पैरामीट्रिक मॉडल: Difference between revisions

Revision as of 12:49, 11 July 2023

आंकड़ों में, पैरामीट्रिक मॉडल या पैरामीट्रिक परिवार या परिमित-आयामी मॉडल सांख्यिकीय मॉडल का विशेष वर्ग है। विशेष रूप से, पैरामीट्रिक मॉडल संभाव्यता वितरण का परिवार है जिसमें पैरामीटर की सीमित संख्या होती है।

परिभाषा

एक सांख्यिकीय मॉडल कुछ नमूना स्थान पर संभाव्यता वितरण का संग्रह है। हम मानते हैं कि संग्रह, $𝒫$ , कुछ सेट द्वारा अनुक्रमित किया जाता है $Θ$ . सेट $Θ$ पैरामीटर सेट या, अधिक सामान्यतः, पैरामीटर स्थान कहा जाता है। प्रत्येक के लिए $θ \in Θ$ , होने देना $P θ$ संग्रह के संबंधित सदस्य को निरूपित करें; इसलिए $P θ$ संचयी वितरण समारोह है। फिर सांख्यिकीय मॉडल के रूप में लिखा जा सकता है

{\mathcal {P}}={\big \{}P_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.

मॉडल पैरामीट्रिक मॉडल है यदि $Θ \subseteq ℝ k$ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ .

जब मॉडल में पूरी तरह से निरंतर वितरण होते हैं, तो इसे प्रायिकता घनत्व कार्यों के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जाता है:

{\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.

उदाहरण

बंटनों का प्वासों बंटन एकल संख्या द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है $λ > 0$ :

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},

कहाँ $p λ$ संभाव्यता द्रव्यमान कार्य है। यह परिवार घातीय परिवार है।

सामान्य वितरण द्वारा parametrized है $θ = (μ, σ)$ , कहाँ $μ \in ℝ$ स्थान पैरामीटर है और $σ > 0$ स्केल पैरामीटर है:

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.

यह पैरामीट्रिज्ड परिवार घातीय परिवार और स्थान-स्तरीय परिवार दोनों है।

वेइबुल वितरण का त्रि-आयामी पैरामीटर है $θ = (λ, β, μ)$ :

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}}.

द्विपद बंटन द्वारा parametrized है $θ = (n, p)$ , कहाँ $n$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और $p$ संभावना है (यानी $p \geq 0$ और $p \leq 1$ ):

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.

यह उदाहरण कुछ असतत मापदंडों वाले मॉडल की परिभाषा दिखाता है।

सामान्य टिप्पणी

मानचित्रण होने पर पैरामीट्रिक मॉडल को पहचान योग्य कहा जाता है $θ \mapsto P θ$ व्युत्क्रमणीय है, अर्थात दो अलग-अलग पैरामीटर मान नहीं हैं $θ 1$ और $θ 2$ ऐसा है कि $P θ 1 = P θ 2$ .

मॉडल के अन्य वर्गों के साथ तुलना

पैरामीट्रिक आँकड़े सेमीपैरामेट्रिक मॉडल|सेमी-पैरामीट्रिक, अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल|सेमी-नॉनपैरामीट्रिक, और गैर पैरामीट्रिक मॉडल के विपरीत होते हैं, जिनमें से सभी में विवरण के लिए पैरामीटर का अनंत सेट होता है। इन चार वर्गों के बीच अंतर इस प्रकार है:^{[citation needed]}

एक पैरामीट्रिक सांख्यिकी मॉडल में सभी पैरामीटर परिमित-आयामी पैरामीटर रिक्त स्थान में हैं;
एक मॉडल गैर-पैरामीट्रिक आँकड़े है | गैर-पैरामीट्रिक यदि सभी पैरामीटर अनंत-आयामी पैरामीटर रिक्त स्थान में हैं;
एक अर्ध-पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी पैरामीटर और अनंत-आयामी उपद्रव पैरामीटर शामिल हैं;
एक अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी और अनंत-आयामी दोनों अज्ञात पैरामीटर हैं।

