अर्ध-पूर्णांक: Difference between revisions

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गणित में, '''अर्ध-पूर्णांक''' एक [[संख्या]] का रूप होता है<math display=block>n + \tfrac{1}{2},</math>कहाँ <math>n</math> एक पूर्ण संख्या है. उदाहरण के लिए,<math display="block">4\tfrac12,\quad 7/2,\quad -\tfrac{13}{2},\quad 8.5</math>सभी अर्ध-पूर्णांक हैं. '''"अर्ध-पूर्णांक"''' नाम संभवतः भ्रामक है, क्योंकि समूह में 1 (पूर्णांक 2 का आधा होना) जैसी संख्याओं को सम्मिलित करने को गलत समझा जा सकता है। इस प्रकार '''"पूर्णांक-प्लस-आधा"''' जैसा नाम अधिक त्रुटिहीन हो सकता है, किन्तु शाब्दिक रूप से सत्य न होते हुए भी, "आधा पूर्णांक" पारंपरिक शब्द है। इस प्रकार अर्ध-पूर्णांक गणित और क्वांटम यांत्रिकी में इतनी बार आते हैं कि एक भिन्न शब्द सुविधाजनक होता है।
गणित में, अर्ध-पूर्णांक एक [[संख्या]] का रूप होता है
ध्यान दें कि पूर्णांक को आधा करने से सदैव आधा पूर्णांक नहीं बनता है; यह केवल [[विषम पूर्णांक|विषम पूर्णाकों]] के लिए सत्य है। इस कारण से, आधे-पूर्णांकों को कभी-कभी '''अर्ध-विषम-पूर्णांक''' भी कहा जाता है। इस प्रकार अर्ध-पूर्णांक द्विघात परिमेय का एक उपसमूह हैं (एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने पर उत्पन्न संख्याएँ हैं।)<ref>{{cite book |first=Malcolm |last=Sabin |year=2010 |title=यूनीवेरिएट उपखंड योजनाओं का विश्लेषण और डिजाइन|volume=6 |series=Geometry and Computing |publisher=Springer |isbn=9783642136481 |page=51 |url=https://books.google.com/books?id=18UC7d7h0LQC&pg=PA51}}</ref>
<math display=block>n + \tfrac{1}{2},</math>
==संकेतन और बीजगणितीय संरचना==
कहाँ <math>n</math> एक पूर्ण संख्या है. उदाहरण के लिए,
सभी अर्ध-पूर्णांकों का समुच्चय को प्रायः दर्शाया जाता है<math display=block>\mathbb Z + \tfrac{1}{2} \quad = \quad \left( \tfrac{1}{2} \mathbb Z \right) \smallsetminus \mathbb Z ~.</math>इस प्रकार पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मिलकर योग संक्रिया के अंतर्गत एक [[समूह (गणित)|समूह]] बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जा सकता है<ref>{{cite book |first=Vladimir G. |last=Turaev |year=2010 |title=Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds |edition=2nd |series=De Gruyter Studies in Mathematics |volume=18 |publisher=Walter de Gruyter |isbn=9783110221848 |page=390}}</ref><math display="block">\tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.</math>चूँकि, ये संख्याएँ एक वलय (गणित) नहीं बनाती हैं क्योंकि दो अर्ध-पूर्णांकों का गुणनफल अधिकांशतः अर्ध-पूर्णांक नहीं होता है; जैसे <math>~\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} ~=~ \tfrac{1}{4} ~ \notin ~ \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.</math><ref>{{cite book |first1=George |last1=Boolos |first2=John P. |last2=Burgess |first3=Richard C. |last3=Jeffrey |year=2002 |title=कम्प्यूटेबिलिटी और तर्क|page=105 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9780521007580 |url=https://books.google.com/books?id=0LpsXQV2kXAC&pg=PA105}}</ref>
<math display=block>4\tfrac12,\quad 7/2,\quad -\tfrac{13}{2},\quad 8.5</math>
सभी अर्ध-पूर्णांक हैं. अर्ध-पूर्णांक नाम शायद भ्रामक है, क्योंकि सेट में 1 (पूर्णांक 2 का आधा होना) जैसी संख्याओं को शामिल करने को गलत समझा जा सकता है। पूर्णांक-प्लस-आधा जैसा नाम अधिक सटीक हो सकता है, लेकिन शाब्दिक रूप से सत्य न होते हुए भी, आधा पूर्णांक पारंपरिक शब्द है।{{citation needed|date=February 2020}} अर्ध-पूर्णांक गणित और क्वांटम यांत्रिकी में इतनी बार आते हैं कि एक अलग शब्द सुविधाजनक होता है।
 
