विर्टिंगर असमानता (2-रूप)

विर्टिंगर के नाम पर अन्य असमानताओं के लिए, विर्टिंगर की असमानता (बहुविकल्पी)| विर्टिंगर की असमानता देखें।

गणित में, 'विर्टिंगर असमानता', जिसका नाम विलियम विर्टिंगर के नाम पर रखा गया है, रैखिक बीजगणित में एक मौलिक परिणाम है जोकि एक हर्मिटियन आंतरिक उत्पाद के सहानुभूति और आयतन रूपों से संबंधित है। जटिल ज्यामिति में इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जिसमे यह दिखाया गया कि काहलर मैनिफोल्ड की सामान्यीकृत बाहरी शक्तियां इस प्रकार है जैसे की काहलर मैनिफोल्ड का काहलर रूप कैलिब्रेटेड ज्यामिति है।

कथन

सकारात्मक-निश्चित आंतरिक उत्पाद g, सहानुभूतिपूर्ण रूप ω, और लगभग-जटिल संरचना J के साथ एक वास्तविक वेक्टर स्थान पर इस प्रकार के विचार किये जाते , जो कि किसी भी सदिश u और v के लिए ω(u, v) = g(J(u), v)) से जुड़ा हुआ होता है। किसी भी ऑर्थोनॉर्मल सदिश के लिए v₁, ..., v_2k है

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})\leq k!.$

इनमे समानता तभी पायी जाएगी है जब v₁, ..., v_2k का विस्तार J के संचालन के तहत बंद होता है।

किसी रूप के अल्पविराम की भाषा में, विर्टिंगर प्रमेय (हालाँकि समानता कब प्राप्त होती है इसके बारे में सटीकता के बिना) को यह कहते हुए भी व्यक्त किया जा सकता है कि रूप का अल्पविराम ω ∧ ⋅⋅⋅ ∧ ω, k! के बराबर है!

प्रमाण

k = 1

विशेष स्थितियों में k = 1, है तब विर्टिंगर असमानता कॉची-श्वार्ज़ असमानता का एक विशेष स्थिति होगी |

$\omega (v_{1},v_{2})=g(J(v_{1}),v_{2})\leq \|J(v_{1})\|_{g}\|v_{2}\|_{g}=1.$

कॉची-श्वार्ज़ असमानता के समानता स्थितियों के अनुसार, समानता तब होती है जब केवल J(v₁) और v₂ संरेख होते हैं, जो कि v₁ की अवधि के बराबर है, तथा v₂ को J के तहत बंद किया जाता है।

k > 1

होने देना v₁, ..., v_2k तय किया जाए, और जाने दिया जाए तब T उनके विस्तार को निरूपित करता है । फिर दोहरे आधार w₁, ..., w_2k के साथ T का एक ऑर्थोनॉर्मल इस प्रकार है जिसका आधार e₁, ..., e_2k है, जैसे कि

$\iota ^{\ast }\omega =\sum _{j=1}^{k}\omega (e_{2j-1},e_{2j})w_{2j-1}\wedge w_{2j},$

जहाँ ι से समावेशन मानचित्र को दर्शाता है जिससे T में V. यह संकेत करता है

$\underbrace {\iota ^{\ast }\omega \wedge \cdots \wedge \iota ^{\ast }\omega } _{k{\text{ times}}}=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{2k},$

जो बदले में तात्पर्य करता है

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(e_{1},\ldots ,e_{2k})=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})\leq k!,$

जहां असमानता पहले से स्थापित है k = 1 की स्थिति में । यदि समानता कायम है, तो इसके अनुसार k = 1 समानता का स्थिति, ऐसा ही होना चाहिए ω(e_{2i − 1}, e_2i) = ±1 प्रत्येक के लिए i. यह दोनों में से एक के बराबर है ω(e_{2i − 1}, e_2i) = 1 या ω(e_2i, e_{2i − 1}) = 1, जो किसी भी स्थिति में (से k = 1 केस) का तात्पर्य है कि सीमा e_{2i − 1}, e_2i के अंतर्गत बंद है J, और इसलिए वह अवधि e₁, ..., e_2k के अंतर्गत बंद है J.

अंत में, मात्रा की निर्भरता

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})$

पर v₁, ..., v_2k केवल मात्रा पर है v₁ ∧ ⋅⋅⋅ ∧ v_2k, और ओर्थोनॉर्मलिटी स्थिति से v₁, ..., v_2k, यह वेज उत्पाद एक संकेत तक अच्छी तरह से निर्धारित है। यह उपरोक्त कार्य से संबंधित है e₁, ..., e_2k के संदर्भ में वांछित कथन के लिए v₁, ..., v_2k. है |

परिणाम

हर्मिटियन मेट्रिक के साथ एक जटिल मैनिफोल्ड को देखते हुए, विर्टिंगर प्रमेय का तुरंत तात्पर्य है कि किसी भी 2k -आयामी एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड M के लिए, वहाँ है

$\operatorname {vol} (M)\geq {\frac {1}{k!}}\int _{M}\omega ^{k},$

जहाँ ω मीट्रिक का काहलर रूप है। इसके अतिरिक्त, समानता तभी प्राप्त होती है जब M एक जटिल उपमान होता है। विशेष स्थितियों में हर्मिटियन मीट्रिक काहलर मीट्रिक काहलर नियम को संतुष्ट करता है, यह ऐसा कहता है कि 1/k!ω^k अंतर्निहित रीमैनियन मीट्रिक के लिए एक कैलिब्रेटेड ज्यामिति है, और संबंधित कैलिब्रेटेड ज्यामिति जटिल आयाम के जटिल उपमान हैं k. यह विशेष रूप से कहता है कि काहलर मैनिफोल्ड का प्रत्येक जटिल सबमैनिफोल्ड एक न्यूनतम सबमैनिफोल्ड है, और इसके समरूपता वर्ग में सभी सबमैनिफोल्ड के बीच वॉल्यूम-न्यूनतम भी है।

विर्टिंगर असमानता का उपयोग करते हुए, ये तथ्य काहलर मैनिफोल्ड्स में वर्तमान (गणित) के अधिक परिष्कृत संदर्भ तक भी विस्तारित होते हैं।

यह भी देखें

• जटिल प्रक्षेप्य स्थान के लिए ग्रोमोव की असमानता
• सिस्टोलिक ज्यामिति

संदर्भ

• Federer, Herbert (1969). Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 153. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7. MR 0257325. Zbl 0176.00801.
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