विर्टिंगर असमानता (2-रूप): Difference between revisions

Revision as of 12:49, 8 July 2023

विर्टिंगर के नाम पर अन्य असमानताओं के लिए, विर्टिंगर की असमानता (बहुविकल्पी)|विर्टिंगर की असमानता देखें।

गणित में, 'विर्टिंगर असमानता', जिसका नाम विलियम विर्टिंगर के नाम पर रखा गया है, रैखिक बीजगणित में एक मौलिक परिणाम है जो एक हर्मिटियन आंतरिक उत्पाद के सहानुभूति और आयतन रूपों से संबंधित है। जटिल ज्यामिति में इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जैसे कि यह दिखाना कि काहलर मैनिफोल्ड की सामान्यीकृत बाहरी शक्तियां | काहलर मैनिफोल्ड का काहलर रूप कैलिब्रेटेड ज्यामिति है।

कथन

सकारात्मक-निश्चित आंतरिक उत्पाद के साथ एक वास्तविक वेक्टर स्थान पर विचार करें $g$ , सरल रूप $ω$ , और लगभग-जटिल संरचना $J$ , से जुड़ा हुआ $ω (u, v) = g (J (u), v)$ किसी भी वैक्टर के लिए $u$ और $v$ . फिर किसी भी ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर के लिए $v 1, ..., v 2 k$ वहाँ है

(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})\leq k!.

समानता है यदि और केवल यदि की अवधि $v 1, ..., v 2 k$ के संचालन के तहत बंद है $J$ .^[1]

किसी रूप की वर्तमान (गणित) की भाषा में, विर्टिंगर प्रमेय (यद्यपि समानता कब प्राप्त होती है इसके बारे में स्पष्टता के बिना) को यह कहते हुए भी कहा जा सकता है कि रूप का कोमास $ω \land \cdot\cdot\cdot \land ω$ के बराबर है $k!$ .^[1]

प्रमाण

$k = 1$

विशेष स्थितियों में $k = 1$ , विर्टिंगर असमानता कॉची-श्वार्ज़ असमानता का एक विशेष मामला है:

\omega (v_{1},v_{2})=g(J(v_{1}),v_{2})\leq \|J(v_{1})\|_{g}\|v_{2}\|_{g}=1.

कॉची-श्वार्ज़ असमानता के समानता स्थितियों के अनुसार, समानता तब होती है जब और केवल यदि $J (v 1)$ और $v 2$ संरेख हैं, जो के विस्तार के बराबर है $v 1, v 2$ के तहत बंद किया जा रहा है $J$ .

$k > 1$

होने देना $v 1, ..., v 2 k$ तय किया जाए, और जाने दिया जाए $T$ उनके विस्तार को निरूपित करें। फिर एक लम्बवत् आधार है $e 1, ..., e 2 k$ का $T$ दोहरे आधार के साथ $w 1, ..., w 2 k$ ऐसा है कि

\iota ^{\ast }\omega =\sum _{j=1}^{k}\omega (e_{2j-1},e_{2j})w_{2j-1}\wedge w_{2j},

कहाँ $ι$ से समावेशन मानचित्र को दर्शाता है $T$ में $V$ .^[2] यह संकेत करता है

\underbrace {\iota ^{\ast }\omega \wedge \cdots \wedge \iota ^{\ast }\omega } _{k{\text{ times}}}=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{2k},

जो बदले में तात्पर्य करता है

(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(e_{1},\ldots ,e_{2k})=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})\leq k!,

जहां असमानता पहले से स्थापित है $k = 1$ मामला। यदि समानता कायम है, तो के अनुसार $k = 1$ समानता का मामला, ऐसा ही होना चाहिए $ω (e 2 i - 1, e 2 i) = \pm1$ प्रत्येक के लिए $i$ . यह दोनों में से एक के बराबर है $ω (e 2 i - 1, e 2 i) = 1$ या $ω (e 2 i, e 2 i - 1) = 1$ , जो किसी भी स्थिति में (से $k = 1$ केस) का तात्पर्य है कि का सीमा $e 2 i - 1, e 2 i$ के अंतर्गत बंद है $J$ , और इसलिए वह अवधि $e 1, ..., e 2 k$ के अंतर्गत बंद है $J$ .

