क्लिफोर्ड विश्लेषण: Difference between revisions

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क्लिफोर्ड विश्लेषण, विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड के नाम पर क्लिफोर्ड बीजगणित का उपयोग करते हुए, विश्लेषण और ज्यामिति में डिरैक संक्रियकों और डिरैक प्रकार के संक्रियकों का उनके अनुप्रयोगों के साथ अध्ययन है। डिरैक प्रकार के संक्रियकों के उदाहरणों में हॉज-डिरैक संक्रियक, रीमैनियन कई गुना पर $d+{\star }d{\star }$ , यूक्लिडियन समष्टि में डिरैक संक्रियक और $C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})$ पर इसका व्युत्क्रम और गोले पर उनके अनुरूप समकक्ष, यूक्लिडियन एन-समष्टि में लाप्लासियन और कई गुना चक्रण पर माइकल अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक, रारिटा-श्विंगर/स्टीन-वीस प्रकार के संक्रियक, जटिल चक्रण पर अनुरूप लाप्लाशियन, स्पिनोरियल लाप्लाशियन और डिरैक चक्रण^c कई गुना, डिरैक संक्रियकों की प्रणालियाँ, पैनिट्ज़ संक्रियक, अतिपरवलीय समष्टि पर डिरैक संक्रियक, अतिपरवलीय लाप्लासियन और वीनस्टीन समीकरण सम्मिलित हैं, परन्तु ये इन्हीं तक सीमित नहीं हैं।

यूक्लिडियन समष्टि

इस प्रकार से यूक्लिडियन समष्टि में डिरैक संक्रियक का रूप

D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}

होता है, जहां e₁, ..., e_n Rⁿ के लिए लम्बवत् आधार है, Rⁿ को एक जटिल क्लिफोर्ड बीजगणित,Cl_n(C) में अंतःस्थापित माना जाता है ताकि e_j² = −1।

इस प्रकार से यह

D^{2}=-\Delta _{n}

देता है जहां Δ_n एन-यूक्लिडियन समष्टि में लाप्लासियन है।

यूक्लिडियन डिरैक संक्रियक का मौलिक हल

G(x-y):={\frac {1}{\omega _{n}}}{\frac {x-y}{\|x-y\|^{n}}}

है, जहां ω_n इकाई गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल Sⁿ⁻¹ का सतह क्षेत्र है।

इस प्रकार से ध्यान दें कि

D{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}\|x-y\|^{n-2}}}=G(x-y)

जहां

{\frac {1}{(n-2)\;\omega _{n}\;\|x-y\|^{n-2}}}

,

n ≥ 3 के लिए लाप्लास के समीकरण का मूलभूत हल है।

इस प्रकार से डिरैक संक्रियक का सबसे मूलभूत उदाहरण जटिल तल में कॉची-रीमैन संक्रियक

{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}

है। वस्तुतः, चर जटिल विश्लेषण के कई मूलभूत गुण कई प्रथम क्रम डिरैक प्रकार संक्रियकों के लिए अनुसरण करते हैं। यूक्लिडियन समष्टि में इसमें कॉची की प्रमेय (ज्यामिति), कॉची अभिन्न सूत्र, मोरेरा की प्रमेय, टेलर श्रृंखला, लॉरेंट श्रृंखला और लिउविले की प्रमेय (जटिल विश्लेषण) सम्मिलित हैं। अतः इस स्थिति में कॉची कर्नेल G(x−y) है। कॉची समाकलन सूत्र का प्रमाण जटिल चर के समान है और इस तथ्य का उपयोग करता है कि यूक्लिडियन समष्टि में प्रत्येक गैर-शून्य सदिश x में क्लिफोर्ड बीजगणित में गुणक व्युत्क्रम होता है, अर्थात्

-{\frac {x}{\|x\|^{2}}}\in \mathbf {R} ^{n}.

इस प्रकार से चिह्न तक यह व्युत्क्रम x का केल्विन व्युत्क्रम है। यूक्लिडियन डिरैक समीकरण Df = 0 के हल को (बाएं) एकजीनी फलन कहा जाता है। एकजीनी फलन चक्रण कई गुना पर संनादी स्पाइनर की विशेष स्थिति हैं।

3 और 4 विमाओं में क्लिफोर्ड विश्लेषण को कभी-कभी चतुर्धातुक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है। जब n = 4, डिरैक संक्रियक को कभी-कभी कॉची-रीमैन-फ्यूटर संक्रियक के रूप में जाना जाता है। इसके अतिरिक्त क्लिफोर्ड विश्लेषण के कुछ गुणों को अतिमिश्र विश्लेषण कहा जाता है।

इस प्रकार से क्लिफोर्ड विश्लेषण में कॉची परिवर्तन, बर्गमैन कर्नेल, स्ज़ेगो कर्नेल, प्लेमेलज संक्रियक, हार्डी रिक्त समष्टि, केर्जमैन-स्टीन सूत्र और Π, या बेर्लिंग-अहलफोर्स परिवर्तन, परिवर्तन के एनालॉग हैं। इन सभी में सीमा मान समस्याओं को हल करने में अनुप्रयोग पाए गए हैं, जिनमें चलती सीमा मान समस्याएं, एकल समाकलन और उत्कृष्ट संनादी विश्लेषण सम्मिलित हैं। अतः विशेष रूप से क्लिफोर्ड विश्लेषण का उपयोग कुछ सोबोलेव समष्टि में, 3डी में पूर्ण जल तरंग समस्या को हल करने के लिए किया गया है। यह विधि 2 से बड़े सभी विमाओं में कार्य करती है।

यदि हम जटिल क्लिफोर्ड बीजगणित को वास्तविक क्लिफोर्ड बीजगणित, Cl_n से प्रतिस्थापित करते हैं तो अधिकांश क्लिफोर्ड विश्लेषण करता है। यद्यपि यह स्थिति नहीं है जब हमें डिरैक संक्रियक और फूरियर परिवर्तन के बीच परस्पर क्रिया से निपटने की आवश्यकता होती है।

फूरियर परिवर्तन

इस प्रकार से जब हम सीमा 'Rⁿ⁻¹ के साथ ऊपरी अर्ध स्थान Rⁿ⁺ पर विचार करते हैं, तो फूरियर रूपांतरण के अंतर्गत e₁, ..., e_n₋₁, का विस्तार, डिरैक संक्रियक

D_{n-1}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}

का प्रतीक iζ है जहां

\zeta =\zeta _{1}e_{1}+\cdots +\zeta _{n-1}e_{n-1}

है।

अतः इस समायोजन में सोखोटस्की-प्लेमेलज प्रमेय

\pm {\tfrac {1}{2}}+G(x-y)|_{\mathbf {R} ^{n-1}}

और इन संक्रियकों के प्रतीक, एक चिह्न तक,

{\frac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right)

हैं।

इस प्रकार से ये Rⁿ⁻¹ पर Cl_n(C) मानित वर्ग पूर्णांक फलन के स्थान पर प्रक्षेपण संक्रियक हैं, जिन्हें अन्यथा पारस्परिक रूप से विनाशकारी निष्क्रियता के रूप में जाना जाता है।

अतः ध्यान दें कि

G|_{\mathbf {R} ^{n}}=\sum _{j=1}^{n-1}e_{j}R_{j}

जहां R_j J-वें रिज़्ज़ क्षमता है,

{\frac {x_{j}}{\|x\|^{n}}}.

चूंकि $G|_{\mathbf {R} ^{n}}$ का प्रतीक

{\frac {i\zeta }{\|\zeta \|}}

है, इसलिए क्लिफोर्ड गुणन से यह सरलता से निर्धारित होता है कि

\sum _{j=1}^{n-1}R_{j}^{2}=1.

तो संवलन संक्रियक $G|_{\mathbf {R} ^{n}}$ हिल्बर्ट परिवर्तन के यूक्लिडियन समष्टि का प्राकृतिक सामान्यीकरण है।

इस प्रकार से मान लीजिए U' Rⁿ⁻¹ में एक प्रांत है और g(x) एक Cl_n(C) मान वाला वास्तविक विश्लेषणात्मक फलन है। फिर g के निकट Rⁿ में U′ के कुछ निकटवर्ती पर डिरैक समीकरण का कॉची-कोवालेवस्की विस्तार है। अतः विस्तार स्पष्ट रूप से

\sum _{j=0}^{\infty }\left(x_{n}e_{n}^{-1}D_{n-1}\right)^{j}g(x)

द्वारा दिया गया है।

जब यह विस्तारक

e^{-i\langle x,\zeta \rangle }\left({\tfrac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right)\right)

में परिवर्ती x पर लागू होता है तो हमें पता चलता है कि

e^{-i\langle x,\zeta \rangle }

E₊ + E₋ के Rⁿ⁻¹ का प्रतिबंध है, जहां E₊ ऊपरी अर्ध समष्टि में एक एकजीनी फलन है और E₋ निम्न अर्ध समष्टि में एकजीनी फलन है।

इस प्रकार से क्लिफोर्ड विश्लेषण में एन-यूक्लिडियन समष्टि में पैली-वीनर प्रमेय भी सामने आया है।

अनुरूप संरचना

अतः कई डिरैक प्रकार के संक्रियकों के निकट मापीय में अनुरूप परिवर्तन के अंतर्गत सहप्रसरण होता है। यह यूक्लिडियन समष्टि में डिरैक संक्रियक और मोबियस परिवर्तनों के अंतर्गत क्षेत्र पर डिरैक संक्रियक के लिए सत्य है। फलस्वरूप, यह डिरैक संक्रियकों के लिए अनुरूप रूप से अनुरूप कई गुना और अनुरूप कई गुना पर सत्य है जो साथ चक्रण कई गुना हैं।