ध्यान दें कि पूर्णांक को आधा करने से हमेशा आधा पूर्णांक नहीं बनता है; यह केवल [[विषम पूर्णांक]]ों के लिए सत्य है। इस कारण से, आधे-पूर्णांकों को कभी-कभी अर्ध-विषम-पूर्णांक भी कहा जाता है। अर्ध-पूर्णांक डायडिक परिमेय का एक उपसमूह हैं (एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने पर उत्पन्न संख्याएँ)।<ref>{{cite book |first=Malcolm |last=Sabin |year=2010 |title=यूनीवेरिएट उपखंड योजनाओं का विश्लेषण और डिजाइन|volume=6 |series=Geometry and Computing |publisher=Springer |isbn=9783642136481 |page=51 |url=https://books.google.com/books?id=18UC7d7h0LQC&pg=PA51}}</ref>
 
 
==नोटेशन और बीजगणितीय संरचना==
सभी अर्ध-पूर्णांकों का समुच्चय (गणित) प्रायः दर्शाया जाता है
<math display=block>\mathbb Z + \tfrac{1}{2} \quad = \quad \left( \tfrac{1}{2} \mathbb Z \right) \smallsetminus \mathbb Z ~.</math>
पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मिलकर योग संक्रिया के अंतर्गत एक [[समूह (गणित)]] बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जा सकता है<ref>{{cite book |first=Vladimir G. |last=Turaev |year=2010 |title=Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds |edition=2nd |series=De Gruyter Studies in Mathematics |volume=18 |publisher=Walter de Gruyter |isbn=9783110221848 |page=390}}</ref>
<math display=block>\tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.</math>
हालाँकि, ये संख्याएँ एक वलय (गणित) नहीं बनाती हैं क्योंकि दो अर्ध-पूर्णांकों का गुणनफल अक्सर अर्ध-पूर्णांक नहीं होता है; जैसे <math>~\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} ~=~ \tfrac{1}{4} ~ \notin ~ \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.</math><ref>{{cite book |first1=George |last1=Boolos |first2=John P. |last2=Burgess |first3=Richard C. |last3=Jeffrey |year=2002 |title=कम्प्यूटेबिलिटी और तर्क|page=105 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9780521007580 |url=https://books.google.com/books?id=0LpsXQV2kXAC&pg=PA105}}</ref>




==गुण==
==गुण==
*कुल मिलाकर <math>n</math> अर्ध-पूर्णांक एक अर्ध-पूर्णांक है यदि और केवल यदि <math>n</math> अजीब है। यह भी शामिल है <math>n=0</math> चूँकि रिक्त योग 0 अर्ध-पूर्णांक नहीं है।
*कुल मिलाकर <math>n</math> अर्ध-पूर्णांक एक अर्ध-पूर्णांक है यदि और केवल यदि <math>n</math> अजीब है। यह भी सम्मिलित है <math>n=0</math> चूँकि रिक्त योग 0 अर्ध-पूर्णांक नहीं है।
*आधे पूर्णांक का ऋणात्मक भाग आधा पूर्णांक होता है।
*आधे पूर्णांक का ऋणात्मक भाग आधा पूर्णांक होता है।
*अर्ध-पूर्णांकों के समुच्चय की [[प्रमुखता]] पूर्णांकों के बराबर होती है। यह पूर्णांक से अर्ध-पूर्णांक तक एक आक्षेप के अस्तित्व के कारण है: <math>f:x\to x+0.5</math>, कहाँ <math>x</math> एक पूर्णांक है
*अर्ध-पूर्णांकों के समुच्चय की [[प्रमुखता]] पूर्णांकों के सामान्तर होती है। यह पूर्णांक से अर्ध-पूर्णांक तक एक आक्षेप के अस्तित्व के कारण है: <math>f:x\to x+0.5</math>, कहाँ <math>x</math> एक पूर्णांक है