अंत में, मात्रा की निर्भरता

(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})

पर $v 1, ..., v 2 k$ केवल मात्रा पर है $v 1 \land \cdot\cdot\cdot \land v 2 k$ , और ओर्थोनॉर्मलिटी स्थिति से $v 1, ..., v 2 k$ , यह वेज उत्पाद एक संकेत तक अच्छी तरह से निर्धारित है। यह उपरोक्त कार्य से संबंधित है $e 1, ..., e 2 k$ के संदर्भ में वांछित कथन के लिए $v 1, ..., v 2 k$ .

परिणाम

हर्मिटियन मेट्रिक के साथ एक जटिल विविधता को देखते हुए, विर्टिंगर प्रमेय तुरंत किसी के लिए भी इसका अर्थ निकालता है $2 k$ -आयामी एंबेडेड सबमैनिफोल्ड $M$ , वहाँ है

\operatorname {vol} (M)\geq {\frac {1}{k!}}\int _{M}\omega ^{k},

कहाँ $ω$ मीट्रिक का काहलर रूप है। इसके अतिरिक्त, समानता तभी प्राप्त होती है जब $M$ एक जटिल उपमान है।^[3] विशेष स्थितियों में कि हर्मिटियन मीट्रिक काहलर मीट्रिक|काहलर शर्त को संतुष्ट करता है, यह कहता है कि $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/k!ωk$ अंतर्निहित रीमैनियन मीट्रिक के लिए एक कैलिब्रेटेड ज्यामिति है, और संबंधित कैलिब्रेटेड ज्यामिति जटिल आयाम के जटिल उपमान हैं $k$ .^[4] यह विशेष रूप से कहता है कि काहलर मैनिफोल्ड का प्रत्येक जटिल सबमैनिफोल्ड एक न्यूनतम सबमैनिफोल्ड है, और इसके समरूपता वर्ग में सभी सबमैनिफोल्ड के बीच वॉल्यूम-न्यूनतम भी है।

विर्टिंगर असमानता का उपयोग करते हुए, ये तथ्य काहलर मैनिफोल्ड्स में वर्तमान (गणित) के अधिक परिष्कृत संदर्भ तक भी विस्तारित होते हैं।^[5]

यह भी देखें

जटिल प्रक्षेप्य स्थान के लिए ग्रोमोव की असमानता
सिस्टोलिक ज्यामिति

संदर्भ

Federer, Herbert (1969). Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 153. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7. MR 0257325. Zbl 0176.00801.
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of algebraic geometry. Pure and Applied Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1. MR 0507725. Zbl 0408.14001.
Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. (1982). "Calibrated geometries". Acta Mathematica. 148: 47–157. doi:10.1007/BF02392726. MR 0666108. Zbl 0584.53021.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2017). Introduction to symplectic topology. Oxford Graduate Texts in Mathematics (Third edition of 1995 original ed.). Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198794899.001.0001. ISBN 978-0-19-879490-5. MR 3674984. Zbl 1380.53003.
Wirtinger, W. (1936). "Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde in euklidischer und Hermitescher Maßbestimmung". Monatshefte für Mathematik und Physik. 44: 343–365. doi:10.1007/BF01699328. MR 1550581. Zbl 0015.07602.

[FOOTNOTEFederer1969Section_1.8.2-1] 1.0 ^1.1 Federer 1969, Section 1.8.2.

[FOOTNOTEMcDuffSalamon2017Lemma_2.4.5-2] McDuff & Salamon 2017, Lemma 2.4.5.

[FOOTNOTEGriffithsHarris1978Section_0.2-3] Griffiths & Harris 1978, Section 0.2.

[FOOTNOTEHarveyLawson1982-4] Harvey & Lawson 1982.