केली परिवर्तन (त्रिविम प्रक्षेपण)

इस प्रकार से Rⁿ से इकाई क्षेत्र Sⁿ केली परिवर्तन या त्रिविम प्रक्षेपण यूक्लिडियन डिरैक संक्रियक को गोलाकार डिरैक संक्रियक D_S में बदल देता है। स्पष्ट रूप से

D_{S}=x\left(\Gamma _{n}+{\frac {n}{2}}\right)

जहां Γ_n गोलाकार बेल्ट्रामी-डिरैक संक्रियक

\sum \nolimits _{1\leq i<j\leq n+1}e_{i}e_{j}\left(x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)

और Sⁿ में x है।

अतः एन-समष्टि पर केली परिवर्तन

y=C(x)=(e_{n+1}x+1)(x+e_{n+1})^{-1},\qquad x\in \mathbf {R} ^{n}

है।

इसका व्युत्क्रम

x=(-e_{n+1}+1)(y-e_{n+1})^{-1}

है।

इस प्रकार से एन-यूक्लिडियन समष्टि में प्रांत U पर परिभाषित फलन f(x) और डिरैक समीकरण के हल के लिए,

J(C^{-1},y)f(C^{-1}(y))

को C(U) पर D_S द्वारा नष्ट कर दिया गया है जहां

J(C^{-1},y)={\frac {y-e_{n+1}}{\|y-e_{n+1}\|^{n}}}

अतः इसके अतिरिक्त

D_{S}(D_{S}-x)=\triangle _{S},

Sⁿ पर कंफर्मल लाप्लासियन या यामाबे संक्रियक।

स्पष्ट रूप से

\triangle _{S}=-\triangle _{LB}+{\tfrac {1}{4}}n(n-2)

जहां $\triangle _{LB}$ Sⁿ पर लाप्लास-बेल्ट्रामी संक्रियक है। संक्रियक $\triangle _{S}$ केली परिवर्तन के माध्यम से, यूक्लिडियन लाप्लासियन के अनुरूप है। इस प्रकार से इसके अतिरिक्त

D_{s}(D_{S}-x)(D_{S}-x)(D_{S}-2x)

n-क्षेत्र पैनिट्ज़ संक्रियक,

-\triangle _{S}(\triangle _{S}+2)

है। अतः केली परिवर्तन के माध्यम से यह संक्रियक द्वि-लाप्लासियन, $\triangle _{n}^{2}$ के अनुरूप है। ये सभी डिरैक प्रकार के संक्रियकों के उदाहरण हैं।

मोबियस परिवर्तन

इस प्रकार से एन-यूक्लिडियन समष्टि पर मोबियस परिवर्तन को

{\frac {ax+b}{cx+d}}

के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां a, b, c और d ∈ Cl_n और कुछ बाधाओं को संतुष्ट करते हैं। संबद्ध 2 × 2 आव्यूह को अहलफोर्स-वाहलेन आव्यूह कहा जाता है। यदि

y=M(x)+{\frac {ax+b}{cx+d}}

और Df(y) = 0 है तो

J(M,x)f(M(x))

डिरैक समीकरण का हल है जहां

J(M,x)={\frac {\widetilde {cx+d}}{\|cx+d\|^{n}}}

और ~ क्लिफोर्ड बीजगणित पर कार्य करने वाला मूलभूत प्रतिस्वसमाकृतिकता है। संक्रियक D^k, या Δ_n^k/2 जब k सम है, तो केली परिवर्तन सहित मोबियस परिवर्तन के अंतर्गत समान सहप्रसरण प्रदर्शित करते है।

इस प्रकार से जब ax+b और cx+d गैर-शून्य होते हैं तो वे दोनों क्लिफोर्ड समूह के सदस्य होते हैं।

{\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {-ax-b}{-cx-d}}

के रूप में तो हमारे निकट J(M, x) को परिभाषित करने में संकेत करने का विकल्प है। इसका अर्थ यह है कि अनुरूप रूप से समतल कई गुना M के लिए हमें स्पाइनर बंडल को परिभाषित करने के लिए M पर चक्रण संरचना की आवश्यकता होती है, जिसके अनुभागों पर हम डिरैक संक्रियक को कार्य करने की अनुमति दे सकते हैं। स्पष्ट सरल उदाहरणों में एन-सिलेंडर, एन-यूक्लिडियन समष्टि से मूल को छोड़कर प्राप्त हॉपफ कई गुना, और ऊपरी अर्ध समष्टि पर पूर्ण रूप से सतत कार्य करने वाले सामान्यीकृत मॉड्यूलर समूहों के फलनों द्वारा इसे फैक्टरिंग करके ऊपरी अर्ध समष्टि से प्राप्त के-हैंडल टोरस के सामान्यीकरण सम्मिलित हैं। इन संदर्भों में डिरैक संक्रियक को प्रस्तुत किया जा सकता है। ये डिरैक संक्रियक अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियकों के विशेष उदाहरण हैं।

अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक

अतः एक चक्रण कई गुना M को स्पाइनर बंडल S और S में सहज खंड s(x) के साथ दिया गया है, फिर स्थानीय प्रसामान्य आधार e₁(x), ..., e_n(x) M के स्पर्शरेखा बंडल के संदर्भ में, S पर कार्य करने वाले अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक को

Ds(x)=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}s(x)

के रूप में परिभाषित किया गया है जहां

{\widetilde {\Gamma }}

चक्रण संपर्क है, M पर लेवी-सिविटा संपर्क के S को उठाना। इस प्रकार से जब M एन-यूक्लिडियन समष्टि है तो हम यूक्लिडियन डिरैक संक्रियक पर लौटते हैं।

अतः अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक D से हमारे निकट लिचनेरोविक्ज़ सूत्र

D^{2}=\Gamma ^{*}\Gamma +{\tfrac {\tau }{4}}

है, जहां τ कई गुना पर अदिश वक्रता है, और Γ^∗ Γ का अभिसम्युक्त है। इस प्रकार से संक्रियक D² स्पिनोरियल लाप्लासियन के रूप में जाना जाता है।

यदि M सघन है और $τ \geq 0$ और $τ > 0$ कहीं है तो कई गुना पर कोई गैर-तुच्छ संनादी स्पाइनर नहीं हैं। यह लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय है। यह सरलता से देखा जा सकता है कि लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय चर जटिल विश्लेषण से लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) का सामान्यीकरण है। अतः यह हमें यह ध्यान देने की अनुमति देता है कि सहज स्पाइनर अनुभागों के समष्टि पर संक्रियक D इस प्रकार के कई गुना व्युत्क्रम है।

इस प्रकार से ऐसी स्थितियों में जहां अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक संहत समर्थन के साथ सहज स्पाइनर अनुभागों के समष्टि पर व्युत्क्रम है, कोई

C(x,y):=D^{-1}*\delta _{y},\qquad x\neq y\in M

प्रस्तुत कर सकता है, जहां δ_y डिरैक डेल्टा फलन है जिसका मूल्यांकन y पर किया जाता है। अतः यह कॉची कर्नेल को जन्म देता है, जो इस डिरैक संक्रियक का मौलिक हल है। इससे संनादी स्पाइनरों के लिए कॉची समाकलन सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस कर्नेल के साथ इस प्रविष्टि के पूर्व खंड में वर्णित अधिकांश वस्तुएं व्युत्क्रम अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियकों के लिए होती हैं।

इस प्रकार से स्टोक्स के प्रमेय का उपयोग करके, या अन्यथा, कोई यह निर्धारित कर सकता है कि मापीय के अनुरूप परिवर्तन के अंतर्गत प्रत्येक मापीय से संयोजित डिरैक संक्रियक दूसरे के लिए आनुपातिक हैं, और परिणामस्वरूप उनके व्युत्क्रम भी हैं, यदि वे स्थित हैं।

अतः यह सब अतियाह-गायक निर्देशिका सिद्धांत और डिरैक प्रकार के संक्रियकों से संयोजित ज्यामितीय विश्लेषण के अन्य गुणों के लिए संभावित श्रंखला प्रदान करता है।

अतिपरवलीय डिरैक प्रकार संक्रियक

इस प्रकार से क्लिफ़ोर्ड विश्लेषण में अतिपरवलीय या पोंकारे मापीय के संबंध में ऊपरी अर्ध समष्टि, डिस्क, या हाइपरबोला पर अंतर संक्रियकों पर भी विचार किया जाता है।

अतः ऊपरी अर्ध समष्टि के लिए क्लिफोर्ड बीजगणित,Cl_n को Cl_n−1 + Cl_n−1e_n में विभाजित किया जाता है। तो Cl_n में a के लिए कोई a को b + ce_n के साथ Cl_n−1 में a, b के रूप में व्यक्त कर सकता है। इसके बाद प्रक्षेपण संक्रियकों P और Q को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: P(a) = b और Q(a) = c। ऊपरी अर्ध समष्टि में अतिपरवलीय मापीय के संबंध में फलन f पर कार्य करने वाले हॉज-डिरैक संक्रियक को अब

Mf=Df+{\frac {n-2}{x_{n}}}Q(f)

के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार से इस स्थिति में

M^{2}f=-\triangle _{n}P(f)+{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial P(f)}{\partial x_{n}}}-\left(\triangle _{n}Q(f)-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial Q(f)}{\partial x_{n}}}+{\frac {n-2}{x_{n}^{2}}}Q(f)\right)e_{n}

.