कुछ सांख्यिकीविदों का मानना है कि पैरामीट्रिक, गैर-पैरामीट्रिक और अर्ध-पैरामीट्रिक अवधारणाएं अस्पष्ट हैं।^[1] यह भी ध्यान दिया जा सकता है कि सभी संभाव्यता उपायों के सेट में कॉन्टिनम (सेट सिद्धांत) की प्रमुखता है, और इसलिए किसी भी मॉडल को (0,1) अंतराल में ही नंबर से पैरामीट्रिज करना संभव है।^[2] केवल चिकने पैरामीट्रिक मॉडल पर विचार करके इस कठिनाई से बचा जा सकता है।

यह भी देखें

पैरामीट्रिक परिवार
पैरामीट्रिक आँकड़े
सांख्यिकीय मॉडल
सांख्यिकीय मॉडल विनिर्देश

ग्रन्थसूची

Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2001), Mathematical Statistics: Basic and selected topics, vol. 1 (Second (updated printing 2007) ed.), Prentice-Hall
Bickel, Peter J.; Klaassen, Chris A. J.; Ritov, Ya’acov; Wellner, Jon A. (1998), Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models, Springer
Davison, A. C. (2003), Statistical Models, Cambridge University Press
Le Cam, Lucien; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics: Some basic concepts (2nd ed.), Springer
Lehmann, Erich L.; Casella, George (1998), Theory of Point Estimation (2nd ed.), Springer
Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008), Statistical Decision Theory: Estimation, testing, and selection, Springer
Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (1994), Parametric Statistical Theory, Walter de Gruyter, MR 1291393

[1] Le Cam & Yang 2000, §7.4

[2] Bickel et al. 1998, p. 2

[1]