==उपयोग==
==उपयोग==


===क्षेत्र पैकिंग===
===गोलाकार पैकिंग===
चार आयामों में इकाई गोले की सघनतम [[जाली पैकिंग]] (जिसे D4 जाली|D कहा जाता है)।<sub>4</sub> जाली) प्रत्येक बिंदु पर एक गोला रखता है जिसके निर्देशांक या तो सभी पूर्णांक या सभी अर्ध-पूर्णांक होते हैं। यह पैकिंग [[हर्विट्ज़ पूर्णांक]]ों से निकटता से संबंधित है: चतुर्भुज जिनके वास्तविक गुणांक या तो सभी पूर्णांक या सभी अर्ध-पूर्णांक हैं।<ref>{{cite journal |first=John C. |last=Baez |authorlink=John C. Baez |year=2005 |title=Review ''On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry'' by John H. Conway and Derek A. Smith |type=book review |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=42 |pages=229–243 |url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/conway_smith/ |doi=10.1090/S0273-0979-05-01043-8 |doi-access=free}}</ref>
चार आयामों में इकाई गोले की सघनतम [[जाली पैकिंग]] (जिसे D4 जाली कहा जाता है) प्रत्येक बिंदु पर एक गोला रखती है इस प्रकार जिसके निर्देशांक या तब सभी पूर्णांक या सभी अर्ध-पूर्णांक होते हैं। यह पैकिंग [[हर्विट्ज़ पूर्णांक|हर्विट्ज़ पूर्णांकों]] से निकटता से संबंधित है: चतुर्भुज जिनके वास्तविक गुणांक या तब सभी पूर्णांक या सभी अर्ध-पूर्णांक हैं।<ref>{{cite journal |first=John C. |last=Baez |authorlink=John C. Baez |year=2005 |title=Review ''On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry'' by John H. Conway and Derek A. Smith |type=book review |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=42 |pages=229–243 |url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/conway_smith/ |doi=10.1090/S0273-0979-05-01043-8 |doi-access=free}}</ref>
 
===भौतिकी विज्ञान===
भौतिकी में, [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] [[फर्मियन]] की परिभाषा से उन कणों के रूप में उत्पन्न होता है इस प्रकार जिनमें [[स्पिन (भौतिकी)]] होती है‚ जो आधे-पूर्णांक होते हैं।<ref>{{cite book |first=Péter |last=Mészáros |year=2010 |title=The High Energy Universe: Ultra-high energy events in astrophysics and cosmology |page=13 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9781139490726 |url=https://books.google.com/books?id=NXvE_zQX5kAC&pg=PA13}}</ref>