पोंकारे मापीय के संबंध में संक्रियक

\triangle _{n}-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

लाप्लासियन है जबकि दूसरा संक्रियक वेनस्टीन संक्रियक का उदाहरण है।

इस प्रकार से अतिपरवलीय लाप्लासियन अनुरूप समूह की क्रियाओं के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, जबकि अतिपरवलीय डिरैक संक्रियक ऐसी क्रियाओं के अंतर्गत सहसंयोजक है।

रारिता-श्विंगर/स्टीन-वीस संक्रियक

अतः रारिटा-श्विंगर समीकरण संक्रियक, जिन्हें स्टीन-वीस संक्रियक के रूप में भी जाना जाता है, चक्रण और पिन समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं। संक्रियक R_k एक अनुरूप सहसंयोजक प्रथम क्रम विभेदक संक्रियक है। इस प्रकार से यहां k = 0, 1, 2, .... जब k = 0, रारिटा-श्विंगर संक्रियक मात्र डिरैक संक्रियक है। लाम्बिक समूह, O(n) के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत में सजातीय संनादी बहुपद के समष्टि में मान लेने वाले फलनों पर विचार करना सामान्य बात है। जब कोई इस प्रतिनिधित्व सिद्धांत को O(n) के दोहरे आवरण Pin(n) में परिष्कृत करता है, तो वह सजातीय संनादी बहुपद के समष्टि को डिरैक समीकरण के सजातीय बहुपद हलों के समष्टि से बदल देता है, अन्यथा के एकजीनी बहुपद के रूप में जाना जाता है। अतः कोई एक फलन f(x, u) पर विचार करता है जहां U में x, Rⁿ में प्रांत, और u Rⁿ पर भिन्न होता है। इसके अतिरिक्त f(x, u) u में k-एकजीनी बहुपद है। अब x से f(x, u) में डिरैक संक्रियक D_x लागू करें। अब चूँकि क्लिफ़ोर्ड बीजगणित क्रमविनिमेय D_xf(x, u) नहीं है तो यह फलन अब k एकजीनी नहीं है बल्कि u में सजातीय संनादी बहुपद है। इस प्रकार से अब घात h के प्रत्येक संनादी बहुपद h_kसजातीय के लिए एक अलमांसी-फिशर अपघटन

h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x)

है जहां p_k और p_k−1 क्रमशः k और k−1 मोनिक बहुपद हैं। मान लीजिए P, h_k से p_k का प्रक्षेपण है तो रारिटा-श्विंगर संक्रियक को PD_k के रूप में परिभाषित किया जाता है, और इसे R_k द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार से यूलर लेम्मा का उपयोग करके कोई यह निर्धारित कर सकता है कि

D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.

इसलिए

R_{k}=\left(I+{\frac {1}{n+2k-2}}uD_{u}\right)D_{x}.

सम्मेलन और पत्रिकाएँ

अतः क्लिफ़ोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसनिकट अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला के साथ जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस प्रकार से इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में क्लिफोर्ड बीजगणित और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोगों (आईसीसीए) और पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन सम्मिलित हैं। cz/main.php कंप्यूटर विज्ञान और इंजीनियरिंग में ज्यामितीय बीजगणित के अनुप्रयोग (एजीएसीएसई) श्रृंखला। मुख्य प्रकाशन आउटलेट स्प्रिंगर जर्नल एप्लाइड क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में प्रगति है।

यह भी देखें

क्लिफोर्ड बीजगणित
जटिल चक्रण संरचना
अनुरूप कई गुना
अनुरूप रूप से सपाट कई गुना
डिरैक संक्रियक
पोंकारे मापीय
चक्रण समूह
चक्रण संरचना
स्पाइनर बंडल

संदर्भ

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बाहरी संबंध

Lecture notes on डिरैक operators in analysis and geometry
Calderbank, David M.J. (1997-12-19), Dirac operators and Clifford analysis on manifolds with boundary, Danish Mathematical Society, DMF-1997-12-007 PP-1997-53, archived from the original on 2009-08-13

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Latest revision as of 18:33, 12 July 2023

Contents

यूक्लिडियन समष्टि

फूरियर परिवर्तन

अनुरूप संरचना

केली परिवर्तन (त्रिविम प्रक्षेपण)