[2]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Context|date=November 2022}}{{Short description|Type of statistical model}}
+{{Short description|Type of statistical model}}
 {{about|statistics|mathematical and computer representation of objects|Solid modeling}}
-आंकड़ों में, एक पैरामीट्रिक मॉडल या पैरामीट्रिक परिवार या परिमित-आयामी मॉडल [[सांख्यिकीय मॉडल]] का एक विशेष वर्ग है। विशेष रूप से, एक पैरामीट्रिक मॉडल संभाव्यता वितरण का एक परिवार है जिसमें पैरामीटर की सीमित संख्या होती है।
+आंकड़ों में, पैरामीट्रिक मॉडल या पैरामीट्रिक परिवार या परिमित-आयामी मॉडल [[सांख्यिकीय मॉडल]] का विशेष वर्ग है। विशेष रूप से, पैरामीट्रिक मॉडल संभाव्यता वितरण का परिवार है जिसमें पैरामीटर की सीमित संख्या होती है।
 == परिभाषा ==
-{{no footnotes|section|date=May 2012}}
+एक सांख्यिकीय मॉडल कुछ नमूना स्थान पर संभाव्यता वितरण का संग्रह है। हम मानते हैं कि संग्रह, {{math|''𝒫''}}, कुछ सेट द्वारा अनुक्रमित किया जाता है {{math|Θ}}. सेट {{math|Θ}} पैरामीटर सेट या, अधिक सामान्यतः, [[पैरामीटर स्थान]] कहा जाता है। प्रत्येक के लिए {{math|''θ''&nbsp;∈ Θ}}, होने देना {{math|''P<sub>θ</sub>''}} संग्रह के संबंधित सदस्य को निरूपित करें; इसलिए {{math|''P<sub>θ</sub>''}} संचयी वितरण समारोह है। फिर सांख्यिकीय मॉडल के रूप में लिखा जा सकता है
-एक सांख्यिकीय मॉडल कुछ नमूना स्थान पर संभाव्यता वितरण का एक संग्रह है। हम मानते हैं कि संग्रह, {{math|''𝒫''}}, कुछ सेट द्वारा अनुक्रमित किया जाता है {{math|Θ}}. सेट {{math|Θ}} पैरामीटर सेट या, अधिक सामान्यतः, [[पैरामीटर स्थान]] कहा जाता है। प्रत्येक के लिए {{math|''θ''&nbsp;∈ Θ}}, होने देना {{math|''P<sub>θ</sub>''}} संग्रह के संबंधित सदस्य को निरूपित करें; इसलिए {{math|''P<sub>θ</sub>''}} एक संचयी वितरण समारोह है। फिर एक सांख्यिकीय मॉडल के रूप में लिखा जा सकता है
 : <math>
      \mathcal{P} = \big\{ P_\theta\ \big|\ \theta\in\Theta \big\}.
    </math>
-मॉडल एक पैरामीट्रिक मॉडल है यदि {{math|Θ&nbsp;⊆ ℝ<sup>''k''</sup>}} कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{math|''k''}}.
+मॉडल पैरामीट्रिक मॉडल है यदि {{math|Θ&nbsp;⊆ ℝ<sup>''k''</sup>}} कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{math|''k''}}.
 जब मॉडल में पूरी तरह से निरंतर वितरण होते हैं, तो इसे प्रायिकता घनत्व कार्यों के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जाता है:
@@ Line 22: / Line 21: @@
      \mathcal{P} = \Big\{\ p_\lambda(j) = \tfrac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda},\ j=0,1,2,3,\dots \ \Big|\;\; \lambda>0 \ \Big\},
    </math>
-कहाँ {{math|''p<sub>λ</sub>''}} संभाव्यता द्रव्यमान कार्य है। यह परिवार एक [[घातीय परिवार]] है।
+कहाँ {{math|''p<sub>λ</sub>''}} संभाव्यता द्रव्यमान कार्य है। यह परिवार [[घातीय परिवार]] है।
-* [[सामान्य वितरण]] द्वारा parametrized है {{math|''θ'' {{=}} (''μ'', ''σ'')}}, कहाँ {{math|''μ'' ∈ ℝ}} एक स्थान पैरामीटर है और {{math|''σ'' > 0}} स्केल पैरामीटर है:
+* [[सामान्य वितरण]] द्वारा parametrized है {{math|''θ'' {{=}} (''μ'', ''σ'')}}, कहाँ {{math|''μ'' ∈ ℝ}} स्थान पैरामीटर है और {{math|''σ'' > 0}} स्केल पैरामीटर है:
 : <math>
      \mathcal{P} = \Big\{\ f_\theta(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\ \Big|\;\; \mu\in\mathbb{R}, \sigma>0 \ \Big\}.
    </math>
-यह पैरामीट्रिज्ड परिवार एक घातीय परिवार और एक स्थान-स्तरीय परिवार दोनों है।
+यह पैरामीट्रिज्ड परिवार घातीय परिवार और स्थान-स्तरीय परिवार दोनों है।
-* वेइबुल वितरण का एक त्रि-आयामी पैरामीटर है {{math|''θ'' {{=}} (''λ'', ''β'', ''μ'')}}:
+* वेइबुल वितरण का त्रि-आयामी पैरामीटर है {{math|''θ'' {{=}} (''λ'', ''β'', ''μ'')}}:
 : <math>
      \mathcal{P} = \Big\{\
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      \ \Big\}.
