पूर्णांक-अवकल समीकरण

गणित में, समाकल अवकल समीकरण (इंटीग्रो-डिफरेंशियल ईक्वेशन) एक समीकरण है जिसमें किसी फलन (गणित) के अभिन्न और व्युत्पन्न दोनों सम्मिलित होते हैं।

सामान्य प्रथम कोटि रैखिक समीकरण

सामान्य प्रथम-क्रम, रैखिक (केवल व्युत्पन्न से जुड़े पद के संबंध में) समाकल अवकल समीकरण इस प्रकार है

${\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.$

जैसा कि विभेदक समीकरणों के साथ विशिष्ट है, एक संवृत रूप समाधान प्राप्त करना प्रायः कठिन हो सकता है। अपेक्षाकृत कुछ परिस्थितियों में जहां समाधान पाया जा सकता है, यह प्रायः किसी प्रकार के अभिन्न परिवर्तन के माध्यम से होता है, जहां समस्या को पहले बीजगणितीय सेटिंग में बदल दिया जाता है। ऐसी स्थितियों में, इस बीजगणितीय समीकरण के समाधान में व्युत्क्रम परिवर्तन लागू करके समस्या का समाधान निकाला जा सकता है।

उदाहरण

निम्नलिखित दूसरे क्रम की समस्या पर विचार करें,

$u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta (x)\qquad {\text{with}}\qquad u(0)=0,$

जहाँ

$\theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.$

हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है। लाप्लास परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया गया है,

$U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.$

पद-दर-अवधि लाप्लास परिवर्तन लेने पर, और व्युत्पन्न और अभिन्न के लिए नियमों का उपयोग करने पर, पूर्णांक-अंतर समीकरण निम्नलिखित बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तित हो जाता है,

$sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.$

इस प्रकार,

$U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}$.

समोच्च एकीकरण के तरीकों का उपयोग करके लाप्लास परिवर्तन को उलटना तब प्राप्त होता है

$u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)$.

वैकल्पिक रूप से, कोई व्यक्ति वर्ग को पूरा कर सकता है और लाप्लास ट्रांसफॉर्म की सूची की एक तालिका का उपयोग कर सकता है#टेबल (तेजी से क्षयकारी साइन तरंग) या आगे बढ़ने के लिए मेमोरी से रिकॉल करें:

$U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)$.

अनुप्रयोग

इंटीग्रो-डिफरेंशियल समीकरण विज्ञान और अभियांत्रिकी से कई स्थितियों को मॉडल करते हैं, जैसे परिपथ विश्लेषण में होता है। किरचॉफ के परिपथ नियमों के अनुसार किरचॉफ का दूसरा नियम, एक संवृत लूप में शुद्ध वोल्टेज घटाव प्रभावित वोल्टेज के बराबर होता है $E(t)$. (यह अनिवार्य रूप से ऊर्जा के संरक्षण का एक अनुप्रयोग है।) इसलिए आरएलसी परिपथ इसका पालन करता है

$$L{\frac {d}{dt}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =E(t),$$

जहाँ $I(t)$ समय के एक फलन के रूप में धारा है, $R$ प्रतिरोध है, $L$ प्रेरण, और $C$ धारिता. निरोधात्मक पोस्टसिनेप्टिक क्षमता और उत्तेजक पोस्टसिनेप्टिक संभावित न्यूरॉन्स की परस्पर क्रिया की गतिविधि को इंटीग्रो-डिफरेंशियल समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए विल्सन-कोवान मॉडल देखें।

व्हिथम समीकरण का उपयोग द्रव गतिकी में अरेखीय फैलावदार तरंगों को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

महामारी विज्ञान

समाकल अवकल समीकरणों ने महामारी विज्ञान, महामारी के गणितीय मॉडलिंग में आवेदन पाया है, खासकर जब मॉडल में जनसंख्या पिरामिड आयु-संरचना सम्मिलित होती है या स्थानिक महामारी का वर्णन करें। केर्मैक-मैककेंड्रिक सिद्धांत संक्रामक रोग संचरण का केर्मैक-मैककेंड्रिक सिद्धांत एक विशेष उदाहरण है जहां जनसंख्या में आयु-संरचना को मॉडलिंग ढांचे में सम्मिलित किया गया है।

यह भी देखें

• विलंब अंतर समीकरण
• अंतर समीकरण
• अभिन्न समीकरण
• इंटीग्रोडिफ़रेंस समीकरण

अग्रिम पठन

• Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Theory of Integro-Differential Equations”, CRC Press, 1995

बाहरी संबंध

• Interactive Mathematics
• Numerical solution of the example using Chebfun