मोबियस परिवर्तन

अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक

अतिपरवलीय डिरैक प्रकार संक्रियक

रारिता-श्विंगर/स्टीन-वीस संक्रियक

सम्मेलन और पत्रिकाएँ

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

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-{{No footnotes|date=April 2009}}
+'''क्लिफोर्ड विश्लेषण''', [[विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड|'''विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड''']] के नाम पर [[क्लिफोर्ड बीजगणित|'''क्लिफोर्ड बीजगणित''']] का उपयोग करते हुए, विश्लेषण और ज्यामिति में [[डिराक ऑपरेटर|डिरैक संक्रियकों]] और डिरैक प्रकार के संक्रियकों का उनके अनुप्रयोगों के साथ अध्ययन है। डिरैक प्रकार के संक्रियकों के उदाहरणों में हॉज-डिरैक संक्रियक, [[रीमैनियन मैनिफोल्ड|रीमैनियन कई गुना]] पर <math>d+{\star}d{\star}</math>, यूक्लिडियन समष्टि में डिरैक संक्रियक और <math>C_{0}^{\infty}(\mathbf{R}^{n})</math> पर इसका व्युत्क्रम और गोले पर उनके अनुरूप समकक्ष, यूक्लिडियन एन-समष्टि में [[लाप्लासियन]] और [[ कई गुना घूमना |कई गुना]] चक्रण पर [[माइकल अतियाह]]-गायक-डिरैक संक्रियक, रारिटा-श्विंगर/स्टीन-वीस प्रकार के संक्रियक, जटिल चक्रण पर अनुरूप लाप्लाशियन, स्पिनोरियल लाप्लाशियन और डिरैक '''चक्रण<sup>c</sup>''' कई गुना, डिरैक संक्रियकों की प्रणालियाँ, [[पैनिट्ज़ ऑपरेटर|पैनिट्ज़ संक्रियक]], [[ अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान |अतिपरवलीय समष्टि]] पर डिरैक संक्रियक, अतिपरवलीय लाप्लासियन और वीनस्टीन समीकरण सम्मिलित हैं, परन्तु ये इन्हीं तक सीमित नहीं हैं।
-क्लिफोर्ड विश्लेषण, [[विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड]] के नाम पर [[क्लिफोर्ड बीजगणित]] का उपयोग करते हुए, विश्लेषण और ज्यामिति में [[डिराक ऑपरेटर]]ों और डिराक प्रकार के ऑपरेटरों का उनके अनुप्रयोगों के साथ अध्ययन है। डिराक प्रकार के ऑपरेटरों के उदाहरणों में हॉज-डिराक ऑपरेटर शामिल हैं, लेकिन ये इन्हीं तक सीमित नहीं हैं, <math>d+{\star}d{\star}</math> [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] पर, यूक्लिडियन स्पेस में डिराक ऑपरेटर और इसका व्युत्क्रम <math>C_{0}^{\infty}(\mathbf{R}^{n})</math> और गोले पर उनके अनुरूप समकक्ष, यूक्लिडियन एन-स्पेस में [[लाप्लासियन]] और एक [[ कई गुना घूमना ]] पर [[माइकल अतियाह]]-सिंगर-डिराक ऑपरेटर, रारिटा-श्विंगर/स्टीन-वीस प्रकार के ऑपरेटर, जटिल स्पिन पर अनुरूप लाप्लाशियन, स्पिनोरियल लाप्लाशियन और डिराक ऑपरेटर संरचना|स्पिन<sup>सी</sup> मैनिफ़ोल्ड्स, डायराक ऑपरेटरों की प्रणालियाँ, [[पैनिट्ज़ ऑपरेटर]], [[ अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान ]] पर डायराक ऑपरेटर, हाइपरबोलिक लाप्लासियन और वीनस्टीन समीकरण।
-== यूक्लिडियन स्थान ==
+== यूक्लिडियन समष्टि ==
-यूक्लिडियन स्पेस में डिराक ऑपरेटर का रूप होता है
+इस प्रकार से यूक्लिडियन समष्टि में डिरैक संक्रियक का रूप
-:<math>D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}</math> कहां ई<sub>1</sub>, ..., यह है<sub>''n''</sub> क्या r के लिए n लम्बवत् आधार है?<sup>n</sup>, और 'आर'<sup>n</sup> को एक जटिल क्लिफ़ोर्ड बीजगणित, सीएल में अंतर्निहित माना जाता है<sub>''n''</sub>(सी) ताकि {{nowrap|1=''e''<sub>''j''</sub><sup>2</sup> = −1}}.
+:<math>D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}</math>
+:होता है, जहां ''e<sub>1</sub>, ..., e<sub>n</sub>'' '''R<sup>n</sup>''' के लिए लम्बवत् आधार है, '''R<sup>n</sup>''' को एक जटिल क्लिफोर्ड बीजगणित,Cl<sub>''n''</sub>('''C''') में अंतःस्थापित माना जाता है ताकि {{nowrap|1=''e''<sub>''j''</sub><sup>2</sup> = −1}}।
+:इस प्रकार से यह
-यह देता है
+:<math>D^{2} = -\Delta_{n}</math>
-:<math>D^{2} = -\Delta_{n}</math> कहां Δ<sub>''n''</sub> एन-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में लाप्लासियन है।
+:देता है जहां Δ<sub>''n''</sub> एन-यूक्लिडियन समष्टि में लाप्लासियन है।
-यूक्लिडियन डिराक ऑपरेटर का [[मौलिक समाधान]] है
+यूक्लिडियन डिरैक संक्रियक का [[मौलिक समाधान|मौलिक हल]]
 :<math>G(x-y):=\frac{1}{\omega_{n}}\frac{x-y}{\|x-y\|^n}</math>
-कहां ω<sub>''n''</sub> इकाई गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S है<sup>n−1</sup>.
+है, जहां ω<sub>''n''</sub> इकाई गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S<sup>n−1</sup> का सतह क्षेत्र है।
-ध्यान दें कि
+इस प्रकार से ध्यान दें कि
-:<math>D\frac{1}{(n-2)\omega_{n}\|x-y\|^{n-2}}=G(x-y)</math> कहाँ
+:<math>D\frac{1}{(n-2)\omega_{n}\|x-y\|^{n-2}}=G(x-y)</math>
-:<math>\frac{1}{(n-2)\;\omega_{n}\;\|x-y\|^{n-2}}</math> लाप्लास के समीकरण का मूलभूत समाधान है {{nowrap|''n'' ≥ 3}}.
+:जहां
+:<math>\frac{1}{(n-2)\;\omega_{n}\;\|x-y\|^{n-2}}</math>,
+:
+:{{nowrap|''n'' ≥ 3}} के लिए लाप्लास के समीकरण का मूलभूत हल है।
-डिराक ऑपरेटर का सबसे बुनियादी उदाहरण कॉची-रीमैन ऑपरेटर है
+इस प्रकार से डिरैक संक्रियक का सबसे मूलभूत उदाहरण जटिल तल में कॉची-रीमैन संक्रियक
-:<math>\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}</math> जटिल तल में. वास्तव में, एक चर [[जटिल विश्लेषण]] के कई बुनियादी गुण कई प्रथम क्रम डायराक प्रकार ऑपरेटरों के लिए अनुसरण करते हैं। यूक्लिडियन स्पेस में इसमें कॉची का प्रमेय (ज्यामिति), [[कॉची अभिन्न सूत्र]], मोरेरा का प्रमेय, [[टेलर श्रृंखला]], [[लॉरेंट श्रृंखला]] और लिउविले का प्रमेय (जटिल विश्लेषण) शामिल हैं। इस मामले में [[कॉची कर्नेल]] G(x−y) है। कॉची इंटीग्रल फॉर्मूला का प्रमाण एक जटिल चर के समान है और इस तथ्य का उपयोग करता है कि यूक्लिडियन स्पेस में प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर x में क्लिफोर्ड बीजगणित में गुणक व्युत्क्रम होता है, अर्थात्
+:<math>\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}</math>
-:<math>-\frac{x}{\|x\|^{2}}\in\mathbf{R}^{n}.</math> एक चिह्न तक यह व्युत्क्रम x का केल्विन व्युत्क्रम है। यूक्लिडियन डिराक समीकरण Df = 0 के समाधान को (बाएं) मोनोजेनिक फ़ंक्शन कहा जाता है। मोनोजेनिक फ़ंक्शंस स्पिन मैनिफोल्ड पर [[हार्मोनिक स्पिनर]]्स के विशेष मामले हैं।
+:है। वस्तुतः, चर [[जटिल विश्लेषण]] के कई मूलभूत गुण कई प्रथम क्रम डिरैक प्रकार संक्रियकों के लिए अनुसरण करते हैं। यूक्लिडियन समष्टि में इसमें कॉची की प्रमेय (ज्यामिति), [[कॉची अभिन्न सूत्र]], मोरेरा की प्रमेय, [[टेलर श्रृंखला]], [[लॉरेंट श्रृंखला]] और लिउविले की प्रमेय (जटिल विश्लेषण) सम्मिलित हैं। अतः इस स्थिति में [[कॉची कर्नेल]] G(x−y) है। कॉची समाकलन सूत्र का प्रमाण जटिल चर के समान है और इस तथ्य का उपयोग करता है कि यूक्लिडियन समष्टि में प्रत्येक गैर-शून्य सदिश x में क्लिफोर्ड बीजगणित में गुणक व्युत्क्रम होता है, अर्थात्
+:<math>-\frac{x}{\|x\|^{2}}\in\mathbf{R}^{n}.</math>
+:इस प्रकार से चिह्न तक यह व्युत्क्रम x का केल्विन व्युत्क्रम है। यूक्लिडियन डिरैक समीकरण Df = 0 के हल को (बाएं) एकजीनी फलन कहा जाता है। एकजीनी फलन चक्रण कई गुना पर [[हार्मोनिक स्पिनर|संनादी स्पाइनर]] की विशेष स्थिति हैं।
-और 4 आयामों में क्लिफोर्ड विश्लेषण को कभी-कभी चतुर्धातुक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है। कब {{nowrap|1=''n'' = 4}}, डिराक ऑपरेटर को कभी-कभी कॉची-रीमैन-फ्यूटर ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। इसके अलावा क्लिफोर्ड विश्लेषण के कुछ पहलुओं को हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण कहा जाता है।
+और 4 विमाओं में क्लिफोर्ड विश्लेषण को कभी-कभी चतुर्धातुक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है। जब {{nowrap|1=''n'' = 4}}, डिरैक संक्रियक को कभी-कभी कॉची-रीमैन-फ्यूटर संक्रियक के रूप में जाना जाता है। इसके अतिरिक्त क्लिफोर्ड विश्लेषण के कुछ गुणों को अतिमिश्र विश्लेषण कहा जाता है।
