f_{i}-z_{i}^{*}|$ कुछ अदिशों के लिए $z_{i}^{*}$ तब $f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.$

तीनों फलनो का नाम पफन्युटी चेबीशेव के सम्मान में रखा गया है।

सम्बन्ध

दूसरे चेबीशेव फलन को पहले से संबंधित लिखते हुए इसे इस रूप में देखा जा सकता है:

$\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p$

जहाँ k अद्वितीय पूर्णांक है जैसे कि p^k ≤ x और x < p^k + 1, k के मान OEIS: A206722 द्वारा अधिक प्रत्यक्ष संबंध दिया गया है:

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.$

ध्यान दें कि इस अंतिम योग में केवल अलुप्त होने वाली पदों की केवल एक सीमित संख्या है:

$\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.$

दूसरा चेबीशेव फलन 1 से n तक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य का लघुगणक है:

$\operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.$

पूर्णांक चर n के लिए lcm(1, 2, ..., n) का मान OEIS: A003418 पर दिया गया है:

$\psi (x)/x$ और $\vartheta (x)/x$ के मध्य संबंध

निम्नलिखित प्रमेय दो भागफलों से संबंधित है, ${\frac {\psi (x)}{x}}$ और ${\frac {\vartheta (x)}{x}}$

प्रमेय: $x>0$, के लिए

$0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.$

नोट: यह असमानता (गणित) का तात्पर्य है:

$\lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.$

दूसरे शब्दों में, यदि इनमे से $\psi (x)/x$ या $\vartheta (x)/x$ फलन की सीमा की ओर प्रवृत्त होता है तो दूसरी की भी, और दोनों सीमाएँ समान होती हैं।

प्रमाण: चूंकि $\psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})$ से प्राप्त होता है:

$0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).$

किन्तु की परिभाषा से $\vartheta (x)$ हमारे पास तुच्छ असमानता है:

$\vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x$

इसलिए

${\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}$

$x$ प्रमेय में असमानता प्राप्त करने के लिए अंत में विभाजित करें ।

स्पर्शोन्मुखता और सीमा

निम्नलिखित सीमाएं चेबीशेव फलन के लिए जानी जाती हैं:(इन सूत्रों में p_k kवें अभाज्य संख्या है; p₁ = 2, p₂ = 3, आदि।)

${\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}$

इसके अतिरिक्त, रीमैन परिकल्पना के अंतर्गत,

${\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}$

किसी भी ε > 0 के लिए,

ऊपरी सीमाएं ϑ  (x) और ψ (x) दोनों के लिए उपस्तिथ हैं, जैसे कि

${\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}$

किसी भी x > 0 के लिए,

स्थिरांक 1.03883 का स्पष्टीकरण OEIS: A206431 पर दिया गया है।

त्रुटिहीन सूत्र

1895 में, हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट ने रीमैन जीटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य के योग के रूप में ψ (x) के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्रमाणित है:

$\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).$

(संख्यात्मक मान ζ′ (0)/ζ (0) log(2π) है।) यहाँ ρ जीटा फलन के गैर तुच्छ शून्यों पर चलता है, और ψ₀ और ψ के समान है, अतिरिक्त इसके कि इसकी जम्प असंततता (मुख्य शक्तियां) पर यह मान को बाईं ओर के मानों के मध्य आधा ले जाता है और सही:

$\psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

प्राकृतिक लघुगणक के लिए टेलर श्रृंखला से, स्पष्ट सूत्र में अंतिम पद को योग x^ω/ω के रूप में अध्ययन किया जा सकता है जीटा फलन के तुच्छ शून्यों पर, ω = −2, −4, −6, ..., है।

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).$

इसी प्रकार, प्रथम पद, x = x¹/1, 1 पर जीटा फलन के सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) से युग्मित है। यह शब्द के अतिरिक्त ध्रुव है जो पद के विपरीत संकेत को दर्शाता है।

गुण

एरहार्ड श्मिट के कारण प्रमेय में कहा गया है कि, कुछ स्पष्ट सकारात्मक स्थिरांक K, के लिए, अनंत रूप से कई प्राकृतिक संख्याएँ x हैं जैसे कि,

$\psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}$

और अपरिमित रूप से अनेक प्राकृतिक संख्याएँ x ऐसा है कि

$\psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.$

बिग-ओ नोटेशन में छोटा-o अंकन, को उपरोक्त के रूप में लिख सकता है:

$\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).$

हार्डी और लिटिलवुडस्थिर परिणाम प्रमाणित करते हैं कि,

$\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).$

सर्वप्रथम से संबंध

सर्वप्रथम चेबिशेव फलन x, के प्राइमोरियल का लघुगणक है, जिसे x # से निरूपित किया गया है:

$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).$

इससे सिद्ध होता है कि सर्वप्रथम x # स्पर्शोन्मुख रूप से e^{(1  + o(1))x} के समान है, जहाँ o छोटा-o अंकन है (बड़ा O अंकन देखें) और अभाज्य संख्या प्रमेय p_n # के साथ मिलकर स्पर्शोन्मुख व्यवहार स्थापित करता है।

अभाज्य-गणना फलन से संबंध

चेबिशेव फलन को अभाज्य-गणना फलन से निम्नानुसार संबंधित किया जा सकता है। परिभाषित करना;

$\Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.$

तब

$\Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.$

Π अभाज्य-गणना फलन से π में संक्रमण समीकरण के माध्यम से किया जाता है:

$\Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots$

निश्चित रूप से π (x) ≤ x, इसलिए अनुमान के लिए, इस अंतिम संबंध को इस रूप में दोबारा बनाया जा सकता है:

$\pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).$

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना में कहा गया है कि ज़ेटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्य का वास्तविक भाग 1/2 होता है, इस स्तिथि में, |x^ρ| = √x, और यह दिखाया जा सकता है:

$\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).$

उपरोक्त से इसका तात्पर्य है

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).$

परिकल्पना सत्य हो सकती है इसका उत्तम प्रमाण एलेन कोन्स और अन्य द्वारा प्रस्तावित तथ्य से मिलता है, कि यदि हम x के संबंध में वॉन मैंगोल्ड्ट सूत्र को भिन्न करते हैं तो हमें x = e^u प्राप्त होता है। परिवर्तन करते हुए, हमारे पास हैमिल्टनियन संचालन के घातांक को संतुष्ट करने के लिए "ट्रेस फॉर्मूला" है;

$\left.\zeta {\big (}{\tfrac {1}{2}}+i{\hat {H}}{\big )}\right|n\geq \zeta \!\left({\tfrac {1}{2}}+iE_{n}\right)=0,$

और

$\sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{\frac {u}{2}}-e^{-{\frac {u}{2}}}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{\frac {u}{2}}}{e^{3u}-e^{u}}}=\operatorname {Tr} \!{\big (}e^{iu{\hat {H}}}{\big )},$

जहां त्रिकोणमितीय योग को ऑपरेटर (सांख्यिकीय यांत्रिकी) e^iuĤ का प्रतीक माना जा सकता है , जो केवल तभी सत्य है यदि ρ = 1/2 + iE(n).

अर्धशास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए H = T + V की क्षमता संतुष्ट करती है:

${\frac {Z(u)u^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\sim \int _{-\infty }^{\infty }e^{i\left(uV(x)+{\frac {\pi }{4}}\right)}\,dx$

साथ Z (u) → 0 जैसाu → ∞.

इस अरेखीय अभिन्न समीकरण का समाधान (दूसरों के मध्य) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

$V^{-1}(x)\approx {\sqrt {4\pi }}\cdot {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}N(x)$

क्षमता का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए:

$\pi N(E)=\operatorname {Arg} \xi \left({\tfrac {1}{2}}+iE\right).$

स्मूथिंग फलन

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चिकने चेबीशेव फलन का अंतर और x²/2 के लिए x < 10⁶

स्मूथिंग फलन के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.$

स्पष्ट रूप से $\psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.$

परिवर्तनशील सूत्रीकरण

x = e^t पर मूल्यांकन किया गया चेबीशेव फलन कार्यात्मक को न्यूनतम करता है:

$J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,$

इसलिए

$f(t)=\psi (e^{t})e^{-ct}\quad {\text{for }}c>0.$

टिप्पणियाँ

• ^ Pierre Dusart, "Estimates of some functions over primes without R.H.". arXiv:1002.0442
• ^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, p_k", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The kth prime is greater than k(log k + log log k − 1) for k ≥ 2", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
• ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
• ^ G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
• ^ Davenport, Harold (2000). In Multiplicative Number Theory. Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.

संदर्भ

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Chebyshev functions". MathWorld.
• "Mangoldt summatory function". PlanetMath.
• "Chebyshev functions". PlanetMath.
• Riemann's Explicit Formula, with images and movies