    </math>
-* द्विपद बंटन द्वारा parametrized है {{math|''θ'' {{=}} (''n'', ''p'')}}, कहाँ {{math|''n''}} एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और {{math|''p''}} एक संभावना है (यानी {{math|''p'' ≥ 0}} और {{math|''p'' ≤ 1}}):
+* द्विपद बंटन द्वारा parametrized है {{math|''θ'' {{=}} (''n'', ''p'')}}, कहाँ {{math|''n''}} गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और {{math|''p''}} संभावना है (यानी {{math|''p'' ≥ 0}} और {{math|''p'' ≤ 1}}):
 : <math>
      \mathcal{P} = \Big\{\ p_\theta(k) = \tfrac{n!}{k!(n-k)!}\, p^k (1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots, n \ \Big|\;\; n\in\mathbb{Z}_{\ge 0},\, p \ge 0 \land p \le 1\Big\}.
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 == सामान्य टिप्पणी ==
-मानचित्रण होने पर एक पैरामीट्रिक मॉडल को [[पहचान योग्य]] कहा जाता है {{math|''θ'' ↦ ''P<sub>θ</sub>''}} व्युत्क्रमणीय है, अर्थात दो अलग-अलग पैरामीटर मान नहीं हैं {{math|''θ''<sub>1</sub>}} और {{math|''θ''<sub>2</sub>}} ऐसा है कि {{math|''P''<sub>''θ''<sub>1</sub></sub>&nbsp;{{=}} ''P''<sub>''θ''<sub>2</sub></sub>}}.
+मानचित्रण होने पर पैरामीट्रिक मॉडल को [[पहचान योग्य]] कहा जाता है {{math|''θ'' ↦ ''P<sub>θ</sub>''}} व्युत्क्रमणीय है, अर्थात दो अलग-अलग पैरामीटर मान नहीं हैं {{math|''θ''<sub>1</sub>}} और {{math|''θ''<sub>2</sub>}} ऐसा है कि {{math|''P''<sub>''θ''<sub>1</sub></sub>&nbsp;{{=}} ''P''<sub>''θ''<sub>2</sub></sub>}}.
 == मॉडल के अन्य वर्गों के साथ तुलना ==
-[[पैरामीट्रिक आँकड़े]] [[सेमीपैरामेट्रिक मॉडल]]|सेमी-पैरामीट्रिक, [[अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल]]|सेमी-नॉनपैरामीट्रिक, और [[गैर पैरामीट्रिक मॉडल]] के विपरीत होते हैं, जिनमें से सभी में विवरण के लिए पैरामीटर का एक अनंत सेट होता है। इन चार वर्गों के बीच अंतर इस प्रकार है:{{Citation needed|date=October 2010}}
+[[पैरामीट्रिक आँकड़े]] [[सेमीपैरामेट्रिक मॉडल]]|सेमी-पैरामीट्रिक, [[अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल]]|सेमी-नॉनपैरामीट्रिक, और [[गैर पैरामीट्रिक मॉडल]] के विपरीत होते हैं, जिनमें से सभी में विवरण के लिए पैरामीटर का अनंत सेट होता है। इन चार वर्गों के बीच अंतर इस प्रकार है:{{Citation needed|date=October 2010}}
 * एक पैरामीट्रिक सांख्यिकी मॉडल में सभी पैरामीटर परिमित-आयामी पैरामीटर रिक्त स्थान में हैं;
 * एक मॉडल गैर-पैरामीट्रिक आँकड़े है | गैर-पैरामीट्रिक यदि सभी पैरामीटर अनंत-आयामी पैरामीटर रिक्त स्थान में हैं;
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 * एक अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी और अनंत-आयामी दोनों अज्ञात पैरामीटर हैं।
-कुछ सांख्यिकीविदों का मानना है कि पैरामीट्रिक, गैर-पैरामीट्रिक और अर्ध-पैरामीट्रिक अवधारणाएं अस्पष्ट हैं।<ref>{{harvnb|Le Cam| Yang|2000}}, §7.4</ref> यह भी ध्यान दिया जा सकता है कि सभी संभाव्यता उपायों के सेट में कॉन्टिनम (सेट सिद्धांत) की [[प्रमुखता]] है, और इसलिए किसी भी मॉडल को (0,1) अंतराल में एक ही नंबर से पैरामीट्रिज करना संभव है।<ref>{{harvnb|Bickel|Klaassen| Ritov| Wellner| 1998|page=2}}</ref> केवल चिकने पैरामीट्रिक मॉडल पर विचार करके इस कठिनाई से बचा जा सकता है।
+कुछ सांख्यिकीविदों का मानना है कि पैरामीट्रिक, गैर-पैरामीट्रिक और अर्ध-पैरामीट्रिक अवधारणाएं अस्पष्ट हैं।<ref>{{harvnb|Le Cam| Yang|2000}}, §7.4</ref> यह भी ध्यान दिया जा सकता है कि सभी संभाव्यता उपायों के सेट में कॉन्टिनम (सेट सिद्धांत) की [[प्रमुखता]] है, और इसलिए किसी भी मॉडल को (0,1) अंतराल में ही नंबर से पैरामीट्रिज करना संभव है।<ref>{{harvnb|Bickel|Klaassen| Ritov| Wellner| 1998|page=2}}</ref> केवल चिकने पैरामीट्रिक मॉडल पर विचार करके इस कठिनाई से बचा जा सकता है।
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