-क्लिफोर्ड विश्लेषण में [[ कॉची परिवर्तन ]], [[बर्गमैन कर्नेल]], स्ज़ेगो कर्नेल, [[प्लेमेलज ऑपरेटर]]्स, [[ हार्डी रिक्त स्थान ]], एक केर्जमैन-स्टीन फॉर्मूला और Π, या बेर्लिंग-अहलफोर्स ट्रांसफॉर्म|बर्लिंग-अहलफोर्स, ट्रांसफॉर्म के एनालॉग हैं। इन सभी में [[सीमा मूल्य समस्या]]ओं को हल करने में अनुप्रयोग पाए गए हैं, जिनमें चलती सीमा मूल्य समस्याएं, एकल इंटीग्रल और [[क्लासिक हार्मोनिक विश्लेषण]] शामिल हैं। विशेष रूप से क्लिफोर्ड विश्लेषण का उपयोग कुछ [[सोबोलेव स्थान]]ों में, 3डी में पूर्ण जल तरंग समस्या को हल करने के लिए किया गया है। यह विधि 2 से बड़े सभी आयामों में काम करती है।
+इस प्रकार से क्लिफोर्ड विश्लेषण में [[ कॉची परिवर्तन |कॉची परिवर्तन]], [[बर्गमैन कर्नेल]], स्ज़ेगो कर्नेल, [[प्लेमेलज ऑपरेटर|प्लेमेलज संक्रियक]], [[ हार्डी रिक्त स्थान |हार्डी रिक्त समष्टि]], केर्जमैन-स्टीन सूत्र और Π, या बेर्लिंग-अहलफोर्स परिवर्तन, परिवर्तन के एनालॉग हैं। इन सभी में [[सीमा मूल्य समस्या|सीमा मान समस्याओं]] को हल करने में अनुप्रयोग पाए गए हैं, जिनमें चलती सीमा मान समस्याएं, एकल समाकलन और [[क्लासिक हार्मोनिक विश्लेषण|उत्कृष्ट संनादी विश्लेषण]] सम्मिलित हैं। अतः विशेष रूप से क्लिफोर्ड विश्लेषण का उपयोग कुछ [[सोबोलेव स्थान|सोबोलेव समष्टि]] में, 3डी में पूर्ण जल तरंग समस्या को हल करने के लिए किया गया है। यह विधि 2 से बड़े सभी विमाओं में कार्य करती है।
-यदि हम जटिल क्लिफोर्ड बीजगणित को वास्तविक क्लिफोर्ड बीजगणित, सीएल से प्रतिस्थापित करते हैं तो अधिकांश क्लिफोर्ड विश्लेषण काम करता है।<sub>''n''</sub>. हालाँकि यह मामला नहीं है जब हमें डिराक ऑपरेटर और [[फूरियर रूपांतरण]] के बीच बातचीत से निपटने की आवश्यकता होती है।
+यदि हम जटिल क्लिफोर्ड बीजगणित को वास्तविक क्लिफोर्ड बीजगणित, Cl<sub>''n''</sub> से प्रतिस्थापित करते हैं तो अधिकांश क्लिफोर्ड विश्लेषण करता है। यद्यपि यह स्थिति नहीं है जब हमें डिरैक संक्रियक और [[फूरियर रूपांतरण|फूरियर परिवर्तन]] के बीच परस्पर क्रिया से निपटने की आवश्यकता होती है।
-==फूरियर रूपांतरण==
+==फूरियर परिवर्तन==
-जब हम ऊपरी आधे स्थान R पर विचार करते हैं<sup>n,+</sup> सीमा 'R' के साथ<sup>n−1</sup>, e का विस्तार<sub>1</sub>, ..., यह है<sub>''n''−1</sub>, फूरियर के तहत डिराक ऑपरेटर के प्रतीक को रूपांतरित करें
+इस प्रकार से जब हम सीमा 'R<sup>n−1</sup> के साथ ऊपरी अर्ध स्थान R<sup>n+</sup> पर विचार करते हैं, तो फूरियर रूपांतरण के अंतर्गत ''e''<sub>1</sub>, ..., ''e<sub>n</sub>''<sub>−1</sub>, का विस्तार, डिरैक संक्रियक
 :<math>D_{n-1} = \sum_{j=1}^{n-1} \frac \partial {\partial x_j}</math>
-क्या मैं कहां हूं
+का प्रतीक iζ है जहां
-:<math>\zeta=\zeta_1 e_1 +\cdots+ \zeta_{n-1}e_{n-1}.</math>
+:<math>\zeta=\zeta_1 e_1 +\cdots+ \zeta_{n-1}e_{n-1}</math> है।
-इस सेटिंग में सोखोटस्की-प्लेमेलज प्रमेय हैं
+अतः इस समायोजन में सोखोटस्की-प्लेमेलज प्रमेय
-:<math>\pm\tfrac{1}{2}+G(x-y)|_{\mathbf{R}^{n-1}}</math> और इन ऑपरेटरों के लिए प्रतीक चिह्न तक हैं,
+:<math>\pm\tfrac{1}{2}+G(x-y)|_{\mathbf{R}^{n-1}}</math> और इन संक्रियकों के प्रतीक, एक चिह्न तक,
-:<math>\frac{1}{2} \left (1\pm i\frac{\zeta}{\|\zeta\|} \right ).</math>
+:<math>\frac{1}{2} \left (1\pm i\frac{\zeta}{\|\zeta\|} \right )</math> हैं।
-ये प्रक्षेपण संचालक हैं, जिन्हें अन्यथा सीएल के स्थान पर पारस्परिक रूप से विनाशकारी निष्क्रियता के रूप में जाना जाता है<sub>''n''</sub>(सी) आर पर मूल्यवान वर्ग पूर्णांक कार्य<sup>n−1</sup>.
+इस प्रकार से ये R<sup>n−1</sup> पर Cl<sub>''n''</sub>('''C''') मानित वर्ग पूर्णांक फलन के स्थान पर प्रक्षेपण संक्रियक हैं, जिन्हें अन्यथा पारस्परिक रूप से विनाशकारी निष्क्रियता के रूप में जाना जाता है।
-ध्यान दें कि
+अतः ध्यान दें कि
 :<math>G|_{\mathbf{R}^n}=\sum_{j=1}^{n-1} e_j R_j</math>
-जहां आर<sub>j</sub>जे-वें रिज़्ज़ क्षमता है,
+जहां R<sub>j</sub> J-वें रिज़्ज़ क्षमता है,
 :<math>\frac{x_j}{\|x\|^n}.</math>
-के प्रतीक के रूप में <math>G|_{\mathbf{R}^{n}}</math> है
+चूंकि <math>G|_{\mathbf{R}^{n}}</math> का प्रतीक
 :<math>\frac{i\zeta}{\|\zeta\|}</math>
-यह क्लिफोर्ड गुणन से आसानी से निर्धारित होता है
+है, इसलिए क्लिफोर्ड गुणन से यह सरलता से निर्धारित होता है कि
 :<math>\sum_{j=1}^{n-1} R_j^2=1.</math>
-तो [[कनवल्शन ऑपरेटर]] <math>G|_{\mathbf{R}^{n}}</math> [[हिल्बर्ट परिवर्तन]] के यूक्लिडियन स्थान का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है।
+तो [[कनवल्शन ऑपरेटर|संवलन संक्रियक]] <math>G|_{\mathbf{R}^{n}}</math> [[हिल्बर्ट परिवर्तन]] के यूक्लिडियन समष्टि का प्राकृतिक सामान्यीकरण है।
-मान लीजिए U' 'R' में एक डोमेन है<sup>n−1</sup> और g(x) एक सीएल है<sub>''n''</sub>(सी) [[वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य]] को महत्व दिया। फिर ''जी'' में कॉची-कोवालेवस्की प्रमेय है|आर में ''यू'' के कुछ पड़ोस पर डायराक समीकरण के लिए कॉची-कोवालेवस्किया विस्तार<sup>n</sup>. विस्तार स्पष्ट रूप से दिया गया है
+इस प्रकार से मान लीजिए U' R<sup>n−1</sup> में एक प्रांत है और g(x) एक Cl<sub>''n''</sub>('''C''') मान वाला [[वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य|वास्तविक विश्लेषणात्मक फलन]] है। फिर ''g के निकट R<sup>n</sup>'' में ''U''′ के कुछ निकटवर्ती पर डिरैक समीकरण का कॉची-कोवालेवस्की विस्तार है। अतः विस्तार स्पष्ट रूप से
-:<math>\sum_{j=0}^\infty \left (x_n e_n^{-1}D_{n-1} \right )^j g(x).</math>
+:<math>\sum_{j=0}^\infty \left (x_n e_n^{-1}D_{n-1} \right )^j g(x)</math> द्वारा दिया गया है।
-जब यह एक्सटेंशन वेरिएबल x in पर लागू होता है
+जब यह विस्तारक
 :<math>e^{-i\langle x,\zeta\rangle} \left (\tfrac{1}{2} \left (1\pm i\frac{\zeta}{\|\zeta\|} \right ) \right )</math>
-हमें वह मिल गया
+में परिवर्ती x पर लागू होता है तो हमें पता चलता है कि
 :<math>e^{-i\langle x,\zeta\rangle}</math>
-आर के लिए प्रतिबंध है<sup>ई का n−1</sup><sub>+</sub>+ ई<sub>−</sub> जहां ई<sub>+</sub> ऊपरी आधे स्थान में एक मोनोजेनिक कार्य है और ई<sub>−</sub> निचले आधे स्थान में एक मोनोजेनिक कार्य है।
+''E''<sub>+</sub> + ''E''<sub>−</sub> के '''R'''<sup>''n''−1</sup> का प्रतिबंध है, जहां ''E''<sub>+</sub> ऊपरी अर्ध समष्टि में एक एकजीनी फलन है और E<sub>−</sub> निम्न अर्ध समष्टि में एकजीनी फलन है।
-क्लिफोर्ड विश्लेषण में एन-यूक्लिडियन स्पेस में एक पैली-वीनर प्रमेय भी सामने आया है।
+इस प्रकार से क्लिफोर्ड विश्लेषण में एन-यूक्लिडियन समष्टि में पैली-वीनर प्रमेय भी सामने आया है।
 ==अनुरूप संरचना==
-कई डिराक प्रकार के ऑपरेटरों के पास मीट्रिक में अनुरूप परिवर्तन के तहत सहप्रसरण होता है। यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में डिराक ऑपरेटर और मोबियस परिवर्तनों के तहत क्षेत्र पर डिराक ऑपरेटर के लिए सच है। नतीजतन, यह डिराक ऑपरेटरों के लिए अनुरूप रूप से [[अनुरूप कई गुना]] और अनुरूप मैनिफोल्ड पर सच है जो एक साथ स्पिन मैनिफोल्ड हैं।
+अतः कई डिरैक प्रकार के संक्रियकों के निकट मापीय में अनुरूप परिवर्तन के अंतर्गत सहप्रसरण होता है। यह यूक्लिडियन समष्टि में डिरैक संक्रियक और मोबियस परिवर्तनों के अंतर्गत क्षेत्र पर डिरैक संक्रियक के लिए सत्य है। फलस्वरूप, यह डिरैक संक्रियकों के लिए अनुरूप रूप से [[अनुरूप कई गुना]] और अनुरूप कई गुना पर सत्य है जो साथ चक्रण कई गुना हैं।
-=== केली रूपांतरण (स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण) ===
+=== केली परिवर्तन (त्रिविम प्रक्षेपण) ===
-आर से केली रूपांतरण या [[त्रिविम प्रक्षेपण]]<sup>n</sup> इकाई क्षेत्र S तक<sup>n</sup> यूक्लिडियन डायराक ऑपरेटर को गोलाकार डायराक ऑपरेटर डी में बदल देता है<sub>S</sub>. स्पष्ट रूप से
+इस प्रकार से '''R'''<sup>''n''</sup> से इकाई क्षेत्र S<sup>n</sup> केली परिवर्तन या [[त्रिविम प्रक्षेपण]] यूक्लिडियन डिरैक संक्रियक को गोलाकार डिरैक संक्रियक ''D<sub>S</sub>'' में बदल देता है। स्पष्ट रूप से