[FOOTNOTEFederer1969Section_5.4.19-5] Federer 1969, Section 5.4.19.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 8: / Line 8: @@
 समानता है यदि और केवल यदि की अवधि {{math|''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>2''k''</sub>}} के संचालन के तहत बंद है {{math|''J''}}.{{sfnm|1a1=Federer|1y=1969|1loc=Section 1.8.2}}
-किसी रूप की [[वर्तमान (गणित)]] की भाषा में, विर्टिंगर प्रमेय (यद्यपि समानता कब प्राप्त होती है इसके बारे में सटीकता के बिना) को यह कहते हुए भी कहा जा सकता है कि रूप का कोमास {{math|''&omega;'' ∧ ⋅⋅⋅ ∧ ''&omega;''}} के बराबर है {{math|''k''!}}.{{sfnm|1a1=Federer|1y=1969|1loc=Section 1.8.2}}
+किसी रूप की [[वर्तमान (गणित)]] की भाषा में, विर्टिंगर प्रमेय (यद्यपि समानता कब प्राप्त होती है इसके बारे में स्पष्टता  के बिना) को यह कहते हुए भी कहा जा सकता है कि रूप का कोमास {{math|''&omega;'' ∧ ⋅⋅⋅ ∧ ''&omega;''}} के बराबर है {{math|''k''!}}.{{sfnm|1a1=Federer|1y=1969|1loc=Section 1.8.2}}
 ==प्रमाण==
 ==={{math|''k'' {{=}} 1}}===
-विशेष मामले में {{math|''k'' {{=}} 1}}, विर्टिंगर असमानता कॉची-श्वार्ज़ असमानता का एक विशेष मामला है:
+विशेष स्थितियों में {{math|''k'' {{=}} 1}}, विर्टिंगर असमानता कॉची-श्वार्ज़ असमानता का एक विशेष मामला है:
 :<math>\omega(v_1,v_2)=g(J(v_1),v_2)\leq \|J(v_1)\|_g\|v_2\|_g=1.</math>
-कॉची-श्वार्ज़ असमानता के समानता मामले के अनुसार, समानता तब होती है जब और केवल यदि {{math|''J''(''v''<sub>1</sub>)}} और {{math|''v''<sub>2</sub>}} संरेख हैं, जो के विस्तार के बराबर है {{math|''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>}}के तहत बंद किया जा रहा है {{mvar|J}}.
+कॉची-श्वार्ज़ असमानता के समानता स्थितियों के अनुसार, समानता तब होती है जब और केवल यदि {{math|''J''(''v''<sub>1</sub>)}} और {{math|''v''<sub>2</sub>}} संरेख हैं, जो के विस्तार के बराबर है {{math|''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>}}के तहत बंद किया जा रहा है {{mvar|J}}.
 ==={{math|''k'' > 1}}===
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 जो बदले में तात्पर्य करता है
 :<math>(\underbrace{\omega\wedge\cdots\wedge\omega}_{k\text{ times}})(e_1,\ldots,e_{2k})=k!\prod_{i=1}^k\omega(e_{2i-1},e_{2i})\leq k!,</math>
-जहां असमानता पहले से स्थापित है {{math|''k'' {{=}} 1}} मामला। यदि समानता कायम है, तो के अनुसार {{math|''k'' {{=}} 1}} समानता का मामला, ऐसा ही होना चाहिए {{math|''&omega;''(''e''<sub>2''i'' − 1</sub>, ''e''<sub>2''i''</sub>) {{=}} ±1}} प्रत्येक के लिए {{mvar|i}}. यह दोनों में से एक के बराबर है {{math|''&omega;''(''e''<sub>2''i'' − 1</sub>, ''e''<sub>2''i''</sub>) {{=}} 1}} या {{math|''&omega;''(''e''<sub>2''i''</sub>, ''e''<sub>2''i'' − 1</sub>) {{=}} 1}}, जो किसी भी स्थिति में (से {{math|''k'' {{=}} 1 }} केस) का तात्पर्य है कि का दायरा {{math|''e''<sub>2''i'' − 1</sub>, ''e''<sub>2''i''</sub>}} के अंतर्गत बंद है {{math|''J''}}, और इसलिए वह अवधि {{math|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>2''k''</sub>}} के अंतर्गत बंद है {{mvar|J}}.