===भौतिकी===
भौतिकी में, [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] [[फर्मियन]] की परिभाषा से उन कणों के रूप में उत्पन्न होता है जिनमें [[स्पिन (भौतिकी)]] होती है जो आधे-पूर्णांक होते हैं।<ref>{{cite book |first=Péter |last=Mészáros |year=2010 |title=The High Energy Universe: Ultra-high energy events in astrophysics and cosmology |page=13 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9781139490726 |url=https://books.google.com/books?id=NXvE_zQX5kAC&pg=PA13}}</ref>
[[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] का [[ऊर्जा स्तर]] आधे-पूर्णांक पर होता है और इस प्रकार इसकी न्यूनतम ऊर्जा शून्य नहीं होती है।<ref>{{cite book |first=Mark |last=Fox |year=2006 |title=Quantum Optics: An introduction |page=131 |series=Oxford Master Series in Physics |volume=6 |publisher=Oxford University Press |isbn=9780191524257 |url=https://books.google.com/books?id=Q-4dIthPuL4C&pg=PA131}}</ref>
[[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] का [[ऊर्जा स्तर]] आधे-पूर्णांक पर होता है और इस प्रकार इसकी न्यूनतम ऊर्जा शून्य नहीं होती है।<ref>{{cite book |first=Mark |last=Fox |year=2006 |title=Quantum Optics: An introduction |page=131 |series=Oxford Master Series in Physics |volume=6 |publisher=Oxford University Press |isbn=9780191524257 |url=https://books.google.com/books?id=Q-4dIthPuL4C&pg=PA131}}</ref>
===गोले का आयतन===
===गोले का आयतन===
हालाँकि [[ कारख़ाने का ]] फ़ंक्शन को केवल पूर्णांक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, इसे [[गामा फ़ंक्शन]] का उपयोग करके भिन्नात्मक तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। अर्ध-पूर्णांकों के लिए गामा फ़ंक्शन एन-बॉल के आयतन के सूत्र का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है|एक का आयतन {{mvar|n}}-त्रिज्या की आयामी गेंद <math>R</math>,<ref>{{cite web |title=Equation&nbsp;5.19.4 |website=NIST Digital Library of Mathematical Functions |url=http://dlmf.nist.gov/ |publisher=U.S. [[National Institute of Standards and Technology]] |id=Release&nbsp;1.0.6 |date=2013-05-06}}</ref>
चूँकि [[ कारख़ाने का |फैक्टोरियल का]] फलन को केवल पूर्णांक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, इसे [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] का उपयोग करके भिन्नात्मक तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार अर्ध-पूर्णांकों के लिए गामा फलन त्रिज्या के {{mvar|n}}-त्रिज्या की आयामी गेंद <math>R</math> की मात्रा के सूत्र का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।<ref>{{cite web |title=Equation&nbsp;5.19.4 |website=NIST Digital Library of Mathematical Functions |url=http://dlmf.nist.gov/ |publisher=U.S. [[National Institute of Standards and Technology]] |id=Release&nbsp;1.0.6 |date=2013-05-06}}</ref><math display=block>V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n~.</math>अर्ध-पूर्णांकों पर गामा फलन के मान पाई के वर्गमूल के पूर्णांक गुणज हैं:<math display=block>\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + n\right) ~=~ \frac{\,(2n-1)!!\,}{2^n}\, \sqrt{\pi\,} ~=~ \frac{(2n)!}{\,4^n \, n!\,} \sqrt{\pi\,} ~</math>कहाँ <math>n!!</math> दोहरे भाज्य को दर्शाता है।
<math display=block>V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n~.</math>
अर्ध-पूर्णांकों पर गामा फ़ंक्शन के मान पाई के वर्गमूल के पूर्णांक गुणज हैं:
<math display=block>\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + n\right) ~=~ \frac{\,(2n-1)!!\,}{2^n}\, \sqrt{\pi\,} ~=~ \frac{(2n)!}{\,4^n \, n!\,} \sqrt{\pi\,} ~</math>
कहाँ <math>n!!</math> दोहरे भाज्य को दर्शाता है।


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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Latest revision as of 08:03, 14 July 2023

गणित में, अर्ध-पूर्णांक एक संख्या का रूप होता है

कहाँ एक पूर्ण संख्या है. उदाहरण के लिए,
सभी अर्ध-पूर्णांक हैं. "अर्ध-पूर्णांक" नाम संभवतः भ्रामक है, क्योंकि समूह में 1 (पूर्णांक 2 का आधा होना) जैसी संख्याओं को सम्मिलित करने को गलत समझा जा सकता है। इस प्रकार "पूर्णांक-प्लस-आधा" जैसा नाम अधिक त्रुटिहीन हो सकता है, किन्तु शाब्दिक रूप से सत्य न होते हुए भी, "आधा पूर्णांक" पारंपरिक शब्द है। इस प्रकार अर्ध-पूर्णांक गणित और क्वांटम यांत्रिकी में इतनी बार आते हैं कि एक भिन्न शब्द सुविधाजनक होता है। ध्यान दें कि पूर्णांक को आधा करने से सदैव आधा पूर्णांक नहीं बनता है; यह केवल विषम पूर्णाकों के लिए सत्य है। इस कारण से, आधे-पूर्णांकों को कभी-कभी अर्ध-विषम-पूर्णांक भी कहा जाता है। इस प्रकार अर्ध-पूर्णांक द्विघात परिमेय का एक उपसमूह हैं (एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने पर उत्पन्न संख्याएँ हैं।)[1]