 :<math>D_S=x \left(\Gamma_n + \frac n 2 \right)</math>
-कहाँ Γ<sub>''n''</sub> गोलाकार Beltrami-Dirac ऑपरेटर है
+जहां Γ<sub>''n''</sub> गोलाकार बेल्ट्रामी-डिरैक संक्रियक
 :<math>\sum\nolimits_{1\leq i<j\leq n+1}e_{i}e_{j} \left (x_{i}\frac{\partial}{\partial x_{j}}-x_{j}\frac{\partial}{\partial x_{i}} \right )</math>
-और एस में एक्स<sup>n</sup>.
+और ''S<sup>n</sup>'' में x है।
-एन-स्पेस पर केली रूपांतरण है
+अतः एन-समष्टि पर केली परिवर्तन
-:<math>y=C(x)=(e_{n+1}x+1)(x+e_{n+1})^{-1}, \qquad x \in \mathbf{R}^n.</math>
+:<math>y=C(x)=(e_{n+1}x+1)(x+e_{n+1})^{-1}, \qquad x \in \mathbf{R}^n</math> है।
-इसका उलटा है
+इसका व्युत्क्रम
-:<math>x=(-e_{n+1}+1)(y-e_{n+1})^{-1}.</math>
+:<math>x=(-e_{n+1}+1)(y-e_{n+1})^{-1}</math> है।
-एन-यूक्लिडियन स्पेस में डोमेन यू पर परिभाषित फ़ंक्शन एफ (एक्स) और डायराक समीकरण के समाधान के लिए, फिर
+इस प्रकार से एन-यूक्लिडियन समष्टि में प्रांत ''U'' पर परिभाषित फलन ''f''(''x'') और डिरैक समीकरण के हल के लिए,
 :<math>J(C^{-1},y) f(C^{-1}(y))</math>
-डी द्वारा नष्ट कर दिया गया है<sub>S</sub>, सी(यू) पर जहां
+को ''C''(''U'') पर ''D<sub>S</sub>'' द्वारा नष्ट कर दिया गया है जहां
-:<math>J(C^{-1},y)=\frac{y-e_{n+1}}{\|y-e_{n+1}\|^n}.</math>
+:<math>J(C^{-1},y)=\frac{y-e_{n+1}}{\|y-e_{n+1}\|^n}</math>
-आगे
+अतः इसके अतिरिक्त
 :<math>D_S(D_S-x)=\triangle_S,</math>
-एस पर कंफर्मल लाप्लासियन या यामाबे ऑपरेटर<sup>n</sup>. स्पष्ट रूप से
+''S<sup>n</sup>'' पर कंफर्मल लाप्लासियन या यामाबे संक्रियक।
+स्पष्ट रूप से
 :<math>\triangle_S = -\triangle_{LB}+\tfrac 1 4 n(n-2)</math>
-कहाँ <math>\triangle_{LB}</math> एस पर लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है<sup>n</sup>. परिचालक <math>\triangle_S</math> केली ट्रांसफॉर्म के माध्यम से, यूक्लिडियन लाप्लासियन के अनुरूप है। भी
+जहां <math>\triangle_{LB}</math> ''S<sup>n</sup>'' पर लाप्लास-बेल्ट्रामी संक्रियक है। संक्रियक <math>\triangle_S</math> केली परिवर्तन के माध्यम से, यूक्लिडियन लाप्लासियन के अनुरूप है। इस प्रकार से इसके अतिरिक्त
 :<math>D_s(D_S-x)(D_S-x)(D_S-2x)</math>
-पैनिट्ज़ ऑपरेटर है,
+n-क्षेत्र पैनिट्ज़ संक्रियक,
-:<math>-\triangle_S(\triangle_S+2),</math>
+:<math>-\triangle_S(\triangle_S+2)</math>
-n-क्षेत्र पर. केली ट्रांसफॉर्म के माध्यम से यह ऑपरेटर द्वि-लाप्लासियन के अनुरूप है, <math>\triangle_n^2</math>. ये सभी डिराक प्रकार के ऑपरेटरों के उदाहरण हैं।
+है। अतः केली परिवर्तन के माध्यम से यह संक्रियक द्वि-लाप्लासियन, <math>\triangle_n^2</math> के अनुरूप है। ये सभी डिरैक प्रकार के संक्रियकों के उदाहरण हैं।
-=== मोबियस रूपांतरण ===
+=== मोबियस परिवर्तन ===
-एन-यूक्लिडियन स्थान पर मोबियस परिवर्तन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
+इस प्रकार से एन-यूक्लिडियन समष्टि पर मोबियस परिवर्तन को
-:<math>\frac{ax+b}{cx+d},</math> जहां ए, बी, सी और डी ∈ सीएल<sub>''n''</sub> और कुछ बाधाओं को पूरा करें। जुड़े {{nowrap|2 × 2}} मैट्रिक्स को Ahlfors-Vahlen मैट्रिक्स कहा जाता है। अगर
+:<math>\frac{ax+b}{cx+d}</math>
-:<math>y=M(x)+\frac{ax+b}{cx+d}</math> और तब Df(y) = 0 <math>J(M,x)f(M(x))</math> डिराक समीकरण का एक समाधान है जहां
+:के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां ''a'', ''b'', ''c'' और ''d'' ∈ Cl<sub>''n''</sub> और कुछ बाधाओं को संतुष्ट करते हैं। संबद्ध {{nowrap|2 × 2}} आव्यूह को अहलफोर्स-वाहलेन आव्यूह कहा जाता है। यदि
-:<math>J(M,x)=\frac{\widetilde{cx+d}}{\|cx+d\|^{n}}</math> और ~ क्लिफोर्ड बीजगणित पर कार्य करने वाला एक बुनियादी [[एंटीऑटोमोर्फिज्म]] है। संचालक डी<sup>क</sup>, या Δ<sub>''n''</sub><sup>k/2</sup> जब k सम है, तो केली ट्रांसफॉर्म सहित मोबियस ट्रांसफॉर्म के तहत समान सहप्रसरण प्रदर्शित करता है।
+:<math>y=M(x)+\frac{ax+b}{cx+d}</math>
+:और Df(y) = 0 है तो <math>J(M,x)f(M(x))</math> डिरैक समीकरण का हल है जहां
+:<math>J(M,x)=\frac{\widetilde{cx+d}}{\|cx+d\|^{n}}</math>
+:और ~ क्लिफोर्ड बीजगणित पर कार्य करने वाला मूलभूत [[एंटीऑटोमोर्फिज्म|प्रतिस्वसमाकृतिकता]] है। संक्रियक ''D<sup>k</sup>'', या Δ<sub>''n''</sub><sup>''k''/2</sup> जब k सम है, तो केली परिवर्तन सहित मोबियस परिवर्तन के अंतर्गत समान सहप्रसरण प्रदर्शित करते है।
-जब ax+b और cx+d गैर-शून्य होते हैं तो वे दोनों [[क्लिफोर्ड समूह]] के सदस्य होते हैं।
+इस प्रकार से जब ax+b और cx+d गैर-शून्य होते हैं तो वे दोनों [[क्लिफोर्ड समूह]] के सदस्य होते हैं।
-जैसा
+:<math>\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{-ax-b}{-cx-d}</math>
-:<math>\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{-ax-b}{-cx-d}</math> तब हमारे पास J(M, x) को परिभाषित करने में साइन इन करने का विकल्प होता है। इसका मतलब यह है कि एक अनुरूप रूप से सपाट मैनिफोल्ड एम के लिए हमें एक [[स्पिनर बंडल]] को परिभाषित करने के लिए एम पर एक [[स्पिन संरचना]] की आवश्यकता होती है, जिसके अनुभागों पर हम एक डायराक ऑपरेटर को कार्य करने की अनुमति दे सकते हैं। स्पष्ट सरल उदाहरणों में एन-सिलेंडर, एन-यूक्लिडियन अंतरिक्ष से मूल को छोड़कर प्राप्त [[हॉपफ मैनिफोल्ड]], और ऊपरी आधे स्थान पर पूरी तरह से कार्य करने वाले सामान्यीकृत मॉड्यूलर समूहों के कार्यों द्वारा इसे फैक्टरिंग करके ऊपरी आधे स्थान से प्राप्त के-हैंडल टोरस के सामान्यीकरण शामिल हैं। लगातार. इन संदर्भों में एक डिराक ऑपरेटर को पेश किया जा सकता है। ये डिराक ऑपरेटर अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटरों के विशेष उदाहरण हैं।
+:के रूप में तो हमारे निकट J(M, x) को परिभाषित करने में संकेत करने का विकल्प है। इसका अर्थ यह है कि अनुरूप रूप से समतल कई गुना M के लिए हमें [[स्पिनर बंडल|स्पाइनर बंडल]] को परिभाषित करने के लिए M पर [[स्पिन संरचना|चक्रण संरचना]] की आवश्यकता होती है, जिसके अनुभागों पर हम डिरैक संक्रियक को कार्य करने की अनुमति दे सकते हैं। स्पष्ट सरल उदाहरणों में एन-सिलेंडर, एन-यूक्लिडियन समष्टि से मूल को छोड़कर प्राप्त [[हॉपफ मैनिफोल्ड|हॉपफ कई गुना]], और ऊपरी अर्ध समष्टि पर पूर्ण रूप से सतत कार्य करने वाले सामान्यीकृत मॉड्यूलर समूहों के फलनों द्वारा इसे फैक्टरिंग करके ऊपरी अर्ध समष्टि से प्राप्त के-हैंडल टोरस के सामान्यीकरण सम्मिलित हैं। इन संदर्भों में डिरैक संक्रियक को प्रस्तुत किया जा सकता है। ये डिरैक संक्रियक अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियकों के विशेष उदाहरण हैं।
-==अतियाह-गायक-डिराक ऑपरेटर==
+==अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक==
-एक स्पिन मैनिफोल्ड एम को एक स्पिनर बंडल एस और एस में एक चिकनी खंड एस (एक्स) के साथ दिया गया है, फिर स्थानीय ऑर्थोनॉर्मल आधार ई के संदर्भ में<sub>1</sub>(एक्स), ..., और<sub>''n''</sub>(x) एम के स्पर्शरेखा बंडल में, एस पर कार्य करने वाले अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है
+अतः एक चक्रण कई गुना M को स्पाइनर बंडल S और S में सहज खंड s(x) के साथ दिया गया है, फिर स्थानीय प्रसामान्य आधार ''e''<sub>1</sub>(''x''), ..., ''e<sub>n</sub>''(''x'') M के स्पर्शरेखा बंडल के संदर्भ में, S पर कार्य करने वाले अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक को
-:<math>Ds(x)=\sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)}s(x) ,</math> कहाँ <math>\widetilde{\Gamma}</math> [[स्पिन कनेक्शन]] है, एम पर [[लेवी-सिविटा कनेक्शन]] के एस को उठाना। जब एम एन-यूक्लिडियन स्पेस है तो हम यूक्लिडियन डिराक ऑपरेटर पर लौटते हैं।
+:<math>Ds(x)=\sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)}s(x) </math>