+जहां असमानता पहले से स्थापित है {{math|''k'' {{=}} 1}} मामला। यदि समानता कायम है, तो के अनुसार {{math|''k'' {{=}} 1}} समानता का मामला, ऐसा ही होना चाहिए {{math|''&omega;''(''e''<sub>2''i'' − 1</sub>, ''e''<sub>2''i''</sub>) {{=}} ±1}} प्रत्येक के लिए {{mvar|i}}. यह दोनों में से एक के बराबर है {{math|''&omega;''(''e''<sub>2''i'' − 1</sub>, ''e''<sub>2''i''</sub>) {{=}} 1}} या {{math|''&omega;''(''e''<sub>2''i''</sub>, ''e''<sub>2''i'' − 1</sub>) {{=}} 1}}, जो किसी भी स्थिति में (से {{math|''k'' {{=}} 1 }} केस) का तात्पर्य है कि का सीमा {{math|''e''<sub>2''i'' − 1</sub>, ''e''<sub>2''i''</sub>}} के अंतर्गत बंद है {{math|''J''}}, और इसलिए वह अवधि {{math|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>2''k''</sub>}} के अंतर्गत बंद है {{mvar|J}}.
 अंत में, मात्रा की निर्भरता
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 [[हर्मिटियन मेट्रिक]] के साथ एक जटिल विविधता को देखते हुए, विर्टिंगर प्रमेय तुरंत किसी के लिए भी इसका अर्थ निकालता है {{math|2''k''}}-आयामी [[ एंबेडेड सबमैनिफोल्ड |एंबेडेड सबमैनिफोल्ड]] {{mvar|M}}, वहाँ है
 :<math>\operatorname{vol}(M)\geq\frac{1}{k!}\int_M \omega^k,</math>
-कहाँ {{math|''&omega;''}} मीट्रिक का काहलर रूप है। इसके अलावा, समानता तभी प्राप्त होती है जब {{mvar|M}} एक जटिल उपमान है।{{sfnm|1a1=Griffiths|1a2=Harris|1y=1978|1loc=Section 0.2}} विशेष मामले में कि हर्मिटियन मीट्रिक काहलर मीट्रिक|काहलर शर्त को संतुष्ट करता है, यह कहता है कि {{math|{{sfrac|1|''k''!}}''&omega;''<sup>''k''</sup>}} अंतर्निहित रीमैनियन मीट्रिक के लिए एक कैलिब्रेटेड ज्यामिति है, और संबंधित कैलिब्रेटेड ज्यामिति जटिल आयाम के जटिल उपमान हैं {{mvar|k}}.{{sfnm|1a1=Harvey|1a2=Lawson|1y=1982}} यह विशेष रूप से कहता है कि काहलर मैनिफोल्ड का प्रत्येक जटिल सबमैनिफोल्ड एक [[न्यूनतम सबमैनिफोल्ड]] है, और इसके [[समरूपता वर्ग]] में सभी सबमैनिफोल्ड के बीच वॉल्यूम-न्यूनतम भी है।
+कहाँ {{math|''&omega;''}} मीट्रिक का काहलर रूप है। इसके अतिरिक्त, समानता तभी प्राप्त होती है जब {{mvar|M}} एक जटिल उपमान है।{{sfnm|1a1=Griffiths|1a2=Harris|1y=1978|1loc=Section 0.2}} विशेष स्थितियों में कि हर्मिटियन मीट्रिक काहलर मीट्रिक|काहलर शर्त को संतुष्ट करता है, यह कहता है कि {{math|{{sfrac|1|''k''!}}''&omega;''<sup>''k''</sup>}} अंतर्निहित रीमैनियन मीट्रिक के लिए एक कैलिब्रेटेड ज्यामिति है, और संबंधित कैलिब्रेटेड ज्यामिति जटिल आयाम के जटिल उपमान हैं {{mvar|k}}.{{sfnm|1a1=Harvey|1a2=Lawson|1y=1982}} यह विशेष रूप से कहता है कि काहलर मैनिफोल्ड का प्रत्येक जटिल सबमैनिफोल्ड एक [[न्यूनतम सबमैनिफोल्ड]] है, और इसके [[समरूपता वर्ग]] में सभी सबमैनिफोल्ड के बीच वॉल्यूम-न्यूनतम भी है।
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