संकेतन और बीजगणितीय संरचना

सभी अर्ध-पूर्णांकों का समुच्चय को प्रायः दर्शाया जाता है

इस प्रकार पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मिलकर योग संक्रिया के अंतर्गत एक समूह बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जा सकता है[2]
चूँकि, ये संख्याएँ एक वलय (गणित) नहीं बनाती हैं क्योंकि दो अर्ध-पूर्णांकों का गुणनफल अधिकांशतः अर्ध-पूर्णांक नहीं होता है; जैसे [3]


गुण

  • कुल मिलाकर अर्ध-पूर्णांक एक अर्ध-पूर्णांक है यदि और केवल यदि अजीब है। यह भी सम्मिलित है चूँकि रिक्त योग 0 अर्ध-पूर्णांक नहीं है।
  • आधे पूर्णांक का ऋणात्मक भाग आधा पूर्णांक होता है।
  • अर्ध-पूर्णांकों के समुच्चय की प्रमुखता पूर्णांकों के सामान्तर होती है। यह पूर्णांक से अर्ध-पूर्णांक तक एक आक्षेप के अस्तित्व के कारण है: , कहाँ एक पूर्णांक है

उपयोग

गोलाकार पैकिंग

चार आयामों में इकाई गोले की सघनतम जाली पैकिंग (जिसे D4 जाली कहा जाता है) प्रत्येक बिंदु पर एक गोला रखती है इस प्रकार जिसके निर्देशांक या तब सभी पूर्णांक या सभी अर्ध-पूर्णांक होते हैं। यह पैकिंग हर्विट्ज़ पूर्णांकों से निकटता से संबंधित है: चतुर्भुज जिनके वास्तविक गुणांक या तब सभी पूर्णांक या सभी अर्ध-पूर्णांक हैं।[4]

भौतिकी विज्ञान

भौतिकी में, पाउली अपवर्जन सिद्धांत फर्मियन की परिभाषा से उन कणों के रूप में उत्पन्न होता है इस प्रकार जिनमें स्पिन (भौतिकी) होती है‚ जो आधे-पूर्णांक होते हैं।[5]

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का ऊर्जा स्तर आधे-पूर्णांक पर होता है और इस प्रकार इसकी न्यूनतम ऊर्जा शून्य नहीं होती है।[6]

गोले का आयतन

चूँकि फैक्टोरियल का फलन को केवल पूर्णांक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, इसे गामा फलन का उपयोग करके भिन्नात्मक तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार अर्ध-पूर्णांकों के लिए गामा फलन त्रिज्या के n-त्रिज्या की आयामी गेंद की मात्रा के सूत्र का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।[7]

अर्ध-पूर्णांकों पर गामा फलन के मान पाई के वर्गमूल के पूर्णांक गुणज हैं:
कहाँ दोहरे भाज्य को दर्शाता है।

संदर्भ

  1. ↑ Sabin, Malcolm (2010). यूनीवेरिएट उपखंड योजनाओं का विश्लेषण और डिजाइन. Geometry and Computing. Vol. 6. Springer. p. 51. ISBN 9783642136481.
  2. ↑ Turaev, Vladimir G. (2010). Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds. De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 18 (2nd ed.). Walter de Gruyter. p. 390. ISBN 9783110221848.
  3. ↑ Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). कम्प्यूटेबिलिटी और तर्क. Cambridge University Press. p. 105. ISBN 9780521007580.
  4. ↑ Baez, John C. (2005). "Review On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry by John H. Conway and Derek A. Smith". Bulletin of the American Mathematical Society (book review). 42: 229–243. doi:10.1090/S0273-0979-05-01043-8.
  5. ↑ Mészáros, Péter (2010). The High Energy Universe: Ultra-high energy events in astrophysics and cosmology. Cambridge University Press. p. 13. ISBN 9781139490726.
  6. ↑ Fox, Mark (2006). Quantum Optics: An introduction. Oxford Master Series in Physics. Vol. 6. Oxford University Press. p. 131. ISBN 9780191524257.
  7. ↑ "Equation 5.19.4". NIST Digital Library of Mathematical Functions. U.S. National Institute of Standards and Technology. 2013-05-06. Release 1.0.6.
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