+:के रूप में परिभाषित किया गया है जहां <math>\widetilde{\Gamma}</math> [[स्पिन कनेक्शन|चक्रण संपर्क]] है, M पर [[लेवी-सिविटा कनेक्शन|लेवी-सिविटा संपर्क]] के S को उठाना। इस प्रकार से जब M एन-यूक्लिडियन समष्टि है तो हम यूक्लिडियन डिरैक संक्रियक पर लौटते हैं।
-अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटर डी से हमारे पास [[लिचनेरोविक्ज़ सूत्र]] है
+अतः अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक D से हमारे निकट [[लिचनेरोविक्ज़ सूत्र]]
-:<math>D^{2}=\Gamma^{*}\Gamma+\tfrac{\tau}{4} ,</math> जहां τ [[ कई गुना ]] पर [[अदिश वक्रता]] है, और Γ है<sup>∗</sup> Γ का जोड़ है। संचालक डी<sup>2</sup>स्पिनोरियल लाप्लासियन के नाम से जाना जाता है।
+:<math>D^{2}=\Gamma^{*}\Gamma+\tfrac{\tau}{4} </math>
+:है, जहां τ [[ कई गुना |कई गुना]] पर [[अदिश वक्रता]] है, और Γ<sup>∗</sup> Γ का अभिसम्युक्त है। इस प्रकार से संक्रियक ''D''<sup>2</sup> स्पिनोरियल लाप्लासियन के रूप में जाना जाता है।
-यदि M सघन है और {{math|''τ'' ≥ 0}} और {{math|''τ'' > 0}} कहीं न कहीं मैनिफोल्ड पर कोई गैर-तुच्छ हार्मोनिक स्पिनर नहीं हैं। यह लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय है। यह आसानी से देखा जा सकता है कि लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय एक चर जटिल विश्लेषण से लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) का सामान्यीकरण है। यह हमें यह ध्यान देने की अनुमति देता है कि चिकने स्पिनर अनुभागों के स्थान पर ऑपरेटर डी इस तरह के कई गुना उलटा है।
+यदि M सघन है और {{math|''τ'' ≥ 0}} और {{math|''τ'' > 0}} कहीं है तो कई गुना पर कोई गैर-तुच्छ संनादी स्पाइनर नहीं हैं। यह लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय है। यह सरलता से देखा जा सकता है कि लिचनेरोविक्ज़ प्रमेय चर जटिल विश्लेषण से लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) का सामान्यीकरण है। अतः यह हमें यह ध्यान देने की अनुमति देता है कि सहज स्पाइनर अनुभागों के समष्टि पर संक्रियक D इस प्रकार के कई गुना व्युत्क्रम है।
-ऐसे मामलों में जहां अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटर कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ चिकनी स्पिनर अनुभागों के स्थान पर उलटा है, कोई भी परिचय दे सकता है
+इस प्रकार से ऐसी स्थितियों में जहां अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक संहत समर्थन के साथ सहज स्पाइनर अनुभागों के समष्टि पर व्युत्क्रम है, कोई
-:<math>C(x,y):=D^{-1}*\delta_{y}, \qquad x \neq y \in M,</math> कहां δ<sub>''y''</sub> [[डिराक डेल्टा फ़ंक्शन]] का मूल्यांकन y पर किया गया है। यह कॉची कर्नेल को जन्म देता है, जो इस डिराक ऑपरेटर का मौलिक समाधान है। इससे हार्मोनिक स्पिनरों के लिए कॉची इंटीग्रल फॉर्मूला प्राप्त किया जा सकता है। इस कर्नेल के साथ इस प्रविष्टि के पहले खंड में वर्णित अधिकांश चीजें उल्टे अतियाह-सिंगर-डिराक ऑपरेटरों के लिए होती हैं।
+:<math>C(x,y):=D^{-1}*\delta_{y}, \qquad x \neq y \in M</math>
+:प्रस्तुत कर सकता है, जहां δ<sub>''y''</sub> [[डिराक डेल्टा फ़ंक्शन|डिरैक डेल्टा फलन]] है जिसका मूल्यांकन y पर किया जाता है। अतः यह कॉची कर्नेल को जन्म देता है, जो इस डिरैक संक्रियक का मौलिक हल है। इससे संनादी स्पाइनरों के लिए कॉची समाकलन सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस कर्नेल के साथ इस प्रविष्टि के पूर्व खंड में वर्णित अधिकांश वस्तुएं व्युत्क्रम अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियकों के लिए होती हैं।
-स्टोक्स के प्रमेय का उपयोग करके, या अन्यथा, कोई यह निर्धारित कर सकता है कि मीट्रिक के एक अनुरूप परिवर्तन के तहत प्रत्येक मीट्रिक से जुड़े डिराक ऑपरेटर एक दूसरे के लिए आनुपातिक हैं, और परिणामस्वरूप उनके व्युत्क्रम भी हैं, यदि वे मौजूद हैं।
+इस प्रकार से स्टोक्स के प्रमेय का उपयोग करके, या अन्यथा, कोई यह निर्धारित कर सकता है कि मापीय के अनुरूप परिवर्तन के अंतर्गत प्रत्येक मापीय से संयोजित डिरैक संक्रियक दूसरे के लिए आनुपातिक हैं, और परिणामस्वरूप उनके व्युत्क्रम भी हैं, यदि वे स्थित हैं।
-यह सब अतियाह-सिंगर इंडेक्स सिद्धांत और डायराक प्रकार के ऑपरेटरों से जुड़े ज्यामितीय विश्लेषण के अन्य पहलुओं के लिए संभावित लिंक प्रदान करता है।
+अतः यह सब अतियाह-गायक निर्देशिका सिद्धांत और डिरैक प्रकार के संक्रियकों से संयोजित ज्यामितीय विश्लेषण के अन्य गुणों के लिए संभावित श्रंखला प्रदान करता है।
-==हाइपरबोलिक डिराक प्रकार ऑपरेटर==
+==अतिपरवलीय डिरैक प्रकार संक्रियक==
-क्लिफ़ोर्ड विश्लेषण में हाइपरबोलिक या पोंकारे मीट्रिक के संबंध में ऊपरी आधे स्थान, डिस्क, या हाइपरबोला पर अंतर ऑपरेटरों पर भी विचार किया जाता है।
+इस प्रकार से क्लिफ़ोर्ड विश्लेषण में अतिपरवलीय या पोंकारे मापीय के संबंध में ऊपरी अर्ध समष्टि, डिस्क, या हाइपरबोला पर अंतर संक्रियकों पर भी विचार किया जाता है।
-ऊपरी आधे स्थान के लिए क्लिफोर्ड बीजगणित, सीएल को विभाजित किया जाता है<sub>''n''</sub> सीएल में<sub>''n''−1</sub> + सीएल<sub>''n''−1</sub>e<sub>n</sub>. तो सीएल में ए के लिए<sub>''n''</sub> कोई a को b + CE के रूप में व्यक्त कर सकता है<sub>n</sub>सीएल में ए, बी के साथ<sub>''n''−1</sub>. इसके बाद प्रक्षेपण ऑपरेटरों पी और क्यू को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: पी(ए) = बी और क्यू(ए) = सी। ऊपरी आधे स्थान में हाइपरबोलिक मीट्रिक के संबंध में फ़ंक्शन f पर कार्य करने वाले हॉज-डिराक ऑपरेटर को अब परिभाषित किया गया है
+अतः ऊपरी अर्ध समष्टि के लिए क्लिफोर्ड बीजगणित,Cl<sub>''n''</sub> को Cl<sub>''n''−1</sub> + Cl<sub>''n''−1</sub>''e<sub>n</sub>'' में विभाजित किया जाता है। तो Cl<sub>''n''</sub> में a के लिए कोई a को ''b'' + ''ce<sub>n</sub>'' के साथ Cl<sub>''n''−1</sub> में a, b के रूप में व्यक्त कर सकता है। इसके बाद प्रक्षेपण संक्रियकों ''P'' और ''Q'' को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: ''P''(''a'') = ''b'' और ''Q''(''a'') = ''c''। ऊपरी अर्ध समष्टि में अतिपरवलीय मापीय के संबंध में फलन f पर कार्य करने वाले हॉज-डिरैक संक्रियक को अब
-:<math>Mf=Df+\frac{n-2}{x_{n}}Q(f)</math>.
+:<math>Mf=Df+\frac{n-2}{x_{n}}Q(f)</math> के रूप में परिभाषित किया गया है।
-इस मामले में
+इस प्रकार से इस स्थिति में
 :<math>M^{2}f=-\triangle_{n}P(f)+\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial P(f)}{\partial x_{n}}- \left (\triangle_{n}Q(f)-\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial Q(f)}{\partial x_{n}}+ \frac{n-2}{x_{n}^{2}}Q(f) \right )e_{n}</math>.
-परिचालक
+पोंकारे मापीय के संबंध में संक्रियक
-:<math>\triangle_{n}-\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial}{\partial x_{n}}</math> पोंकारे मीट्रिक के संबंध में लाप्लासियन है जबकि दूसरा ऑपरेटर वेनस्टीन ऑपरेटर का एक उदाहरण है।
+:<math>\triangle_{n}-\frac{n-2}{x_{n}}\frac{\partial}{\partial x_{n}}</math>
+:लाप्लासियन है जबकि दूसरा संक्रियक वेनस्टीन संक्रियक का उदाहरण है।
-[[अतिशयोक्तिपूर्ण लाप्लासियन]] अनुरूप समूह की क्रियाओं के तहत अपरिवर्तनीय है, जबकि हाइपरबोलिक डिराक ऑपरेटर ऐसी क्रियाओं के तहत सहसंयोजक है।
+इस प्रकार से [[अतिशयोक्तिपूर्ण लाप्लासियन|अतिपरवलीय लाप्लासियन]] अनुरूप समूह की क्रियाओं के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, जबकि अतिपरवलीय डिरैक संक्रियक ऐसी क्रियाओं के अंतर्गत सहसंयोजक है।
-==रारिता-श्विंगर/स्टीन-वीस ऑपरेटर==
+==रारिता-श्विंगर/स्टीन-वीस संक्रियक==
-रारिटा-श्विंगर समीकरण|रारिटा-श्विंगर ऑपरेटर, जिन्हें स्टीन-वीस ऑपरेटर के रूप में भी जाना जाता है, स्पिन और [[पिन समूह]]ों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं। संचालक आर<sub>k</sub>एक अनुरूप सहसंयोजक प्रथम क्रम विभेदक ऑपरेटर है। यहां k = 0, 1, 2, .... जब k = 0, Rarita-Schwinger ऑपरेटर सिर्फ Dirac ऑपरेटर है। [[ऑर्थोगोनल समूह]], ओ(एन) के लिए [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] में सजातीय [[हार्मोनिक बहुपद]] के स्थानों में मान लेने वाले कार्यों पर विचार करना आम बात है। जब कोई इस प्रतिनिधित्व सिद्धांत को ओ (एन) के दोहरे कवरिंग पिन (एन) में परिष्कृत करता है, तो वह सजातीय हार्मोनिक बहुपद के स्थानों को डायराक समीकरण के [[सजातीय बहुपद]] समाधानों के स्थानों से बदल देता है, अन्यथा के मोनोजेनिक बहुपद के रूप में जाना जाता है। कोई एक फ़ंक्शन f(x, u) पर विचार करता है जहां U में x, 'R' में एक डोमेन है<sup>n</sup>, और u 'R' से भिन्न होता है<sup>n</sup>. इसके अलावा f(x, u) u में एक k-मोनोजेनिक बहुपद है। अब डिराक ऑपरेटर डी लागू करें<sub>x</sub>x से f(x, u) में। अब चूँकि क्लिफ़ोर्ड बीजगणित क्रमविनिमेय D नहीं है<sub>x</sub>f(x, u) तो यह फ़ंक्शन अब k मोनोजेनिक नहीं है बल्कि u में एक सजातीय हार्मोनिक बहुपद है। अब प्रत्येक हार्मोनिक बहुपद h के लिए<sub>k</sub>डिग्री k के सजातीय में अलमांसी-फिशर अपघटन होता है
+अतः रारिटा-श्विंगर समीकरण संक्रियक, जिन्हें स्टीन-वीस संक्रियक के रूप में भी जाना जाता है, चक्रण और [[पिन समूह|पिन समूहों]] के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उत्पन्न होते हैं। संक्रियक ''R<sub>k</sub>'' एक अनुरूप सहसंयोजक प्रथम क्रम विभेदक संक्रियक है। इस प्रकार से यहां k = 0, 1, 2, .... जब k = 0, रारिटा-श्विंगर संक्रियक मात्र डिरैक संक्रियक है। [[ऑर्थोगोनल समूह|लाम्बिक समूह]], O(''n'') के लिए [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] में सजातीय [[हार्मोनिक बहुपद|संनादी बहुपद]] के समष्टि में मान लेने वाले फलनों पर विचार करना सामान्य बात है। जब कोई इस प्रतिनिधित्व सिद्धांत को O(''n'') के दोहरे आवरण Pin(''n'') में परिष्कृत करता है, तो वह सजातीय संनादी बहुपद के समष्टि को डिरैक समीकरण के [[सजातीय बहुपद]] हलों के समष्टि से बदल देता है, अन्यथा के एकजीनी बहुपद के रूप में जाना जाता है। अतः कोई एक फलन f(x, u) पर विचार करता है जहां U में x, '''R'''<sup>''n''</sup> में प्रांत, और u '''R'''<sup>''n''</sup> पर भिन्न होता है। इसके अतिरिक्त f(x, u) u में k-एकजीनी बहुपद है। अब x से ''f''(''x'', ''u'') में डिरैक संक्रियक ''D<sub>x</sub>'' लागू करें। अब चूँकि क्लिफ़ोर्ड बीजगणित क्रमविनिमेय ''D<sub>x</sub>f''(''x'', ''u'') नहीं है तो यह फलन अब k एकजीनी नहीं है बल्कि u में सजातीय संनादी बहुपद है। इस प्रकार से अब घात h के प्रत्येक संनादी बहुपद h<sub>k</sub>सजातीय के लिए एक अलमांसी-फिशर अपघटन
-:<math> h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x) </math> जहां पी<sub>''k''</sub> और पी<sub>''k''−1</sub> क्रमशः k और k−1 मोनिक बहुपद हैं। माना P, h का प्रक्षेपण है<sub>''k''</sub> ऊपर<sub>''k''</sub> तब रारिटा-श्विंगर ऑपरेटर को पीडी के रूप में परिभाषित किया गया है<sub>k</sub>, और इसे R द्वारा दर्शाया जाता है<sub>k</sub>. यूलर लेम्मा का उपयोग करके कोई यह निर्धारित कर सकता है
+:<math> h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x) </math>
+:है जहां p<sub>''k''</sub> और p<sub>''k''−1</sub> क्रमशः k और k−1 मोनिक बहुपद हैं। मान लीजिए P, h<sub>''k''</sub> से p<sub>''k''</sub> का प्रक्षेपण है तो रारिटा-श्विंगर संक्रियक को ''PD<sub>k</sub>'' के रूप में परिभाषित किया जाता है, और इसे ''R<sub>k</sub>'' द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार से यूलर लेम्मा का उपयोग करके कोई यह निर्धारित कर सकता है कि
 :<math>D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.</math>
 इसलिए
 :<math>R_{k}=\left(I+\frac{1}{n+2k-2}uD_{u}\right)D_{x}.</math>
 ==सम्मेलन और पत्रिकाएँ==
-क्लिफ़ोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसपास अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ एक जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में [http://www.smartchair.org/hp/ICCA2020/ क्लिफोर्ड बीजगणित और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोगों (ICCA)] और [http://agacse2021.fme.vutbr पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन शामिल हैं। cz/main.php कंप्यूटर विज्ञान और इंजीनियरिंग में ज्यामितीय बीजगणित के अनुप्रयोग (AGACSE)] श्रृंखला। एक मुख्य प्रकाशन आउटलेट स्प्रिंगर जर्नल [[एप्लाइड क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में प्रगति]] है।
+अतः क्लिफ़ोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसनिकट अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला के साथ जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस प्रकार से इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में [http://www.smartchair.org/hp/ICCA2020/ क्लिफोर्ड बीजगणित और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोगों (आईसीसीए)] और [http://agacse2021.fme.vutbr पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन सम्मिलित हैं। cz/main.php कंप्यूटर विज्ञान और इंजीनियरिंग में ज्यामितीय बीजगणित के अनुप्रयोग (एजीएसीएसई)] श्रृंखला। मुख्य प्रकाशन आउटलेट स्प्रिंगर जर्नल [[एप्लाइड क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में प्रगति]] है।
 ==यह भी देखें==
 *क्लिफोर्ड बीजगणित
-*[[जटिल स्पिन संरचना]]
+*[[जटिल स्पिन संरचना|जटिल चक्रण संरचना]]
-*कन्फर्मल मैनिफोल्ड
+*अनुरूप कई गुना
-*अनुरूप रूप से सपाट मैनिफोल्ड
+*अनुरूप रूप से सपाट कई गुना
-*डिराक ऑपरेटर
+*डिरैक संक्रियक
-*पोंकारे मीट्रिक
+*पोंकारे मापीय
-* [[स्पिन समूह]]
+* [[स्पिन समूह|चक्रण समूह]]
-*स्पिन संरचना
+*चक्रण संरचना
-*स्पिनर बंडल
+*स्पाइनर बंडल
 ==संदर्भ==
@@ Line 185: / Line 198: @@
 *{{citation| last=Tao| first=T. | title=[[Convolution operator]]s on Lipschitz graphs with harmonic kernels | journal=Advances in Applied Clifford Algebras |volume=6 |pages=207–218 | year=1996 |issn=0188-7009}}.
 *{{Citation | last=Wu | first=S. | author-link = Sijue Wu | title=Well-posedness in [[Sobolev space]]s of the full water wave problem in 3-D | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] |volume=12 | issue=2 |pages=445–495 | year=1999 | doi=10.1090/S0894-0347-99-00290-8| doi-access=free }}.
 ==बाहरी संबंध==
-*[https://wayback.archive-it.org/all/20111004195500/http://comp.uark.edu/%7Ejryan/notes.doc Lecture notes on Dirac operators in analysis and geometry]
+*[https://wayback.archive-it.org/all/20111004195500/http://comp.uark.edu/%7Ejryan/notes.doc Lecture notes on डिरैक operators in analysis and geometry]
 *{{citation |url=http://bib.mathematics.dk/preprint.php?lang=en&id=IMADA-PP-1997-53 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090813180506/http://bib.mathematics.dk/preprint.php?lang=en&id=IMADA-PP-1997-53 |url-status=dead |archive-date=2009-08-13 |title=Dirac operators and Clifford analysis on manifolds with boundary |first=David M.J. |last=Calderbank |id=DMF-1997-12-007 PP-1997-53 |date=1997-12-19 |publisher=Danish Mathematical Society}}
 {{Industrial and applied mathematics}}
-[[Category: विभेदक ज्यामिति]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 30/06/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
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+[[Category:विभेदक ज्यामिति]]

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क्लिफोर्ड विश्लेषण: Difference between revisions

Latest revision as of 18:33, 12 July 2023

यूक्लिडियन समष्टि

फूरियर परिवर्तन

अनुरूप संरचना

केली परिवर्तन (त्रिविम प्रक्षेपण)

मोबियस परिवर्तन

अतियाह-गायक-डिरैक संक्रियक

अतिपरवलीय डिरैक प्रकार संक्रियक

रारिता-श्विंगर/स्टीन-वीस संक्रियक

सम्मेलन और पत्रिकाएँ

यह भी देखें

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